計算3帶電粒子在電磁場中的運動考點內容考情分析考向一電磁場偏轉類問題帶電粒子在復合場中的運動是力電綜合的重點和高考的熱點，常見的考查形式有組合場(電場、磁場、重力場依次出現)、疊加場(空間同一區域同時存在兩種以上的場)、周期性變化的場等，近幾年高考試題中，涉及本專題內容的頻率極高，特別是計算題，題目難度大，涉及面廣.考向二動態圓、磁聚焦問題考向三帶電粒子在復合場中運動考向四有關電磁場的科技應用1.思想方法一、帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的分析方法二、“5步”突破帶電粒子在組合場中的運動問題三、帶電粒子在疊加場中運動的分析方法2.模型建構一、常見的基本運動形式電偏轉磁偏轉偏轉條件帶電粒子以v⊥E進入勻強電場帶電粒子以v⊥B進入勻強磁場示意圖受力情況只受恒定的靜電力只受大小恒定的洛倫茲力運動情況類平拋運動勻速圓周運動運動軌跡拋物線圓弧物理規律類平拋運動規律、牛頓第二定律牛頓第二定律、向心力公式基本公式L＝vt，y＝eq\f(1,2)at2a＝eq\f(qE,m)，tanθ＝eq\f(at,v)qvB＝eq\f(mv2,r)，r＝eq\f(mv,qB)T＝eq\f(2πm,qB)，t＝eq\f(θT,2π)sinθ＝eq\f(L,r)做功情況靜電力既改變速度方向，也改變速度大小，對電荷做功洛倫茲力只改變速度方向，不改變速度大小，對電荷永不做功二、動態圓與磁聚焦(一)動態放縮法適用條件速度方向一定、大小不同粒子源發射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑與粒子速度大小有關軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運動半徑也越大。可以發現這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法(二)定圓旋轉法適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若射入初速度大小為v0，則圓周運動半徑為r＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點O為圓心、半徑r＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將半徑為r＝eq\f(mv0,qB)的軌跡圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉圓”法(三)平移圓法適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點在同一直線上粒子源發射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的帶電粒子，它們進入勻強磁場時，做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則運動半徑r＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線界定方法將半徑為r＝eq\f(mv0,qB)的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法（四）磁聚焦、磁發散點入平出：若帶電粒子從圓形勻強磁場區域圓周上一點沿垂直于磁場方向進入磁場，當帶電粒子做圓周運動的半徑與圓形磁場區域的半徑相同時，所有帶電粒子都以平行于磁場區域圓周上入射點處的切線方向射出磁場，如圖所示。平入點出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場，且帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑和圓形磁場區域半徑相同，則這些帶電粒子將會從磁場區域圓周上同一點射出，且磁場區域圓周上該點的切線與帶電粒子射入磁場時的速度方向平行，如圖所示。三、現代科技質譜儀的原理和分析1.作用測量帶電粒子質量和分離同位素的儀器。2.原理(如圖所示)(1)加速電場：qU＝eq\f(1,2)mv2；(2)偏轉磁場：qvB＝eq\f(mv2,r)，l＝2r；由以上兩式可得r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，m＝eq\f(qr2B2,2U)，eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2r2)?；匦铀倨鞯脑砗头治?.加速條件：T電場＝T回旋＝eq\f(2πm,qB)；2.磁場約束偏轉：qvB＝eq\f(mv2,r)?v＝eq\f(qBr,m)。3.帶電粒子的最大速度vmax＝eq\f(qBrD,m)，rD為D形盒的半徑。粒子的最大速度vmax與加速電壓U無關。4.回旋加速器的解題思路(1)帶電粒子在縫隙的電場中加速，交變電流的周期與帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期相等，每經過電場一次，粒子加速一次。(2)帶電粒子在磁場中偏轉、半徑不斷增大，周期不變，最大動能與D形盒的半徑有關。霍爾效應的原理和分析1.定義：高為h，寬為d的金屬導體(自由電荷是電子)置于勻強磁場B中，當電流通過金屬導體時，在金屬導體的上表面A和下表面A′之間產生電勢差，這種現象稱為霍爾效應，此電壓稱為霍爾電壓。2.電勢高低的判斷：如圖，金屬導體中的電流I向右時，根據左手定則可得，下表面A′的電勢高。3.霍爾電壓的計算：導體中的自由電荷(電子)在洛倫茲力作用下偏轉，A、A′間出現電勢差，當自由電荷所受靜電力和洛倫茲力平衡時，A、A′間的電勢差(U)就保持穩定，由qvB＝qeq\f(U,h)，I＝nqvS，S＝hd；聯立得U＝eq\f(BI,nqd)＝keq\f(BI,d)，k＝eq\f(1,nq)稱為霍爾系數。速度選擇器、磁流體發電機速度選擇器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做勻速直線運動磁流體發電機等離子體射入，受洛倫茲力偏轉，使兩極板帶正、負電荷，兩極板間電壓為U時穩定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝v0Bd考向一電磁場偏轉類問題（2024?安徽二模）如圖甲，豎直面內有一小球發射裝置，左側有光滑絕緣圓弧形軌道ABC，A與圓心O等高，C處于坐標原點，y軸左側有一水平向右的勻強電場（圖中未畫出），電場強度的大小E1=103V/m?，F將帶正電絕緣小球從A點由靜止釋放進入軌道，一段時間后小球從C點離開并進入y軸右側，y軸右側與直線DF（平行于y軸）中間范圍內有周期性變化的水平方向電場，規定向右為正方向，交變電場周期T＝1.6s，變化規律如圖乙。已知圓弧形軌道半徑R=（1）小球在C點時的速度；（2）若小球在t＝0時刻經過C點，在t=32T（3）基于（2）中直線DF到y軸的距離，小球在不同時刻進入交變電場再次經過x軸時的坐標范圍。

（2024?洛陽一模）如圖所示，Q是x正半軸上的一點，其橫坐標為x0（未知）。在xOy的第一象限，x≤x0的區域內存在大小為E、沿y軸負方向的勻強電場。速率為v0的帶正電荷的粒子，從P點沿y軸負方向射入電場后，通過O點時速率為2v0；從P點沿x軸正方向射入電場后恰好從Q點射出。若將區域內的電場換成垂直xOy平面向外的勻強磁場，同樣讓該粒子從P點沿x軸正方向射入，粒子也恰能從Q點射出。不考慮重力的作用，求磁感應強度的大小。

（2024?羅湖區校級模擬）亥姆霍茲線圈是一對平行的完全相同的圓形線圈。如圖所示，兩線圈通入方向相同的恒定電流，線圈間形成平行于中心軸線O1O2的勻強磁場，沿O1O2建立x軸，一足夠大的圓形探測屏垂直于x軸放置，其圓心P點位于x軸上。在線圈間加上平行于x軸的勻強電場，粒子源從x軸上的O點以垂直于x軸的方向持續發射初速度大小為v0的粒子。已知粒子質量為m，電荷量為（q＞0），電場強度大小為E，磁感應強度大小為B，電場和磁場均沿x軸正方向，不計粒子重力和粒子間相互作用。若未加電場，粒子可以在線圈間做勻速圓周運動。（1）若未加電場，求粒子做圓周運動的半徑r；（2）加入電場后，沿x軸方向左右調節探測屏，求粒子打在探測屏上的點距探測屏圓心P點的最遠距離D；（3）加入電場后，沿x軸方向左右調節探測屏，若要使粒子恰好打在探測屏的圓心P點，求此時P點與粒子源間的距離d。

考向二動態圓、磁聚焦問題（2024?鄭州三模）如圖所示，有一足夠大絕緣平板MN水平放置，平板上O點處持續向上方各方向發射帶電小球。射出小球的質量為m，電荷量為+q，小球速度大小均為v0。在距離MN上方L處平行放置一足夠大光屏，光屏中心O正對平板上的O點。在平板和光屏之間有豎直向上的勻強電場，電場強度為E=2mg（1）求小球打在光屏上的速度大??；（2）求小球打在光屏上的范圍面積；（3）將電場強度調整為E2，同時在平板和光屏之間加上垂直紙面向里的勻強磁場，若在紙面內射出的小球打在光屏兩側到O′的最遠距離均為3

（2024?重慶模擬）質譜儀是檢測和分離同位素的儀器。如圖，速度選擇器的磁感應強度為B1，方向垂直紙面向里，電場強度為E。分離器中磁感應強度為B2，方向垂直紙面向外。離子室內充有大量氦的同位素離子，經加速電場加速后從速度選擇器兩極板間的中點O平行于極板進入，選擇出的部分離子通過小孔O進入分離器的磁場中，在底片上形成3個有一定寬度分別對應23He、24（1）求沿直線運動通過速度選擇器，并打在感光區域中心P點離子的速度，v0及比荷qm（2）以速度為v＝v0±Δv從O點射入的離子，其在速度選擇器中的運動可視為速度為v0的勻速直線運動和速度為Δv的勻速圓周運動的合運動，感光板上要出現3個有一定寬度的感光區域，求該速度選擇器極板的最小長度L；（3）在（2）的情況下，為能區分3種離子，求該速度選擇器的極板間最大間距d。

（2024?重慶模擬）如題圖所示，兩個相同的光滑彈性豎直擋板MN、PQ固定在紙面內，平行正對且相距足夠遠，矩形MNQP區域內（含邊界）充滿豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E。緊鄰MN板右側有一勻強磁場，方向垂直紙面向里，磁場右邊界為半圓，圓心為MN板的中點O。現有一帶負電小球在紙面內從M點射入磁場，速度大小為v、方向與MP的夾角為θ，恰好能在磁場中做勻速圓周運動，且第一次飛出磁場時速度恰好水平。已知重力加速度為g，MN＝PQ＝d＜3（1）求該小球第一次與MN板碰撞前在磁場中運動的路程；（2）求該勻強磁場的磁感應強度大小B；（3）若該小球能通過N點，求θ的大小，以及該小球第二次離開矩形MNQP區域前運動的總時間。

考向三帶電粒子在復合場中運動（2024?泉州模擬）如圖甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的勻強電場與勻強磁場，電場方向豎直向上，場強大小為E，磁場方向垂直紙面向里。在離地高為h的O點處建立一直角坐標系xOy，y軸豎直向上。一個帶正電小球A從O點以速率v0沿x軸負方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速度大小為g，A受到的電場力恰好等于重力，運動過程中帶電量不變，忽略空氣阻力。（1）求勻強磁場的磁感應強度的大小B；（2）若大量與A相同的小球仍從O點以速率v0在xOy平面內沿各個方向先后射出，小球間的相互作用均不計，落地后均不反彈，求小球落地點區間的長度；（3）若撤去電場，小球仍從O點以某一速率沿y軸正方向射出，恰好不會打到地面。ⅰ．求小球從O點射出時的速率v1；ⅱ．已知小球的速率v與時間t的關系如圖乙所示，求小球速率達到最小時兩個位置之間的距離。

（2024?泰州一模）高能微粒實驗裝置，是用以發現高能微粒并研究和了解其特性的主要實驗工具。為了簡化計算，一個復雜的高能微粒實驗裝置可以被最簡化為空間中的復合場模型。如圖甲所示，三維坐標系中，yOz平面的右側存在平行z軸方向周期性變化的磁場B（圖中未畫出）和沿y軸正方向豎直向上的勻強電場E。有一個質量為m、電荷量為q的帶正電的高能微粒從xOy平面內的P點沿x軸正方向水平射出，微粒第一次經過x軸時恰好經過O點，此時速度大小為v0，方向與x軸正方向的夾角為45°。已知電場強度大小E=mgq，從微粒通過O點開始計時，磁感應強度隨時間的變化關系如圖乙所示，已知B0（1）求拋出點P到x軸的距離y；（2）求微粒從通過O點開始做周期性運動的周期T；（3）若t=t02

（2024?浙江二模）如圖所示，直角坐標系第一象限內有一豎直分界線PQ，PQ左側有一直角三角形區域OAC，其中分布著方向垂直紙面向里、磁感應強度為B0的勻強磁場，已知OA與y軸重合，且OA＝a，θ＝60°，C點恰好處于PQ分界線上。PQ右側有一長為L的平行板電容器，板間距為a，上極板與左側磁場的上邊界平齊，內部分布著方向垂直紙面向里，強弱隨y坐標變化的磁場，和豎直向下場強大小為E的勻強電場。該復合場能使沿水平方向進入電容器的電子均能沿直線勻速通過電容器。在平行板電容器右側某區域，存在一垂直紙面向內、磁感應強度為2B0的勻強磁場（圖中未畫出），使水平通過平行板電容器的電子進入該磁場后會聚于x軸上一點?，F有速率不同的電子在紙面上從坐標原點O沿不同方向射到三角形區域，不考慮電子間的相互作用。已知電子的電量為e，質量為m，求：（1）當速度方向沿y軸正方向時，能進入平行板電容器的電子所具有的最大速度是多少；（2）寫出電容器內磁場的磁感應強度B隨y坐標的變化規律；（3）若電子沿上極板邊緣離開電容器后立即進入右側磁場，在答題紙上畫出縱坐標0＜y＜a區域內該磁場的左邊界，并求出會聚點的橫坐標。

考向四有關電磁場的科技應用（2024?江蘇模擬）如圖所示，真空中有一回旋加速器，半徑為R0的兩D形盒處于垂直紙面向外、磁感應強度大小為B1的勻強磁場中，左側D形盒通過一水平管道與一個左右兩側都開有很小狹縫的圓筒相連，圓筒內存在垂直紙面向里、磁感應強度大小恒為B2的勻強磁場。S處粒子源產生初速度不計的電子，在兩D形盒狹縫之間的交變電場中被周期性加速，經過時間t，電子射出左側D形盒，通過水平管道（未接觸管壁）后進入圓筒，與圓筒下壁發生多次彈性碰撞，最后從圓筒的右側狹縫離開。已知圓筒的半徑為r、電子的比荷為em（1）求電子進入圓筒時的速度大??；（2）求交變電場的電壓大??；（3）調節兩D形盒處的磁場大小，可使電子與圓筒下壁碰撞不同的次數，當碰撞次數為n（n＝1，2，3，…）時，求對應電子在圓筒中運動的速率。

（2024?和平區二模）將一金屬或半導體薄片垂直置于磁場中，并沿垂直磁場方向通入電流，則在導體中垂直于電流和磁場方向會產生一個電勢差，這一現象稱為霍爾效應，此電勢差稱為霍爾電壓。某長方體薄片霍爾元件，長為a、寬為b、厚為c，在霍爾元件中有沿x軸方向的電流強度為I，若霍爾元件中導電的載流子是自由電子，帶電量為e，薄片處在沿﹣y方向磁感應強度為B的勻強磁場中，則在沿z軸方向產生霍爾電壓UH；（1）請判斷該霍爾元件圖中前、后兩個側面，哪端的