目錄

8字模型與飛鏢模型..................................................2

角平分線四大模型...................................................12

截長補短輔助線模型.................................................22

手拉手模型.........................................................30

三垂直全等模型.....................................................37

中考復習專題（將軍飲馬問題題型歸納）.................................46

螞蟻行程...........................................................52

中點四大模型.......................................................60

半角模型...........................................................76

相似模型...........................................................83

圓中的輔助線......................................................110

第十二章輔助圓...................................................121

幾何秘籍

1

8字模型與飛鏢模型

模型1:角的8字模型

如圖所示，AC.30相交于點。，連接AD、BC.結論：NA+NO=NB+

ZC.

模型分析

證法一：

???/408是4/100的外角，；?/4+/0=/40艮???NA03是△B0C的外角,

.e.ZB+ZC=ZAOB.：.ZA+ZD=ZB+ZC.

證法二：

VZ>4+ZD+ZA0D=180°,,NA+NO=180。-NAO。.VZB+ZC+

NBOC=180。，

???NB+NC=1800-N30c.又：NAO￡>=N8OC,/.ZA+ZD=ZB+ZC.

（1）因為這個圖形像數字8,所以我們往往把這個模型稱為8字模型.

（2）8字模型往往在凡何綜合題目中推導角度時用到.

模型實例

觀察下列圖形，計算角度：

（1）如圖①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=________；

CD

圖④

解法一：利用角的8字模型.如圖③，連接CD.???N80。是△80E的外角,

AZB+ZE=ZBOC.YNBOC是△COO的外角，JN1+N2=NBOC.

2

.,.ZB+ZE=Z1+Z2.（角的8字模型），Z.ZA+ZB+ZACE+ZADB+

NE

=ZA+ZACE+ZADB-\-Z1+Z2—ZA+ZACD+ZADC^180°.

解法二：如圖④，利用三角形外角和定理.YNl是△/CE的外角，，N1=NC

+NE.

???N2是△GBO的外角，???/2=N8+NO.

???ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=ZA+Z1+Z2=180°.

（2）解法一：

如圖⑤，利用角的8字模型.???N4OP是aAOB的外角，???/A+NB=NAOP.

TNAOP是△OPQ的外角，???N1+N3=N4OP....NA+N8=N1+N3.①

（角的8字模型），同理可證：ZC+ZD=Z1+Z2.②，ZE+ZF=Z2

+N3.③

由①+②+③得：N4+NB+NC+NO+NE+NF=2（Z1+Z2+Z3）=

360°.

解法二：利用角的8字模型.如圖⑥，連接〈NAOE是△AOB的外角，

/.ZA-\-ZB=ZAOE.???N4OE是△OEO的外角，，Nl+N2=NAOE.

???N4+NB=N1+N2.（角的8字模型）

JNA+NB+NC+NADC+NFEB+ZF=Z1+N2+NC+ZADC+NFEB

+ZF

=360°.（四邊形內角和為360°）

練習：

AZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=Z1+Z2+ZE=1800.故答案為：180。

解法二：

3

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(1)180,.

提示：如圖，連接?！?

Z.C+/C3Z.1+Z.2.(8字模型)

乙CAD+乙B+LC+乙ADB+乙BEC

=乙BEC+乙BDA?乙1+￡2

=18(r.

(2)如圖②，求：NCAD+/B+NACE+N￡>+NE=

圖②

解：由三角形的外角性質，知NBAONE+NACE,NEAD=/B+ND,

又???NBAC+NCAD+NEAD=180°,,NG4O+N5+NACE+NO+NE

=180°

解法二：

(2)180*.

提示：如圖，連接DE.

，4CE+Z.C3ZJ+，2.(8字模型)

乙CAD+乙B+LACE+LADB+LBEC

=?(BEC+乙BDA+乙1?乙2

=18(T.

2.如圖，求：ZA4-ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

4

E

D

H

解：/NG+ND=N3,ZF+ZC=Z4,ZE+ZH=Z2,

???ZG+ZD+ZF+ZC+ZE+ZH=Z3+Z4+Z2,

VZB+Z2+Z1=18O°,Z3+Z5+ZA=180°,AZA+ZB+Z2+Z4+Z3=360°,

NA+NB+NC+ND+NE+NF-NG+NH=360°

解法二：

答案：36（r,

提示：如圖，連接GH,CD.

乙E+乙3=乙1?乙2.（8字模型）

4/+乙尸=43+44.（8字模型）

（4+乙FCH.乙4的LE+&F+乙DGB+LEHC

=ZJ+Z2+N3.△4?iGDA+乙FCH.LDGB+LEHC

=360-.（四邊形內角和%0*）

模型2：角的飛鏢模型

如圖所示，有結論：ZD=ZA+ZB+ZC.

模型分析

解法一：如圖①，作射線AD

???/3是△A3。的外角，???N3=NB+N1,???N4是△ACQ的外角，???N4=N

C+N2

AZBDC=Z3+Z4,ZBDC=Z5+Z1+Z2+ZC,,NBOC=N8AC+

NB+NC

5

解法二：如圖②，連接BC.

VZ2+Z4+ZD=180°,.'./￡）=180°-（N2+N4）

???N1+N2+N3+N4+NA=18O°,/.ZA+Z1+Z3=180°一（N2+N4）

JNO=NA+N1+N3.

（1）因為這個圖形像飛鏢，所以我們往往把這個模型稱為飛鏢模型.

（2）飛鏢模型在幾何綜合題m中推導角度時使用.

模型實例

如圖，在四邊形ABC。中，AM.CM分別平分ND4B和NZ）C8,AM與CM交

于M,探究N4MC與N8、/￡）間的數量關系.

解答：利用角的飛鏢模型

如圖所示，連接。M并延長...?/3是△AMO的外角，???N3=N1+NAOM,

???/4是△CMQ的外角，???N4=/2+NCZ）M,丁N4MC=N3+N4

???ZAMC=Z1+ZADM+NCQM+Z2,ZAMC=Z1+Z2+ZADC.（角

的飛鏢模型）

,：AM.CM分別平分ND4B和NOC8,?,./1=幺絲，/2=幺2，

22

./BADNBCD,360°-（Z5+Z.ADC}/皿、』“

..ZAMC=-------+——+ZA￡X?,..Z.AMC^------------------------L^（四邊形

222+ADC

內角和360°）,/.Z4^C=360°-Zg+ZADC,A2ZAMC+ZB-Z/lDC=360o.

2

練習：

1.如圖，求NA+NB+NC+ND+NE+NF=.

6

A

C

E

【答案】230°

提示：ZC+ZE+ZD=ZE0C=115°.（飛鏢模型），ZA+ZB+ZF=ZBOF=115°.

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=115o+115o=230°

2.如圖，求NA+NB+NC+ND=.

【答案】220°

提示：如圖所示，連接BD.

ZAED=ZA+Z3+Z1,NBFON2+N4+NC,

ZA+ZABF+ZC+ZCDE=ZA+Z3+Z1+Z2+Z4+ZC=ZAED+ZBFC=220°

模型3邊的“8”字模型

如圖所示,AC、BD相交于點0,連接AD、BC.結論AC+BDMD+BC.

模型分析

?.?0A+0D>AD①,OB+OOBC②，由①+②得：OA+OD+OB+OOBC+AD

即：AC+BD>AD+BC.

7

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模型實例

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0。

求證：(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD；

(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.

證明：(1)VAB+BOAC?,CD+AD>AC②，AB+AD>BD③，BC+CD>BD④

由①+②+③+④得：2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).即

AB+BC+CD+AD>AC+BD.

(2)VAD<0A+0D?,BC<0B+0C(2),由①+②得：AD+BC<0A+0D+0B+0C.

???AD+BC<AC+BD.(邊的8字模型)，同理可證：AB+CD〈AC+BD.

.*.AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.

模型4邊的飛鏢模型

如圖所示有結論：AB+AOBD+CD.

模型分析

如圖，延長BD交AC于點E。

VAB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,<AB+AOBE+EC.①，VBE+EC=BD+DE+EC,

8

DE+EOCD,ABE+EOBD+CD.②，由①②可得：AB+AOBD+CD.

模型實例

如圖，點0為三角形內部一點.

求證：(1)2(A0+B0+C0)>AB+BC+AC；

(2)AB+BC+AOAO-FBO+CO.

證明：(1)V0A+0B>AB?，OB+OOBC?,0C+0A>AC(3)

由①+②+③得：2(A0+B0+C0)>AB+BC+AC

⑵如圖,延長B0交AC于點E,

VABiAC=ADiAEiEC,ADiAE>BE,.*.ABiAOBEiEC.①

VBE+EC=B0+0E+EC,OE+EOCO,??.BE+EC>B0+C0,②

由①②可得：AB+AOBO+CO.③(邊的飛鏢模型)

同理可得：AB+BOOA+OC.@,BC+AOOA+OB.⑤

由③+④+⑤得：2(AB+BC+AC)>2(A0+B0+C0),即

AB+BC+AOAO+BO+CO.

1.如圖，在aABC中，D、E在BC邊上，且BD=CE。求證：AB+AOAD+AE.

【答案】

證法一；如圖①，將AC平移至BF,AD延長線與BF相交于點C,連接DF。

由平移可得AOBF,VAC//BF,AZACE=ZBFD,VBD=CE

AAAEC^AFDB,ADF=AE

如圖，延長AD交BF于點G,?.?AB+BF=AB+BG+GF.VAB+BG>AG,

???AB+BF>AG+GF①，TAG+GF=AD+DG+GF,VDG+GF>DF,

??.AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.(飛鏢模型)

AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.AB+AOAD+AE.

9

A

證法二：如圖②，將AC平移至DF,連接BF,則AODF,VAC/7DF,/.ZACE=

ZFDB.

VBD=CE,.?.△AEC^AFBD.ABF=AE.VOA+OD>AD?,OB+OF>BF?

由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF-AD.AAB+DF>BF+AD.（8字模型）

,AB+AC=AB+DF〉BF+AD=AE+AD.AB+AOAD+AE.

2.觀察圖形并探究下列各問題，寫出你所觀察得到的結論，并說明理由.

(1)如圖①，AABC中，P為邊BC一點，請比較BP+PC與AB+AC的大小，并說明

理由.

⑵如圖②，將(1)中的點P移至AABC內，請比較ABPC的盾長與aABC的周長

的大小，并說明理由.

(3)圖③將(2)中的點P變為兩個點片、P?,請比較四邊形8片8。的周長與4ABC

的周長的大小，并說明理由.

【答案】

(1)如圖①，BP+PCXAB+AC.

理由：三角形兩邊之和大于第三邊。(或兩點之間線段最短)

(2)ABPC的周長小于AABC的周長。

證明：如圖②，延長BP交AC于M。在4ABM中,BP+PM<AB+AM①

10

在△PMC中，PCXPM+MC②，由①+②得：BP+PCXAB+AC.

.二△BPC的周長小于AABC的周長。

(3)四邊形的周長小于AABC的周長。

證法一：如圖③，分別延長匹、C口交于M,由(2)知，BM+CM<AB+AC.

XVP}P2<P]M+P2Mf:.+P2C<BM+CM<AB+AC.

???四邊形。的周長小于ZkABC的周長.

證法二：如圖④，做直線62分別交AB、AC于M、No在△BM6中，84<BM+M6

①

在aAMN中，MR+18+6N<AM+AN②，在△gNC中，￡C<gN+NC③

由①+②+③得：???3月+《g+2C〈AB+AC..,?四邊形3[鳥。的周長小于AABC的

周長.

11

角平分線四大模型

模型1角平分線的點向兩邊作垂線

如圖，P是NMON的平分線上一點，過點P作PA_LOM于點A,PB_LON于點B,則

PB=PA

模型分析

利用角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構造模型，為邊相等、角相等、

三角形全等創造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口

模型實例

(1)如圖①，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,BC=6,BD=4,那么點D到直線

AB的距離是__________

解答：如圖，過點D作DE_LAB于點E,丁AD平分NCAB,...CD=DE.

VCB=6,BD=4,.\DE=CD=2,即點D到直線AB的距離是2.

(2)如圖②，Z1=Z2,Z3=Z4,求證：AP平分NBAC

12

證明：如圖，過點P作PDJ_AB于點D,PEJ_BC于點E,PF_LAC于點E

VZ1=Z2,???PD=PE,：N3=/4,??.PE=PF,APD=PF

又?.?PD_LAB,PF±AC,，AP平分NBAC（角平分線的判定）

練習

1、如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分NABC，

求證：ZBAD+ZBCD=180°

證明：作DE_LBC于E,作DF_LBA的延長線于F,/.ZF=ZDEC=90°.

???BD平分NABC,；?DF=DE,又?.?AD=DC,AADFA^DEC,AZFAD=ZC

NFAD+NBAD=180°,AZBAD+ZBCD=180°

2.如圖，AABC的外角NACDN的平分線CP與內角/ABC的平分線BP相交于點P,若

ZBPC=40°,則NCAP=.

13

解答：如圖所示，作PN_LBD于N,作PF_LBA,交BA延長線于F,作PM_LAC于M

TBP、CP分別是NCBA和NDCA的角平分線，,NABP=NCBP,NDCP=NACP,

PF=PN=PM,VZBAC=ZACD-ZABC,NBPC=NPCD-NPBC(外角性質)

.?.ZBAC=2ZPCD-2ZPBC=2(ZPCD-ZPBC)=2ZBPC=80°

AZCAF=1800-ZBAC=100%VPF=PM

，AP是NFAC的角平分線，???NCAP=NPAF=50。

模型2截取構造對稱全等

如圖，P是NMON的平分線上的一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=

OA,連接PB,則△OPB04OPA

模型分析

利用角平分線圖形的對稱性，在鐵的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊，對應角相

等，利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧

模型實例

(1)如圖①所示，在AABC中，AD是ABAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意

一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由

14

P

BB

DD

解題：PB+POAB+AC

證明：在BA的延長線上取點E,使AE=AB,連接PE,TAD平分/CAE

AZCAD=ZEAD,在AAEP與AACP中，VAE=AB,ZCAD=ZEAD,

AP=AP,AAAEP^AACP(SAS),.\PE=PC

「在APBE中：PB+PE>BE,BE=AB+AE=AB+AC,APB+POAB+AC

（2）如圖②所示，AD是△ABC的內角平分線，其它條件不變，試匕較PC—PB與AC一

AB的大小，并說明理由

解答：AC-AB>PC-PB

證明:在aABC中，在AC上取一點E,使AE=AB,AAC-AE=AB-AC=BE

「AD平分NBAC,AZEAP=ZBAP,在AAEP和4ACP中

/.△AEP^AABP(SAS),.\PE=PB,二?在4CPE中

CE>CP-PE,AAC-AB>PC-PB

練習

I.已知，在AABC中，NA=2/B,CD是NACB的平分線，AC=16,AD=8,

求線段BC的長

15

解：如圖在BC邊上截取CE=AC,連結DE,在4ACD和4ECD中

AC-EC

-NACD=/ECD

CD=CD

/.△ACD^AECD(SAS)

???AD=DE，ZA=Z1,VZA=2ZB,/.Z1=2ZB,

VZ1=ZB+ZEDB,???NB=NEDB,

，EBB=ED,???EB=DA=8,BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24

2.在aABC中，AB=AC,NA=108o,BD平分NABC,

求證：BC=AB+CD

A△ABD^AEBD(SAS),/.ZDEB=ZA=108°,AZDEC=180°-108°=72°

VAB=AC,AZC=ZABC=1(180o-IO8°)=36°,AZEDC=72°,

AZDEC=ZEDC,ACE=CD,，BE+CE=AB+CD,ABC=AB+CD

3.如圖所示，在aABC中，NA=l(X)o,NABC=4()o,BD是NABC的平分線，延長BD至E,

使DE=AD,求證：BC=AB+CE

證明：在CB上取點F,使得BF=AB,連結DF,〈BD平分/ABC,BD=BD

AAABD^AFBD,/.DF=AD=DE,ZADB=ZFDB,，BD平分NABC

ANABD=20°,則ZADB=180°-20°-100°=60°=ZCDE

ZCDF=180°-ZADB-ZFDB=60°,AZCDF=ZCDE,在ACDE和ACDF中

16

DE=DF

<乙CDF=4CDE

CD=CD

AACDE^CDF,ACE=CF,，BC=BF+FC=AB+CE

模型3角平分線+垂線構造等腰三角形

如圖，P是NMON的平分線上一點，AP1.0P于P點，延長AP交ON于點.B,則^AOB是

模型分析

構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一“，也可以得到兩個全等的直角三角形.進而得

到對應邊.對應角相等.這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系了起來.

模型實例

如圖.己知等腰直角三角形ABC中，NA=90。,AB二AC,BD平分NABCCLhBD.垂足為E.

求證：BD=2C￡.

解答：如圖，延長CE、BA交于點F,???CE_LBD于E,NBAC=90。，???NBAD=NCED.

JNABD二NACF.又〈AB二AC,ZBAD=ZCAF=90°,AAABD^AACF,/.BD=CF.

???BD平分NABC,???NCBE二NFBE.XBE=BE,AABCE^ABFE.

ACE=EF.ABD=2CE.

練習

1.如圖.在AABC中.BE是角平分線.AD_LBE.垂足為D.求證：Z2=Z1+ZC.

17

A

2

E2￡

/\//D\\

/。；

///?\

BCF

證明：延長AD交BC于F,VAD1BE,/.ZADB=ZBDF=90°,VZABD=ZFBD,

???Z2=ZBFD.VZBFD=ZI+ZC,/.Z2=Z1+ZC.

2.如圖.在△ABC中.ZABC=3ZC,AD是NBAC的平分線,BE±AD于點E.

求證:8E=g(AC—A8).

(2)證明:延長BE交AC于點F.VAD為NBAC的角平分線,，ZBAD=ZCAD.VAE=AE,

???NBAE:NFAE,則△AEBdAEF,AAB=AF.BE=EF,Z2=Z3./.AC-AB=AC-AF=FC.

VZABC=3ZC,AZ2+Zl=Z3+Zl=Zl+ZC+Zl=3ZC.r.2Zl=2ZC

即N1=NC.??BF=F0=2BE.，=FC=AC-AB)

模型4角平分線+平行線

模型分析

有角平分線時.常過角平分線上一點作角的一邊的平行線.構造等腰三角形.為證明結論提供

更多的條件.體現了用平分線與等腰三角形之間的密切關系.

模型實例

解答下列問題:

18

(1)如圖①.△ABC中，EF〃BC,點D在EF上,BD、CD分別平分NABC、NACB.寫出線段

EF與BE、CF有什么數量關系？

(2)如圖②，BD平分NABCCD平分外角NACG.DE//BC交AB于點E,交AC于點F,線段

EF與BE、CF有什么數量關系？并說明理由.

(3)如圖③，BD、CD為外角NCBM、NBCN的平分線，DE//BC交AB延長線于點E.交AC

延長線于點F,直接寫出線段EF與BE、CF有什么數關系？

解答：⑴：EF//BC,，/EDB=/DBC.，BD平分/EBC,???NEBD=NDBC=EDB.；?EB=ED.

同理：DF=FC.AEF=ED+DF=BE-CF.

⑵圖②中有EF=BE=CF,BD平分NBAC,???NABD二NDBC.又DE//BC、AZEDB=ZDBC.

???DE二EB.同理可證：CF=DFAEF=DE-DF=BE-CF.

(3)EF=BE+CF.

19

練習

1.如圖.在4ABC中,NABC和NACB的平分線交于點E.過點E作MN〃BC交AB于M點.

交AC于N點.若BM+CN=9,則線段MN的長為:

解答：VZABC.NACB的平分線相交于點E,，MBE二NEBC,ZECN=ZECB.VMN//BC,

???NEBONMEB,ZNEC=ZECB.AZMBE-ZMEB,ZNEO=ZECN.ABM=ME,EN=CN.

:.MN=ME+EN,即MN=BM+CN.VBM+CN=9,:.MN=9.

2.如圖.在AABC中,AD平分NBAC.點E、F分別在BD,AD上,EF〃AB.且DE=CD,求證：

EF=AC.

證明：如圖，過點C作CM〃AB交AD的延長線于點M「??AB〃EF,；.CM〃EF..?.N3=/4.

VDE=CD,Z5=Z6,AADEF^ADCM.AEF=CM.VAB//CM,/.Z2=Z4.VZ1=Z2,

AZ1=Z4.:.CM=AC.AEF=AC

3.如圖.梯形ABCD中,AD〃BC,點E在CD上，且AE平分NBAD.BE平分NABC.求證：

AD=AB-BC.

證明：延長AD、8￡交于點b??飛口〃8。???/2=/~???/1=/2,???/1=/~???人8=人尼

20

VAE2f分NBAD.'.BE=EF.???ZDEF=ZCEB,

...ADEF^ACEB./.DF=BC./.AD=AF-DF=AB-BC.

21

截長補短輔助線模型

模型：截長補短

ABCD

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF

II

EF=AB+CD,可以考慮截長補短法.

①

III截長法：如圖②，在EF上板取EG=AB,再證

EGF

②明GF=CD即可.

補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD,

ABH

③再證明AH=EF即可.

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系.截長，指在長線端中截取

一段等于已知的線段；補短，指將一條短線端延長，延長部分等于已知線段.該

類題目中常出現等腰三角形、角平分線等關鍵詞句，可以采用截長補短法構造全

等三角形來完成證明過程.

模型實例

例1：如圖，己知在4ABC中，ZC=2ZB,N1=N2.求證：AB=AC+CD.

證法一，截長法：

如圖①，在AB上取一點E,使AE=AC,連接DE.

???AE=AC,Z1=Z2,AD=AD,

/.△ACD^AAED,

ACD=DE,NC=N3.

???ZC=2ZB,

AZ3=2ZB=Z4+ZB,

AZ4=ZB,

/.DE=BE,

ACD=BE.

???AB=AE+BE,

，AB=AC+CD.

圖②

證法二，補短法：

如圖②，延長AC到點E,使CE=CD,連接DE.

VCE=CD,???N4=NE.

???/3=N4+NE,???N3=2/E.

VZ3=2ZB,???NE=NB.

VZ1=Z2,AD=AD,

/.△EAD^ABAD,AAE=AB.

又?.，AE=AC+CE,

A/.AB=AC+CD.

例2：如圖，已知OD平分NAOB,DC_LOA于點C,NA=/GBD,求證：AO

+BO=2CO.

證明：在線段AO上取一點E,使CE=AC,連接DE.

!3

VCD=CD,DC10A,

/.△ACD^AECD,

JNA=NCED.

VZA=ZGBD,

AZCED=ZGBD,

A180°-ZCED=180°-ZGBD,

???NOED=NOBD.

TOD平分/AOB,

???NAOD=NBOD.

VOD=OD,

AAOED^AOBD,

AOB=OE,

AAO+BO=AO+OE=OE+2CE+OE=OE+CE+OE+CE=2(CE+OE)=

2CO.

跟蹤練習

1.如圖，在△ABC中，ZBAC=60°,AD是NBAC的平分線，且AC=AB+

BD.求NABC的度數.

【答案】

證法一：補短

延長AB到點E,使BE=BD.在4BDE中,

???BE=BD,???NE=NBDE,

工NABC=ZBDE+NE=2/E.

又：AC=AB+BD,

???AC=AB+BE,/.AC=AE.

E

24

VAD是NBAC的平分線，ZBAC=60°,

...NEAD=NCAD=60"2=30°.

YAD=AD,

AAAED^AACD,.\ZE=ZC.

VZABC=2ZE,.\ZABC=2ZC.

VZBAC=60°,

???ZABC+ZC=18O0-6O°=12O0,

/.-ZABC=12O0,AZABC=80°.

2

證法二：在AC上取一點E使AF=AB,連接DF.

YAD是NBAC的平分線，

AZBAD=ZFAD.

,.?AD=AD,

AABAD^AFAD,

AZB=ZAFD,BD=FD.

VAC=AB+BD,AC=AF+FC

???FD=FC,AZFDC=ZC.

???NAFD=NFDC+NC,

???NB=NFDC+NC=2NC.

VZBAC+ZB+ZC=180°,

A-ZABC=120°,AZABC=80°.

2

2.如圖，在△ABC中，ZABC=60°,AD、CE分別平分NBAC、ZACB.求證:

AC=AE+CD.

【答案】如圖，在AC邊上取點F,使AE=AF,連接OF.

25

???ZABC=60°,:.ZBAC+ZACB=180O-NABC=120°.

TAD,CE分別平分NBAC,NACB,

???NOAC=NOAB=5^￡,ZOCA=ZOCB=5^,

22

???ZAOE=ZCOD=ZOAC-ZOCA=?gAC?ACg=60°,

2

???ZAOC=180°-NAOE=120°.

???AE=AF,ZEAO=ZFAO,AO=AO,

.,.△AOE^AAOF(SAS),

.*.ZAOF=ZAOE=60°,

???ZCOF=ZAOC-ZAOF=60°,

AZCOF=ZCOD.

VCO=CO,CE平分NACB,

??.△COD絲△COF(ASA),

???CD=CF.

VAC=AF+CF,

，AC=AE+CD,

3.如圖，ZABC+ZBCD=180°,BE、CE分別平分NABC、NDCB.求證：AB

+CD=BC.

【答案】證法一：截長

如圖①，在BC上取一點E使BF=AB,連接EF.

VZ1=ZABE,BE=BE,

.,.△ABE^AFBE,???N3=N4.

VZABC+ZBCD=180°,

BE、CE分別平分NABC、ZDCB,

26

AZ1+Z2=1ZABC+-ZDCB

22

=LX180°=90°,

2

AZBEC=90°,

AZ4+Z5=90°,N3+N6=90°.

VZ3=Z4，???N5=N6.

VCE=CE,N2=/DCE,

AACEF^ACED,：.CF=CD.

VBC=BF+CF,AB=BF,；.AB+CD=BC

證法二：補短

如圖②，延長BA到點F,使BF=BC,連接

VZ1=ZABE,BE=BE,

AABEF^ABEC,

，EF=EC,NBEC=NBEF.

VZABC+ZBCD=18O0,

BE、CE分別平分NABC、ZDCB,

AZ1+Z2=1ZABC+-ZDCB

22

=lx18O°=9O0,

2

.*.ZBEC=90°,

.?.ZBEF=ZBEC=90°,

/.ZBEF+ZBEC=180°,

???C、E、F三點共線.

VAB//CD,???NF=NFCD.

???EF=EC,NFEA=NDEC,

AAAEF^ADEC,

AAF=CD.

VBF=AB+AF,

，BC=AB+CD.

27

4.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AD平分NBAC交BC于D,NC=30°,

BE_LAD于點E.求證：AC—AB=2BE.

【答案】延長BE交AC于點M.

VBE1AD,???NAEB=NAEM=900.

VZ3=90°-Zl,Z4=90°-Z2,N1=N2,

，N3=N4,，AB=AM.

VBE±AE,，BM=2BE.

VZABC=90°,ZC=30°,

AZBAC=60°.

VAB=AM,AZ3=Z4=60°,

???N5=900-N3=30°,

，N5=NC,???CM=BM,

AAC-AB=CM=BM=2BE.

5.如圖，RtAACB中，A=BC,AD平分NBAC交BC于點D,CE±AD交AD

于點F,交AB于點E,求證：AD=2DF+CE.

【答案】在AD上取一點G,使AG=CE,連接CG.

VCE±AD,

.?.ZAFC=90°,Zl+ZACF=90°.

VZ2+ZACF=90°,AZ1=Z2.

28

VAC=BC,AG=CE,A

AAACG^ACBE,，N3=/B=45。,

Z2+N4=90°—N3=45°.

VZ2=Z1=1ZBAC=22.53,

2

???N4=450-N2=22.5°,

???Z4=Z2=22.5°.

又??，CF=CF,DG_LCF,

.'.△CDF^ACGF,???DF=GF.

VAD=AG+DG,???AD=CE+2DF.

6.如圖，五i力形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,NB+NE=180°.求

證：AD平分NCDE.

【答案】如圖，延長CB到點F,使BF=DE,連接AF、AC.

VZ1+Z2=18O°,ZE+Z1=18O°,AZ2=ZE.

VAB=AE,N2=NE,BF=DE,

AAABF^AAED,AZF=Z4,AF=AD.

VBC+DE=CD,???BC+BF=CD,即FC=CD.

又?.?AC=AC,AAACF^AACD,

:.ZF=Z3.

VZF=Z4,

AZ3=Z4,

???AD平分/CDE.

29

手拉手模型

模型手拉手

圖②圖③

如圖，阿是等腰三角形、△/應是等腰三角形，AB=ACfAD=AEtNBAC

=Z.DAE=a.

結論：連接劭、CE,則有△為屋△勿￡

模型分析

如圖①，

ZBAD=ZBAC-ZDACfZCAE=ZDAE-ZDAC.

???ZBAC=ZDAE=a,

：.ZBAD=ZCAE.

在△胡