北師大版九年級下冊數學

全冊知識點梳理及重點題型鞏固練習

銳角三角函數一知識講解

【學習目標】

1.結合圖形理解記憶銳角三角函數定義；

2.會推算30°、45°、60°角的三角函數值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數值；

3.理解并能熟練運用“同角三角函數的關系”及“銳角三角函數值隨角度變化的規律”.

【要點梳理】

要點一、銳角三角函數的概念

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA所對的邊BC記為a,叫做NA的對邊，也叫做NB的鄰

邊，NB所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是/A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

/朗勺對邊a

銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記作sinA,即sinA=

斜邊c

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即cosA=2照^^=2

斜邊C

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=幺盥當=且.

/硼鄰邊b

/硒對邊么cosB/硒鄰邊a.DN3的對邊b

同理sinB

斜邊斜邊c'的鄰邊a

要點詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線

段的比值.角的度數確定時，其比值不變，角的度數變化時，比值也隨之變化.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成sin?力，cos?4，

tan?不能理解成sin與/A,cos與NA,tan與NA的乘積.書寫時習慣上省略/A的角的

記號“N”，但對三個大寫字母表示成的角(如NAEF),其正切應寫成“tanNAEF"，不能寫成

"tanAEF"；另外,(sinA)2>(COSJ4)2>(tan力)？常寫成sin。、cosU、tan?4

(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在.

(4)由銳角三角函數的定義知：

當角度在0°</A<90°間變化時，0<sinH〈l，0<cos^<btanA>0.

要點二、特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，歸納如下:

銳角asinaCOS。tana

1

30°邁0

223

45°巫正1

22

60°

22

要點詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30。、45。、60°角的各三角函數值，它的另一個應用就是：如果知

道了一個銳角的三角函數值，就可以求出這個銳角的度數，例如：若sind=走，則銳角6=45°?

2

(2)仔細研究表中數值的規律會發現：

sin30°、sin45°、sin60°的值依次為，而cos30°、cos450'cos60°的值的

222

順序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其變化規律可以總結為：

①正弦、正切值隨銳角度數的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數的增大(或減小)而減小(或增大).

要點三、銳角三角函數之間的關系

如圖所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°.

(1)互余關系：sinA-cos(900-ZA)=cosB,cosA=sin(900-=sinB；

(2)平方關系：sid2+cos?4=1；

(3)倒數關系：tan月?tan(90°-乙4)=1或tan/=—1；/

(4)商數關系：tanj=三吧.B-------c

COSJ4

要點詮釋：

銳角三角函數之間的關系式可由銳角三角函數的意義推導得出，常應用在三角函數的計算中，計算

時巧用這些關系式可使運算簡便.

【典型例題】

類型一'銳角三角函數值的求解策略

（2016?安順）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則NABC

的正切值是（）

【思路點撥】根據勾股定理，可得AC、AB的長，根據正切函數的定義，可得答案.

【答案】D.

【解析】

由勾股定理，得_

AC=A/2-AB=2&,BC=A/10-

/.△ABC為直角三角形，

tanZB=-^.=—,

AB2

故選：D.

【總結升華】本題考查了銳角三角函數的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數.

舉一反三：

【變式】在RtAABC中，/C=90°,若a=3,b=4,則c=

sinA=,cosA=,sinB=,8sB=

AC

b

3443

【答案】c=5,sinA=-,cosA=-,sinB=-,cosB=-.

5555

類型二'特殊角的三角函數值的計算

^^2.求下列各式的值：

（1）（2015?茂名校級一模）6tan230。-仁in60。-2sin45。；

（2）（2015?樂陵市模擬）V2s'n60°-4cos2300+sin450?tan600；

（3）（2015?寶山區一?模）旦工豌——+tan600------―.....-

COS26002cos450+tan600

【答案與解析】

解：（1）原式=6x（乎）2_如又當平

=1-72.

2

（2）原式=料＞＜立-4x（立）

_222

=近-3+返

22

近

（3）原式=——卜如一廠2

（1）2V2+V3

2

=2風電-_____/立二返）________

""（V2+V3）（V3-V2）

=3技2y+2加

=百+2夜.

【總結升華】熟記特殊角的三角函數值或借助兩個三角板推算三角函數值，先代入特殊角的三角函數值,

再進行化簡.

舉一反三：

【變式】在RtAABC中，/C=90°,若NA=45°,則/B=,

sinA=,cosA=,sinB=,cosB=

3C

、5A72.Q\/2_V2

【答案】zB=45°,sinA=—，8sA=—，smB=—，cosBD——.

2222

類型三'銳角三角函數之間的關系

C3.（2015?河北模擬）已知△ABC中的NA與NB滿足（1-tanA）2+|sinB-乂反=0

2

（1）試判斷△ABC的形狀.

（2）求（1+sinA）2-2VcosB-（3+tanC）°的值.

【答案與解析】

解：（1）V|1-tanA）2+|sinB-西=0,

tanA=l,sinB=^l.

2

ZA=45°,NB=60°,NC=180°-45°-60°=75°,

ABC是銳角三角形；

（2）ZA=45°,ZB=60°,NC=180°-45°-60°=75°,

原式=（1+亭）2-24-1

-1

2,

【總結升華】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵.

類型四'銳角三角函數的拓展探究與應用

C%.如圖所示，AB是。0的直徑，且AB=10,CD是。0的弦，AD與BC相交于點P,

若弦CD=6,試求cosNAPC的值.

【答案與解析】

連結AC,：AB是。。的直徑，/ACP=90°,

又?:ZB=ZD,ZPAB=ZPCD,Z.APCD^APAB,

.PCCD

"~PA~~AB'

又：CD=6,AB=10,

在Rtz^PAC中，

c°sZAPC="=生—3

PAAB105

【總結升華】直角三角形中，銳角的三角函數等于兩邊的比值，當這個比值無法直接求解，可結合相似

三角形的性質，利用對應線段成比例轉換，間接地求出這個比值.

銳角的三角函數是針對直角三角形而言的，故可連結AC,由AB是。0的直徑得NACB=90°,

PCPCCD

cosZAPC=---,PC、PA均為未知，而已知CD=6,AB=10,可考慮利用△PCDs^.PAB得----=----.

PAPAAB

C>5.通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確

定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們

定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1①，在aABC中，AB-AC,頂角A的正

底［力

對記作sadA,這時sadA=空井=空.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定

腰AB

的.根據上述角的正對定義，解下列問題：

(1)sad60°=.

(2)對于0<AV180°,NA的正對值sadA的取值范圍是.

3

(3)如圖Kg),已知sinA=—,其中NA為銳角，試求sadA的值.

5

圖1

【答案與解析】

(1)1；(2)0<sadA<2；

(3)如圖2所示，延長AC到D,使AD=AB,連接BD.

設AD=AB=5a,由sinA=---=—得BC=3a,

AB5

AC=J(5a)2-(3a)2=4a,

圖2

CD=5a-4a=a,BD-+(3?)2=VlOcz，

【總結升華】（1）將60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故sadA=l；（2）在圖①中設想AB-AC

的長固定，并固定AB讓AC繞點A旋轉，當NA接近0°時，BC接近0,則sadA接近0但永遠

不會等于0,故sadA>0,當NA接近180°時，BC接近2AB,則sadA接近2但小于2,故sadA

<2；（3）將NA放到等腰三角形中，如圖2所示，根據定義可求解.

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重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習

銳角三角函數一鞏固練習

【鞏固練習】

一、選擇題

1.（2016?樂山）如圖，在Rt^ABC中，NBAC=90。，ADJ_BC于點D,則下列結論不正確的是（）

BDC

B，cD-

A.si曲唱sinB=^-sinB^si?nRB=CD

AuDUACAC

2.（2015?山西）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1點A,B,C都在格點上，則/ABC的正切值

是（）

\:::\B\

A.2B.c.近1）.-1

552

3.已知銳角a滿足sin25°=cosa,則a=（）

A.25°B.55°C.65°D.75°

4.如圖所示，直徑為10的。A經過點C（0,5）和點0（0,0）,B是y軸右側OA優弧上一點，則/0BC

的余弦值為（）

第4題第5題

5.如圖，在aABC中，/A=120°,AB=4,AC=2,則sinB的值是（）

A.近B,立V21V21

cr.-----D.--

145714

6.在RtZXABC中,/C=90°,若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則/A的正弦值（）

A.擴大2倍B.縮小2倍C.擴大4倍D.不變

7.如圖所示是教學用具直角三角板,邊AC=30cm,/C=90°，tanZBAC———,則邊BC的長為（

3

A.30百cmB.20\/3cmC.10\/3cmD.55/3cm

第7題第8題

8.如圖所示，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,若AC=亞,BC=2,則sin/ACD的

值為（）

2y[52

A.——B.-^―I）.

333

二、填空題

9.（2016?臨夏州）如圖，點A（3,t）在第一象限,OA與x軸所夾的銳角為a,tana=W,貝ljt的值是

2

10.用不等號連接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tanl8°tan21°

11.在△ABC中，若sinA--------F----cosB=0,NA、/B都是銳角，則/C的度數為_______.

2I2j

12.如圖所示，^ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=.

13.已知：正方形ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點，若DP=1,則tan/BPC的值是.

14.如果方程4x+3=0的兩個根分別是RtaABC的兩條邊，^ABC的最小角為A,那么tanA的值

為?

15.如圖所示，AABC的內心在y軸上，點C的坐標為(2,0),點B的坐標是(0,2),直線AC的解析式

為y=；x-l,則tanA的值是_.

16.(2014?高港區二模)若a為銳角，且c0sa=L$，則m的取值范圍是.

三、解答題

17.如圖所示，AABC中，D為AB的中點，DCLAC,且NBCD=30°,

求NCDA的正弦值、余弦值和正切值.

18.計算下列各式的值.

⑴（2015?普陀區一模）4sin30°-&cos45°+遍tan60

（2）（2015?常州模擬）&sin45°+tan45°-2cos60°.

（3）（2015?奉賢區一模）-----2sin300--------Jcos60°.

2sin60°-tan45°2

19.如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC,DF1AE,垂足為F,連接DE.

(1)求證:AB=DF；

(2)若AD=10,AB=6,求tanNEDF的值.

20.如圖所示，已知。0的半徑為2,弦BC的長為,點A為弦BC所對優弧上任意一點(B、C兩點

除外).

(1)求NBAC的度數；

(2)求4ABC面積的最大值.

(參考數據：sin60°=—,cos30°=—,tan30°=—).

223

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C.

【解析】在RtZXABC中，ZBAC=90°,sinB=&,

BC

VAD1BC,

sinB=@L

AB

sinB=sin/DAC=1C,

AC

綜上，只有C不正確

故選：C.

2.【答案】D；

【解析】如圖：由勾股定理得，

AC=^2>AB=2,^2，BC={io,

...△ABC為直角三角形，

,tan/B="=』，

AB2

故選：D.

3.【答案】C；

【解析】由互余角的三角函數關系，cosa=sin(90°-a),Asin25°-sin(90°-a),

即90°-a=25°,???a=65°.

4.【答案】C；

【解析】設。A交x軸于另一點D,連接CD,根據已知可以得到0C=5,CD=10,

(9D=V102-52=573,?/ZOBC=ZODC,

OD56g

cosZOBC=cosZODC

CDV

5.【答案】D；

【解析】如圖所示，過點C作CDLAB于D,???ZBAC=120°,ZCAD=60°,

又；AC=2,AD=1,CD=&,

BD=BA+AD=5,在Rt^BCD中，BC7BD?+5=而=2a,

sm八生=咚=且

BC2幣14

6.【答案】D；

【解析】根據銳角三角函數的定義，銳角三角函數值等于相應邊的比，與邊的長度無關，而只與邊的

比值或角的大小有關.

7.【答案】C；

【解析】由tan/8AC=^=走，SC=—AC=—x30=10>73

AC333

8.【答案】A；

【解析】?；AB=>jAC2+BC2=3,二sinZACD=sinZB=—=—

AB3

二、填空題

9【答案】X

2

【解析】過點A作ABLx軸于B,

?.?點A(3,t)在第一象限，

/.AB=t?OB=3,

又tana=-^^-^j=A,

OB32

?.?l-9?

2

故答案為：1.

2

10.【答案】⑴<;(2)<；

【解析】當a為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，；.cos500<cos20°；

當a為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，...tanl80<tan21°.

11.【答案】105°；

sinA-亞

rv3_Y

【解析】V4-----COS8=0,

22

7

sinA一交=0,--cosB=0

22

即sinA=——，cosB-——

22

又?:NA、/B均為銳角，/A=45°,/B=30°,

在aABC中，ZA+ZB+ZC=180°,ZC=105°.

12.【答案】；

【解析】假設每一個小正方形的邊長為1,利用網格，從C點向AB所在直線作垂線CH.垂足為H,

則NA在直角△ACH中，利用勾股定理得AC=V42+22=275，

AC2755

13.【答案】2或2幺

3

【解析】此題為無圖題，應根據題意畫出圖形，如圖所示，由于點P是直線CD上一點，所以點P既

可以在邊CD上，也可以在CD的延長線上，

當P在邊CD上時，tanZBPC=——=2；當P在CD延長線上時，tanN3PC=——=-.

PCPC3

i5

14.【答案】—或-；

34

【解析】由爐―4x+3=0得玉=1,馬=3,①當3為直角邊時，最小角A的正切值為tanA=；；

②當3為斜邊時，另一直角邊為5/匯F=2及，，最小角A的正切值為

tan-=也.

2V24

故應填[上或注[5.

34

15.【答案】—；

3

【解析】由aABC的內心在y軸上可知0B是NABC的角平分線，則/0BA=45°,

易求AB與x軸的交點為(-2,0),所以直線AB的解析式為：y=x+2,

y=x+2

聯立1可求A點的坐標為(-6,-4),

y=-x-l

2

AB-VAD~+BD7-6-72,又0C=0B=2,

.“CA八上tBC141\

??BC=2,2.在RtzXABC中，tanA==—j=,=—

AB6V23

16.【答案］一2<?<2；

33

【解析】「OVcosa<1,

.\0<1",3-.<1,

2

解得

33

三、解答題

17.【答案與解析】

過D作DE〃AC,交BC于點E.

,/AD=BD,二CE=EB,AC=2DE.

又?:DC±AC,DE〃AC,

，DC±DE,即NCDE=90°.

又；ZBCD=30°,EC=2DE,DC=J^DE.

設DE=k,貝I」CD=G左，AC=2k.

在Rt/XACD中，AD=ylAC2+CD2

sinNCOA=^=.，cosZCPACDy/3kV21

AD#ik7而一麻一〒

AC2k2x/3

tanZCDA

CD~6k3

18.【答案與解析】_

(1)原式=4X_1-&X苧&X?

解:

=l+3a._

(2)原式=&X區-2x1

22

=1+1-1

=1.

2X￡

(3)原式=——*—--?xl

2X^-122

2

=—+1-3

24

2>/3-l

4

19.【答案與解析】

(1)證明：：四邊形ABCD是矩形,

AD〃BC,AD=BC

ZDAF=ZAEB

又?:AE=BC,

，AE=AD

又：/B=NDFA=90°,

，AEAB^AADF.

AB=DF.

(2)解：在RtaABE中，BE=yJAE2-AB2=V102-62=8

,?AEAB^AADF,

DF=AB=6,AF=EB=8,

EF=AE-AF=10-8=2.

EF21

--

tanZEDFOF-

-

63-

20.【答案與解析】

(1)連接BO并延長，交。0于點D,連接CD.

,/BD是直徑，BD=4,ZDCB=90°.

BC_2上—百

在RtZ\DBC中，sinABDC

ZBDC=60°,ZBAC=ZBDC=60°.

⑵因為AABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，AABC的面積最大，此時點A應落在

優弧BC的中點處.

過0作0ELBC于點E,延長E0交。0于點A,則A為優孤BC的中點.連結AB,AC,

則AB=AC,ZBAE=-ZBAC=30°.

2

在RtAABE中，：BE=V3,NBAE=30°,

3,

tan300-73

3

:.S^ABC=；x25/3x3=35/3.

答：AABC面積的最大值是36.

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解直角三角形及其應用一知識講解

【學習目標】

1.了解解直角三角形的含義，會綜合運用平面幾何中有關直角三角形的知識和銳角三角函數的定義解

直角三角形；

2.會運用有關解直角三角形的知識解決實際生活中存在的解直角三角形問題.

【要點梳理】

要點一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在RtZ\ABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關系：a'b'c"勾股定理）.

②銳角之間的關系：ZA+ZB=90°.

③邊角之間的關系：

.a.b.a

sin=—,cosA=-9tanA——

sin5=—,cosB=—,tan5=—.

cca

④113c=ga5=；c%，h為斜邊上的高.

要點詮釋：

（1）直角三角形中有一個元素為定值（直角為90°）,是已知值.

（2）這里講的直角三角形的邊角關系指的是等式，沒有包括其他關系（如不等關系）.

（3）對這些式子的理解和記憶要結合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點二、解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形演已知條件解法步驟

由tan<=士求NA,

b

RtAABC兩直角邊（a,b）ZB=90°-NA,

B

c-+i2

兩

」邊由sin工=±求NA,

c

月N-r--------'C斜邊，一直角邊（如c,a）ZB=90°-ZA,

b

2

b=_a

NB=90°-ZA,

銳角、鄰邊

b

(如NA,b)a=8?tan工，c=

cosA

一直角邊

和一銳角NB=90°-ZA,

邊銳角、對邊

a,a

(如NA,a)c=------b=--------

sinA,tanA

角

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角(如C,ZA)

a=csinAtb-ccosA

要點詮釋：

1.在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元

素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件

為邊.

要點三、解直角三角形的應用

解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數學模型，善于將某些實際問題中的數

量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據題意畫出

幾何圖形，建立數學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的

問題.

(3)根據直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母i表示，則i=，=tana,如圖,

坡度通常寫成好而：/的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做

俯角，如圖.

視線

眼睛《需——水平線

視線

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方

向PA,PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的

目標方向線OA,OB,OC,0D的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.

特別如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西

北方向指的是北偏西45。.

要點詮釋：

1.解直角三角形實際是用三角知識，通過數值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最

好畫出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為宜角三角形或矩形

來解.

3.解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意

圖，進而根據條件選擇合適的方法求解.

【典型例題】

類型一、解直角三角形

在RtZXABC中，NC=90°,a、b、c分別是/A、ZB,NC的對邊，根據下列條件，解這個直

角三角形.

(1)ZB=60°,a=4；(2)a=l,b=>/3.

【答案與解析】

(l)ZA=90°-ZB=90°-60°=30°.

由tan3=2知，b=atan8=4xtan60°=473.

a

.a,a40

由cos3=一知,c=--------=-----------=8.

ccosBcos60°

(2)由tanB=2=G得NB=60°,ZA=90°-60°=30°.

cr+b'—c1,c=a2+h2=V4=2.

【總結升華】解直角三角形的兩種類型是：（1）已知兩邊；（2）已知一銳角和一邊.解題關鍵是正確選擇

邊角關系.常用口訣：有弦（斜邊）用弦（正弦、余弦），無弦（斜邊）用切（正切）.

（1）首先用兩銳角互余求銳角NA,再利用NB的正切、余弦求b、c的值；

（2）首先用正切求出/B的值，再求/A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.

舉一反三：

【變式】(1)已知NC=90°,a=2V3,b=2,求/A、NB和c；(2)已知sinA=^,c=6,求a和b；

3

【答案】(1)c=4；ZA=60°、ZB=30°；(2)a=4；b=26

C^2.(2015?湖北)如圖，AD是△ABC的中線，tanB=1，cosC=YJAC=J?.求:

32

(1)BC的長；

(2)sinzADC的值.

【答案與解析】

解：過點A作AE_LBC于點E,

cosC=^^,

2

ZC=45。，

在RtAACE中，CE=AC*cosC=l,

??.AE=CE=1,

在RtAABE中，tanB=工，即金里」,

3BE3

BE=3AE=3,

BC=BE+CE=4；

(2)1??人口是^ABC的中線，

CD/BC=2,

2

DE=CD-CE=1,

「AE±BC,DE=AE,

/.ZADC=45°,

sinZADC=

2

【總結升華】正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，注意銳角三角函數的概念的正確應用.

類型二、解直角三角形在解決幾何圖形計算問題中的應用

C^3.（2016?鹽城）已知AABC中，tanB=Z,BC=6,過點A作BC邊上的高，垂足為點D,且滿足

3

BD：CD=2：1,則4ABC面積的所有可能值為.

【思路點撥】分兩種情況，根據已知條件確定高AD的長，然后根據三角形面積公式即可求得.

【答案】8或24.

【解析】

解：如圖1所示：

VBC=6,BD：CD=2：1,

；.BD=4,

VAD1BC,tanB=Z,

3

?必2,

.?.AD=2BD=2,

33

...S/\ABC=Uc>AD」X6X區8；

223

如圖2所示:

VBC=6,BD：CD=2：1,

；.BD=12,

VAD1BC,tanB=Z,

3

.AD_2

??■——f

BD3

，AD=&D=8,

3

...S.ABCJBOAD」X6X8=24；

22

綜上，4ABC面積的所有可能值為8或24,

故答案為8或24.

【總結升華】本題考查了解直角三角形，以及三角函數的定義，三角形面積，分類討論思想的運用是本

題的關鍵.

舉一反三：

【變式】（2015?河南模擬）如圖，在等腰RSABC中，NC=9（T,AC=6,D是AC上一點，若tanNDBA」,

5

則AD的長為多少?

【答案與解析】解：作DELAB于E,如圖，

ZC=90°,AC=BC=6,

AAACB為等腰直角三角形，AB=J，AC=6&,

ZA=45°,

在RSADE中，設AE=x,則DE=x,AD=&x,

在RtABED中，tanNDBE=里工,

BE5

BE=5x,

x+5x=6&,解得x=料,

AD=V2XV2=2-

類型三、解直角三角形在解決實際生活、生產問題中的應用

.某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為i=l:百（i=l：G是指

鉛直高度DE與水平寬度CE的比），CD的長為10m,天橋另一斜面AB的坡角NABC=45°.

（1）寫出過街天橋斜面AB的坡度；

⑵求DE的長;

（3）若決定對該過街天橋進行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30。，方便過路群

眾，改建后斜面為AF,試計算此改建需占路面的寬度FB的長（結果精確到.0.01m）.

【答案與解析】

⑴作AG_LB