中考數學幾何題

一.選擇題（共19小題）

1.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分NDAC,AE交CD于點F,CE±AE,

垂足為點E,EGXCD,垂足為點G,點H在邊BC上，BH=DF,連接AH、FH,FH

與AC交于點M,以下結論：

①FH=2BH；（2）AC±FH；③S^ACF=1；④CE=LAF；⑤EG?=FG?DG,

2.如圖，正方形ABCD中，點E,F分別在BC,CD上，4AEF是等邊三角形,

連接AC交EF于點G,下列結論：①CE=CF,②NAEB=75°,③AG=2GC?④BE+DF=EF,

⑤SACEF=2SMBE，其中結論正確的個數為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.如圖，正方形ABCD中，P為AB中點，BELDP交DP延長線于E,連結AE,

AFLAE交DP于F,連結BF,CF.下列結論：①EF=&AF；②AB=FB；③CF〃BE；

④EF=CF.其中正確的結論有（）個.

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，已知矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點。，過。點作OE，AC,交

AB于E,若BC=4,AAOE的面積是5,則下列說法錯誤的是（）

A.AE=5B.ZBOE=ZBCEC.CE±OBD.sinNBOE=』

5

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB,F是AD的中點，作CE，AB,垂足

E在線段AB上，連接EF、CF,則下列結論中一定成立的是（）

①NDCFJ-NBCD；②EF=CF；③/DFE=3NAEF；@SABEC=2SACEF.

D.①③④

6.如圖，由兩個長為9,寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD,則四邊形

)

D.20

7.如圖，點。為正方形ABCD的中心，BE平分NDBC交DC于點E,延長BC到

點F,使FC=EC,連結DF交BE的延長線于點H,連結OH交DC于點G,連結

HC.則以下四個結論中：①OH〃BF,②GH=LBC,③OD=^BF,④NCHF=45°.正

42

確結論的個數為（)

A.4個B.3個C.2個D.1個

8.如圖，在矩形ABCD中，AD=V2AB,ZBAD的平分線交BC于點E,DH1AE

于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點0,下列結論：

①4ABE咨ZkAHD；②HE=CE；③H是BF的中點；④AB=HF；

9.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BELAC于點，連接DF,分析下

列四個結論：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF=$SAABF其中

正確的結論有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

10.已知點D與點A(0,6),B(0,-4),C(x,y)是平行四邊形的四個頂點,

其中x,y滿足3x-4y+12=0,則CD長的最小值為()

A.10B.2/7C.獨D.4

5

11.如圖，邊長一定的正方形ABCD,Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M,

過M作MNLAQ交BC于點N,作NPLBD于點P,連接NQ,下列結論:①AM=MN；

②MP=LBD；③BN+DQ=NQ；④"儂L為定值.其中一定成立的是()

2BM

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

12.如圖，在邊長為的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線

上一點，BE=DG,連接EG,過點C作EG的垂線CH,垂足為點H,連接BH,BH=8.有

下列結論：

①NCBH=45°；②點H是EG的中點；③EG=4屈；④DG=2互

其中，正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

13.如圖，已知梯形ABCD中，AD〃BC,AD=2,BC=5,4ABE和4CDF是等腰直

角三角形，ZBAE=ZCDF=90°,則四邊形AEDF的面積為（）

14.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點E,NBAD=135。，作AH,

BC,點H為垂足，AH交BD于點F,G是AB中點，連接GE交AH于點M,給出

下列結論：①AAEG是等腰三角形；②ME=LBC；③FH=HC；@AE2=EF?EB；⑤

4

AF?BH=FH?BC,其中結論正確的個數是（)

D

A.2個B.3個C.4個D.5個

15.在Rt^ABC中，AC=BC,點D為AB中點.ZGDH=90",ZGDH繞點D旋轉,

DG、DH分別與邊AC、BC交于E,F兩點.下列結論：

①AE+BF=￥AB,②4DEF始終為等腰直角三角形，

2

③S四邊形=±AB,

CEDF8

(4)AE2+CE2=2DF2.

其中正確的是()

A.①②③④B.①②③C.①④D.②③

16.如圖，銳角^ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，AADC^AADCS△

AEB之△AEB，，且C'D〃EB'〃BC,BE、CD交于點B若NBAC=35°,則NBFC的大

17.如圖，14AABC中，ZACB=90°,NCAD=30°,AC=BC=AD,CE±CD,且CE=CD,

連接BD、DE、BE,則下列結論：①NECA=165°,②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD.其

中正確的是（）

r

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

18.已知，等腰Rt^ABC中AC=BC,點D在BC上，且/ADB=105°,ED±AB,G

是AF延長線上一點，BE交AG于F,且DE=2FG,連GE、GB.則下列結論：

?AG±BE；②NDGE=60°；③BF=2FG；④AD+、及DC=AB.

其中正確的結論有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.②③④

19.如圖，在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AD平分NBAC,CE，AD交AB于E,

BE=CF,BF交CE于P,連PD,下列結論：①AC=AE,②CD=BE,③PB=PF,④DP=BF,

其中正確的結論是（）

A.①②③④B.①②③C.①②D.①③

二.填空題（共5小題）

20.如圖，正方形ABCD中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3DE,將^ADE沿

AE對折至aAFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF.下列結論：

①4ABG注4AFG；②BG=CG；③AG〃GF；@SAABG=SAAFG；@ZAGB+ZAED=145".

21.如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，。是EG的中點，Z

EGC的平分線GH過點D,交BE于點H,連接OH,FH,EG與FH交于點M,對

于下面四個結論：

①GHLBE；②BG=EG；③△MFG為等腰三角形；④DE：AB=l+&,

其中正確結論的序號為—.

22.如圖，邊長為1的菱形ABCD中，ZDAB=60°.連結對角線AC,以AC為邊

作第二個菱形ACEF,使NFAC=60。.連結AE,再以AE為邊作第三個菱形AEGH

使NHAE=60?！创艘幝伤鞯牡趎個菱形的邊長是—.

23.如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,E、F分別是AB,AD的中點，DE、BF相

交于點G,連接BD,CG.有下列結論，其中正確的有—（填正確結論的序號）.

2

?ZBGD=120°；②BG+DG=CG；(3)ABDF^ACGB；(4)SAABD=AB.

D

24.如圖，在正方形ABCD中，分別以AD,BC為斜邊作RtAADE和RtACBF,

5.RtAADE^RtACBF,連結EF,若S正方形ABCD=20,SAADE=3,則EF=.

三.解答題(共15小題)

25.AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C

重合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.

(1)觀察猜想

如圖1,當點D在線段BC上時，

①BC與CF的位置關系為：—.

②BC,CD,CF之間的數量關系為：—；(將結論直接寫在橫線上)

(2)數學思考

如圖2,當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，

請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G,連接GE.若已

知AB=2j^,CD=LBC,請求出GE的長.

26.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD

是垂美四邊形嗎？請說明理由.

（2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數

量關系.

猜想結論：（要求用文字語言敘述）—

寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）.

（3）問題解決：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正

方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.

27.如圖1,在正方形ABCD內作NEAF=45。，AE交BC于點E,AF交CD于點F,

連接EF,過點A作AHLEF,垂足為H.

(1)如圖2,將4ADF繞點A順時針旋轉90。得到AARG.

①求證：4AGE^4AFE；

②若BE=2,DF=3,求AH的長.

(2)如圖3,連接BD交AE于點M,交AF于點N.請探究并猜想：線段BM,

MN,ND之間有什么數量關系？并說明理由.

28.如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG

〃CD交AF于點G,連接DG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由；

(3)若AG=6,EG=2,用，求BE的長.

29.如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，連接BE,DE.

(1)如圖1,求證：4BCE之ZkDCE；

(2)如圖2,延長BE交直線CD于點F,G在直線AB上，且FG=FB.

①求證：DEXFG；

②已知正方形ABCD的邊長為2,若點E在對角線AC上移動，當aBFG為等邊三

角形時，求線段DE的長(直接寫出結果，不必寫出解答過程).

30.如圖，4ABC和4CDE是等腰直角三角形，NBAC=NCED=NBCE=90。.點M

為BC邊上一點，連接EM、BD交于點N,點N恰好是BD中點，連接AN.

(1)求證：MN=EN；

(2)連接AM、AE,請探究AN與EN的位置關系與數量關系.

①寫出AN與EM：位置關系___；數量關系;

②請證明上述結論.

31.已知等邊三角形ABC中，E是AB邊上一動點(與A、B不重合)，D是CB

延長線上的一點，且DE=EC.

(1)當E是AB邊上中點時，如圖1,線段AE與DB的大小關系是：AEDB

(填"或"=")

(2)當E是AB邊上任一點時，小敏與同桌小聰討論后，認為(1)中的結論依

然成立，并進行了如下解答：解：如圖2,過點E作EF〃BC,交AC于點F

(請你按照上述思路，補充完成全部解答過程)

(3)當E是線段AB延長線上任一點時，如圖3.(1)中的結論是否依然成立？

若成立，請證明.若不成立，請說明理由.

32.如圖，AB、CD交于點E,AD=AE,CB=CE,F、G、H分別是DE、BE、AC的

中占

I八、、?

(1)求證：AF±DE；

(2)求證：FH=GH.

33.如圖，已知NABC=90°,D是直線AB上的點，AD=BC.

(1)如圖1,過點A作AF,AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷4CDF

的形狀并證明；

(2)如圖2,E是直線BC上一點，且CE=BD,直線AE、CD相交于點P,ZAPD

的度數是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由.

34.操作發現

將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發現等腰直角三角板ABC的斜邊與含30。角

的直角三角板DEF的長直角邊DE重合.

問題解決

將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30。，點C落在BF上，AC與

BD交于點O,連接CD,如圖②.

(1)求證：△CDO是等腰三角形；

(2)若DF=8,求AD的長.

35.已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A,B重合），分別過

A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點.

（1）如圖1,當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是,QE與QF的

數量關系式―；

（2）如圖2,當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關

系，并給予證明；

（3）如圖3,當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是

否成立？請畫出圖形并給予證明.

36.如圖，已知點D為等腰直角AABC內一點，ZCAD=ZCBD=15°,E為AD延

長線上的一點，且CE=CA.

(1)求證：DE平分NBDC；

(2)若點M在DE上，且DC=DM,求證：ME=BD.

37.已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC,點F在CE的

延長線上，CF=AB,求證：AF±AQ.

Q

B

C

38.如圖，在^ABC中，AB=AC=a,BC=b,且2a>b,BGLAC于G,DE，AB于

E,DFLAC于F.

（1）在圖（1）中，D是BC邊上的中點，計算DE+DF和BG的長（用a,b表示），

并判斷DE+DF與BG的關系.

（2）在圖（2）中，D是線段BC上的任意一點，DE+DF與BG的關系是否仍然成

立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，請說明理由.

（3）在圖（3）中，D是線段BC延長線上的點，探究DE、DF與BG的關系.（不

要求證明）

39.等邊△ABC,點D是直線BC上一點，以AD為邊在AD的右側作等邊4ADE,

連接CE.

(1)如圖1,若點D在線段BC上，求證：CE+CD=AB；

(2)如圖2,若點D在CB的延長線上，線段CE,CD,AB的數量有怎樣的數量

關系？請加以證明.

2017年02月28日賬號1的初中數學組卷三角形及四邊

形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共19小題）

1.（2016?牡丹江）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分NDAC,AE交CD

于點F,CEXAE,垂足為點E,EGXCD,垂足為點G,點H在邊BC上，BH=DF,

連接AH、FH,FH與AC交于點M,以下結論：

①FH=2BH；（2）AC±FH；（3）SAACF=1;④CE=^AF；⑤EG?=FG?DG,

2

其中正確結論的個數為（）

【分析】①②、證明△ABH/4ADF,得AF=AH,再得AC平分NFAH,則AM既

是中線，又是高線，得ACLFH,證明BH=HM=MF=FD,貝UFH=2BH；所以①②都

正確；

③可以直接求出FC的長，計算S^ACFWI，錯誤；

④根據正方形邊長為2,分別計算CE和AF的長得結論正確；

⑤利用相似先得出EG2=FG-CG,再根據同角的三角函數列式計算CG的長為1,

則DG=CG,所以⑤也正確.

【解答】解：①②如圖1,???四邊形ABCD是正方形，

，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=90°,

VAE平分NDAC,

ZFAD=ZCAF=22.5°,

VBH=DF,

.,.△ABH2△ADF,

.?.AH=AF,NBAH=UFAD=22.5°,

AZHAC=ZFAC,

；.HM=FM,AC±FH,

VAE平分NDAC,

，DF=FM,

，FH=2DF=2BH,

故選項①②正確；

③在RtZkFMC中，ZFCM=45°,

???△FMC是等腰直角三角形，

???正方形的邊長為2,

，AC=2&，MC=DF=2貝-2,

FC=2-DF=2-(2/2-2)=4-2M

SAAFC」CF?ADWL

2

所以選項③不正確；

④AF=g研+口產122%(2&-2)2=2、q-2a,

VAADF^ACEF,

?AD_AF

，*CE^FC，

.22]4-2&

**CE~4-2V2

/.CE=V4-2A/2)

.?.CEJAF,

2

故選項④正確；

⑤在Rt^FEC中，EG±FC,

AEG2=FG?CG,

COSZFCE=CE-CG,

FCCE

CG=^~=4-嘩=1,

CF4-2V2

，DG=CG,

AEG2=FG?DG,

故選項⑤正確；

本題正確的結論有4個,

故選C.

【點評】本題是四邊形的綜合題，綜合考查了正方形、相似三角形、全等三角形

的性質和判定；求邊時可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角

函數列式計算；同時運用了勾股定理求線段的長，勾股定理在正方形中運用得比

較多.

2.（2016?黑龍江模擬）如圖，正方形ABCD中，點E,F分別在BC,CD上，△

AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G,下列結論：①CE=CF,②NAEB=75。，

③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S^EF=2SMBE，其中結論正確的個數為（）

【分析】通過條件可以得出4ABE^4ADF,從而得出NBAE=NDAF,BE=DF,得

到CE=CF；由正方形的性質就可以得出NAEB=75。；設EC=x,由勾股定理得到EF,

表示出BE,利用三角形的面積公式分別表示出SACEF和2sMBE，再通過比較大小

就可以得出結論.

【解答】解：四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

??,△AEF等邊三角形，

，AE=EF=AF,ZEAF=60°.

.\ZBAE+ZDAF=30°.

在RtAABE和RtAADF中,

(AB=AD

1AE=AF，

RtAABE^RtAADF(HL),

，BE=DF,

.??CE=CF,故①正確；

VZBAE=ZDAF,

.,.ZDAF+ZDAF=30",

即NDAF=15°,

...NAEB=75°,故②正確；

設EC=x,由勾股定理，得

EF=&x,CG=Y^X,

2

AG=AEsin60°=EFsin60°=2XCGsin60°=返x,

2

...AGW2GC,③錯誤；

VCG=^-x,AG=^x,

.-.AC=^W6X

2

AB=AC?返=13x,

22

.a匚1+V3/3-1

??BE=——--x-x=--------x,

22

，BE+DF=(V3-1)x,

...BE+DFWEF,故④錯誤；

"*'SACEF=-x2，

2

SAABE—XBEXAB=Lx-^^-xX2/izLxAx2,

22224

.\2SAABE-SACEF，故⑤正確.

綜上所述，正確的有3個，

故選：B.

【點評】本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾

股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題

時運用勾股定理的性質解題時關鍵.

3.（2016?南充模擬）如圖，正方形ABCD中，P為AB中點，BE，DP交DP延長

線于E,連結AE,AFLAE交DP于F,連結BF,CF.下列結論：①EF=&AF；②

AB=FB；③CF〃BE；④EF=CF.其中正確的結論有（）個.

【分析】根據已知和正方形的性質推出NEAB=NDAF,ZEBA=ZADP,AB=AD,

證aABE也4ADF即可；取EF的中點M,連接AM,推出AM=MF=EM=DF,證N

AMB=NFMB,BM=BM,AM=MF,推出△ABM咨△FBM即可；求出/FDC=NEBF,

推出ABEF之4DFC即可.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD,NBAD=90°,

AZDAF+ZBAF=90",

VAF±AE,

AZBAE+ZBAF=90",

NBAE=NDAF,

VBE±DP,

AZABE+ZBPE=90",

XVZADF+ZAPD=90°,ZBPE=ZAPD,

NABE=NADF,

在aABE^AADF中，

rZABE=ZADF

'AI二AD，

LZBAE=ZDAF

.,.△ABE^AADF(ASA),

，AE=AF,

???△AEF是等腰直角三角形，

.\EF=V2AF；故①正確；

，AE=AF,BE=DF,

AZAEF=ZAFE=45",

取EF的中點M,連接AM,

.\AM±EF,AM=EM=FM,

ABE/7AM,

VAP=BP,

，AM=BE=DF,

NEMB=NEBM=45°,

ZAMB=90°+45°=135°=ZFMB,

在△ABM和△FBM中，

fM=FM

NAMB二NFMB,

AAABMAFBM(SAS),

，AB=BF,故②正確；

NBAM=NBFM,

VZBEF=90°,AM±EF,

AZBAM+ZAPM=90°,NEBF+NEFB=90°,

，NAPF=NEBF,

：AB〃CD,

AZAPD=ZFDC,

/.ZEBF=ZFDC,

在ABEF和ADFC中，

'BE=DF

■NEBF=NFDC，

,BF=DC

.,.△BEF^ADFC(SAS),

.?.CF=EF,NDFC=NFEB=90°,

故④正確；

ACFXDEP,

VBEXDP,

；.CF〃BE；故③正確.

故選D.

【點評】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質、全等三角形的判定與

性質、等腰直角三角形的性質以及直角三角形的性質等知識.注意準確作出輔助

線是解此題的關鍵.

4.（2016秋?廬陽區期末）如圖，已知矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,

過。點作OELAC,交AB于E,若BC=4,4AOE的面積是5,則下列說法錯誤的

5

【分析】A、作輔助線，構建矩形AGOF,利用面積為5,代入面積公式可求得

AE的長為5,此說法正確；

B、證明NABC+NEOC=180。，根據對角互補的四邊形四點共圓得：E、B、C、0

四點共圓，則NBCE=NBOE,此說法正確；

C、因為E、B、C、。四點共圓，所以根據垂徑定理可知：要想OBLCE,得保證

過圓心的直線平分弧，即判斷弦長BE和0E的大小即可;

D、利用同角的三角函數計算.

【解答】解：A、過。作OFLAD于F,作OGLAB于G,

?四邊形ABCD是矩形，

，AC=BD,OA=LAC,OD」BD,

22

.\OA=OD,

.\AF=FD=—AD=—BC=2,

22

ZAGO=ZBAD=ZAFO=90°,

???四邊形AGOF是矩形，

.?.OG=AF=2,

VSAAEO—AE?OG=5,

2

,AE-10-10-5

OG2

所以此選項的說法正確；

B、VOEXAC,

AZEOC=90°

VZABC=90°,

AZABC+ZEOC=180°,

.?.E、B、C、。四點共圓，

AZBCE=ZBOE,

所以此選項的說法正確；

C、在Rt^BEC中，由勾股定理得：BE=^52_42=3,

；.AB=3+5=8,

AC={AB2+BC*A/82+42=4旄,

.?.AO」AC=2、用，

2

EO=VAE2-A02=VS2-(2V5)2=5^)

.?.OEWBE,

,.?E、B、C、。四點共圓，

VZEOC=90°,

AEC是直徑，

AEC與OB不垂直；

此選項的說法不正確；

D、sinZBOE=sinZBCE=-^l=A,

EC5

所以此選項的說法正確，

因為本題選擇說法錯誤的,

故選C.

【點評】本題考查了矩形的性質和判定、四點共圓的判定和性質、勾股定理以及

解直角三角形的有關知識，較為麻煩，此類題相當于解決四個問題，尤其是第三

問利用了圓中的性質進行證明，比較容易理解；本題還利用了同角的三角函數求

一個角的正弦，這在解直角三角形中經常運用，要熟練掌握.

5.（2016春?開江縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB,F是AD的

中點，作CELAB,垂足E在線段AB上，連接EF、CF,則下列結論中一定成立

的是（）

①NDCF」NBCD；②EF=CF；③/DFE=3NAEF；@SABEC=2SACEF.

2

Af___________r>

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【分析】①根據平行四邊形的性質和平行線的性質解答即可；

②延長EF,交CD延長線于M,證明4AEF之△DMF,得到EF=FM,根據直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；

③設NFEC=x,用x分別表示出NDFE和NAEF,比較即可；

④根據EF=FM,得到SAEFC=SMFM，根據MC>BE,得到SABEC<2sREFC.

【解答】解：①?.￥是AD的中點，

；.AF=FD,

?.?在回ABCD中，AD=2AB,

；.AF=FD=CD,

AZDFC=ZDCF,

VAD//BC,

，NDFC=NFCB,

AZDCF=ZBCF,

/.ZDCF」ZBCD,故此選項正確；

2

②如圖1,延長EF,交CD延長線于M,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

AZA=ZMDF,

,.,F為AD中點，

；.AF=FD,

在AAEF和△DFM中，

rZA=ZMDF

>ZAFE=ZDFlb

,AF=DF

.,.△AEF^ADMF(ASA),

，FE=MF,NAEF=NM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90",

：FM=EF,

；.FC=FE,故②正確；

③設NFEC=x,則NFCE=x,

ZDCF=ZDFC=90°-x,

AZEFC=180°-2x,

ZEFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,

ZAEF=90°-x,

...NDFE=3NAEF,故此選項正確;

@VEF=FM,

??SAEFC=SACFM?

VMOBE,

??SABEC<^2SAEFC

故SABEC=2SACEF錯誤，

故選：A.

【點評】本題考查的是平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角

形的性質，正確作出輔助線、得出4AEF法△DMF是解題關鍵.

6.（2016春?鎮江期中）如圖，由兩個長為9,寬為3的全等矩形疊合而得到四

邊形ABCD,則四邊形ABCD面積的最大值是（）

A.15B.16C.19D.20

【分析】首先根據圖1,證明四邊形ABCD是菱形；然后判斷出菱形的一條對角

線為矩形的對角線時，四邊形ABCD的面積最大，設AB=BC=x,則BE=9-x,利

用勾股定理求出x的值，即可求出四邊形ABCD面積的最大值是多少.

【解答】解：如圖1,作AELBC于E,AFLCD于F,

圖1,

：AD〃BC,AB〃CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形,

???兩個矩形的寬都是3,

，AE=AF=3,

"*'S四邊形ABCD=AE?BC=AF,CD,

.*.BC=CD,

???平行四邊形ABCD是菱形.

設AB=BC=x,則BE=9-x,

BC2=BE2+CE2,

/.x2=(9-x)2+32,

解得x=5,

：.四邊形ABCD面積的最大值是：

5X3=15.

故選：A.

【點評】此題主要考查了菱形的判定和性質，矩形的性質和應用，以及勾股定理

的應用，要熟練掌握.

7.（2016春?重慶期中）如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分NDBC交

DC于點E,延長BC到點F,使FC=EC,連結DF交BE的延長線于點H,連結OH

交DC于點G,連結HC.則以下四個結論中：①OH〃BF,②GH=^BC,③。D=L

42

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據已知對各個結論進行分析，從而確定正確的個數.①作EJLBD于

J,連接EF,由全等三角形的判定定理可得△DJEZ^ECF,再由平行線的性質得

出OH是4DBF的中位線即可得出結論；

②根據OH是4BFD的中位線，得出GH=LCF,由GH<LBC,可得出結論；

24

③易證得^ODH是等腰三角形，繼而證得OD=LBF；

2

④根據四邊形ABCD是正方形,BE是NDBC的平分線可求出RtABCE^RtADCF,

再由NEBC=22.5。即可求出結論.

【解答】解：作日，BD于J,連接EF

VBE平分NDBC

；.EC=EJ,

/.△DJE^AECF

ADE=FE

NHEF=45°+22.5°=67.5°

AZHFE=i^-=22.5°

2

AZEHF=180°-67.5--22.5°=90°

VDH=HF,OH是的中位線

.?.OH〃BF；故①正確;

.?.OH」BF,ZDOH=ZCBD=45°,

2

VOH是4FD的中位線，

.?.DG=CG」BC,GH=LCF,

22

VCE=CF,

.?.GH=LCF=LCE

22

VCE<CG=—BC,

2

.?.GHCLBC,故②錯誤.

4

:四邊形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分線，

BC=CD,ZBCD=ZDCF,NEBC=22.5°,

VCE=CF,

，RtABCE^RtADCF,

AZEBC=ZCDF=22.5°,

AZBFH=90°-ZCDF=90°-22.5°=67.5°,

「OH是4DBF的中位線,CD±AF,

...OH是CD的垂直平分線，

.\DH=CH,

AZCDF=ZDCH=22.5°,

ZHCF=90°-ZDCH=90°-22.5°=67.5°,

ZCHF=180°-ZHCF-ZBFH=180°-67.5°-67.5°=45°,故④正確;

ZODH=ZBDC+ZCDF=67.5°,

AZOHD=180°-ZODH-ZDOH=67.5°,

ZODH=ZOHD,

.,.OD=OH=LBF；故③正確.

2

【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定與性質以及正

方形的性質.解答此題的關鍵是作出輔助線，構造等腰直角三角形，利用等腰直

角三角形的性質結合角平分線的性質逐步解答.

8.（2016春?張家港市校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=&AB,NBAD的

平分線交BC于點E,DHLAE于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交

BF于點O,下列結論：

①4ABE之△AHD；②HE=CE；③H是BF的中點；④AB=HF；

【分析】①根據角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45。，然后利用求出aABE是

等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AE=72AB,從而得到AE=AD,

然后利用"角角邊"證明^ABE和^AHD全等；從而判斷出①正確；

②由①可得AB=BE=CD=HD,繼而證得NEDH=/EDC,然后由角平分線的性質，

證得②正確；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用"角邊角"證明△BEH

和△HDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；

④判斷出AABH不是等邊三角形，從而得到ABWBH,即ABWHF,得到④錯誤.

【解答】解：：在矩形ABCD中，AE平分NBAD,

，NBAE=NDAE=45°,

???△ABE是等腰直角三角形，

/.AE=>/2AB,

VAD=\/2AB,

，AE=AD,

在aABE和^AHD中，

rZBAE=ZDAE

-ZABE=ZAHD=90°，

kAE=AD

.,.△ABE^AAHD(AAS),故①正確；

，BE=DH,

；.AB=BE=CD=HD,

NADE=NAED=L(180°-45°)=67.5°,

2

ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

ZAED=ZCED,

VZC=90°,DH±AE,

NEDH=NEDC,

?..HE=CE；故②正確；

VAB=AH,

VZAHB=-k(180°-45°)=67.5°,

2

AZOHE=ZAHB=67.5°,

AZDHO=90°-67.5°=22.5°,

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,

AZEBH=ZOHD,

在aBEH和△HDF中，

rZEBH=Z0HD=22.5*

?BE=DH，

LZAEB=ZHDF=45*

.?.△BEH注△HDF(ASA),

，BH=HF,

即H是BF的中點；故③正確；

VAB=AH,NBAE=45°,

/.△ABH不是等邊三角形，

；.ABWBH,

??.即ABWHF,故④錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②③共3個.

故選：C.

【點評】此題屬于四邊形的綜合題.考查了矩形的性質、等腰直角三角形的性質、

等腰三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質.注意根據相等的度數求

出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵.

9.（2016秋?鄒城市校級月考）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE

±AC于點，連接DF,分析下列四個結論：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；

④S四邊形CDEF=GSAABF其中正確的結論有（）

2

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】①根據四邊形ABCD是矩形，BE±AC,可得NABC=NAFB=90°,又NBAF=

NCAB,于是△AEFs^CAB,故①正確；

②根據點E是AD邊的中點，以及AD〃BC,得出△AEFs^CBF,根據相似三角

形對應邊成比例，可得CF=2AF,故②正確；

③過D作DM〃BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=L

2

BC,得到CN=NF,根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故③正確；

④根據△AEFs/^CBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據此求出SA

AEF=—SAABF>SAABF=—S矩形ABCD，可得s四邊形CDEF二SAACD-SAAEF=-^-S矩形ABCD，即可得到

2612

s四邊形CDEF=—SAABF?故④正確.

2

【解答】解：如圖，過D作DM〃BE交AC于N,交BC于M,

,?,四邊形ABCD是矩形，

.?.AD〃BC,ZABC=90°,AD=BC,

，NEAC=NACB,

；BE，AC于點F,

，NABC=NAFE=90°,

/.△AEF^ACAB,故①正確;

：AD〃BC,

.,.△AEF^ACBF,

?AE-AF-l

*,BCFCT

?；AE」AD=LBC,

22

?AF-l

CF2

；.CF=2AF,故②正確;

：DE〃BM,BE〃DM,

???四邊形BMDE是平行四邊形,

.,.BM=DE」BC,

2

.?.BM=CM,CN=NF,

：BE，AC于點F,DM//BE,

.*.DN±CF,

ADN垂直平分CF,

/.DF=DC,故③正確;

,/△AEF^ACBF,

?EF_AE_1

*,BFBCT

?'?SAAEF=—SAABF>S^ABF=Ls矩形ABCD，

26

SAAEF=-^-S矩形ABCD，

12

X***S四邊形CDEF=S^ACD-SAAEF=—S矩形ABCD一2"S矩形ABCD=-^"S矩形ABCD，

21212

?,*s四邊形CDEF=±-SAABF，故④正確；

2

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的

性質，圖形面積的計算的綜合應用，正確作出輔助線是解題的關鍵.解題時注意，

相似三角形的對應邊成比例.

10.(2015?常州模擬)已知點D與點A(0,6),B(0,-4),C<x,y)是平行

四邊形的四個頂點，其中x,y滿足3x-4y+12=0,則CD長的最小值為()

A.10B.2/7C.旭D.4

5

【分析】如圖所示，根據平行四邊形的性質可知：對角線AB、CD互相平分，可

得CD過線段AB的中點M,即CM=DM,根據A與B坐標求出M坐標，要求CD

的最小值只需求出CM的最小值即可.

【解答】解：根據平行四邊形的性質可知：對角線AB、CD互相平分，

...CD過線段AB的中點M,即CM=DM,

VA(0,6),B(0,-4),

：.M(0,1),

???點到直線的距離垂線段最短，

.?.過M作直線的垂線交直線于點C,此時CM最小，

直線3x-4y+12=0,令x=0得到y=3；令y=0得至Ux=-4,即F(-4,0),E(0,

3),

，OE=3,OF=4,EM=2,EF=7OE2+OF^5,

VAEOF^AECM,

?CM_EHmCM_2

??~,IANn—y

OFEF45

解得：CM=旦，

5

則CD的最小值為Al.

5

故選c.

【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質，以及坐標與圖形性質，熟練掌握

平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵.

11.（2015?泰安模擬）如圖，邊長一定的正方形ABCD,Q為CD上一個動點，

AQ交BD于點M,過M作MNLAQ交BC于點N,作NP±BD于點P,連接NQ,

下列結論：①AM=MN；②MP」BD；③BN+DQ=NQ；④度坦L為定值.其中一定

2BM

成立的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由題可知A,B,N,M四點共圓，進而可得出NANM=/NAM=45。，由

等角對等邊知，AM=MN,故①正確；

由同角的余角相等知，NHAM=NPMN,所以Rt^AHM空Rt^MPN,即可得出結

論，故②正確；

先由題意得出四邊形SMWB是正方形，進而證出△AMS^^NMW,因為AS=NW,

所以AB+BN=SB+BW=2BW,而BW：BM=1：\[2,所以空受1=三=\歷，故④正確.

BHV2

因為NBAN+NQAD=NNAQ=45。，在NNAM作AU=AB=AD,且使/BAN=/NAU,

NDAQ=NQAU,J^LUAABN^AUAN,ADAQ^AUAQ,有NUAN=/UAQ=90°,

BN=NU,DQ=UQ,即可得出結論，故③正確；

【解答】解：如圖：作ALUNQ于U,連接AN,AC,

VZAMN=ZABC=90",

...A,B,N,M四點共圓，

，NNAM=NDBC=45°,NANM=NABD=45°,

AZANM=ZNAM=45°,

由等角對等邊知，AM=MN,故①正確.

由同角的余角相等知，NHAM=NPMN,

I.RtAAHM^RtAMPN

，MP=AH=LAC=LBD,故②正確，

22

VZBAN+ZQAD=ZNAQ=45°,

??.三角形ADQ繞點A順時針旋轉90度至ABR,使AD和AB重合，在連接AN,

證明三角形AQN0ANR,得NR=NQ

則BN=NU,DQ=UQ,

??.點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正確.

如圖，作MSLAB,垂足為S,作MWLBC,垂足為W,點M是對角線BD上的

點，

四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW,

.,.△AMS^ANMW,

，AS=NW,

，AB+BN=SB+BW=2BW,

VBW：BM=1：

.?.空型L=_^=及，故④正確.

BMV2

故選D.

【點評】本題利用了正方形的性質，四點共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三

角形的性質，全等三角形的判定和性質求解.

12.（2015春?和平區期末）如圖，在邊長為6a的正方形ABCD中，E是AB邊

上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG,連接EG,過點C作EG的垂線CH,垂

足為點H,連接BH,BH=8.有下列結論：

①NCBH=45。；②點H是EG的中點；③EG=4國；④DG=2日

其中，正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】連接CG,作HFLBC于F,HOLAB于O,證明^CBE話4CDG,得到△

ECG是等腰直角三角形，證明NGEC=45。，根據四點共圓證明①正確；根據等腰

三角形三線合一證明②正確；根據等腰直角三角形的性質和勾股定理求出EG的

長，得到③正確；求出BE的長，根據DG=BE,求出BE證明④正確.

【解答】解：連接CG,作HFLBC于F,HOLAB于O,

在4CBE和4CDG中，

rCE=CD

'ZCBE=ZCDG,

、BE=DG

/.△CBE^ACDG,

AEC=GC,ZGCD=ZECB,

VZBCD=90°,

AZECG=90°,

/.△ECG是等腰直角三角形，

VZABC=90°,ZEHC=90°,

.?.E、B、C、H四點共圓，

AZCBH=ZGEC=45°,①正確;

VCE=CG,CHLEG,

...點H是EG的中點，②正確;

VZHBF=45°,BH=8,

.-.FH=FB=4(2,又BC=6&,