最新北師大版八年級數(shù)學上冊教案全冊

第一章勾股定理

1探索勾股定理

第1課時勾股定理（1）

2教與目標

【知識與技能】

1.經(jīng)歷測量和用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推理意識，

主動探究的習慣，進一步體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系.

2.探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關系，進一步發(fā)展學生的說理和簡單推理的

意識及能力.

3.利用勾股定理，已知直角三角形的兩邊求第三邊長.

【過程與方法】

L在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結合的思想.

2.經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關系的過程，感受勾股定理的應用意識.

【情感態(tài)度】

1.通過對勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學變化，激發(fā)學習熱情.

2.在探究活動中，體現(xiàn)解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學生的合作交流意識和探索精神.

【教學重點】

探索勾股定理.

【教學難點】

用測量和數(shù)格子的方法探索勾股定理.

.,敦亨國I呈

一、創(chuàng)設情境，導入新課

我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.對于等腰

三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等

的特殊關系.那么對于直角三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們之間也存在著特殊的關

系，這就是我們這一節(jié)要研究的問題：勾股定理.出示投影1（章前的圖文P1）,介紹數(shù)學家

曾用這個圖形作為與“外星人”聯(lián)系的信號.

【教學說明】通過復習舊知識，引入新裸.出示投影，介紹與勾股定理有關的背景，激發(fā)

學生的學習興趣.

二、思考探究，獲取新知

勾股定理

做一做：

1.在紙上畫若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，看看三邊長的平方之間有怎樣

的關系？與同伴交流.

【教學說明】學生根據(jù)教師的要求完成這個問題，自主交流發(fā)現(xiàn)直角三角形的性質.

2.觀察教材圖1—2,正方形A中有個小方格，即A的面積為個面積單位.

正方形B中有個小方格.即B的面積為個面積單位.正方形C中有個小

方格，即C的面積為個面積單位.你是怎樣得出上面結果的？在學生交流回答的基礎

上教師接著發(fā)問.教材圖1—2中，A、B、C之間的面積之間有什么關系？

【教學說明】通過觀察特殊圖形下方格數(shù)與正方形面積之間的轉化，進一步體會探索勾

股定理.

歸納得出結論：SA+SB=SC.

3.教材圖1—3中，A、B、C之間是否還滿足上面的關系？你是如何計算的？

【教學說明】通過觀察計算.一般情況下方格數(shù)與正方形面積之間的轉化，進一步加強對

勾股定理的理解.

4.如果直角三角形兩直角邊分別是1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面所猜想的數(shù)量

關系還成立嗎？說明你的理由.

【教學說明】滲透從特殊到一般的數(shù)學思想，充分發(fā)揮學生的主體地位，讓學生體會到

觀察、猜想、歸納的思想，也讓學生的分析問題、解決問題的能力得到了提高.

議一議：你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

【教學說明】學生自主探究，發(fā)現(xiàn)直角三角形的性質，并整合成精確的語言將之表達出

來，有利于培養(yǎng)學生綜合概括能力和語言表達能力.

【歸納結論】直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.這就是著名的“勾股定

理”.也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c,那么a?+b2=c2.我國古代稱直

角三角形的較短的直角邊為勾，較長的直角邊為股，斜邊為弦，這便是勾股定理的由來.

三、運用新知，深化理解

1.在直角三角形ABC中，ZC=90°,若a=5,b=12,則c=.

2.在直角三角形的ABC中，它的兩邊長的比是3：4,斜邊長是20,則兩直角邊長分別

是.

【教學說明】學生的完成，加深對勾股定理的理解和檢測對勾股定理的簡單運用，對學

生的疑惑或出現(xiàn)的錯誤及時指導，并進行強化.

【答案】1.13；2.12,16

四、師生互動，課堂小結

通過本節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有什么.困惑？

【教學說明】教師引導學生回顧新知識，加強對勾股定理的理解，進一步完善了學生對

知識的梳理.

’曲課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：習題1.1第1、2、4題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

空教與反思

本節(jié)內容重在探索與發(fā)現(xiàn)，要給充分的時間讓學生討論與交流.適當?shù)木毩曇造柟趟鶎W也

是必要的，當然，這些內容還需在后面的教學內容再加深加廣.

2一定是直角三角形嗎

.,敦亨目標

【知識與技能】

掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用.

【過程與方法】

通過用三角形的三邊的數(shù)量關系來判斷三角形的形狀，體驗數(shù)形結合方法的應用.

【情感態(tài)度】

敢于面對數(shù)學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功經(jīng)驗，進一

步體會數(shù)學的應用價值，發(fā)展運用數(shù)學的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學活動的意識.

【教學重點】

探索并掌握直角三角形的判別條件.

【教學難點】

運用直角三角形判別條件解題.

教旻目睚

一、創(chuàng)設情境，導入新課

展示一根用13個等距的結把它分成等長的12段的繩子，請三個同學上臺，按老師的要

求操作.

甲：同時握住繩子的第一個結和第十三個結.

乙：握住第四個結.

丙：握住第八個結.

拉緊繩子，讓一個同學用量角器，測出這三角形其中的最大角.發(fā)現(xiàn)這個角是多少度？古

埃及人曾經(jīng)用這種方法得到直角，這三邊滿足了什么條件？怎樣的三角形才能成為直角三角

形呢？這就是我們今天要研究的內容.

【教學說明】利用古埃及人得到直角的方法，學生親自動手實踐，體驗從實際問題中發(fā)

現(xiàn)數(shù)學，同時明確了本節(jié)課的研究問題.既進行了數(shù)學史的教育，又鍛煉了學生的動手實踐、

觀察探究的能力.

二、思考探究，獲取新知

直角三角形的判別

做一做：

下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊a、b、c.

5、12、137、24、258、15、17

1.這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？

2.分別用每組數(shù)為三邊作三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

3.如果三角形的三邊長為a、b、c,并滿足a?+b2=c2.

那么這個三角形是直角三角形嗎？

【教學說明】鼓勵學生大膽發(fā)言，讓他們體驗通過實際的計算和探究得到結論的樂趣,

增強了他們勇于探索的精神.

【歸納結論】如果三角形的三邊長a、b、c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).大家可以想這樣的勾股數(shù)是很多的.今后我們可以

利用“三角形三邊a、b、c滿足a?+b2=c2時，三角形為直角三角形”來判斷三角形的形狀，

同時也可以用來判定兩條直線是否垂直的方法.

三、運用新知，深化理解

1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

.(1)9,12,15;

(2)15,36,39;

(3)12,35,36;

(4)12,18,22.

2.已知^ABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，是最大角.

3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,且/DAB=90°，求這個四邊形的面

積.

C

13

4/

A3B

【教學說明】學生獨立完成，能夠加深判斷一個三角形是直角三角形的條件的理解，幫

助學生答疑解惑，及時指導，矯正強化.在完成上述題目后，引導學生完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本

課時的“課堂自主演練”部分.

【答案】

1.(1)(2)兩組能作為直角三角形的三邊長.

V92+122=152,152+362=392.

這兩個三角形都是直角三角形.

2.直角，ZA

3.解:連結BD,在4ABD中，ZDBA=90°,BD2=AB2+AD2=32+42,BD=5.在aDBC中，.

52+122=132,即DB?+BC2=DC2,.?.△DBC為直角三角形，NDBC=90°,四邊形ABCD=SADAB+SADBC=

-x3x4+-x5xl2=36.

22

四、師生互動，課堂小結

1.判斷一個三角形是直角三角形的條件.

2.今天的學習，你有哪些收獲？還有哪些困惑？與同學交流.

【教學說明】及時反饋教與學雙邊活動的結果，查漏補缺，讓學生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的

好.習慣.

1.教材P10-11習題1.3第33、4題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

董敦亨反思

這是勾股定理的逆向應用.大部分同學只要能正確掌握勾股定理的話，都不難理解.當然勾

股定理的理解是關鍵.

3勾股定理的應用

.‘敦學目標

【知識與技能】

1.能運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.

2.學生觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念.

3.在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學

建模的思想.

【過程與方法】

在不同條件,不同環(huán)境中反復運用勾股定理及直角三角形的判定條件，使學生達到熟練、

靈活運用的程度.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生的空間觀念，提高學生建立數(shù)學模型的能力.

【情感態(tài)度】

通過解決實際問題，提高了學生應用數(shù)學的意識和鍛煉了學生與他人交流合作的意識，

再次感悟勾股定理和直角三角形判定的應用價值.

【教學重點】

探索發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及直角三角表判定條件，并用它們解決生活中的實

際問題.

［教學難點］

利用數(shù)學中的建模思想構造直角三角形，靈活運用勾股定理及直角三角形的判定，解決

實際問題.

教學日程

一、創(chuàng)設情境，導入新課

勾股定理的應用

前幾節(jié)課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長

的梯子？

日常生活當中，我們還會遇到下面的問題.

【教學說明】回憶勾股定理，鞏固舊知識，解決實際問題，完成知識的過渡，為學生學

習新知識又一次打下了堅實的基礎.

二、思考探究，獲取新知

螞蟻怎么走最近？

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的底面A點

有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？

（n的取值3）.

（1）同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得

哪條路線最短呢？

（2）如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么？你

畫對了嗎？

（3）螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱的側面爬行的最短路程是多少？

【教學說明】讓學生經(jīng)歷把曲面上兩點之..間的距離轉化為平面上兩點之間線段最短更為

直觀，再次利用勾股定理解決生活中較為復雜的實際問題，使所學的知識得到充分運用.

【歸納結論】我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線

AA'將圓柱的側面展開（如下圖）.

B'

我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學的走法：

（1；（2）一4f3'-5；

（3）,4—0—6；（4）.4-*5.

哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？

第（4）條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

三、運用新知，深化理解

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度

向東行走.1小時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北進行，上午10：00,甲、乙兩人相距

多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中

插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒應有多長？

【教學說明】學生獨立解決，把生活中的實際問題轉化為解直角三角形，對學生所學的

知識進行強化，以利于教師及時糾正.

【答案】1.分析：首先我們需要根據(jù)題意將實際問題轉化成數(shù)學模型.

解：（如圖）根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點，10：00時甲到達B點，則AB=2X6=12

（千米）；乙到達C點，則AC=1X5=5（千米）.

在RtAABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千

米.

2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取值范圍

而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短時是垂直于底面時.

解：設伸入油桶中的長度為x米，則應求最長時和最短時的值.

（1）X2=1.52+22,X2=6.25,X=2.5

所以最長是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：這根鐵棒的長應在2?3米之間（包含2米、3米）.

四、師生互動，課堂小結

通過本節(jié)課的學習，你掌握了哪些知識？還有哪些疑問？

【教學說明】學生梳理知識，加強教與學的互通，進一步提高課堂教學的效果.

課后作我

1.教材P6-7第3、4、5題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

敦與

這節(jié)課的內容綜合性比較強，可能有些同學掌握得不是太好，今后要繼續(xù)加強這方面的

訓練.

本章復習

淖教與目標

【知識與技能】

掌握勾股定理和如何判斷一個三角形是直角三角形，能靈活運用它們解決實際問題.

【過程與方法】

通過梳理本章知識點，回顧解決實際問題中所涉及的數(shù)形合的思想和逆向思維思考問題,

以便能熟練靈活運用.

【情感態(tài)度】

讓學生養(yǎng)成把已有的知識建立聯(lián)系的思維習性，積極參與數(shù)學活動，在活動中學會思考、

討論、交流和合作，激發(fā)他們的求知欲望.

【教學重點】

用勾股定理和如何判斷一個三角形是直角三角形解決簡單問題.

【教學難點】

能理解運用勾股定理解題的基本過程；掌握在復雜圖形中確定相應的直角三角形，根據(jù)

勾股定理建立方程.

『敦與日程

一、知識框圖，整體把握

‘勾股定理

［直接運用

勾解決簡單

勾股定理勾股定理及如何判斷

股實際問題

的應用一個三角形是直角三

定解決較綜

角形的綜合運用

理、合的問題

如何判斷一個三角形

、是直角三角形及應用

【教學說明】引導學生回顧本章知識點，構建知識結構框架，讓學生比較系統(tǒng)地了解本

章知識及它們之間的相互聯(lián)系.

二、釋疑解惑，加深理解

1.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法有多種，一般是采用剪拼的方法，它把“數(shù)與形”巧妙地聯(lián)系起來，

是幾何與代數(shù)溝通的橋梁，同時也為后面的四邊形、圓、圓形變換、三角函數(shù)等知識的學習

提供了方法和依據(jù).

說明：利用面積相等是證明勾股定理的關鍵所在.

2.勾股定理中的分類討論

在勾股定理的實際運用中，如果不明給出直角三角形中有兩條邊的長，要求第三條邊的

長就需要分兩種情況討論，即第一種情況是告訴兩條直角邊長求斜邊，第二種情況是告訴一

條直角邊和斜邊長求另一條直角邊.

3.曲面兩點間的距離問題

在解決曲面中兩點間的距離時，往往是要將曲面問題轉化為同一平面內兩點之間的距離,

這是解決問題的關鍵.

三、典例精析，復習新知

例1一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,將aABC折疊，使點B與點A

重合，折痕是DE（如圖所示），求CD的長.

4(B)

【分析】設CD為x,VAD=BD,，AD=8-x....在aACD中，根據(jù)勾股定理列出關于x的

方程即可求解.

解:由折疊知，DA=DB.在RtZXACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD）若設CD=xcm,則

AD=DB=（8-x）cm,代入上式得6?+x2=（8-x）2,解得x=7/4=1.75（cm）,即CD的長為1.75cm.

例2有一個立方體禮盒如圖所示，在底部A處有一只壁虎，C'處有一只蚊子，壁虎急

于捕捉到蚊子充饑.

（1）試確定壁虎所走的最短路線；

（2）若立方體禮盒的棱長為20cm,則壁虎如果想在半分鐘內捕捉到蚊子，每分鐘至少

要爬行多少厘米？（保留整數(shù)）

【分析】求幾何表面的最短距離時，通常可以將幾何體表面展開，把立體圖形轉化為平

面圖形.

解：（1）若把禮盒上的底面A'B'C'D'豎起來，如圖所示，使它與立方體的正面（ABB'

A'）在同一平面內，然后連接AC',根據(jù)“兩點間線段最短”知線段AC'就是壁虎捕捉蚊

子所走的最短路線.

（2）由（1）得，△ABC'是直角三角形，且AB=20,BC'=40.根據(jù)勾股定理，得AC'2=AB2+BC

2=202+402,AC/七44.7（cm）,44.7+0.5=90（cm/min）.

所以壁虎要想在半分鐘內捕捉到蚊子，它每分鐘至少爬行90厘米（只入不舍）.

【教學說明】師生共同回顧本章主要知識，對于例題中需要注意的事項教師可以適當點

評，便于學生熟練加以運用.

四、復習訓練，鞏固提高

1.已知在aABC中，NB=90°,一直角邊為a,斜邊為b,則另一條直角邊c滿足。2=.

2.在Rt/XABC中，NC=90°,若a=12,c-b=8,貝Ub=,c=.

3.如圖所示,在ZXABC中,ZACB=90°,CD1AB,D為垂足,AC=2.1,BC=2.8.

求：(1)AABC的面積；

(2)斜邊AB的長；

(3)斜邊AB上的高CD的長；

(4)斜邊被分成的兩部分AD和BD的長.

【答案】l.b2-a2；2.5,13；

3.解：(1)SAABC=-ACXBC=-X2.1X2,8=2.94.

22

(2)AB2=AC2+BC2=2..12+2.82=12.5,/.AB=3.5.

(3)由三角形的面積公式得,ACXBC=，ABXCD,所以■X2.1X2.8=』X3.5XCD,解

2222

得CD=1.68.

(4)在RtaACD中，由勾股定理得AD?+CD2=AC2,

AD2=AC2-CD2=2.12-1.682

=(2.1+1.68)(2.1-1.68)

=3.78x0.42=2x1.89x2x0.21

=22x9x0.214x0.21.

AAD=2X3X0.21=1.26.

，BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.

五、師生互動，課堂小結

本節(jié)復習課你能靈活運用勾股定理和如何判斷一個三角形是直角三角形的解決問題嗎？

還有哪些不足？

【教學說明】教師引導學生歸納本章主要的知識點，對于遺漏或需要強調的地方，教師

應及時補充和點撥.

寇評后作業(yè)

1.復習題4.5第11、12題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中“本章熱點專題訓練”.

’曾敢與反思

勾股定理是解決線段計算問題的主要依據(jù)，它單獨命題比較少見，更多時候是與其他知

識綜合應用，在綜合題中如何找到適當?shù)闹苯侨切问墙忸}的關鍵.

第二章實數(shù)

1認識無理數(shù)

3教與旦標

【知識與技能】

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數(shù)產(chǎn)生的必要性.

2.借助計算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).

3.會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).

［過程與方法］

讓學生親自動手做拼圖活動，培養(yǎng)學生的動手能力和合作精神，通過辨別一個數(shù)是有理

數(shù)還是無理數(shù)，訓練大家的思維判斷能力.

【情感態(tài)度】

1.了解有關無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的獻身精神.

2.讓學生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學生的數(shù)感和估算能力.

【教學重點】

L無理數(shù)的探索過程.

2.了解無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確判斷.

【教學難點】

把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

敦守過睚

一、創(chuàng)設情境，導入新課

同學們，我們上了好多年的學，學過不計其數(shù)的數(shù)，概括起來我們都學過哪些數(shù)呢？

在小學我們學過自然數(shù)、小數(shù)、分數(shù).

在初一我們還學過負數(shù).

對，我們在小學學了非負數(shù)，在初一發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用了，引入了負數(shù)，即把從小學學過的

正數(shù)、零擴充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，那么有理數(shù)范圍是否能滿足我們實際

生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個問題.

【教學說明】隨著學習的深入，知識層次的提高，有理數(shù)的范圍不能適應現(xiàn)代生活的需

要，這就要對數(shù)進行擴充，為學生學習新知識作準備.

二、思考探究，獲取新知

無理數(shù)的概念

拼一拼：

請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形和剪刀，認真討論之后，

動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

【教學說明】通過小組合作交流，動手操作得到一個大的正方形，學生非常高興地投入

到活動中，調動了學生的積極性.

同學們展示，拼圖的結果.

下面大家共同思考一個問題，假設拼成大正方形的邊長為a,則a應滿足什么條件呢？

【教學說明】探索拼圖的過程，對于學生理解大正方形的邊長是a是不是有理數(shù)很有幫

助.

【歸納結論】因為心力，22=4,32=9,……整數(shù)的平方越來越大，所以a應在1和2之

間，故a不可能是整數(shù)，又（1/2產(chǎn)=1/4,

（1/3產(chǎn)=1/9,（2/3產(chǎn)=4/9,…兩個相同因數(shù)的乘積都為分數(shù)，所以a不可能是分數(shù).

做一做：

2

大家判斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.

【教學說明】結合圖形，讓學生進一步理解面積為2的正方形邊長不是有理數(shù)，而是一

種新數(shù).

同學們能不能確定一下面積為2的正方形的邊長為a的大致范圍呢？

請大家用計算器探索，用表格的形式整理如下.

邊長Q面積S

1<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

還可以進行下去嗎？a是有限小數(shù)嗎？

【教學說明】教師引導學生探索，讓學生對這種不是有理數(shù)的新數(shù)有了初步的認識，為

下面引出無理數(shù)的概念打下了基礎.

【歸納結論】像這種無限不循環(huán)小數(shù)就叫做無理數(shù).

如:圓周率嘰=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數(shù),0,5858858885—（相鄰兩個5之

間8的個數(shù)逐次加1）也是一個無限不循環(huán)小數(shù)，它們都是無理數(shù).而3,45,0.38,0.17,

它們都能化成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)，這些數(shù)都是有理數(shù).

三、運用新知，深化理解

1.判斷題

（1）有理數(shù)與無理數(shù)的差都是有理數(shù).

（2）無限小數(shù)都是無理數(shù).

（3）無理數(shù)都是無限小數(shù).

（4）兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù).

2.下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

0.351,-23,4.9?6?,3.14159,-5.2323332—,123456789101112--?(由相繼的正整數(shù)

組成).

在下列每一個圈里，至少填入三個適當?shù)臄?shù).

有理數(shù)集合無理數(shù)集合

【教學說明】學生自主完成，加深了對無理數(shù)的理解以及有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別所在,

讓學生的疑難及時得到矯正與強化.

【答案】1.(1)；(2)；(3)V；(4)V；

2.0,351,-2/3,4.96,3.14159；-5.2323332…,123456789101112-(由相繼的正整

數(shù)組成).

四、師生互動，課堂小結

通過本節(jié)課的學習，你是如何判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？還有哪些困難？

【教學說明】引導學生尋找知識點間的區(qū)別和聯(lián)系，加深對易錯點的理解，有助于學生

正確解題.

三飛訓后作業(yè)

1.習題2.2第1、2、3題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

贄教尋反思

這節(jié)課的內容是無理數(shù)的概念以及判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).是數(shù)的范圍的又一

次擴充，是很重要的一節(jié).培養(yǎng)了學生分類歸納的思想.但對概念的理解掌握一些同學還不是

很好，只能在以后的教學過程中不斷的完善.

2平方根

第1課時算術平方根

教與目標

【知識與技能】

1.了解數(shù)的算術平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術平方根.

2.根據(jù)求一個數(shù)的算術平方根與平方是互逆運算，會利用這個互逆運算關系求某些非正

負數(shù)的算術平方根.

【過程與方法】

經(jīng)歷求一個數(shù)的算術平方根與平方的互逆關系，提高學生逆向思維方法.

【情感態(tài)度】

學生動腦、動口，積極參與教學活動，培養(yǎng)他們對數(shù)學的好奇心和求知欲.

【教學重點】

了解算術平方根的概念，性質，會用根號表示一個正數(shù)的算術平方根.

【教學難點】

理解算術平方根的概念、性質.

敦與國程

一、創(chuàng)設情境，導入新課

上節(jié)課我們學習了無理數(shù)、了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性，掌握了無理

數(shù)的概念，知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是：有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無

限不循環(huán)小數(shù).比如在a?=2中，2是有理數(shù)，而a是無理數(shù).在前面我們學過若x?=a,則a叫x

的平方，反過來x叫a的什么呢？本節(jié)課我們就來一起研究這個問題.

【教學說明】從平方入手，為學生下面學習算術平方根找到了突破口，讓他們對算術平

方根的求法與開平方這種互逆的關系形成了初步認識

二、思考探究，獲取新知

算術平方根的概念和求法.

下面請大家根據(jù)勾股定理,結合圖形完成填空：

E

X2=，Y2=，Z2=,W2=

請大家分析一下，X、V、z、w中哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?

【教學說明】回憶勾股定理得到一個數(shù)的平方是一個正數(shù)，為下面給出算術平方根的概

念作了開端.

【歸納結論】因為沒有任何整數(shù)或分數(shù)的平方等于2,3,5,所以x、y、w不是有理數(shù)，

而是無理數(shù)，即x=0,y=百，w=V5.因為22=4.所以z=2,是有理數(shù).

若一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,則這個.正數(shù)x就叫做a的算術平方根.記為“品”

讀作“根號a”.這就是算術平方根的定義.特別地規(guī)定0的算術平方根是0,即VO=0.

下面我們根據(jù)算術平方根的定義求一些數(shù)的算術平方根.

例1求下列各數(shù)的算術平方根：

(1)900；(2)1；(3)49/64；(4)14.

通過上面的例題，大家思考一下，我們在求算術平方根時是借助于哪一種運算來求的？

【教學說明】學生很容易看出一個正數(shù)的平方與求算術平方根是互為逆運算，有利于對

算術平方根概念的理解.

【答案】解：(1)因為302=900,所以900的算術平方根是30,即頒孤=30；(2)因為

12=1,所以1的算術平方根是1,即1=1；(3)因為(7/8)2=49/64,所以49/64的算術平方

根是7/8,即J4964=7/8；(4)14的算術平方根是JiW.

【歸納結論】在求算術平方根時是借助于平方來求的.在例題中的步驟采取語言敘述和符

號表示相互補充的做法，目的是讓大家在計算中進一步體會一個正數(shù)的平方與求算術平方根

是互為逆運算，在以后的步驟中可以簡化.

三、運用新知，深化理解

1.填空題.

(1)若一個數(shù)的算術平方根是6，則這個數(shù)是.

(2)49的算術平方根是.

7

(3)正數(shù)_________的平方為144/25,1-的算術平方根為__________.

9

(4)(-1.44)2的算術平方根為.

(5)J的的算術平方根為，7004=

2.求下列各數(shù)的算術平方根，并用符號表示出來：

(1)(7.4)2；(2)(-3.9)2；㈠)2.25；(4)2-.

4

3.自由下落的物體的高度h(米)與下落時間t(秒)的關系為h=4.9t?.有一鐵球從19.6

米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？

【教學說明】學生獨立完成，加深對算術平方根概念的理解，強化了算術平方根的求法

和表示方法.

【答案】1.(1)5；(2)2/3；(3)12/5,4/3；(4)1,44；(5)3,0.2.

。"

2.(1)J=7.4；(2),(—3.9)2=3.9；(3)7125=1.5；(4)=3/2.

3.解:將h=19.6代入公式h=4.9t?得t?=4,所以t="=2(秒)

即鐵球到達地面需要2秒.

四、師生互動，課堂小結

本節(jié)課你學習了哪些新知識？還有什么困難？請與同學們交流.

【教學說明】教師引導學生回顧所學知識，加深印象.找出不足，共同提高.

評后作業(yè)

1.習題2.3第1、2、3題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

敦守反思

本節(jié)課從一個數(shù)的平方入手，用逆向思維求一個數(shù)的算術平方根，學生容易接受，解決

問題起來應該說是得心應手，但要注意算術平方根的符號表示方法.

第2課時平方根

教學目標

?二

【知識與技能】

1.了解平方根的概念、開平方的概念，進一步明確平方與開方互為逆運算.

2.會求一個數(shù)的平方根，明確算術平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系.

【過程與方法】

經(jīng)歷求一個數(shù)的平方根與平方互為逆運算的過程，培養(yǎng)學生求同和求異的思維方法，能

從相似的事件中找到它們的共同點和不同點.

【情感態(tài)度】

通過學生在學習中互相幫助、相互合作，并能對不同概念進行區(qū)分，培養(yǎng)大家的團隊精

神，以及認真仔細的學習態(tài)度，為學生將來走向社會而做準備，使他們能在工作中保持嚴謹

的態(tài)度，正確處理好人際關系，成為各方面的佼佼.者.

［教學重點］

1.了解平方根、開平方的概念，會利用互逆運算關系求某些非負數(shù)的算術平方根與平方

根.

2.平方根與算術平方根的區(qū)別和聯(lián)系.

【教學難點】

1.平方根與算術平方根的區(qū)別和聯(lián)系.

2.負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方運算.

,通敦包”呈

一、創(chuàng)設情境，導入新課

上節(jié)課我們學習了.算術平方根的概念、性質.知道若一個正數(shù)x的平方等于a,即x?=a.則

x叫a的算術平方根，記作x=&,而且a也是非負數(shù)，比如正數(shù)22=4,則2叫4的算術平

方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4,則-2叫4的什么根呢？下面我們就來討論這個問題.

【教學說明】通過回顧算術平方根是一個正數(shù)正的平方根，從而順其自然引出還有一個

負數(shù)的平方等于這個正數(shù)，為下面學習平方根做了心理準備.

二、思考探究，獲取新知

1.平方根、開平方的概念

請大家思考兩個問題.

（1）9的算術平方根是3,也就是說，3的平方是9,還有其他的數(shù)，它的平方也是9

嗎？

（2）平方等于4/25的數(shù)有幾個？平方等于0.64的數(shù)呢？

【教學說明】學生很容易看出有正負兩個數(shù)的平方為一個正數(shù)，讓他們對平方根的概念

有了初步認識.

【歸納結論】3的平方等于9,-3的平方也等于9,3是9的算術平方根，-3是9的平方

根.平方等于4/25的數(shù)有兩個，即2/5和-2/5,平方等于0.64的數(shù)也有兩個，即0.8和-0.8.

一般地,如果一個數(shù)x的平方等于a,即x?=a，那么這個x就叫a的平方根（squareroot）,

也叫二次方根，3和-3的平方都等于9,由定義可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根

有兩個3和-3,9的算術平方根只有一個是3.

由平方根和算術平方根的定義，大家能否找出它們有什么相同和不同之處呢？

【教學說明】讓學生找出平方根和算術平方根的相同點與不同點，對于正確理解兩個不

同的概念和學生準確解題很有幫助.

【歸納結論】聯(lián)系：（1）具有包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根

的一種.

（2）存在條件相同：平方根和算術平方根都是只有非負數(shù)才有.

（3）。的平方根、算術平方根都是0.

區(qū)別：(1)定義不同：“如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根”；“非負數(shù)

a的非負平方根叫a的算術平方根”.

(2)個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，而一個正數(shù)的算術平方根只有一個.

(3)表示法不同：正數(shù)a的平方根表示為土白,正數(shù)a的算術平方根表示為

(4)取值范圍不同：正數(shù)的平方根一正一負，互為相反數(shù)；正數(shù)的算術平方根只有一

個.

什么叫開平方呢？我們共學了幾種運算？這幾種運算之間有怎樣的聯(lián)系？

【教學說明】使學生明白加與減、乘與除、平方與開平方都是互為逆運算.

2.平方根的性質

請大家思考下面的問題：

(1)一個正數(shù)有幾個平方根？

(2)。有幾個平方根？

(3)負數(shù)呢?

【教學說明】通過前面的學習，學生不難得出一個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反

數(shù)；0有一個平方根是0；負數(shù)沒有平方根，加深對平方根概念的理解.

1.求下列各數(shù)的平方根.

、

(1)64；(2)^49-;(3)0.0004；(4)(-25)-

(5)11.

2.想一想：

(i)(依y等于多少？|瑞;等于多少？

(2)(等于多少？

(3)對于正數(shù)。，(一―等于多少？

【教學說明】由平方根的定義，學生不難得出結果，對于平方根的求法再次加深，以達

到熟練運用.

三、運用新知，深化理解

1.求下列各數(shù)的平方根.

1.44,0,8,100/49,441,196,10-4

2.填空

(1)25的平方根是；

(2)(-5)2=；

(3)(5)2=.

3.判斷下列各數(shù)是否有平方根？并說明理由.

(1)(-3)2；(2)0；(3)-0.01；(4)-52；(5)-a2；(6)a2-2a+2

【教學說明】學生自主完成，加深對平方根概念的理解和檢測學生對平方根求法的掌握

情況，及時點撥，得以強化.

【答案】1.±1.2,0,±20，±—，±21,±14,±—

7100

2.(1)±5,(2)5,(3)5

3.有平方根的是：(-3)2,o,a2-2a+2,因為它們都是非負數(shù)；-0.03-5?沒有平方根，因

為它們都是負數(shù)；-a?,只有當a=0時它才有平方根.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧平方根和開平方的概念以及只有非負數(shù)才有平方根.

2.本節(jié)課你有哪些收獲？還存在哪些不足？

【教學說明】引導學生回顧知識點，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別以及學習過程中存在的

不足，便于進一步深化和查漏補缺.

途j般作業(yè)

1.習題2.4第1、2、3、4題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

臣敦髀思

這節(jié)主要是算術平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系，其中表示方法，求式子的值都是很容易

混淆的.大部分的學生還是能勉強的掌握.但還是要在以后的教學過程中再多讓學生分清他們.

3立方根

飛電教尋目標

【知識與技能】

1.了解立方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的立方根.

2.能用立方運算求某些數(shù)的立方根，明白開立方與立方互為逆運算.

3.正確區(qū)分立方根與平方根的不同.

【過程與方法】

在學習平方根的基礎上，用類比的方法學習立方根的有關知識.

［情感態(tài)度］

結合家若課的特點，訓練學生類比思想的養(yǎng)成，發(fā)展他們求同求異思維，使他們能在復

雜的環(huán)境中明辨是非.

【教學重點】

1.立方根的概念.

2.會求一個數(shù)的立方根.

【教學難點】

區(qū)分立方根與平方根的不同之處.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，導入新課

上節(jié)課我們學習了平方根的定義，若x2=a,則x叫a的平方根，即*=土&.正方體的棱

長為a,體積為8,根據(jù)正方體體積的公式得a3=8,那么a叫8的什么呢？本節(jié)課請大家根據(jù)

上節(jié)課的內容自己來類推出結論，若x3=a，則x叫a的什么呢？

【教學說明】學生比較容易由平方根的定義類推得出立方根的定義，他們心目中已經(jīng)對

立方根有了初步認識.

二、思考探究，獲取新知

1.立方根的概念及求法

下面大家能不能根據(jù)平方根的定義和記法來類推立方根的定義和記法呢？

【教學說明】由于學生在前面對于立方根的由來有了初步接觸，應該來說學生接受比較

快，容易掌握.

【歸納結論】若一個數(shù)X的立方等于a,即x3=a,那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（cube

root；也叫三次方根）.記為x=^,讀作x等于三次根號a,如2是8的立方根，-2/3是-8/27

的立方根，0是。的立方根.

大家能否由開平方的定義，再類推開立方的定義呢？

【教學說明】學生在己學的開平方的基礎上不難得出開立方的定義，有利于加深立方根

概念的理解.

【歸納結論】求一個數(shù)a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù).

2.立方根的性質

（1）2的立方等于多少？是否有其他的數(shù)，它的立方也是8?

（2）-3的立方等于多少？是否有其他的數(shù)，它的立方也是-27?

（3）0的立方等于多少？0有幾個立方根？

【教學說明】從立方入手，讓學生對立方根的求法再次得到加深.

【歸納結論】正數(shù)有一個正的立方根、負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根有一個，是

3.平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系

我們已經(jīng)學習了平方根與立方根的定義，并會求某些數(shù)的平方根和立方根，下面請大家一

說說它們的聯(lián)系與區(qū)別.

【教學說明】讓學生找出平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別對于正確理解兩個不同而又容易

混淆的概念和準確解題有很大幫助.

【歸納結論】聯(lián)系：（1）0的平方根、立方根都有一個是0.

（2）平方根、立方根都是開方的結果.

區(qū)別：（1）定義不同：“如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根”；“如果一

個數(shù)的立方等于a,這個數(shù)就叫做a的立方根”.

（2）個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，一個正數(shù)有一個立方根；一個負數(shù)沒有平方根，

一個負數(shù)有一個立方根.

（3）表示法不同

正數(shù)a的平方根表示為土右，a的立方根表示為也.

（4）被開方數(shù)的取值范圍不同

土右中的被開方數(shù)a是非負數(shù)；布中的被開方數(shù)可以是任何數(shù).

例1求下列各數(shù)的立方根：

（1）-27,（2）8/125；（3）0.216；（4）-5.

請大家思考下列問題：

也表示a的立方根，則（孔）3等于什么？行等于什么？

例2求下列各式的值：

（1）E⑵⑶_底

【教學說明】由立方根的定義，學生不難得出結果，對于立方根的求法再次加深，以達

到熟練運用.

三、運用新知，深化理解

1.求下列各數(shù)的立方根;

27,125

0,1,一后,6,一,0.001

1000

2.求下列各式的值：

E—忌;

3.下列說法對不對？

1-4沒有立方根；21的立方根是土1;

上的立方根是3；④-5的立方根是-5⑤64

366

的算術平方根是±8.

【教學說明】學生獨立完成，加深對立方根概念的理解和檢測學生對于立方根求法的掌

握情況，及時指導、點撥，得以強化提高.

【答案】1.0,1,年通-常,0.1；

2.0.3,—1,—_±_0_o±

4,'*9

3.正確的有:④.錯誤的有:①@③⑤.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧立方根和開立方的概念以及立方根的性質.

2.本節(jié)課你有哪些收獲？還有哪些疑問？

【教學說明】引導學生回顧所學知識，找出它們的相同點和不同點以及學習過程中存在

的疑惑，便于進一步深化提高.

戶課后作觀

1.習題2,5第1、2、3題.

2.完成《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

審教與反思

本節(jié)的內容最好在學生熟練掌握平方根的內容的前提下進行.這樣就能讓學生用類推的

方法得出立方根的相關結論.很容易理解與掌握.從學生上課的反映來看,這節(jié)課應該是比較成

功的.

4估算

三,敦與目標

【知識與技能】

1.能通過估算檢驗計算結果的合理性，能估計一個無理數(shù)的大致范圍，并能通過估算比

較兩個數(shù)的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意識，發(fā)展學生的數(shù)感.

【過程與方法】

通過一系列實際問題的解決讓學生逐步掌握估算的基本方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學生把數(shù)學應用于日常生活中的能力，對結果合理性的覺察能力，近似估算能力.

【教學重點】

掌握估算的方法，能通過估算檢驗計算結果的合理性.

【教學難點】

掌握估算的方法，形成估算的意識.

「敦亨國程

一、創(chuàng)設情境，導入新課

在前面我們已經(jīng)了解了估算一個根號表示的無理數(shù)一般是采用夾逼的方法.例如要估算

V20的大小，首先要找出20鄰近的完全平方數(shù).在日常生活中，往往要遇到估算一個比較大

的數(shù)的平方根或立方根，我們怎么辦呢？通過下面的學習你就明白了.

【教學說明】由于第二章第一節(jié)內容已經(jīng)初步接觸到估算，為他們后面學習估算比較大

的數(shù)作好了鋪墊.

二、思考探究，獲取新知

估算和數(shù)的大小比較

某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環(huán)保為主題的公園.已知這塊荒地的長是寬的

2倍，它的面積為400000米2

1.公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？

2.如果要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？與同伴交流.

3.該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是800米2,你能估計它的半徑嗎？（誤差小于

1米）

【教學說明】從實際問題出發(fā)，關注學生能否主動從事估算等活動.對于較復雜的計算可

用計算器.

議一議：

（1）下列計算結果正確嗎？你是怎樣判斷的？與同伴進行交流.

<43*=0.066；V§00^96；v5536?60.4

（2）你能估算師的大小嗎？（結果精確到1）.

【教學說明】通過估算檢驗計算結果的合理性，在活動過程中能否向同伴清晰的解釋自

己的想法，并從中得到啟發(fā).

例1根據(jù)生活經(jīng)驗表明，靠墻擺放梯子時，若梯子底端離墻的距離約為梯子長度的1/3,

則梯子比較穩(wěn)定.現(xiàn)在有一個長度為6米的梯子，當梯子穩(wěn)定擺放時，它的頂端能達到5.6米

高的墻頭嗎？

例2在公園兩側分別有一柱狀雕塑，高度分別是避二1（米）與1（米），通過估算，

22

試比較它們的高矮.你是怎么樣想的？與同伴交流.

【教學說明】讓學生體驗生活中無處不在的數(shù)學，用數(shù)學語言有條理地表達自己估算思

考過程.

三、運用新知，深化理解

L估算下列數(shù)的大小：

(1)V5?89(精確到0.01)(2)W-1285(精確到-L)

2.通過估算，