華大新高考聯(lián)盟2025屆高三3月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)本試題卷共4頁，共19題.滿分150分，考試用時120分鐘★祝考試順利★注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級?姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卷指定位置，認(rèn)真核對與準(zhǔn)考證號條形碼上的信息是否一致，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卷上的指定位置.2.選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答在試題卷上無效.3.非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題題所對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無效.4.考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評講時帶來.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接計算交集，進而可確定其子集的個數(shù).【詳解】由已知，，則，則子集的個數(shù)為個，故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運算，整理其為標(biāo)準(zhǔn)式，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案.【詳解】，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.3.已知某機械在生產(chǎn)正常的情況下，生產(chǎn)出的產(chǎn)品的指標(biāo)參數(shù)符合正態(tài)分布.現(xiàn)從該機械生產(chǎn)出的所有產(chǎn)品中隨機抽取2件，則這2件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別在）和的概率為（）（運算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）參考數(shù)據(jù)：若服從正態(tài)分布，則，.A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.84【答案】C【解析】【分析】由正太分布概率計算及概率乘法公式即可求解.【詳解】，，故所求概率，故選：C.4.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，其中，若，則外接圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再結(jié)合三角恒等變換可得，進而可外接圓半徑與面積.【詳解】由正弦定理得，，解得，故，則，故所求外接圓的面積為，故選：B.5.如圖，已知在四面體中，為等邊三角形，的面積為，點在平面上的投影為點，點分別為的中點，則（）A.與相交 B.與異面C. D.【答案】C【解析】【分析】AB選項，作出輔助線，得到，由于與相交，故與異面；CD選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用三角形面積求出等邊三角形邊長，寫出點的坐標(biāo)，利用向量夾角公式得到C正確，D錯誤.【詳解】AB選項，連接，則，平面，平面，由于與相交，故與異面，故AB錯誤；C選項，的面積為，為等邊三角形，設(shè)的邊長為，則，解得，因為分別為的中點，所以⊥，又在平面上的投影為點，故⊥平面，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又，故，則，，所以，C正確；D選項，，，，故故所成角的余弦值為，故D錯誤.故選：C.6.進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿十進一就是十進制，滿八進一就是八進制，即“滿幾進一”就是幾進制，不同進制的數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換，如十進制下，，用八進制表示159這個數(shù)就是237.現(xiàn)用八進制表示十進制的，則這個八進制數(shù)的最后一位為（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】由，通過二項式定理展開即可求解.【詳解】，而，故最后一位數(shù)為7，故選：D.7.已知正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，點在平面上（不含三棱柱的頂點），若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意知，點是在以線段為直徑的球與平面形成的交線上，如圖，取的中點，的中點，設(shè)BP的中點為，連接，則，，過點作，垂足為N，由于，又根據(jù)正三棱柱可知，平面，所以平面，則平面，則，而，，，，故點在以為圓心，為半徑的圓上，故的最小值為，故選：D.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，若的內(nèi)心為，且與共線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與共線，求出點的縱坐標(biāo)，再根據(jù)的面積及雙曲線的定義求出，從而可求出點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得解.【詳解】設(shè)，依題意可設(shè)，所以，則，故，化簡得,又，所以，因為，點在雙曲線上，且，所以在雙曲線的右支上，所以，則，解得，所以坐標(biāo)為，代入雙曲線方程中，得，解得，故所求漸近線的方程為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，則（）A.的最小正周期為B.C.在上單調(diào)遞減D.在上有6個零點【答案】AD【解析】【詳解】由坐標(biāo)可得周期；由圖象可知對稱軸為，故利用對稱性和周期性可得；將的圖象向后延拓即可判斷CD選項.【分析】依題意得，，則，故A正確；由圖可知對稱軸為，則，又，則，故，故B錯誤；延長的圖象如圖所示，觀察可知，在上先減后增，故C錯誤；在上有6個零點，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.CD.【答案】BCD【解析】【分析】A選項，舉出例子，畫出圖象，得到其不關(guān)于直線對稱；BD選項，為奇函數(shù)，得到，BD正確；C選項，二次求導(dǎo)，結(jié)合三次函數(shù)圖象特征得到，則，又，故【詳解】A選項，令，則，滿足為偶函數(shù)，但的圖象如下，不關(guān)于直線對稱，A錯誤；BD選項，為偶函數(shù)，故為奇函數(shù)，即，即，故，故點為曲線的對稱中心，故，則，故B，D正確；C選項，由題意得，令，則，由于曲線的對稱中心為，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征可知，，則，又，故，故C正確.故選：BCD.11.19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計的規(guī)律中，用標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)并論證了一個不等式，該不等式被稱為切比雪夫不等式，它可以使人們在隨機變量的分布未知的情況下，對事件做出估計.切比雪夫不等式定義為：若隨機變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，不等式成立.已知某試驗田對一種新型作物進行種植實驗，現(xiàn)抽取部分作物的高度進行調(diào)研，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：作物類別數(shù)量作物平均高度/作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的試種可知，該新型作物的高度受到環(huán)境，肥料等一系列因素的影響，每株作物成長到達(dá)標(biāo)高度的概率為0.6，則下列說法正確的是（）A.本次種植實驗中被調(diào)研的所有作物的高度的平均值為25B.本次種植實驗中被調(diào)研的所有作物的高度的方差為313.5C.為了保證下一次種植實驗中至少有的作物的高度達(dá)到預(yù)定達(dá)標(biāo)高度的頻率大于0.3且小于0.9，則根據(jù)切比雪夫不等式可以估計下一次最少種植27株D.經(jīng)過幾次實驗之后，作物最終成長的高度到達(dá)24cm及以上的頻率為0.8，若種植20000株此類作物，則作物存活16000株的概率最大【答案】ACD【解析】【分析】由平均值、方差計算公式可判斷AB，由二項分布結(jié)合切比雪夫不等式可判斷CD.【詳解】所有作物的高度的平均值為，故A正確；所有作物的高度的方差為，故B錯誤；設(shè)作物高度達(dá)到預(yù)定達(dá)標(biāo)高度的數(shù)量為，依題意知，則，若，則，由切比雪夫不等式可得，又，解得，即最少種植27株，故C正確；設(shè)存活株的概率最大，，則，，，則，解得，，解得.又，所以當(dāng)時，最大，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，點在拋物線上，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程可得點坐標(biāo)，進而可.【詳解】依題意得，，解得，故，故答案為：.13.已知在梯形中，，若為邊上靠近的三等分點，且，則__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的線性運算及平面向量的基本定理即可求解.【詳解】如圖所示：因為在梯形中，，若為邊上靠近的三等分點，所以,，所以.又因為，則.故答案為：14.已知，則的最大公約數(shù)為__________.【答案】3333【解析】【詳解】根據(jù)最大公約數(shù)計算方法求解即可.【分析】用表示正整數(shù)的最大公約數(shù)，則，而，故，則的最大公約數(shù)為3333.【點睛】方法點睛：求兩個或多個大數(shù)的最大公約數(shù)的方法：質(zhì)因數(shù)分解法：（1）對每個大數(shù)進行質(zhì)因數(shù)分解；（2）找出它們的公共質(zhì)因數(shù)；（3）計算公共質(zhì)因數(shù)的最小次冪的乘積，得到最大公約數(shù).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說昭，證明過程或演算步驟.15.為了了解某地歲居民的工資情況，研究人員隨機抽取了部分居民進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180女性居民280240合計（1）完善上述表格并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性？（2）以頻率估計概率，若在該地所有居民中隨機抽取3人，求至少2人工資超過3500的概率.附：0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1）表格見解析，不能認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求解，然后根據(jù)列聯(lián)表，求得值，再與臨界值表對照下結(jié)論；（2）先求得工資超過3500的概率為，再利用獨立重復(fù)試驗的概率求解.【小問1詳解】完善表格如下表所示：

工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180380女性居民280240520合計480420900零假設(shè)：依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不能認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性，則，故依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，假設(shè)成立，即不能認(rèn)為工資的多少與居民的性別具有相關(guān)性.【小問2詳解】由題意知：工資超過3500的概率為.記至少2人工資超過3500為事件，所以.16.已知數(shù)列的首項為，前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求滿足的的最小值；（3）已知，記數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）（2）最小值為（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)退一相減法可得，再結(jié)合累加法可得通項公式；（2）由通項公式代入不等式，可得的范圍，即可得解；（3）利用裂項相消法可求和，再結(jié)合不等性質(zhì)可得證.【小問1詳解】由已知，則，即，則，，，，等式左右分別相加可得，則；【小問2詳解】由（1）得，且，即，化簡可得，又，即，所以滿足的的最小值為；【小問3詳解】依題意得，，則，又，所以，所以，即.17.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).（1）若在上為凹函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，且在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，依題意知，對任意的恒成立，利用分離參數(shù)法求解即可；（2）分和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，進而可得出答案.【小問1詳解】，則，依題意知，對任意的恒成立，則恒成立，令，則，故在上單調(diào)遞增，故，則實數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】依題意得，，若，當(dāng)時，，所以在上無零點，舍去；若，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，且，①若，即，此時，則存在，使得，即，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，令，解得，因為，且，所以存在唯一的，使得，滿足條件；②若，即，此時在上單調(diào)遞減，又，所以，不合題意，舍去，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.18.已知橢圓過點，，過點的直線與交于，兩點，其中.（1）求橢圓的方程；（2）若直線的斜率為，求的值；（3）已知，直線交軸于點，若四邊形為等腰梯形，求直線的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點，代入可得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理，及弦長公式可得解；（3）由四邊形為等腰梯形，可知，設(shè)點的坐標(biāo)為，的中點為，則，要求直線的斜率，只需要轉(zhuǎn)化為求點的坐標(biāo)，則有，根據(jù)點斜式可知直線的方程為，可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理可得，求出，，可得所求直線的方程.【小問1詳解】由已知橢圓過點，，則，解得，即橢圓方程為；【小問2詳解】依題意得，直線的方程為，聯(lián)立，整理得，，故，，故；【小問3詳解】因為四邊形為等腰梯形，則必有，即，不妨設(shè)點的坐標(biāo)為，的中點為，則必有，要求直線斜率，只需要轉(zhuǎn)化為求點的坐標(biāo)，則有.而，則直線的方程為，令，則有，不妨設(shè)直線的方程為，則有，即，聯(lián)立方程，消去得，則有，，則有，則有，所以，所以，所以，故所求直線的方程為.19.已知四棱錐的底面為平行四邊形，，，，，.（1）求三棱錐外接球的表面積.（2）設(shè)為線段上的點.（i）若，求直線與平面所成角的正弦值.（ii）平面過點，，且平面，探究：是否存在點，使得平面與平面之間所成角的正切值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）存