等腰三角形存在性問題鞏固練習1．直線y=?43x+n交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線y=23x2+bx+c經過點A，交y軸于點B（0，﹣2），點P為拋物線上一個動點，經過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D（1）求拋物線的解析式；（2）當m＝1時，求PD的長；（3）是否存在點P，使△BDP是等腰直角三角形？若存在，請求線段PD的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先確定出點A的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；（2）把m＝1代入拋物線的解析式得到P點的縱坐標，于是得到結論；（3）由△BDP為等腰直角三角形，判斷出BD＝PD，建立m的方程計算出m，從而求出PD．【解答】解：（1）∵點C（0，4）在直線y=?43x+∴n＝4，∴y=?43令y＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵拋物線y=23x2+bx+c經過點A，交y軸于點∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0，∴b=?4∴拋物線解析式為y=23x2?（2）當m＝1時，y=23x2?43x﹣2∴PD=83?（3）存在點P，使△BDP是等腰直角三角形，∵點P的橫坐標為m，且點P在拋物線上，∴P（m，23m2?4∵PD⊥x軸，BD⊥PD，∴點D坐標為（m，﹣2），∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m2?4當△BDP為等腰直角三角形時，PD＝BD．∴|m|＝|23m2?43m﹣2+2|＝|23m∴m2＝（23m2?43解得：m1＝0（舍去），m2=72，m3∴當△BDP為等腰直角三角形時，線段PD的長為72或1【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，銳角三角函數，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是構造直角三角形．2．如圖在平面平面直角系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與軸交于點C（0，4），直線l是拋物線的對稱軸，與x軸交于點D，點P是直線l上一動點．（1）求此拋物線的表達式．（2）當AP+CP的值最小時，求點P的坐標；再以點A為圓心，AP的長為半徑作⊙A．求證：BP與⊙A相切．（3）點P在直線l上運動時，是否存在等腰△ACP？若存在，請寫出所有符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數法求二次函數的解析式：設拋物線的交點式y＝a（x+2）（x﹣4），然后把C（0，4）代入得4＝﹣8a，解出a即可；（2）先求出對稱軸為直線x＝1，過C作CC′⊥l交拋物線與C′，則點C與C′為對稱點，連AC′交直線x＝1與點P，連PC，此時AP+CP的值最小，C′的坐標為（2，4）；利用待定系數法可求直線AC′的解析式為y＝x+2，令x＝1，則y＝3，確定P點坐標為（1，3）；連BP，如圖，易得PD＝3，DA＝1﹣（﹣2）＝3，BD＝4﹣1＝3，則△PDB和△PBD都為等腰直角三角形，得到∠APB＝45°+45°＝90°，根據切線的判定定理即可得到BP與⊙A相切；（3）分類討論：當CP＝CA，點P與點A關于y軸對稱，則P1點坐標為（2，0）；當AP＝AC＝25，以A圓心、AC為半徑交直線x＝1于P2、P3，連AP2，AP3，利用勾股定理計算出P2D=11，于是可確定P2的坐標為（1，11），P3的坐標為（1，?11）；當CP＝CA＝25，以C為圓心、AC為半徑交直線x＝1于P4、P5，連CP4，CP5，過C作CE⊥直線x＝1于E點，用同樣的方法可求出P4的坐標為（1，4+19），P5【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣4），把C（0，4）代入得4＝﹣8a，解得a=?1∴此拋物線的表達式為y=?12（x+2）（x﹣4）=?12x（2）拋物線的對稱軸為直線x=?1∵AP+CP的值最小，AC為定值，則過C作CC′⊥l交拋物線與C′，則點C與C′為對稱點，連AC′交直線x＝1與點P，連PC，∴C′的坐標為（2，4），設直線AC′的解析式為y＝kx+b，把A（﹣2，0）和C′（2，4）代入得﹣2k+b＝0，2k+b＝4，解得k＝1，b＝2，∴直線AC′的解析式為y＝x+2，令x＝1，則y＝3，所以P點坐標為（1，3）；連BP，如圖，∵PD＝3，DA＝1﹣（﹣2）＝3，BD＝4﹣1＝3，∴△PDB和△PBD都為等腰直角三角形，∴∠APB＝45°+45°＝90°，∴PB為⊙A的切線；（3）存在．當PC＝PA，作AC的中垂線交直線x＝1于P1點，P1C＝P1A，設P1（1，y），則y2+32＝12+（4﹣y）2，解得y＝1，∴P1（1，1）；當AP＝AC＝25以A圓心、AC為半徑交直線x＝1于P2、P3，連AP2，AP3，P2D=(2∴P2的坐標為（1，11），P3的坐標為（1，?11當CP＝CA＝25，以C為圓心、AC為半徑交直線x＝1于P4、P5，連CP4，CP5，過C作CE⊥直線x＝1于E點，同理可得到P4的坐標為（1，4+19），P5的坐標為（1，4?∴符合條件的點P坐標為：（1，1）、（1，11）、（1，?11）、（1，4+19）、（1，4【點評】本題考查了二次函數的綜合題：先利用待定系數法求函數的解析式，然后利用二次函數的性質得到對稱軸方程．同時考查了等腰直角三角形的判定與性質、分類討論思想的運用以及切線的判定方法．3．拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線交拋物線于點C（2，m），交y軸于點D．（1）求拋物線及直線AC的解析式；（2）點P是線段AC上的一動點（點P與點A、C不重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值；（3）點M（m，﹣3）是拋物線上一點，問在直線AC上是否存在點F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標，再由待定系數法可求出直線AC的解析式．（2）PE的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關于PE的長、x的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得PE的最大值．（3）根據點F的不同位置分類討論．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得b＝﹣2，c＝﹣3；∴y＝x2﹣2x﹣3．將C點的橫坐標x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線AC的函數解析式是y＝﹣x﹣1．（2）設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P點在E點的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x?12）∴當x=12時，PE的最大值（3）①當點F在D點時，將直線和拋物線的解析式組成方程組：y=?x?1y=解得：x=?1y=0，x=2∴點C的坐標為（2，﹣3），令x＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴M的坐標為（0，﹣3）由直線的解析式可求點D的坐標為（0．﹣1）∴MC＝2，MD＝3﹣1＝2，∵MC∥y軸，∴∠CMD＝90°，即△CMD是等腰直角三角形，∴當點F的坐標為（﹣1，0）時，△CMD是等腰直角三角形．②當F在P點時，當點E是頂點坐標時，可得PM＝PC，由拋物線的解析式可得對稱軸為x＝﹣1，解方程組：x=1y=?x?1，解得x=1∴點P的坐標為（1，﹣2）∴PC＝MP=1又∵MC＝2，∴PC2+PM2＝MC2，由勾股定理的逆定理可得：△PMC為等腰直角三角形．即△FMC為等腰直角三角形．∴F點的坐標為（1，﹣2）．③當F不在P、D點時，設點F（x，﹣x﹣1），則CM＝CF=(x?2即（x﹣2）2+（﹣x﹣3+3）2＝4解得：x1＝2+2，x2＝2?∴F（2+2，﹣3?2）或F（2?2當F（2+2，﹣3?2）時，FM∴CM2+CF2≠MF2，不能構成直角三角形，同理：當F（2?2，﹣3+綜上所述，存在點F為（1，﹣2）或（﹣1，0）時．使△CMF是等腰直角三角形【點評】此題考查了一次函數、二次函數解析式的確定、二次函數的應用，第（3）題應將所有的情況都考慮到，不要漏解．4．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AE⊥CD于E，DE＝3，AE＝4，對角線DB平分∠ADC．（1）求梯形ABCD的面積；（2）如圖2，一動點P從D點出發，以2個單位/秒的速度沿折線DA﹣AB勻速運動，另一動點Q從E點出發，以1個單位/秒的速度沿EC勻速運動，P、Q同時出發，當Q與C重合時，P、Q停止運動，在點P的運動過程中，過P作PM⊥DC于M，在點P、Q的運動過程中，以PM、MQ為兩邊作矩形PMQN，使矩形PMQN在直線DC上側，直線AD右側，設運動時間為t秒（t＞0）．在整個運動過程中，設矩形PMQN和CBD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；（3）如圖3，動點P從D點出發，以2個單位/秒的速度沿線段DA運動到A點后，可沿直線AB方向向左或右勻速運動，過點P作PF∥AD交CB的延長線于G點，交CD于F點，在直線AB上是否存在H點，使得△FGH為等腰直角三角形？若存在，求出對應的BH的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先根據勾股定理得出AD的長，再證明△ADB是等腰三角形，得出AB＝AD，最后利用梯形面積公式解答即可；（2）根據AD，AB，EC的長度，以及P，Q的速度分情況討論，得出函數關系式并結合自變量的范圍解答即可；（3）根據全等三角形的判定和性質得出△HFW≌△FGC，再利用三角函數求出WF的值后可得BH的值，注意分情況進行分析．【解答】解：在Rt△ADE中，AD=D∵AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD＝5，∵AB∥CD，∠C＝90°，AE⊥CD，∴四邊形ABCE為矩形，∴CE＝AB＝5，∴DC＝DE+CE＝8，S梯形ABCD（2）∵點P從D點出發，以2個單位/秒的速度沿折線DA﹣AB勻速運動，動點Q從E點出發，以1個單位/秒的速度沿EC勻速運動，所以可得三種情況，當矩形在BD下側時，函數關系式為：S=?3325t當矩形在BD上側，且點P到A點之間時，函數關系式為：S=?11100t當點P在AB之間，且點E剛到達E點時，期間的函數關系式為：S=?34t（3）存在，理由如下：①若∠GFH＝90°，過H作HW⊥CD于W，如圖1，圖2，∴△HFW≌△FGC，∴WH＝FC＝4，WF＝CG=FC∴BH＝WC＝WF±CF＝7或1；②若∠FHG＝90°，過H作HW⊥CD于W，如圖3，圖4，∴△HFW≌△HGB，∴HW＝BH＝4，③若∠FGH＝90°，如圖5，圖6，∴△CFG≌△BGH，令CF＝BG＝3x，∴CG＝BH＝4x，∴4x±3x＝4，∴x=47或∴BH=16【點評】此題考查的是函數和四邊形的綜合題，難度比較大，關鍵是勾股定理和矩形的判定，注意動點運動的各種情況，不能漏解．5．如圖1直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝8，CD＝3，BC=52，在Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝3，GE＝6，將△EFG與直角梯形ABCD如圖（2）擺放，使E與A重合，EF與AB重合，△EFG與梯形ABCD在直線AB的同側，現將△EFG沿射線AB向右以每秒1個單位的速度平移，當點C落在線段FG上時停止運動，在平移過程中，設△EFG與梯形ABCD的重疊部分面積為S，運動時間為t秒（（1）求出GF邊經過點D時的時間t；（2）若在△GEF運動過程中，設△GEF與梯形ABCD的重疊部分面積為S，請寫出S與t的函數關系式；（3）如圖3，當點C在線段GF上時，將此時的△EFG沿FG翻折，得到△HFG，將△HFG繞點F旋轉，在旋轉過程中，設直線HG與射線AD交于點M，與射線AB交于點N，是否存在鈍角△AMN為等腰三角形？若存在，求出此時AN的長；若不存在，說明理由．【分析】（1）作垂線構建平行線，想辦法求出AE的長，就是t的值；先根據三角函數值求GE的長，再利用平行線分線段成比例得比例式求FH的長，從而可以求EH的長，所以AE＝AH﹣EH，得出結論；（2）分三種情況討論：①當0＜t≤134時，如圖2，作輔助線，構建高線，重疊部分的面積S＝S△AFM﹣S△AEP，計算即可；②當134＜t≤5時，如圖3，重疊部分是五邊形PENMD．③當5＜t（3）分三種情況進行討論，分別以A、M、N為頂角構成等腰三角形，要滿足鈍角三角形的有兩種，分別求出AN的長即可．【解答】解：（1）如圖1中，∵四邊形DHBC為矩形，∴AH＝AB﹣CD＝8﹣3＝5，在Rt△EFG中，∵EF＝3，GE＝6，∵DH∥GE，∴DHGE∴52∴FH=5∴EH＝EF＝FH＝3?5∴AE＝AH﹣EH＝5?7∴當點D落在線段FG上時t=13（2）①當0≤t≤134時，如圖2，過M作MN⊥AB于N，過D作DH⊥AB于由MN∥EG，得到FNMN設FN＝x，則MN＝2x，∵MN∥DH，∴MNDH∴2x5∴x=3+t∴MN=2(3+t)由題意得：DHAH∴52∴PE=12∴S＝S△AFM﹣S△AEP，=12?AF?MN?12?=12?（3+t）?2(3+t)5?12=?120t2+65②當134＜t≤5時，如圖3中，重疊部分是五邊形PENMD，過N作NH⊥AB于∵MN∥EG，∴MNEG∴52∴FN=5∴CM＝BN=54+（8﹣t∴S＝S梯形ABCD﹣S△APE﹣S梯形BCMF=12?（3+8）?52?12?t?12?t?12?（8﹣t﹣3③當5＜t≤254時，如圖4中，重疊部分是五邊形此時S＝S△EGF﹣S△PMG﹣S△BFG=12×6×3?12×72×74綜上所述S=?（3）①當AM＝MN時，鈍角△AMN為等腰三角形，如圖5，∴∠MAN＝∠MNA，在Rt△FHN中，∵FH＝3，tan∠MNA＝tan∠MAN=1∴NH＝6，∴FN=62+∴AN＝AB+BF+FN＝8+54+35②當AN＝MN時，鈍角△AMN為等腰三角形，如圖6，∴∠DAB＝∠AMN，∵tan∠G＝tan∠DAB12∴∠G＝∠DAB，∴∠G＝∠AMN，∴AM∥FG，∴∠DAB＝∠NFG，∴∠G＝∠NFG，∴GN＝FN，設FN＝x，則NG＝x，EN＝6﹣x，在Rt△NEF中，則勾股定理得：32+（6﹣x）2＝x2，解得：x=15∴AN＝AB+BF﹣FN＝8+5③當AM＝AN時，如圖7，△AMN不是鈍角三角形；綜上所述：當AN=374+35或11【點評】本題是幾何變換的綜合題，考查了直角梯形、直角三角形的性質，以△EFG運動為主，弄清運動的路徑，從△EFG運動的特殊位置入手，正確畫出圖形，并懷相似和三角函數相結合，表示邊的長或求出邊的長；對于求重疊部分的面積，也是先分析特殊位置時的重疊部分，再分情況進行討論，得出結論．6．已知拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣1，0），B（5，0），交y軸于點C（0，5），點D是該拋物線上一點，且點D的橫坐標為4，連BD，點P是線段AB上一動點（不與點A重合），過P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，以PQ為一邊在PQ的右側作正方形PQMN，設點P的坐標為（t，0）．（1）求拋物線解析式；（2）若點Q在線段AD上時，延長PQ與拋物線交于點G，求t為何值時，線段QG最長；（3）在AB上是否存在點P，使△OCM為等腰三角形？若存在，求P點坐標，若不存在，請說明理由；（4）設正方形PQMN與△ABD重疊部分面積為s，求s與t的函數關系式．【分析】（1）拋物線表達式可表示為：y＝a（x+1）（x﹣5），將點C坐標代入上式，即可求解；（2）直線AD的表達式為：y＝x+1，則點G、Q的坐標分別為（x，﹣x2+4x+5）、（x，x+1），則QG＝﹣x2+4x+5﹣x﹣1＝﹣（x?32）2（3）分OC＝OM、MC＝OM、OC＝MC三種情況求解即可；（4）①當0＜t≤32時，正方形PQMN與△ABD重疊部分為正方形；②當32＜t≤5時，正方形【解答】解：（1）拋物線表達式可表示為：y＝a（x+1）（x﹣5），將點C坐標代入上式得：5＝a（+1）（﹣5），解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+4x+5；（2）如下圖：將點D的橫坐標代入二次函數表達式得：D（4，5），將A、D的坐標代入一次函數表達式y＝kx+b得：5=4k+b0=?k+b，解得：k=1則直線AD的表達式為：y＝x+1，設點P的坐標為（x，0），則點G、Q的坐標分別為（x，﹣x2+4x+5）、（x，x+1），則QG＝﹣x2+4x+5﹣x﹣1＝﹣（x?32）2故：線段QG最長為254（3）存在，理由：設點P坐標為（x，0），則點Q坐標為（x，x+1），點M、N的坐標分別為（2x+1，x+1）、（2x+1，0），則：OC2＝25，OM2＝（2x+1）2+（x+1）2，CM2＝（2x+2）2+（t﹣4）2，①當OC＝OM時，即：25＝（2x+1）2+（x+1）2，解得：x=115②當OC＝CM時，同理可得：x=2+2③當MC＝OM時，同理可得：x=9故：P點坐標為（115?35，0）或（2+210（4）設：點P坐標為（t，0），則點Q坐標為（t，t+1），點M、N的坐標分別為（2t+1，t+1）、（2t+1，0），①當0＜t≤3正方形PQMN與△ABD重疊部分為正方形，則s＝PN2＝（t+1）2＝t2+2t+1；②當32＜正方形PQMN與△ABD重疊部分為長方形，同理可得：s＝（4﹣t）（t+1）＝﹣t2+3t+4，即：s=t【點評】本題為二次函數綜合題，涉及到一次函數、等腰三角形、正方形基本性質等，題目難度不大．7．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A（0，4），頂點B（3，0）．（1）求點D，點C的坐標．（2）求直線BC的解析式．（3）在直線BC上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，說明理由．【分析】（1）過點D、點C作DM、CN垂直于x軸，CH垂直于DM，想辦法證明△DHC≌△BNC，△BNC≌△AOB即可解決問題；（2）同（1）的方法求出點C的坐標，利用待定系數法求出直線BC解析式；（3）先判斷出要使△PCD是等腰三角形，只有PC＝CD，利用中點坐標公式即可得出結論；【解答】解：過點D、點C作DM、CN垂直于x軸，CH垂直于DM，在正方形ABCD中，CB＝CD，∠DCB＝∠DCH+∠BCH＝90°，∵∠HCB+∠BCN＝90°，∴∠DCH＝∠BCN，又∵∠DHC＝∠CNB，在△DHC和△BNC中，CB=CD∠DCH=∠BCN∴△DHC≌△BNC，∴DH＝BN，CH＝CN，同理可證△BNC≌△AOB，又∵點A（0，4），點B（3，0），∴CH＝CN＝OB＝3，DH＝BN＝OA＝4，∴C（7，3），D（4，7）．（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，將C（7，3）、B（3，0）代入得：3=7k+b0=3k+b解得：k=3∴解析式為y=3（3）如圖3中，設點P（m，34m?∵C（7，3），D（4，7），∴CD＝5∵△PCD為等腰三角形，且∠BCD＝90°，∴只有PC＝CD＝5，當點P在點C左側時，∵BC＝CD＝5，∴點P和點B重合，∴P（3，0），當點P在點C右側時，如圖3，∵PC＝5，BC＝5，∴點C是點P的中點，∴P（11，6）．即：滿足條件的點P（3，0）和（11，6）．【點評】此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是作出輔助線求出點C，D坐標，學會用分類討論的射線思考問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，把矩形OABC放入平面直角坐標系xOy中，使OA、OC分別落在x、y軸的正半軸上，對角線AC所在直線解析式為y=?53x+15，將矩形OABC沿著BE折疊，使點A落在邊OC上的點（1）求點E的坐標；（2）在y軸上是否存在點P，使△PBE為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由直線解析式求出點A，C的坐標，可由勾股定理求出CD的長，設DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，得出x2＝32+（9﹣x）2，解方程求出AE＝5，則點E的坐標可求出；（2）△PBE為等腰三角形，可分三種情況：PB＝BE或PB＝EP或BE＝EP，分別建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵AC所在直線解析式為y=?53∴令x＝0，y＝15，令y＝0．則?53x+15=0∴A（9，0），C（0，15），B（9，15），∵將矩形OABC沿著BE折疊，使點A落在邊OC上的點D處．∴在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，∴CD=B∴OD＝15﹣12＝3，設DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，∴AE＝5，∴OE＝4，∴E（4，0）．（2）設P（0，m），∵B（9，15），E（4，0），∴PB2＝（9﹣0）2+（15﹣m）2＝m2﹣30m+306，BE2＝52+152＝250，EP2＝16+m2，∵△PBE為等腰三角形，∴①當PB＝BE時，∴PB2＝BE2，∴m2﹣30m+306＝250，∴m＝2或m＝28，∴P（0，2）或（0，28），②當PB＝EP時，∴PB2＝EP2，∴m2﹣30m+306＝16+m2，∴m=29∴P（0，293③當BE＝EP時，BE2＝EP2，∴250＝16+m2，∴m＝±326，∴P（0，326）或（0，﹣326），綜合以上可得，點P的坐標為（0，2）或（0，28）或（0，293）或（0，326）或（0，﹣326【點評】此題是一次函數綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，兩點間距離公式，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．9．如圖，直線L1：y1＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P（m，3）為直線L1上一點，另一直線L2：y2=12x+b經過點（1）求點P坐標和b的值：（2）若點C是直線L2與x軸的交點，動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動，設點Q的運動時間為t秒．①請寫出當點Q運動過程中，△APQ的面積S與t的函數關系式；②求出t為何值時，△APQ的面積等于3；③是否存在t的值，使△APQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）點A、B的坐標分別為：（2，0）、（0，2）；點P（m，3）為直線L1上一點，則﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故點P（﹣1，3）；將點P的坐標代入y2=12x+（2）①S=12AQ?yP=12（2+7﹣t）=?32t+272；②當S＝3時，即3=?32t+272，即可求解；③分【解答】解：（1）y1＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，令x＝0，則y1＝2，令y1＝0，則x＝2，故點A、B的坐標分別為：（2，0）、（0，2）；點P（m，3）為直線L1上一點，則﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故點P（﹣1，3）；將點P的坐標代入y2=12x+b并解得：b故：點P的坐標為：（﹣1，3），b=7（2）①S=12AQ?yP=12×3|（2+7﹣t即S=?②當S＝3時，即3=32|解得：t＝7或11；③存在，理由：AP＝32，當AP＝AQ時，則AQ＝32，t＝9﹣32或9+32；當AP＝PQ時，則點Q（﹣4，0），故t＝3；當AQ＝PQ時，設點Q（m，0），則（2﹣m）2＝（﹣1﹣m）2+9，解得：m＝﹣1，故點Q（﹣1，0），則t＝6；綜上，t＝9﹣32或9+32或3或6．【點評】本題考查的是一次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、等腰三角形的性質、面積的計算等，其中（2）③，要注意分類求解，避免遺漏．10．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，請問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：①當CP＝PM時，②當CM＝MP時，③當CM＝CP時，可分別得出P的坐標；（3）根據軸對稱﹣最短路徑問題解答．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），∴a+b+3=09a?3b+3=0解得：a=?1b=?2∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，如圖1，∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其對稱軸為x=?2∴設P點坐標為（﹣1，a），∴C（0，3），M（﹣1，0），PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，分類討論：（1）當PC＝PM時，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a=5∴P點坐標為：P1（﹣1，53（2）當MC＝MP時，（﹣1）2+32＝a2，解得a=±10∴P點坐標為：P2(?1，10（3）當CM＝CP時，（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），∴P點坐標為：P4（﹣1，6）．綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為P(?1，10)或P(?1，?10)或P（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如圖2，點C（0，3）關于對稱軸x＝﹣1的對稱點C′的坐標是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為點Q．設直線AC′函數關系式為：y＝kx+t（k≠0）．將點A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得k+t=0?2k+t=3解得k=?1t=1所以，直線AC′函數關系式為：y＝﹣x+1．將x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．【點評】本題主要考查了二次函數的綜合知識，熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和等腰三角形的性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質，要注意的是（2）中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．11．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有點E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數的解析式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，設點D的橫坐標為m，△ADE的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數法即可求解；（2）由S＝S△DHA+S△DHE=12×DH（3）分PA＝PE、PA＝PE、PE＝AE三種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）設拋物線的表達式為y＝a（x+4）（x﹣2），將點C的坐標代入上式得：6＝a（0+4）（0﹣2），解得a=?3故拋物線的表達式為y=?34（x+4）（即y=?3（2）設直線AE的表達式為y＝kx+t，則0=?4k+tt=?2，解得k=?過點D作y軸的平行線交AE于點H，設點D的坐標為（m，?34m2?32m+6），則點H（m則S＝S△DHA+S△DHE=12×DH×OA=12（?34m2?32m+6+1（3）存在，P點的坐標為：(?1，1)，(?1，±11)由y=?34x設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=9+n2當PA＝PE時，9+n解得，n＝1，此時P（﹣1，1）；當PA＝PE時，9+n解得，n=±1，此時點P坐標為(?1，±當PE＝AE時，1+(n+2)解得，n=?2±19，此時點P坐標為(?1，?2綜上所述，P點坐標為：（﹣1，1）或(?1，±11)或【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、等腰三角形的性質、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．12．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG＝AD，動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動（M不與A，G重合），設運動時間為t秒，連接BM并延長AG于N．（1）是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由；（2）當點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN＝H