2024-2025學年山東省名校聯盟高一下學期3月校際聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),AC)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),C)2.已知i是虛數單位，則3.在△ABC中，已知AB=1,AC=2,匕BAC=，則△ABC的面積為()4.在△ABC中，D在線段BC上，AD為匕BAC的角平分線，若AB=2AC，則()EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(3--),4A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(2--),3A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),C)5.如圖，在測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C,D.現測得匕BCD=α,匕BDC=β,CD=l，在點C測得塔頂A的仰角為θ,則塔高AB=()6.已知復數z=a+bia,b∈R)可以表示為z=r(cosθ+isinθ)，其中r=a2+b2，θ是以x軸非負半軸為始r1(cosθ1+isinθ1)與z2=r2(cosθ2+isinθ2)的乘積z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，則將向量-EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),z1)=(1,2)繞原點0逆時EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),z2)7.如圖所示，△ABC的三條邊均與圓0相切，其中BC=20,匕ABC=120o,匕ACB=20o，則圓0的半徑約為8.已知向量,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b),是平面向量，=1，若非零向量與的夾角為60o，向量EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)滿足EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)2—.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)+15=0，則b的最小值為()二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面向量C.向量EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),b)與的夾角的余弦值為D.向量—EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-→),b)在上的投影向量為10.設Z1,Z2為復數，則下列結論正確的有()EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一條直線上，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍．若△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H,M為邊BC的中點，且AB=5,AC=3，則下列結論正確的有()EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數單位，若復數Z=(1+i)(a—2i)(a∈R)為純虛數，則a的值為．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(---→),AC)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)14.在圓內接四邊形ABCD中，AC=4,AB=2AD,匕BAD=60o，則△BCD面積的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在三角形ABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點，已知BE=3,CD=6,BC=2(1)求三角形ABC的面積；(2)求三角形ABC的周長．16.(本小題12分)已知復數Z=a+bia,b∈R)17.(本小題12分)已知,b是平面內兩個不共線的向量．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(-),D)2EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)，求證：A,B,D三點共線；EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)和2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)共線；18.(本小題12分)已知三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且滿足(1)求角A的大小；(2)若三角形ABC的面積為10，內切圓的半徑為1，求a；(3)若匕BAC的角平分線交BC于D，且AD=4，求三角形ABC面積的最小值．19.(本小題12分)n個有次序的實數1,2,...,n所組成的有序數組(1,2,...,n)稱為一個維向量，其中i(i=1,2...,)稱為該向量的第i個分量．特別地，對一個維向量=(1,2,...,n)，若i=1,i=1,2...，稱為維信號向量．設=(1,2,...,n,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)1,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)2,...,EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)n)，則和EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)的內積定義為且丄兮(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．(3)已知k個兩兩垂直的2024維信號向量1,2,...,k滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：6.B15.(1)如圖，因D,E分別是邊AB,AC的中點，則設AE=EC=x,AD=DB=y．則由余弦定理→由余弦定理可得從而則三角形ABC的面積為(2)由(1)易得三角形ABC的周長為根據復數相等的條件，得到兩個方程解得b=1，代入第一個方程：考慮相減得其中，，且i2025=i。EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(--),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)又AD與AB有公共點A，因此A,B,D三點共線．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)和2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)2k)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(-→),b)18.(1)由正弦定理邊角互化可得：(2)因三角形ABC的面積為S=10，內切圓的半徑為r=1．則由余弦定理3化簡后可得→→(3)如圖，過D點做AB，AC垂線，垂足為E，F．又由角平分線性質可得DE=DF=ADsi 3注意到．則s=362tanθtanθ)l.要使s最小，則需使tanθt要使最大，需滿足→則此時即三角形ABC為等邊三角形．19.解：(1)根據題意，結合維向量的定義，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up0(-→),4)因為將這14個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，r+7r+r.—1)=0，可得r=，矛盾，所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．(3)任取i,j∈{1,2,…,k}，計算內積i.j，將所有這些內積求和得到s，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),1)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),2)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),k)設1,2,…,k的第k個分量之和為ci，則從每個分量的角度考慮，每個分量為s的貢獻為cEQ\*