第1頁（共1頁）2025年廣東省廣州市華南師大附中中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（3分）2025的絕對值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（3分）下列幾何體中，主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，點A，B在數軸上表示的數互為相反數，那么點A表示的數是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．34．（3分）下列計算中，正確的是（）A．x4+x2＝x6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3 D．﹣2x+3x＝x5．（3分）某校籃球隊13名同學的身高如下表：身高（cm）175180182185188人數（個）15421則該校籃球隊13名同學身高的眾數和中位數分別是（）A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，1826．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若DE＝1（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如圖，點D，E分別是⊙O的內接△ABC的AB、AC邊上的中點，∠A＝45°，則劣弧BC的長等于（）A． B． C．π D．8．（3分）關于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個相等的實數根．在△ABC中BC＝3，AB＝5，AC＝b（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．39．（3分）已知點A、B分別在反比例函數（x＞0），（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則（）A． B． C． D．310．（3分）二次函數y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范圍內有最小值為﹣5，則c的值為（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）如果分式有意義，那么實數x的取值范圍是．12．（3分）如圖，點B的坐標是（0，3），將△OAB沿x軸向右平移至△CDE，則點A移動的距離是．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則△ABC內切圓半徑為．14．（3分）某校數學興趣小組開展“利用影子測量物體的高度”的活動：如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC，測得BC＝5米，CD＝4米，在D處測得電線桿頂端A的仰角為45°，則電線桿AB的高度約為米．（結果保留根號）15．（3分）《九章算術》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，OD為⊙O的半徑，弦AB⊥OD，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸）寸．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，點N是AB邊上的中點，點M是BC邊上的一動點連接MN，若點B的對應點B′，連接B′C，當△B′MC為直角三角形時，BM的長為．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）解不等式組：．18．（4分）如圖，在?ABCD中，點E，AD上，AC與EF相交于點O19．（6分）已知．（1）化簡T；（2）若在平面直角坐標系中，點P（a，b）為反比例函數，且OP＝5，求T的值．20．（8分）某中學九（1）班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況，采取全面調查的方法，根據調查的結果組建了4個興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖（如圖①，②，要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類）（1）九（1）班的學生人數為，并把條形統計圖補充完整；（2）扇形統計圖中m＝，n＝，表示“足球”的扇形的圓心角是度；（3）排球興趣小組4名學生中有3男1女，現在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率．21．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABOC的頂點B（﹣5，0），反比例函數（x＞0）的圖象經過點C．（1）求m的值；（2）過點O作BC的平行線交反比例函數y＝（x＞0）的圖象于點D，求點D的坐標．22．（10分）大學生小敏、小晨參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，結算工資（按平均每天的報酬，實際工作天數計算）時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）為吸引、留住人才，公司規定實習期滿一個月（30天）之后平均每天所獲得的報酬（折成現金后），若小晨欲獲得不少于6480元的報酬，則至少在該公司實習多少天？23．（10分）數學活動課上，老師讓同學們根據切線的定義，用尺規過點P作⊙O的一條切線．甲同學的方法是：連接OP，作OP的垂直平分線l，交OP于點M，MP為半徑畫個圓，交⊙O于點Q，PQ即為⊙O切線；乙同學的方法是：連接OP交⊙O于點M，延長PO交⊙O于點N，以P點為圓心，以O為圓心，MN長為半徑，兩弧交于點G，連接OG交⊙O于點Q，PQ即為⊙O切線；（1）甲同學作圖的依據是：；（2）請在圖①中，用乙同學的方法作出圖形，并證明PQ為⊙O切線；（3）請在圖②中，用不同于甲，乙同學的方法（保留作圖痕跡），簡單說明作法不需證明．24．（10分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax+9a﹣4與x軸交于點A，B，頂點為P．（1）求a的取值范圍及頂點P的坐標；（2）若△PAB的面積為8，①當0≤x≤m時，拋物線G與直線l：y＝x+b（b≤5），求m的取值范圍；②點M為y軸上一點，當∠AMB最大時，求此時sin∠AMB的值．25．（12分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，點E是AB邊上的一個動點，連接DE，以EF為斜邊作等腰直角三角形EFG（點G在EF上方）．（1）若AE＝1，求BF的長；（2）當點E從點A運動到點B的過程中，△EFB的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到AB邊的距離的最大值．（3）當點E從點A運動到點B時，點G也隨之運動，①四邊形GEBF的面積s是線段GB的長t的函數嗎？如果是求出函數解析式，如果不是說明理由；②求點G經過的路徑長．

2025年廣東省廣州市華南師大附中中考數學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案AABDCBDCBA一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（3分）2025的絕對值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【解答】解：∵|2025|＝2025，∴2025的絕對值是2025，故選：A．2．（3分）下列幾何體中，主視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從正面看，左邊是一個矩形．故選：A．3．（3分）如圖，點A，B在數軸上表示的數互為相反數，那么點A表示的數是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3【解答】解：由題知，因為點A，B在數軸上表示的數互為相反數，所以點A表示的數與點B表示的數之和為0．又因為AB＝4，且點A在原點左側，所以點A表示的數為﹣6．故選：B．4．（3分）下列計算中，正確的是（）A．x4+x2＝x6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3 D．﹣2x+3x＝x【解答】解：A．本選項不符合題意；B．原式＝a3，故本選項不符合題意；C．原式＝﹣8x5y3，故本選項不符合題意；D．原式＝x．故選：D．5．（3分）某校籃球隊13名同學的身高如下表：身高（cm）175180182185188人數（個）15421則該校籃球隊13名同學身高的眾數和中位數分別是（）A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，182【解答】解：由圖表可得，眾數是：180cm，中位數是：182cm．故選：C．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若DE＝1（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DAB＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠DBA+∠DAB+∠CAD＝90°，∴∠DBA＝∠DAB＝∠CAD＝30°，∴DE＝BD，∵DE＝7，∴BD＝2，∵AD是∠CAB的平分線，∠C＝90°，∴DC＝DE＝1∴BC＝BD+DC＝8+1＝3，故選：B．7．（3分）如圖，點D，E分別是⊙O的內接△ABC的AB、AC邊上的中點，∠A＝45°，則劣弧BC的長等于（）A． B． C．π D．【解答】解：連接OB，OC ∵點D，E分別是AB，DE＝1，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE＝5，∵∠A＝45°，∴∠O＝2∠A＝90°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，由勾股定理得：BC＝＝OC，∴OB＝OC＝BC＝＝，∴劣弧BC的長為：＝．故選：D．8．（3分）關于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個相等的實數根．在△ABC中BC＝3，AB＝5，AC＝b（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【解答】解：由題知，因為關于x的方程x2﹣4x+b＝2有兩個相等的實數根，所以（﹣4）2﹣3b＝0，解得b＝4，所以AC＝2．因為32+52＝55，即BC2+AC2＝AB7，所以△ABC是以∠C為直角的直角三角形，則AB邊上的中線長為2.5．故選：C．9．（3分）已知點A、B分別在反比例函數（x＞0），（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則（）A． B． C． D．3【解答】解：過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵點A、B分別在反比例函數，（x＞8）的圖象上，∴（）2＝＝＝，∴＝．故選：B．10．（3分）二次函數y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范圍內有最小值為﹣5，則c的值為（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c5﹣2c＝﹣（x+1）5+c2﹣2c+7，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，∵2﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣3），∴在﹣6≤x≤2的范圍內，x＝2時2﹣2c＝c2﹣7c﹣8＝（c﹣1）2﹣9為函數最小值，∴（c﹣1）4﹣9＝﹣5，解得c＝3或c＝﹣1，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）如果分式有意義，那么實數x的取值范圍是x≠2．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠8，故答案為：x≠2．12．（3分）如圖，點B的坐標是（0，3），將△OAB沿x軸向右平移至△CDE，則點A移動的距離是3．【解答】解：當y＝2x﹣3＝3時，x＝3，∴點E的坐標為（3，3），∴△OAB沿x軸向右平移3個單位得到△CDE，∴點A與其對應點間的距離為3．故答案為：2．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則△ABC內切圓半徑為1．．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝3，∴內切圓半徑是（6+4﹣5）÷3＝1．故答案為：1．14．（3分）某校數學興趣小組開展“利用影子測量物體的高度”的活動：如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC，測得BC＝5米，CD＝4米，在D處測得電線桿頂端A的仰角為45°，則電線桿AB的高度約為（7+2）米．（結果保留根號）【解答】解：延長AD交BC的延長線于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4米，∴DF＝2米，∴CF＝＝2，由題意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米，∴BE＝BC+CF+EF＝5+3+2＝（8+2，∴AB＝BE＝（2+2）（米），故答案為：（2+2）．15．（3分）《九章算術》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，OD為⊙O的半徑，弦AB⊥OD，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸）26寸．【解答】解：過圓心O作OC⊥AB于點C，延長OC交圓于點D，如圖：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，，則CD＝6寸，AC＝BC＝．設圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣6）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣6）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為3×13＝26（寸）．故答案為：26．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，點N是AB邊上的中點，點M是BC邊上的一動點連接MN，若點B的對應點B′，連接B′C8，當△B′MC為直角三角形時，BM的長為5或．【解答】解：∵點N是AB邊上的中點，AB＝10，∴BN＝5，由翻折可得BN＝B'N＝5，∴點B'在以N為圓心，BN長為半徑的圓上運動，∵CN＝＝＝13，∴CB'的最小值為13﹣5＝2；當∠B'CM＝90°時，∵N為AB的中點，AB＝10，∴AN＝BN＝B'N＝5，∵B'N＜AD，即5＜12，點B的對應點B'不能落在CD所在的直線上，∴∠B'CM＝90°的情況不存在；當∠B'MC＝90°時，∠B'MB＝90°．由翻折可得∠BMN＝∠B'MN＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BNM＝∠B'NM＝45°，∴BM＝BN＝AB＝5；當∠MB'C＝90°時，如圖．則∠NB'M＝90°，∴點N，B'，設BM＝B'M＝x，則CM＝12﹣x，在Rt△BNC中，NC＝＝13，∴B'C＝CN﹣NB'＝13﹣7＝8，在Rt△B'MC中，由勾股定理可得x2+72＝（12﹣x）2，解得x＝，∴BM＝．綜上所述，滿足條件的BM的值為5或．故答案為：8，5或．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）解不等式組：．【解答】解：，解①得：x＞，解②得：x＞1．則不等式組的解集是：x＞5．18．（4分）如圖，在?ABCD中，點E，AD上，AC與EF相交于點O【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，又∵OC＝OA，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF＝OE．19．（6分）已知．（1）化簡T；（2）若在平面直角坐標系中，點P（a，b）為反比例函數，且OP＝5，求T的值．【解答】解：（1）＝﹣＝＝a+b．（2）∵點P（a，b）為反比例函數，且OP＝5，∴ab＝12，a4+b2＝56，∴（a+b）2＝a2+b5+2ab＝25+24＝49，∴a+b＝±7，∴T的值為8或﹣7．20．（8分）某中學九（1）班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況，采取全面調查的方法，根據調查的結果組建了4個興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖（如圖①，②，要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類）（1）九（1）班的學生人數為40人，并把條形統計圖補充完整；（2）扇形統計圖中m＝10，n＝20，表示“足球”的扇形的圓心角是72度；（3）排球興趣小組4名學生中有3男1女，現在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率．【解答】解：（1）九（1）班的學生人數為：12÷30%＝40（人），喜歡足球的人數為：40﹣4﹣12﹣16＝40﹣32＝8（人），補全統計圖如圖所示；（2）∵×100%＝10%，×100%＝20%，∴m＝10，n＝20，表示“足球”的扇形的圓心角是20%×360°＝72°；故答案為：（1）40；（2）10；72；（3）根據題意畫出樹狀圖如下：一共有12種情況，恰好是1男3女的情況有6種，∴P（恰好是1男3女）＝＝．21．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABOC的頂點B（﹣5，0），反比例函數（x＞0）的圖象經過點C．（1）求m的值；（2）過點O作BC的平行線交反比例函數y＝（x＞0）的圖象于點D，求點D的坐標．【解答】解：（1）作AD⊥OB于D，∵點B（﹣5，0），∴OB＝2，∵四邊形ABOC是菱形，∴AB∥OC，AC∥OB，∠∠ABD＝∠OCE，∵點A的橫坐標為﹣2，∴D（﹣2，5），∴OD＝2，∴BD＝5﹣4＝3，∴AD＝＝4，在△ABD和△OCE中，，∴△ABD≌△OCE（AAS），∴CE＝BD＝3，OE＝AD＝8，∴C（3，4），∵反比例函數（x＞0）的圖象經過點C，∴m﹣2＝8×4＝12，∴m＝14；（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，∵B（﹣5，8），4），∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝x+，∵OD∥BC，∴直線OD為y＝，由，解得或，∴點D的坐標為（8，）．22．（10分）大學生小敏、小晨參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，結算工資（按平均每天的報酬，實際工作天數計算）時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）為吸引、留住人才，公司規定實習期滿一個月（30天）之后平均每天所獲得的報酬（折成現金后），若小晨欲獲得不少于6480元的報酬，則至少在該公司實習多少天？【解答】解：（1）設這臺M型平板電腦價值x元，根據題意得：＝，解得：x＝2100．答：這臺M型平板電腦價值2100元；（2）由（1）可得：前30天每天的報酬為（2100+1500）÷30＝120（元/天）．設小晨在該公司實習y天，根據題意得：120×30+120×（1+20%）（y﹣30）≥6480，解得：y≥50，∴y的最小值為50．答：小晨至少在該公司實習50天．23．（10分）數學活動課上，老師讓同學們根據切線的定義，用尺規過點P作⊙O的一條切線．甲同學的方法是：連接OP，作OP的垂直平分線l，交OP于點M，MP為半徑畫個圓，交⊙O于點Q，PQ即為⊙O切線；乙同學的方法是：連接OP交⊙O于點M，延長PO交⊙O于點N，以P點為圓心，以O為圓心，MN長為半徑，兩弧交于點G，連接OG交⊙O于點Q，PQ即為⊙O切線；（1）甲同學作圖的依據是：圓周角定理；（2）請在圖①中，用乙同學的方法作出圖形，并證明PQ為⊙O切線；（3）請在圖②中，用不同于甲，乙同學的方法（保留作圖痕跡），簡單說明作法不需證明．【解答】解：（1）如圖，根據作圖知：OP是⊙M的直徑，∴∠PQO＝90°，即OQ⊥PQ，∵OQ是⊙O的半徑，∴PQ是⊙O的切線，∴甲同學作圖的依據是圓周角定理，故答案為：圓周角定理；（2）如圖2所示：證明：如圖②，連接PG，由作法可得，PO＝PG，∴PQ⊥GO，又∵OQ是⊙O的半徑，∴直線PQ是⊙O的切線；（3）解：如圖③，PQ即為所求；由作圖知：∠GMO＝90°，OP＝OG，∵OM＝OQ，∠POQ＝∠GOM，∴△POQ≌△GOM（SAS），∴∠PQO＝∠GMO＝90°，∴PQ⊥OQ，∵OQ是⊙O的半徑，∴PQ是⊙O的切線．24．（10分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax+9a﹣4與x軸交于點A，B，頂點為P．（1）求a的取值范圍及頂點P的坐標；（2）若△PAB的面積為8，①當0≤x≤m時，拋物線G與直線l：y＝x+b（b≤5），求m的取值范圍；②點M為y軸上一點，當∠AMB最大時，求此時sin∠AMB的值．【解答】解：（1）由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝36a3﹣4a（9a﹣4）＞0，則a＞0，拋物線的對稱軸為直線x＝4，當x＝3時2﹣8ax+9a﹣4＝﹣6，即點P（3；（2）①令y＝ax2﹣5ax+9a﹣4＝2，則x＝3±，△PAB的面積＝AB×|yP|＝（3+）×4＝8，即拋物線的表達式為：y＝x7﹣6x+5，聯立函數G和直線l的表達式得：x5﹣6x+5＝x+b2+（b﹣23）x+15﹣5b＝0，則Δ＝b2﹣10b+349＞6，當b＝5時，3x6+（b﹣23）x+15﹣3b＝0的解為x＝2和6，則m≥6；②作△MAB為外接圓Q，當圓Q和y軸相切于點M時，連接MQ，設點M（6，點Q在AB的中垂線上，m），由MQ＝3＝AQ得：9＝（7﹣1）2+m8，則m＝±，則點M為（0，﹣）或（0，），sin∠AMB的值相同，由點A、M、B的坐標得，MB＝，作AH⊥AM于點H，設AH＝x﹣x