初中數學“軸對稱”

教材版本：人民教育出版社八年級上冊數學第十三章軸對稱

正寧縣山河初中李小/p>

目錄

一、單元目標.........................................4

二、數學分析...................................4

2.1軸對稱在初中數學中的地位.....................4

2.2軸對稱知識貫穿于學生學習的各個階段...........5

2.3軸對稱的數學教育價值.........................5

三、標準分析.........................................7

四、教材分析...................................8

4.1課標教材與大綱教材的對比.....................8

4.2課標各種版本《軸對稱》目錄對比................12

五、學情分析...................................22

5.1學生現有的知識經驗...........................22

5.2學生現階段的學習特點........................23

5.3學生在軸對稱學習中常見的知識錯誤.............23

六、重點分析...................................23

七、教法分析...................................24

7.1滲透一些廣義對稱的理解：美學、哲學的滲透.........25

7.2注意聯系實際，讓學生經歷觀察、實驗、歸納、論證的過程25

7.3慎用現代化手段.....................................25

7.4加深對數學教學本質的基本看法的研究，領會教材編寫意圖26

7.5處理好過程與結果的關系.........................26

7.6滿足學生多樣化的學習需求..................26

7.7注意讓學生經歷觀察實驗歸納論證的過程........27

八、具體的教學計劃與課時分配.......................28

九、本單元教學案例.........................................29

9.1《§13.3.2等腰三角形》教學設計明及說明..............29

十、評價分析..........................................52

10.1過程性評價和知識技能性評價相結合..............52

10.2診斷性、形成性、總結性評價相結合..............53

十一、單元教學設計反思.....................................54

十二、參考文獻..........................................55

初中數學“軸對稱”單元教學設計

一、單元目標

1.通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本

性質，理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質；

2.探索簡單圖形之間的軸對稱關系，按照要求作出簡單圖形經

過一次或兩次軸對稱后的圖形,能利用軸對稱進行簡單的圖案設計；

3.了解線段垂直平分線的概念，探索并掌握其性質；了解等腰

三角形、等邊三角的有關概念，探索并掌握它們的性質以及判定方法;

4.能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現象及解決簡單的

實際問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發展空間觀

念，激發學習空間與圖形的興趣。體會圖形的變化在解決最值問題中

的作用，感悟轉化思想。

二、數學分析

2.1軸對稱在初中數學中的地位：

軸對稱《在義務教育數學課程標準2011版》對圖形和幾何內容

分析如下：圖形與幾何課程內容，以發展學生的空間觀念、幾何直觀、

推理能力為核心展開，主要包括：空間和平面基本圖形的認識，圖形

的性質、分類和度量；圖形的平移，旋轉、軸對稱，相似和投影；平

面圖形的基本性質的證明；物體和圖形的位置及運動的描述，運用坐

標描述圖形的位置和運動。軸對稱一一建立不同幾何圖形之間的聯系

的重要途徑。

(1)線、角等基本圖形與軸對稱的聯系。

（2）平行（主要是平移）與軸對稱的聯系。

引入軸對稱的知識，使得我們可以從圖形變換的角度重新認識平

移，把平移納入圖形變換，形成新的研究幾何的體系中。

（3）軸對稱與全等三角形之間的聯系。

引入軸對稱知識，使得我們可以從軸對稱的角度再認識有關全等

三角形的問題，體會用全等三角形來研究經過一次軸對稱變換后的圖

形與原圖形之間的關系的作用.建立兩者的聯系，可以加強軸對稱等

知識的運用，可以為圖形之間的圖形變換提供除平移之后的第二種變

換方式---軸對稱。

2.2軸對稱知識貫穿于學生學習的各個階段

《軸對稱》是人教版八年級上冊第十三章的內容，它與現實生活

聯系緊密，軸對稱的知識在小學已有初步的滲透，在初中階段，它不

但與圖形的三種運動方式（平移、翻折、旋轉）中的翻折有著不可分

割的聯系。本套教材在不同階段安排了圖形變換的內容：第五章相

交線與平行線一5.4平移（七年級下），第十二章軸對稱（八年級

上），第二十三章旋轉（九年級上）。

2.3軸對稱的數學教育價值

2.3.1有利于對學生數學審美意識的培養，激發數學學習興趣。

通過軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的學習以及動手操作，讓學

生關注生活，學會觀察，增強交流。激發學生學習欲望，主動參與數

學學習活動中，體會圖形的美，同時感悟數學來源于生活又用于生活。

通過觀察、實驗、猜測、驗證與交流等數學活動，初步形成數學學習

的方法，在探索關于X軸，y軸對稱的點的坐標的規律時，發展學生

數形結合的思維意識。數形結合，有利于學生分析題中數量之間的關

系，豐富表象、引發聯想、啟迪思維、拓寬思路、迅速找到解決問題

的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數形結合思想教

學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。

2.3.2有利于培養學生的圖形變換能力，提高圖案設計水平。

在我們生活的現實世界中，充滿了許多軸對稱的現象，如生活中

許多圖形的設計等.通過實際操作，認真體驗的過程，發展學生空間

思維，并從實踐中體會軸對稱變換在實際生活中的應用。感悟數學的

應用價值，能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化

在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想，學習軸對稱這些都有助于

學生在數學學習的活動中，培養學生的應用意識和探究精神，養成良

好的思維品質，鍛煉克服困難的意志。

2.3.3有利于數學思想方法的滲透，提高學生空間想象能力。

軸對稱在生活中用處很大。教學中存在著大量的、有趣的實踐活

動，例如要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站

應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？解決問題的

方法，滲透著數學思想、方法，在活動中獲得成功體驗.因此，中學

數學軸對稱的教學，有利于培養學生的動手實踐能力，更有助于學生

數學學習興趣的培養。通過學習，學生可以認識到數學與其它學科

的緊密聯系，可以進一步地體會到“數學來源于生活，又服務于生活”

的數學觀.用軸對稱知識解決相應的數學問題。

三、標準分析

《軸對稱》與現實生活聯系緊密，在小學已有初步的滲透，初中

階段，它既是前面全等三角形概念的拓展與延伸，又是圖形全等的具

體應用，是與平移、旋轉等相關聯的又一種圖形變換方式，也是今后

研究等腰三角形、特殊四邊形等圖形性質的重要依據和基礎。“軸

對稱為培養幾何直觀和幾何觀念提供新的角度和方法，實現以多種途

徑發展學生的空間觀念的構想；作為《數學課程標準》規定的四個內

容領域之一，“空間與圖形”主要研究現實世界中物體和幾何圖形的

形狀、大小、位置關系及其變換。軸對稱為培養幾何直觀和幾何觀念

提供新的角度和方法，實現以多種途徑發展學生的空間觀念的構想；

通常，幾何學家是按照集合的法則，通過在原圖形的點與新圖形（稱

為映象）的點之間建立一種對應關系來描述有關變換的概念的。如果

一個平面圖形的每一個點只對應于它在此平面內的映象中的一個點，

并且映象中的每一個點也只對應于原圖形中的一個點，這樣的對應就

叫做變換能夠保持圖形的大小和形狀不變的變換稱為保距變換。而只

改變圖形的大小，不改變圖形的形狀的變換稱為保角變換。平移變換、

旋轉變換和軸對稱變換：平移變換是最簡單的保距變換。如果原圖形

中的點都沿著平行的途徑運動一個恒等的距離而到達映象，這樣的變

換稱為平移。對平移來說，原圖形中所有的點到它的映象的距離彼此

相等。距離和方向是平移的兩個要件。軸對稱變換是第二種保距變換。

如果在一張紙上畫一個圖形，把一面平面鏡的末端放在紙上，并且在

鏡子里看到這個圖形，那么原圖形就被反射了。由反射產生一個圖形

的映象的過程，也叫軸對稱變換。反射由一條反射線所確定，反射線

也叫對稱軸。反射線是連接圖形中的任意一點與該點映象之間的所有

線段的垂直平分線.軸對稱圖形，也可以用反射來定義。如果一個圖

形的一部分被某一條直線反射后，得到的映象恰好等同于原圖形的其

余部分，這個圖形即被稱為軸對稱圖形。該直線叫做對稱軸。

通過具體實例了解軸對

理解線段垂直平稱的概念，探索它的基本性質;

分線的概念探索并

證明線段垂直平分線的性軸的對稱圖形；了解軸對稱圖形的

質定理及判定定理;了解等腰念探索等腰三角形的軸對稱性質;

三角形的概念探索并證明等認識并欣賞自然界和現實生活中的

腰三角形的性質定理及判定定軸對稱圖形；運用圖形的軸對稱

理，探索等邊三角形的性質定進行圖案設計。

強及判定定理；會利用基本作

圖作三角形:已知底邊及底直角坐標系中，

邊上的高線作等腰三角瓶以坐標軸為對稱軸，能寫出

一個已知頂點坐標的多邊形的

圖形的變化

才應頂點坐標之間的關

容

標

準LSI

71

四、教材分析

4.1課標教材與大綱教材的對比：借助圖形直觀了解和認識軸對

稱、軸對稱圖形的概念。（義務教育階段不可能也沒必要給出圖形變

換的嚴格定義）

?通過圖形的運動變化和具體的實例，探索了解軸對稱、

理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質；了解物體的

鏡面對稱。

?能按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次對稱后的

圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸。

?會用尺規作圖作線段的垂直平分線（了解作圖的道理，

保留作圖的痕跡），理解和掌握線段垂直平分線的兩個性質定

理。

-了解等腰三角形、等邊三角形的有關概念，探索并掌握

它們的軸對稱性及其相關性質。

?能運用軸對稱的知識解決簡單的問題。如（1）簡單的

極值問題（2）在等腰三角形中運用對稱簡單的圖形構造解決

幾何問題（3）圖形分割等。

?認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形，認識在

自然界和現實生活中的應用，激發學生答的學習興趣，感悟數

學美。

I2013版教材與舊教材的區

別梳理--------------------

.卜瓣W(U)

m11(3)

13,1.1iWi

鼾空翻

12」蹴，.

R2嬲楣醐伍2酈琳觥團

1221懶麻醐獻糊用物觸行醵冊

12.”牌球詢斕

13.3等昭就電'

鼠林朗昆麹魏

搬

12.3IKM

12.3.1SEB翅3前三輛中嶼做間解

翻嗷三冊等繇!

期與毓寸肺嶼胡徽囪igffi隨團|

艙雕稗繇

酵潮1

愉(2),I

—

■助發臉版新課程標裝

沏1課程標非‘

O圖形的變化二，酬與麻

1.醐的螂腌⑴部的輸.懶；

。通過具體實例認識輸對物S

⑴通過具體實例了糊魏的概

含探索它的基桃質；據對稱的它的基檻既理解對應點所連的用

兩個圖形中,對應點的殿被對雕鼬旗涮垂直平分的性質.

|垂直平分滲見例⑹.

②能嫩要求作出簡單平面圖眩經

陽，腕出簡孵而翻[氐線過一次或兩斕對稱后的圖膾探索

寬宜■角曜崩關干給定對麻簡單圖形之醐軸對和關苑并能指

出對價帆慘見例1]

⑶了解糊赫圖論的概念探索嬲索基本酬(等腰三角眼彷

等腰三角形、花豚菱形、正多邊形、形、菱豚等腰柿肛，正多邊形、圓

圓的獻雌質.的蝸■稱性及其相關性質.

I(4)認識賴賞自然界和現實生活④我賞現實生活中的獻標圖聯

中的物對稱圖形.造合現實生活中典型實

例了解荊欣賞物體的轅面對稱

利用軸對稱進行圖案設計.

4.2課標各種版本學習《軸對稱》的順序、以及目錄安排對比。

斜六章軸對稱和中心對稱

比1軸對掰

16.2線段的垂直平分

16,3角的平分線”

螺睛用q醯嶷貓熏熊津逑w?E^FXiw>

64巾心耐圖形3**

Ui；HiH'ngH-.?J'4??.i.!;!i,?'>'?；：y>p

‘；16.5利用醐的平梆誨和軸硼設計圖案

第五室生京中響一R玨

1觸又寸和王鳳泉

HPN蟀幸制又寸杵白勺，性唐

3詢單白勺制黃寸毛衣空I開2

4千」用制又寸卻進千亍工殳H

回/頁與思考

北師版教材與人教版的區別I

北師大版教材編人教版的編寫是

寫的特點是跳躍按傳統的邏輯體

式、螺旋上升的,系，體現了數學

習題簡單。學習的過程和規

律，習題靈活，

講究精講精練。

4.3教材內容解析

本章的主要內容是從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性

質，欣賞、體驗軸對稱在現實生活中的廣泛應用。在此基礎上，利用

軸對稱變換，探索等腰三角形的性質，學習它的判定方法，并進一步

學習等邊三角形.

軸對稱是現實生活中廣泛存在的一種現象，是密切數學與現實聯系的

重要內容。

整體把握本章內容

4.3.1.知識結構框圖

4.3.2.內容分析

本章的主要內容是從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性

質，欣賞、體驗軸對稱在現實生活中的廣泛應用。在此基礎上，利用

軸對稱變換，探索等腰三角形的性質，學習它的判定方法，并進一步

學習等邊三角形.軸對稱是現實生活中廣泛存在的一種現象，是密切

數學與現實聯系的重要內容。

13.1節“軸對稱”中，根據學生的生活經驗和數學活動經歷，

從觀察現實生活中的對稱現象開始，引出軸對稱圖形和圖形的軸對稱

的概念，從整體上概括出軸對稱的特征。結合探索對稱點的關系，歸

納得出對應點連線被對稱軸垂直平分的性質，并結合這一性質，討論

了線段垂直平分線的性質定理及其逆定理.

13,2節“軸對稱變換”中，通過觀察一系列的圖形，引出了軸

對稱變換并歸納其特征，通過作軸對稱圖形、簡單的圖案設計、確定

最短路線等活動，使學生進一步體會軸對稱的應用價值和豐富內涵。

用坐標表示軸對稱，從數量關系的角度刻畫了軸對稱變換。教科書從

觀察和實驗入手，歸納得出坐標平面上一個點關于x軸或y軸對稱的

點的坐標的規律，并進一步探討了如何利用這種規律在平面直角坐標

系中作出一個圖形關于x軸或y軸對稱的圖形.

13.3研究的是等腰三角形的相關知識.等腰三角形是一種特殊的

三角形，它除了具有一般三角形的所有性質外，還有許多特殊的性質.

由于它的這些特殊性質，使它比一般三角形應用更廣泛.等腰三角形

的許多特殊性質，都和它是軸對稱圖形有關.利用等腰三角形的軸對

稱性，得出了“等邊對等角”、“三線合一”等性質，并進一步討論了

等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質與判定方法的內容.

軸對稱的性質是本章的重點，軸對稱變換的應用，利用軸對稱設

計圖案，用坐標表示軸對稱等都是圍繞這一性質進行的.另外，等腰

三角形的性質和判定也是本章的重點，它們是證明線段和角相等的重

要根據，應用也比較廣泛。

對于一些有關等腰問題的證明，相對于前面全等的證明，推理的

依據多了，圖形、題目的復雜程度也增加了，因此會使一些學生感到

無處下手，這是本章教學的一個難點.

用坐標表示軸對稱

1.有整合“空間與圖形”領域的相關內容，利用變換研究圖形

的性質是本章編寫的主要特點。教材將等腰三角形的有關內容安排

在了“軸對稱”一章，這與以往安排在三角形全等不同.學生學完了

軸對稱的相關性質之后，利用軸對稱的有關知識研究等腰三角形的性

質，再利用三角形的全等的知識給以證明。

2.教材的三節中，共設計編排了4個觀察、7個探究、7個思考、

2個討論、3個歸納欄目，這些欄目設置既符合學生學習的認知特難

點，又為學生的自主學習與合作學習起到了導學的作用，教學中要充

分挖掘這些欄目的導學作用，即不包辦學生對這些問題的探究，又加

強引導與點撥，進而培養學生的分析、觀察、猜想、思考、推理能力。

3.聯系實際，引導學生經歷知識形成的過程。豐富多彩的圖形

世界給“空間與圖形”的學習提供了大量真實的素材。本章的內容具

有豐富的實際背景，在現實世界中也有著廣泛的應用，因此在教學中

要注意聯系實際，從實際出發引入概念，并將所學知識應用到實際生

活中，增強學生學習的興趣和數學應用意識.如，軸對稱現象在生活

中是很常見的，教材選用了從天安門到故宮圖作為章頭圖，在第1節

的開頭，也舉出了如自然景觀、分子結構、建筑物、藝術作品、日常

生活用品、窗花等實際例子，通過對實際例子觀察，既可讓學生感受

對稱現象在生活中存，又可讓學生經歷軸對稱概念引入的過程。

4.注意讓學生經歷觀察、實驗、歸納論證的過程。學習方式

的轉變是這課程改革的一個重要目標，與其他教學內容相比，“空間

與圖形”的內容的教學更能激起學生對數學學習的情感體驗，強調學

生通過“做數學”來學習數學也是本章的一個突出特點.在內容處理

上，教科書加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證幾何有機結

合.論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用，而實驗幾

何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造

性思維方面起著重大的作用.對于本章中的一些概念、性質、公理和

定理，書中大多是通過“留空”、設問、設置“觀察”“思考”“討論”

“探究”“歸納”以及“數學活動”等欄目，讓學生通過畫圖、折紙、

剪紙、度量或做試驗等活動，探索發現幾何結論，經歷知識的“再發

現”過程，在探究活動的過程中發展創新思維能力，改變學生的學習

方式.在發現結論的基礎上，再經過推理證明這些結論，使得推理證

明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，使圖形的認識與

圖形的證明有機整合。

例如，對于等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”的性質的得

出，教科書通過設置一個“探究”“思考”欄目，讓學生剪出等腰三

角形，并進一步利用軸對稱的性質思考其中相等的線段和相等的角，

進而發現等腰三角形的性質。接下來，從上面的操作過程啟發，通過

做出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形

的全等證明等腰三角形的這兩個性質。這種處理，將實驗幾何與論證

幾何有機整合在一起，使學生經歷了一個觀察、實驗、探究、歸納、

推理、證明的認識圖形的全過程，把推理證明作為學生觀察、實驗、

探究得出結論之后的自然延續，完成好由實驗幾何到論證幾何過渡。

5.注意數學思想方法的滲透。

本章的主要思想方法有數形結合、轉化、方程等.在軸對稱變

換之后，教科書安排了用坐標表示軸對稱的內容，從數的角度刻畫軸

對稱的內容。包括關于坐標軸對稱的點或圖形的坐標的變化以及由點

或圖形坐標的變化引起點或圖形軸對稱變換的內容。這里的關鍵是要

讓學生感受圖形軸對稱變換之后點的坐標的變化，把“形”和“數”

緊密的結合在一起，把坐標思想和圖形變換的思想聯系起來。

6.滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間和

空間，加強針對指導。

本章內容中有許多需要發揮學生想象和個性的活動，如欣賞軸對

稱圖案，利用軸對稱進行圖案設計，探究對稱軸是與坐標軸平行（垂

直）時軸對稱的坐標特點，發現等腰三角形中相等的線段等等，這些

內容都為學生個性化的學習提供了空間。教學時應有意識地滿足學生

多樣化的學習需求真正為學生提供個性化學習的時間和空間。例如，

對于利用軸對稱設計圖案，不同學生可能會有不同的創意，也會有不

同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計算機等）完成自己的創意，

教師應該鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標準判斷全體

學生的成果，要把關注點放在活動中的數學層面上，看學生是否真正

理解了軸對稱變換的特點。

7.加強推理證明的教學。

對于推理證明的要求，在全等三角形一章，已經要求學生“用

符號表示推理”，即證明。因此，在這一章，不僅要求學生通過觀察、

實驗、探究得出一些有關圖形的結論，還要求學生對這些結論進行證

明，使推理證明成為學生探究得出結論的自然延續，進一步體會證明

的必要性。

學過等腰三角形后，推理的依據逐漸多了，題目的復雜程度也增

加了，因此，如何尋找證明的思路也成為本章教學的一個難點。教學

時，要克服這一難點，關鍵是要加強證明題前分析的教學，幫助學生

學會分析證題思路，找出證明的途徑。因為學過的定理多了，從已知

出發可以有多種途徑選擇,分析問題時要結合結論一起考慮，采用“兩

頭湊”，教學時可向學生介紹這種方法。

另外，以前學生證明問題時，主要考慮利用全等三角形，也總習

慣于找全等三角形。雖然涉及利用等腰三角形性質的問題都可以利用

全等三角形來解決，但要注意糾正這種不顧條件，一概依賴全等三角

形的思維定勢。可結合具體問題讓學生自己分析，尋找證明方法。對

于可以直接利用等腰三角形性質、判定，垂直平分線的性質的問題，

應當讓學生選擇簡便方法。在與等腰三角形有關的一些命題的證明過

程中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、

底邊上的中線是常見的輔助線。雖然“三線和一”，但添加輔助線時,

有時作那條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度也不

同，需要具體問題具體分析，這一點要注意。

五、學情分析

5.1學生現有的知識經驗：學生在小學已經學習了軸對稱的概

念，會舉例生活中各種美麗的標志,如汽車標志,交通標志,數字,字母

等等。通過“對折”的方法剪出各種美麗對稱的圖案，可以軸對稱

的兩個圖形和軸對稱圖形都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；

如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就是關于這

條直線成軸對稱；反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體,

那么它就是一個軸對稱圖形.

5.2學生現階段的學習特點。

初中的學生，形象思維能力強，對數學學習充滿自信和希望，特

點是好奇，好新，好趣。對圖形、對實驗的觀察特別感興趣。但他們

好奇心強，好動手實驗，這些是軸對稱教學的有利因素.

5.3學生在軸對稱學習中常見的認知錯誤。

知識點一：學生對于最短路徑的實際問題不能抽象為數學問題，例如：如圖，

點A、B在直線1的兩側，點C是直線1上的一個點，當點C在1的什么位置時,

AC與CB的和最小？

解：連接AB,線段AB與1的交點C就是所求.

知識點二：運用軸對稱解決最短路徑問題不能抽象為數學問題：

如圖，點A、B在直線1的同側，當點C在1的什么位置時，AC與CB

的和最小？你能利用軸對稱的有關知識找到符合條件的點嗎？

解：如圖所示：過點B做關于1的對稱點B，,連接AB，,線段

ABZ與1的交點C即為所求.

練習：在某一地方，有條小河和草地.一天，某牧民的計劃是從A處

的牧場牽著一匹馬到草地牧馬，再到小河飲水，最后回到B點.你能

為他設計一條最短的路線嗎？

B

r一/

六、重點分析

（1）軸對稱的性質；（2）等腰三角形的性質和判定。（3）運用

軸對稱的思路分析識認復雜圖形，進行推理論證。

重點突破：（1）加強對問題分析的教學，幫助學生養成分析證明

問題的一般思路流程："任務一-判定--條件，已知一一性質”。

(2)使學生深刻體會通過幾何語言表述邏輯推證的規范語序和

說理格式。

七、教法分析

7.1滲透一些廣義對稱的理解：美學、哲學的滲透

孫維剛先生把對稱理解作“平衡”，他教學生：一切都處于他應

處的位置，當所對的圖形是對稱圖形時，思考入手的方向是：一切處

于對稱位置的元素都是可證相等的，一切處于對稱位置的三角形都是

可以證全等的，當所論圖形不是完備的對稱圖形但存在對稱因素時，

可以'從對稱的觀點補所缺部分’的角度去思考添加輔助線。

我們幾何教學的著眼點到底該關注在哪里？總怕有學生學不會而

不斷收縮教學的視野，考什么教什么？……我發現過去的教育大師們

在課上有時都會海闊天空'瞎掄’些什么，……。

建議各位未來的教育教學大師，在幾何教學不應僅僅著眼于知識

教學，不教學生站高一個層次看待問題，只教他們面對具體又具體的

題目，機械式的訓練，這不是我們老師生產力的解放，沒有人過目不

O

7.2注意聯系實際，讓學生經歷觀察、實驗、歸納、論證的過程。

本章的內容具有豐富的實際背景，在現實世界中也有著廣泛的

應用，因此在教學中要注意聯系實際，從實際出發引入概念，并將所

學知識應用到實際生活中，使學生體會“具體一一抽象一一具體”的

認識過程。建議：可以較多地發動學生參與，尤其是學習較不自信的

那些同學，比如利用軸對稱的觀點解釋現實生活中的有關現象、簡單

地利用軸對稱設計圖案、一些選址問題的實驗比較等。

教材在內容處理上，加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證

幾何有機結合。論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重大的作

用，而實驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直

覺思維和創造性思維方面起著重大的作用。

“怎么想比什么結論重要！想什么比怎么想重要！”

教科書大多通過留空、設問、設置“思考”“探究”“歸納”以

及“數學活動”等欄目，讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量或做試

驗等活動，探索發現幾何結論，經歷知識的“再發現”過程。在探究

活動的過程中發展創新思維能力，改變學生的學習方式。在發現結論

的基礎上，再經過推理證明這些結論，使得推理證明成為學生觀察、

實驗、探究得出結論的自然延續，使圖形的認識與圖形的證明有機整

合。

建議老師們改進'這么做太幼稚、有些浪費時間，……’的看法,

還是要做好教學設計的。

7.3慎用現代化手段。

動手能力的提升來自于模仿和體會，讓學生總處于一個旁觀者

的角色去欣賞老師的完美表現，培養不出創新人才。

“想要成為一個偉大的廚師，最快速的方法，就是守在另外一個

偉大的廚師旁邊，用你的眼睛看他，用你的耳朵聽他，用你的心去感

受他，否則即使你拿到了烹飪大師的食譜，但是你依然無法做出跟他

一樣的佳肴美味，因為你沒有他的手勢，火候以及靈感。”

在數學學習的背后，隱藏著許許多多只可意會，不可言傳，也無

法用任何手段表達出來的奧秘，我認為只能使孩子們在較為輕松的環

境下去自己參與體會。

7.4加深對數學教學本質的基本看法的研究，領會教材編寫意圖。

如數學教學教材的三節中，設計編排了觀察、探究、思考、討

論、歸納等欄目，這些欄目的設置既符合學生學習的認知特點，又為

學生的自主學習與合作學習起到了導學的作用，教學中要充分挖掘這

些欄目的導學作用，即不包辦學生對這些問題的探究，又加強引導與

點撥，進而培養學生的分析、觀察、猜想、思考、推理能力。

7.5處理好過程與結果的關系。

聯系實際，引導學生經歷知識形成的過程.如：軸對稱現象在

生活中是很常見的，教材選用了從天安門到故宮圖作為章頭圖，在第

1節的開頭，也舉出了如自然景觀、分子結構、建筑物、藝術作品、

日常生活用品、窗花等實際例子，通過對實際例子觀察，既可讓學生

感受對稱現象在生活中存，又可讓學生經歷軸對稱概念引入的過程.

7.6注意讓學生經歷觀察實驗歸納論證的過程。

例如，對于等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”的性質的得

出，教科書通過設置一個“探究”“思考”欄目，讓學生剪出等腰三

角形，并進一步利用軸對稱的性質思考其中相等的線段和相等的角，

進而發現等腰三角形的性質。接下來，從上面的操作過程啟發，通過

做出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形

的全等證明等腰三角形的這兩個性質。這種處理，將實驗幾何與論證

幾何有機的整合在一起，使學生經歷了一個觀察、實驗、探究、歸納、

推理、證明的認識圖形的全過程，把推理證明作為學生觀察、實驗、

探究得出結論之后的自然延續，完成好由實驗幾何到論證幾何的過

渡.

7.7滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間

和空間，加強針對指導。

本章內容中有許多需要發揮學生想象和個性的活動，如欣賞軸對

稱圖案，利用軸對稱進行圖案設計，探究對稱軸是與坐標軸平行（垂

直）時軸對稱的坐標特點，發現等腰三角形中相等的線段等等，這些

內容都為學生個性化的學習提供了空間。教學時應有意識地滿足學生

多樣化的學習需求真正為學生提供個性化學習的時間和空間。例如，

對于利用軸對稱設計圖案，不同學生可能會有不同的創意，也會有不

同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計算機等）完成自己的創意，

教師應該鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標準判斷全體

學生的成果，要把關注點放在活動中的數學層面上，看學生是否真正

理解了軸對稱變換的特點。

h

多樣化的

學習需求,

注意通為學生提、,感悟數學

過對比供個性化廠思想，積

加深對

浮習的時A累數學活'

注意聯

J重視現代信

系實際息技術工具

V的應用

八、具體的教學計劃與課時分配

八年級上冊“軸對稱”一章，主要包括軸對稱和等腰三角形的相

關內容。本章共安排了三個小節和兩個選學內容，教學時間約需15

課時，具體分配如：

13.1軸對稱3課時

13.1.1從生活對稱現象開始，引出軸對稱圖形和圖形的軸對稱概

念，從整體上概況出軸對稱的特征。（1課時）

13.1.2作軸對稱圖形的對稱軸（1課時）

13.1.3關于坐標軸對稱的點的坐標的關系（1課時）

13.2軸對稱變換3課時

1321軸對稱與全等（1課時）

13.2.2軸對稱與坐標（1課時）

13.2.3軸對稱與圖案設計（1課時）

13.3等腰三角形4課時

13.3.1等腰三角形定義和性質（1課時）

13.3.2等腰三角形性質的應用（1課時）

13.3.3等邊三角形的性質和判定方法（1課時）

13.3.4等邊三角形的應用（1課時）

數學活動、小結2課時

單元測試與試卷講評3課時

九、本單元教學案例

課題：13.31等腰三角形（第一課時）教學設計及說明

設計理念：

教學的實質是以教材中提供的素材或實際生活中的一些問題為

載體，通過一系列探究互動過程，滲透分類討論、數形結合和方程的

思想方法，達到學生知識的構建、能力的培養、情感的陶冶、意識的

創新。

（一）、教材及教學內容分析

1、教材的地位和作用分析

等腰三角形是新人教版八年級上冊十三章第三節等腰三角形

的第一課時的內容。

本節課是在前面學習了三角形的有關概念及性質、軸對稱變

換、全等三角形、垂直平分線和尺規作圖的基礎上，研究等腰三角形

的定義及其重要性質，它既是前面所學知識的延伸，也是后面直角三

角形、等邊三角形的知識的重要儲備，我們常常利用它證明角相等、

線段相等、兩直線垂直，因此本節課具有承上啟下的重要作用。

另外，本堂課通過“活動探究”、“觀察一猜想一證明”等途徑,

進一步培養學生的動手能力、觀察能力、分析能力和邏輯推理能力，

因此，本堂課無論在知識上，還是在對學生能力的培養及情感教育等

方面都有著十分重要的作用。

2、教學內容的分析

本堂課是等腰三角形的第一堂課，在認識等腰三角形的基礎上著

重介紹“等腰三角形的性質”。在教學設計的過程中，通過展示我國

今年舉辦的精彩絕倫的盛會一上海世博會圖片中的等腰三角形，結合

云南豐富的文化資源，讓學生感知生活中處處有數學，感受圖形的和

諧美、對稱美；通過學生感興趣的數學情景引入等腰三角形定義，提

高學生的學習樂趣；讓學生通過動手剪等腰三角形、對折等腰三角形

等活動，探究發現等腰三角形的性質，經歷知識的“再發現”過程。

在探究活動的過程中發展創新思維能力，改變學生的學習方式。在發

現等腰三角形的性質的基礎上，再經過推理證明等腰三角形的性質，

使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延伸，有機

地將等腰三角形的認識與等腰三角形的性質的證明結合起來，從中發

展學生推理能力。

在例題的選取上，注重聯系實際，激發學生學習興趣，讓學生主

動用數學知識解決實際問題，同時滲透分類討論、數形結合和方程的

數學思想方法，讓學生形成自我的數學思維和能力，發展學生應用數

學的意識。

(二”目標及其解析

1、教學目標：

知識技能：

(1).了解等腰三角形的概念，認識等腰三角形是軸對稱圖形；

(2).經歷探究等腰三角形性質的過程，理解等腰三角形的性質

的證明；

(3).掌握等腰三角形的性質，能運用等腰三角形的性質解決生

活中簡單的實際問題。

數學思考：

(1).經歷“觀察=實驗=猜想=論證”的過程，發展學生幾何

直觀；

(2).經歷證明等腰三角形的性質的過程，體會證明的必要性，

發展合情推理能力和初步的演繹推理能力.

解決問題：

(1).能運用等腰三角形的性質解決生活中的實際問題，發展數

學的應用能力，獲得解決問題的經驗；

(2).在小組活動和探究過程中，學會與人合作，體會與他人合

作的重要性.

情感態度:

(1).經歷“觀察=實驗=猜想=論證”的過程，體驗數學活動

充滿著探究性和創造性，感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及

結論的確定性，并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗，建立

學好數學的自信心；

(2).經歷運用等腰三角形解決實際問題的過程，認識數學是解決

實際問題和進行交流的重要工具，了解數學對促進社會進步和發展人

類理性精神的作用；

(3).在獨立思考的基礎上，通過小組合作，積極參與對數學問題

的討論，敢于發表自己的觀點，并尊重與理解他人的見解，在交流中

狄-++道-、八.

2、教學重點：等腰三角形的性質及應用。

3、教學難點：等腰三角形性質的證明。

4、解析

本堂課是等腰三角形的第一堂課，所以對于本堂課的知識目標的

定位，主要考慮如下：

(1).了解等腰三角形的概念，認識等腰三角形是軸對稱圖形，

在本堂課中要達到如下要求：⑴理解等腰三角形的定義，知道等腰三

角形的頂角、底角、腰和底邊；⑵知道等腰三角形是軸對稱圖形，它

有一條對稱軸，即：頂角角平分線(底邊上的高或底邊上的中線)所

在直線。

(2).經歷探究等腰三角形性質的過程，掌握等腰三角形的性質的

證明，在課堂中讓學生參與等腰三角形性質的探索，鼓勵學生用規范

的數學言語表述證明過程，發展學生的數學語言能力和演繹推理能

力，引導學生完成對等腰三角形的性質的證明；

（3）.會利用等腰三角形的性質解決簡單的實際問題，本堂課要達

到以下要求：掌握等腰三角形的性質，會利用等腰三角形的性質解決

簡單的實際問題。

（三）、問題診斷分析

1.在這堂課中，學生可能遇到的第一個困難是等腰三角形性質

的發現，特別是等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上

的高相互重合這一性質，解決這一問題教師主要借助等腰三角形對稱

性的研究，并引導學生理解“重合”這個詞的涵義。

2.這堂課學生可能遇到的第二個問題是證明等腰三角形的性

質，這一問題主要有三個原因：第一學生剛接觸幾何證明不久，對數

學語言表達方式還不熟悉；這一困難，并不是一堂課就能解決的，而

要在以后學習中幫助學生增強數學語言運用的能力，能有條理地、清

晰地闡述自己的觀點。在這堂課中我通過等腰三角形性質的證明，鼓

勵學生運用規范的數學語言來表述，使學生數學語言能力和演繹推理

能力得到提升；第二是添加輔助線的問題，這也是學生在證明中的一

個難點。要解決這一問題，我借助等腰三角形是軸對稱圖形，通過研

究等腰三角形的對稱軸，讓學生理解三種添加輔助線的方法，即作頂

角角平分線、底邊上的高或底邊上的中線；第三是證明等腰三角形頂

角角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合這一性質，要突破

這一難點，我采用先證明等腰三角形兩底角相等這一性質，為學生搭

一個臺階，更好地解決這個難點。

3.這堂課中學生可能遇到的第三個問題是對等腰三角形的性質

的應用，特別是等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上

的高相互重合這一性質的應用；所以我在設計課堂練習時，注重數學

知識與生活實際的聯系，提高學生數學學習的興趣，讓學生主動運用

數學知識解決實際問題，并通過練習滲透分類討論、數形結合和方程

的數學思想方法，讓學生形成自我的數學思維和能力，發展學生應用

數學的意識。

（四）、教法、學法：

教法：常言道：“教必有法，教無定法”。所以我針對八年級

學生的心理特點和認知能力水平，大膽應用生活中的素材，并作

了精心的安排，充分體現數學是源于實踐又運用于生活。因此，

本堂課的教學中，我以學生為主體，讓學生積極思維，勇于探索,

主動地獲取知識。同時，采用了現代化教學技術，激發學生學習

興趣，使整個課堂“活”起來，提高課堂效率。本堂課以生活中

的一些例子為中心，讓學生親自嘗試，接受問題的挑戰，充分展

示自己的觀點和見解。

教

學

教學過程設計意圖

環

節

1.溫故而知新.軸對稱知識是

什么樣的圖形是軸對稱圖形？這堂課學生必備的

知識，溫故這些知

2.欣賞生活中美麗的圖片。識有助于學生回顧

這些知識點，為這

思考：堂課做好知識儲

⑴這些美麗的圖片中都包含一備.并在已有知識

種特殊的三角形？的基礎上，習得新

知識，獲得新的體

⑵什么樣的圖形叫等腰三角驗.

情形？并將新舊知識聯系

景起來.

引情景的創設，

入聯系我們國家今年

舉辦的盛會，結合

云南的豐富文化資

源，目的是為了喚

起學生的好奇，激

發學生興趣和探究

欲，體會生活中處

處都有數學，并能

自然地過渡到本節

課的課題.

3.認識定義.

定義：兩條邊相等的三角形叫做等

腰三角形.通過學生感興

等腰三角形中，相等的兩條邊都叫趣的數學情景引入

做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫等腰三角形定義，

認做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.提高學生學習的樂

識趣，從中理解等腰

定三角形的腰、底邊、

AA

頂角和底角等概

義/\

念.

L____________A

BC

4.實踐探究活動一：剪一

活動一：請大家剪出一個等腰三角形，個等腰三角形具

并說明你的做法.有很強的開放性，

工具:長方形紙片、圓規、直尺、剪刀。給學生更大的展示

分組規則：把全班分成4個小組，自己才智的空間，

每小組在組長的帶領下，用長方形紙每個學生動手實踐

片剪出一個等腰三角形，并說明這樣操作，自己動手剪

做的道理。一個等腰三角形，

成果展示：利用投影儀，每個小讓學生進一步理解

實組由組長在課堂上進行成果匯報.等腰三角形定義，

踐從中培養學生的動

探探究:請你利用剪出的等腰三角形，觀手能力、協作學習

究察等腰三角形有哪些性質？的精神和語言表達

能力。并為下一步

問題:⑴等腰三角形是軸對稱圖形探索等腰三角形性

嗎？若是，請你指出等腰三角形的對質準備好教具，引

稱軸。導學生對圖形的觀

察、發現，激發學

學生可能會有不同的回答，例如：生的好奇心和求知

等腰三角形的對稱軸是頂角角平欲.

分線所在直線.

等腰三角形的對稱軸是底邊上的探究中環環相

中線所在直線.扣的問題串的設

等腰三角形的對稱軸是底邊上的計，活躍學生的思

高所在直線.維，加深教師和學

教師可適當引導得出：等腰三角形生的溝通，鼓勵學

有一條對稱軸，它既是頂角角平分線生參與知識的探究

所在直線，又是底邊上的中線所在直過程，喚醒學生的

線，還是底邊上的高所在直線.求知欲，給學生展

示自己“才華”的

問題：⑵等腰三角形頂角角平分線機會，鍛煉學生探

所在直線，底邊上的中線所在直線，究問題的能力.目

底邊上的高所在直線這三條直線在位的是使學生能巧妙

置上有什么關系？利用所學到的軸對

稱的知識，發現等

觀察課件動畫回答：腰三角形的性質.

⑶觀察并回答，等腰三角形頂角角經歷知識的“再發

平分線、底邊上的中線、底邊上的高現”過程。在探究

這三條線段有什么關系？活動的過程中發展

學生創新思維能

猜想：等腰三角形有什么性質？力，提升了學生的

等腰三角形的兩個底角相等；知識層面.

等腰三角形頂角的角平分線、底

邊上的中線、底邊上的高相互重合問題⑴的設計，

啟迪學生通過等腰

三角形的對稱軸的

思考，發現等腰三

角形有一條對稱

軸，它既是頂角角

平分線所在直線，

又是底邊上的中線

所在直線，還是底

邊上的高所在直

線.

利用課件動畫

演示，讓學生直觀

的感受等腰三角形

頂角角平分線、底

邊上的中線、底邊

上的高互相重合這

一性質，結合問題

⑵⑶，在學生親自

體驗知識的生成過

程中，激發學生探

求知識的好奇心和

求知欲，并在探究

過程中獲得成功的

體驗.

5、論證結論在發現等腰

證明：等腰三角形的兩個底角相三角形的性質的基

等.礎上，再經過推理

問題：⑴用數學符號如何表達這證明等腰三角形的

個命題的條件和結論？性質，使得推理證

已知：如圖，4ABC是等腰三角明成為學生觀察、

形,AB=AC.實驗、探究得出結

論

求證：ZB=ZC.論的自然延伸，有

證

機地將等腰三角形

結

的認識與等腰三角

論

形的性質的證明結

/A\

合起來，發展學生

L__\演繹推理能力.

BC

問題⑴鼓勵

學生運用規范的數

學語言來表述命題

⑵如何證明"NB=NC"？的條件和結論，培

根據前面的學習，學生可能會想到養學生運用數學語

利用全等三角形證明"NB=NC"，言的能力.

要利用證明三角形全等，先要添加輔問題⑵⑶的設

助線，輔助線的作法是證明等腰三角計，啟迪學生利用

形兩個底角相等的關鍵.全等三角形的證

明，證明等腰三角

⑶根據等腰三角形的對稱性，尋形的兩個底角相

找輔助線的作法？等.引導學生主動

思考，積極想辦法

證明：等腰三角形頂角的角平分解決證明等腰三角

線、底邊上的中線、底邊上的高相互形的性質這一難

重合.點.通過學生自主

問題：⑷根據前面的證明，你證明探究獲取知識的過

“等腰三角形頂角的角平分線、底邊程，體會自己努力，

上的中線、底邊上的高這三條線段互獲取成功的體驗，

相重合”？提高學生學習熱情

和學習的自信心.

歸納：問題⑷在問題

等腰三角形性質：⑵⑶的基礎上，激

⑴等腰三角形兩個底角相等；簡稱為：發學生進一步思

“等邊對等角”考，撞擊學生思維

⑵等腰三角形頂角的角平分線、底邊的火花.讓學生自

上的中線、底邊上的高相互重合.然想到要證明“等

腰三角形的頂角角

平