2024-2025學年山東省滕州市高二下學期第一次月考數學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3．考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【正確答案】B【分析】根據導數的定義以及給出的極限值可得答案.【詳解】，所以.故選：B.2.對于滿足的任意正整數，（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據排列數公式即可判斷.【詳解】易得，故選：D.3.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則（）A.在上單調遞增B.在上單調遞減C.在處取得最大值D.在處取得最小值【正確答案】B【分析】根據導函數的正負與原函數的單調性，即可結合選項逐一求解.【詳解】根據導函數圖象，可知當單調遞減；當單調遞增；當單調遞減；當單調遞增.在處取得極大值，不一定最大值；在處取得極小值，不一定最小值，故ACD錯誤，故選：B.4.若直線與曲線相切，則實數的值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】B【分析】根據題意，求得，可得，令，求得，進而求得切點坐標，得到的值.【詳解】設直線與曲線相切的切點為，由函數，可得，可得，所以，可得，解得，則，即切點為，將切點代入，可得，所以，當時，可得.故選：B.5.由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有（）A.120個 B.480個 C.288個 D.240個【正確答案】D【分析】根據題意可分為兩類：個位數字為0和個位數字為2或4，結合排列、組合數的公式，即可求解.【詳解】根據題意可分為兩類：個位數字為0和個位數字為2或4，當個位數字為0時，小于的偶數有個；當個位數字為2或4時，小于的偶數有個，所以小于的偶數共有個.故選：D.6.函數的極值點的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】A【分析】根據導數判斷函數的導函數，據此可知函數單調遞增無極值點.【詳解】由題意知，令，則，令，得，則函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，由此可知，函數單調遞增，所以函數不存在極值點.故選：A.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】令,求導得，于是得在上單調遞增，所以當時有，進而可得，由二倍角公式及的單調性可得，即可得答案.【詳解】解：令,則，所以在上單調遞增，所以當時，，

即當時，，所以，即，又因為，即，綜上所述.故選：A.本題考查了通過構造函數，利用函數的單調性進行大小比較，也考查了導數的應用和邏輯推理能力，屬于較難題.8.若關于的不等式恒成立，則實數的最大值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】B【分析】對所給不等式進行適當變形，利用同構思想得出對于任意的恒成立，進一步利用導數求出不等式右邊的最小值即可求解.【詳解】顯然首先，，令，則，所以在定義域內嚴格單調遞增，所以若有成立，則必有，即對于任意的恒成立，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得最小值，從而，所以的取值范圍是，即實數的最大值為.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列運算中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】由基本初等函數的導數公式逐項求解可得.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：BC10.下列等式正確的是（）A. B.C.！ D.【正確答案】ACD【分析】根據階乘和排列數的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可．【詳解】對于A，，選項A正確；對于B，，所以選項B錯誤；對于C，，選項C正確；對于D，?，選項D正確．故選：ACD．11.若函數，為自然對數的底數）在的定義域上單調遞增，則稱函數具有性質．給出下列函數：不具有性質的為（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】利用導數研究函數的單調性，對選項逐一考查就可以得到答案．【詳解】解：對于，定義域為，則，則，令，則，即上單調遞減，在上單調遞增，則，即恒成立，所以恒成立，即函數在定義域上單調遞增，故函數具有性質；對于，，則，在實數集上恒成立，在定義域上是增函數；對于，，則，，顯然不單調；對于，，則，，當時，，在定義域上先減后增；具有性質的函數的序號為，不具有性質的函數的序號為、．故選：CD．本題考查了利用導數研究函數單調性，屬于中檔題．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數的導數為，則等于______．【正確答案】4【分析】利用求導法則求，再建立關于的方程組即可.【詳解】，則，因，則且，解得，則故413.已知函數在上是單調函數，則實數的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】判斷函數導數為開口向下的二次函數，則應滿足，即可求解【詳解】，因為函數在上是單調函數，故只能滿足在上恒成立，即，，解得故答案為:14.定義在上的可導函數滿足，且，則的解集為__________【正確答案】【分析】先令，對其求導，得到，根據題意，得到在上單調遞減；再由得，將不等式化為，根據單調性，即可得出結果.【詳解】令，則，因為定義在上的可導函數滿足，所以在上恒成立，所以函數在上單調遞減；又，所以，因此，由得，所以，又定義域為，所以；即的解集為.故本題主要考查導數的方法解不等式，利用導數的方法研究函數單調性，進而可根據單調性求解，屬于常考題型.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.（1）求下列函數的導數：（ⅰ）；（ⅱ）．（2）解方程：．【正確答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）【分析】（1）利用求導的四則運算和復合函數的求導法則即可；（2）利用排列數公式化簡得到關于的一元二次方程，因即可得方程的解.【詳解】（1）（ⅰ）．（ⅱ）.（2）根據原方程，應滿足解得．根據排列數公式，原方程化為．因為，兩邊同除以，得，即，解得或（因為為整數，所以應舍去），所以原方程的解為．16.已知二次函數，其圖象過點，且．（1）求的值；（2）設函數，求曲線在處的切線方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數和已知條件得出關于方程組，求解即可；（2）求出得切點坐標，再求出得切線斜率，利用點斜式即可求得所求的切線方程.【小問1詳解】由題意可得，即為，又，可得，解得．【小問2詳解】由（1）知，則，則曲線在處的切線斜率為，又∵，∴切點為，則曲線在處的切線方程為，即為．17.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．（1）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？【正確答案】（1）瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最大（2）瓶子半徑為時，每瓶飲料利潤最小，并且是虧損的【分析】先確定利潤函數，再利用求導的方法，即可得到結論．【小問1詳解】由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是，．令，解得（舍去）．所以當時，；當時，．當時，，它表示在區間上單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當時，，它表示在區間上單調遞減，即半徑越大，利潤越低．又，故半徑為時，能使每瓶飲料的利潤最大．【小問2詳解】由（1）可知，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．所以當時，有最小值，其值為，故瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最小，并且是虧損的.18.有4名男同學和3名女同學（其中含甲、乙、丙）站成一排.（1）3名女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩名女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？（4）甲不站左端，乙不站右端，有多少種不同的排法？【正確答案】（1）（種）（2）（種）（3）（種）（4）（種）【分析】相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，有限制條件得可以采取正難則反的思路，結合排列數公式，逐個計算，即可.【小問1詳解】3名女同學是特殊元素，共有種排法；由于3名女同學必須排在一起，則可視排好的女同學為一個整體，再與4名男同學排隊，應有種排法．由分步乘法計數原理得，有（種）不同的排法．【小問2詳解】先將男同學排好，共有種排法，再在這4名男同學的中間及兩頭的5個空當中插入3名女同學，則有種方法．故符合條件的排法共有（種）.【小問3詳解】先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有種排法；由于甲，乙要相鄰，故先把甲，乙排好，有種排法；最后把甲，乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的中間及兩頭的5個空當中，則有種排法．所以共有（種）不同的排法．【小問4詳解】7個人的全排列共有(種)不同的排法，若甲站在左端，則有(種)不同的排法，若乙站在右端，則有(種)不同的排法，若甲站在左端同時乙站在右端，則有(種)不同的排法，故若7人站成一排，甲不能站在左端，乙不能站在右端，則共有(種)不同的排法19.已知函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【正確答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發現式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調區間；（2）根據第（1）問，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調遞減.（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，由于，即，故沒有零點；③當時，，