《分析力學》試卷一、選擇題（每題5分，共20分）A.拉格朗日方程的顯式形式B.拉格朗日方程的隱式形式C.拉格朗日方程的歐拉拉格朗日形式D.哈密頓方程A.動能B.勢能C.哈密頓量D.角動量A.虛功原理B.達朗貝爾原理C.哈密頓原理D.牛頓第二定律A.位置坐標B.速度坐標C.加速度坐標D.力坐標二、填空題（每題5分，共20分）1.在分析力學中，拉格朗日方程的基本形式是__________。2.在哈密頓力學中，哈密頓量是系統的__________。3.在分析力學中，廣義坐標是系統的__________。4.在拉格朗日力學中，拉格朗日量是系統的__________。三、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述拉格朗日力學的基本原理。2.簡述哈密頓力學的基本原理。四、計算題（每題20分，共40分）1.一個質點在平面內運動，其拉格朗日量為L=1/2m(x^2+y^2)1/2k(xy)^2，其中m是質點的質量，k是彈性系數，x和y是質點的位置坐標。求質點的運動方程。2.一個質點在三維空間內運動，其哈密頓量為H=1/2m(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+U(x,y,z)，其中m是質點的質量，p_x、p_y和p_z是質點的動量，U(x,y,z)是勢能。求質點的運動方程。五、證明題（每題20分，共40分）1.證明拉格朗日方程和牛頓第二定律是等價的。2.證明哈密頓方程和拉格朗日方程是等價的。六、論述題（每題20分，共40分）1.論述分析力學在物理學中的地位和作用。2.論述拉格朗日力學和哈密頓力學的區別和聯系。一、選擇題1.D2.B3.D4.C二、填空題1.拉格朗日方程的基本形式是：d/dt(?L/?q˙i)?L/?qi=0，其中L是拉格朗日量，qi是廣義坐標，q˙i是廣義速度。2.哈密頓量是系統的能量函數，表示為H=piq˙iL，其中pi是廣義動量，L是拉格朗日量。3.廣義坐標是系統狀態的獨立變量，可以是位置坐標、角度坐標等。4.拉格朗日量是系統動能與勢能的差，表示為L=TV，其中T是動能，V是勢能。三、簡答題1.拉格朗日力學的基本原理是：系統的運動軌跡是使作用量S=∫Ldt取極值的軌跡，其中L是拉格朗日量，t是時間。2.哈密頓力學的基本原理是：系統的運動軌跡是使作用量S=∫Hdt取極值的軌跡，其中H是哈密頓量，t是時間。四、計算題1.質點的運動方程為：d2x/dt2+k/m(xy)=0，d2y/dt2+k/m(yx)=0。2.質點的運動方程為：dpx/dt=?U/?x，dpy/dt=?U/?y，dpz/dt=?U/?z。五、證明題1.拉格朗日方程和牛頓第二定律是等價的，證明如下：由拉格朗日方程d/dt(?L/?q˙i)?L/?qi=0，可得qi=?L/?q˙i，代入牛頓第二定律F=ma，可得F=d/dt(?L/?q˙i)，即拉格朗日方程和牛頓第二定律等價。2.哈密頓方程和拉格朗日方程是等價的，證明如下：由哈密頓方程dp/dt=?H/?q，dq/dt=?H/?p，可得q˙=?H/?p，p˙=?H/?q，代入拉格朗日方程d/dt(?L/?q˙)?L/?q=0，可得d/dt(?H/?p)?H/?q=0，即哈密頓方程和拉格朗日方程等價。六、論述題1.分析力學在物理學中的地位和作用：分析力學是經典力學的一個重要分支，它以拉格朗日量和哈密頓量為基本變量，采用變分原理和極值原理來研究物體的運動規律。分析力學在解決復雜力學問題時具有獨特的優勢，如在天體力學、量子力學、相對論等領域都有廣泛應用。2.拉格朗日力學和哈密頓力學的區別和聯系：拉格朗日力學以拉格朗日量為基本變量，采用拉格朗日方程來描述物體的運動規律；哈密