PAGEPAGE4微專題十八數列的綜合運用在近三年的高考題中，等差、等比數列始終是高考重點和難點，填空題中有等差、等比數列單調性、最值的考察，解答題其次、三問針對數列的性質以及代數推理的綜合考察，難度較大．年份填空題解答題2024T9等比數列的基本量T19考察等差數列的綜合問題2024T14等差、等比數列的綜合問題T19考察等差、等比數列的綜合問題2024T8等差數列T20等差、等比的綜合問題目標1等差、等比數列的衍生或子數列的問題例1已知等差數列{an}的公差d不為0，且ak1，ak2…，akn，…(k1<k2<…<kn<…)成等比數列，公比為q.(1)若k1＝1，k2＝3，k3＝8，求eq\f(a1,d)的值；(2)當eq\f(a1,d)為何值時，數列{kn}為等比數列？(3)若數列{kn}為等比數列，且對于隨意n∈N*，不等式an＋akn>2kn恒成立，求a1的取值范圍．點評：【思維變式題組訓練】1.在數列{an}中，a1＝1，且對隨意的k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等比數列，其公比為qk.(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；(2)若對隨意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差數列，其公差為dk，設bk＝eq\f(1,qk－1).求證：{bk}成等差數列，并指出其公差．2.給定一個數列{an}，在這個數列里，任取m(m≥3，m∈N*)項，并且不變更它們在數列{an}中的先后次序，得到的數列稱為數列{an}的一個m階子數列．已知數列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,n＋a)(n∈N*，a為常數)，等差數列a2，a3，a6是數列{an}的一個3階子數列．(1)求a的值；(2)等差數列b1，b2，…，bm是{an}的一個m(m≥3，m∈N*)階子數列，且b1＝eq\f(1,k)(k為常數，k∈N*，k≥2)，求證：m≤k＋1.目標2數列中的含參求解及恒成立問題例2已知首項為1的正項數列{an}滿意aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n)<eq\f(5,2)an＋1an，n∈N*.(1)若a2＝eq\f(3,2)，a3＝x，a4＝4，求x的取值范圍；(2)設數列{an}是公比為q的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．若eq\f(1,2)Sn<Sn＋1<2Sn，n∈N*，求q的取值范圍；(3)若a1，a2，…，ak(k≥3)成等差數列，且a1＋a2＋…＋ak＝120，求正整數k的最小值，以及k取最小值時相應數列a1，a2，…，ak的公差．點評：【思維變式題組訓練】1.已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝3，且對隨意的正整數，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常數λ>0.設bn＝eq\f(an,3n)(n∈N*)．(1)若λ＝3，求數列{bn}的通項公式；(2)若λ≠1且λ≠3，設cn＝an＋eq\f(2,λ－3)×3n(n∈N*)，證明：數列{cn}是等比數列；(3)若對隨意的正整數，都有bn≤3，求實數λ的取值范圍．2.已知a，b是不相等的正數，在a，b之間分別插入m個正數a1，a2，…，am和正數b1，b2，…，bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差數列，a，b1，b2，…，bm，b是等比