內蒙古興安盟科爾沁右翼前旗第二中學2024-2025學年高三上學期第二次月考數學試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三試卷標題：內蒙古興安盟科爾沁右翼前旗第二中學2024-2025學年高三上學期第二次月考數學試題。一、選擇題（共10題，每題5分）要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象的對稱軸為$x=-1$，且過點$(0,1)$，則下列選項中正確的是（）A.$a=1,b=-2,c=1$B.$a=1,b=2,c=1$C.$a=-1,b=2,c=1$D.$a=-1,b=-2,c=1$2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=6$，$S_5=15$，則$a_4$的值為（）A.3B.4C.5D.63.設集合$A=\{x|x^2-3x+2\geq0\}$，$B=\{x|x^2-2x-3<0\}$，則$A\capB$的值為（）A.$\{x|-1\leqx\leq3\}$B.$\{x|-1<x<3\}$C.$\{x|-1\leqx<3\}$D.$\{x|-1<x\leq3\}$4.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為（）A.3B.5C.-3D.-55.若等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為（）A.2B.3C.4D.66.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，則$f'(1)$的值為（）A.2B.3C.4D.57.若$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}$，則$AB$的值為（）A.$\begin{bmatrix}8&11\\14&19\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}5&7\\9&11\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}6&8\\10&12\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}$8.若等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_3=12$，$S_6=36$，則$a_4$的值為（）A.6B.8C.10D.129.已知函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$，則$f'(x)$的值為（）A.$x-1$B.$2x-1$C.$x+1$D.$2x$10.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，則$\vec{a}-\vec{b}$的值為（）A.$(-1,1)$B.$(-1,-1)$C.$(-2,1)$D.$(-2,-1)$二、填空題（共5題，每題5分）要求：直接寫出答案。11.函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$的對稱中心為__________。12.等差數列$\{a_n\}$的公差為$2$，若$a_1=3$，則$a_5$的值為__________。13.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值為__________。14.等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為__________。15.已知函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$，則$f'(x)$的值為__________。三、解答題（共30分）要求：寫出解答過程，步驟要完整。16.（10分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求$f'(x)$。17.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$2$，若$a_1=3$，求$a_5$。18.（10分）已知函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$，求$f'(x)$。四、證明題（共20分）要求：寫出證明過程，步驟要完整。19.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=6$，$S_5=15$，求$a_4$。20.（10分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，證明：$f'(x)=3x^2-6x+4$。五、計算題（共30分）要求：寫出計算過程，步驟要完整。21.（10分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，求$\vec{a}\cdot\vec{b}$。22.（10分）已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，求$q$。23.（10分）已知函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$，求$f'(x)$。六、應用題（共30分）要求：寫出解答過程，步驟要完整。24.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=6$，$S_5=15$，求$a_4$。25.（10分）已知函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$，求$f'(x)$。26.（10分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，求$\vec{a}\cdot\vec{b}$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：由于函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象的對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}=-1$，則$\frac{b}{2a}=1$，解得$a=1$。又因為函數過點$(0,1)$，所以$c=1$。因此，$b=-2$，所以正確答案為C。2.D解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。根據$S_3=6$，得$\frac{3(a_1+a_3)}{2}=6$，解得$a_1+a_3=4$。同理，根據$S_5=15$，得$\frac{5(a_1+a_5)}{2}=15$，解得$a_1+a_5=6$。由于$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，將兩個等式相減得$2d=2$，所以$d=1$。代入$a_1+a_3=4$得$a_1+3=4$，解得$a_1=1$。因此，$a_4=a_1+3d=1+3=4$，所以正確答案為D。3.B解析：解不等式$x^2-3x+2\geq0$得$x\leq1$或$x\geq2$，所以$A=\{x|x\leq1$或$x\geq2\}$。解不等式$x^2-2x-3<0$得$-1<x<3$，所以$B=\{x|-1<x<3\}$。因此$A\capB=\{x|-1<x\leq1$或$2<x<3\}$，所以正確答案為B。4.A解析：向量的點積公式為$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$。代入$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(2,1)$，得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot1=2+2=4$，所以正確答案為A。5.A解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$。由$a_1=2$和$a_3=8$，得$2q^2=8$，解得$q=2$，所以正確答案為A。6.C解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$的導數為$f'(x)=3x^2-6x+4$。將$x=1$代入得$f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1+4=3-6+4=1$，所以正確答案為C。7.B解析：矩陣乘法的規則為$AB=\begin{bmatrix}a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}&a_{11}a_{22}+a_{12}a_{23}\\a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{21}a_{22}+a_{22}a_{23}\end{bmatrix}$。代入$A$和$B$的值，得$AB=\begin{bmatrix}1\cdot2+2\cdot3&1\cdot3+2\cdot4\\3\cdot2+4\cdot3&3\cdot3+4\cdot4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&11\\14&19\end{bmatrix}$，所以正確答案為B。8.D解析：與第二題類似，根據$S_3=12$，得$\frac{3(a_1+a_3)}{2}=12$，解得$a_1+a_3=8$。同理，根據$S_6=36$，得$\frac{6(a_1+a_6)}{2}=36$，解得$a_1+a_6=12$。由于$a_3=a_1+2d$，$a_6=a_1+5d$，將兩個等式相減得$3d=4$，所以$d=\frac{4}{3}$。代入$a_1+a_3=8$得$a_1+2\cdot\frac{4}{3}=8$，解得$a_1=\frac{16}{3}$。因此，$a_4=a_1+3d=\frac{16}{3}+3\cdot\frac{4}{3}=\frac{28}{3}$，所以正確答案為D。9.B解析：函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$的導數為$f'(x)=x-1$，所以正確答案為B。10.A解析：向量的減法公式為$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2)$。代入$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(2,1)$，得$\vec{a}-\vec{b}=(-1,1)$，所以正確答案為A。二、填空題11.$(1,-1)$解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$的對稱中心為$(h,k)$，其中$h$是$x$軸上的對稱中心，$k$是$y$軸上的對稱中心。由于函數的導數$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，代入$f(x)$得$k=f(1)=\frac{1}{2}-3+4-6=-1$，所以對稱中心為$(1,-1)$。12.8解析：與第二題類似，根據$S_3=12$，得$\frac{3(a_1+a_3)}{2}=12$，解得$a_1+a_3=8$。同理，根據$S_5=15$，得$\frac{5(a_1+a_5)}{2}=15$，解得$a_1+a_5=6$。由于$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，將兩個等式相減得$2d=2$，所以$d=1$。代入$a_1+a_3=8$得$a_1+3=8$，解得$a_1=5$。因此，$a_5=a_1+4d=5+4=9$，所以正確答案為8。13.5解析：向量的點積公式為$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$。代入$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(2,1)$，得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot1=2+2=4$，所以正確答案為5。14.2解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$。由$a_1=2$和$a_3=8$，得$2q^2=8$，解得$q=2$，所以正確答案為2。15.$x-1$解析：函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$的導數為$f'(x)=x-1$，所以正確答案為$x-1$。三、解答題16.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：對函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$求導，得$f'(x)=3x^2-6x+4$。17.$a_5=8$解析：與第二題類似，根據$S_3=12$，得$\frac{3(a_1+a_3)}{2}=12$，解得$a_1+a_3=8$。同理，根據$S_5=15$，得$\frac{5(a_1+a_5)}{2}=15$，解得$a_1+a_5=6$。由于$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，將兩個等式相減得$2d=2$，所以$d=1$。代入$a_1+a_3=8$得$a_1+3=8$，解得$a_1=5$。因此，$a_5=a_1+4d=5+4=9$，所以正確答案為8。18.$f'(x)=x-1$解析：對函數$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$求導，得$f'(x)=x-1$。四、證明題19.$a_4=4$解析：根據等差數列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，有$S_3=3a_1+3d$和$S_5=5a_1+10d$。由$S_3=6$得$3a_1+3d=6$，由$S_5=15$得$5a_1+10d=15$。解這個方程組得$a_1=1$和$d=1$。因此，$a_4=a_1+3d=1+3=4$。20.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：對函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$求導，得$f'(x)