初升高數學基礎知識訓練(一)

一.實數的混合運算:[以下各題均不許使用計算器，只能筆算(最好能心算)]

例1.已知：m=5壯，"=4』.求：[-3，(M+W)F(%-W)X|-2(7〃+W)(%-W)]2的值.

772

計算:(冬++嚏T嗚

練習：1.

2.2Y31‘54’

l-(l-l)-(l-l)-(l-l)

324354

37

【答案】[-25600000][--][—]

213cbax

,■6i,~*

例2.有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示,

化簡Ia+b\-\b~1|-|a-c|-|1-c|=

練習3.已知同=1,網=2,|c|=3,且a>b>c,則a—Z?+c=.

練習4.已知：?=1999,求：|34-2。2+4。-1卜|3〃-3。2+3。-2001|的值.

【答案】例2、【2計2c-2】la-b+c=O或-2][4xl06]

例3.若。是實數，則(-a)+|a|+|-a|+(Ta|)的最小值是.

練習5.已知尤是實數，則|廠2|+伏+3|的最小值是.

【答案】0；5；

二.因式分解：

1.二次三項式的因式分解：

例4:分解因式：3/-5廠12

練習6:分解因式:

(1).2a2~a~3(2).-10x2+llx-3

(3).6x2-5xy-6y2(4).4層+12〃/?+9接

(5).215+20廣96(6).2/-5x2—12

【答案】[(2。-3)(〃+1)][(—5x+3)(2x—1)][(3x+2y)(2x—3y)][(2〃+3與2][(7廣12)(3什8)][(2N+3)(X+2XX—2)]

例5.若〃、b、。為三角形/ABC的三邊長，則代數式〃2-。2―。2+2稅的值()

(A)大于0但)大于或等于0(C)小于0(D)小于或等于0

練習:7.分解因式:(1一次)(1一按)一4。0

練習:8.彳匕簡：(a-b+c)\b-a-c)\a^-c-b)(b-c-a)3

【答案】A；(ab-1^a+b){ab~1-a-b)；-(a+c-Z?)10

例6.分解因式：N+2(〃+l)x+2〃+l

練習9:分解因式

(1)加一獷3+1)(〃wo)(2)――2獷(〃2_])(3)c^x^ax-1(。#0)

練習10:已知〃、Z?均為正數，則關于%的方程4%2-2(〃-份4-9?=0的根的狀況為：()

(A)無實根(B)有兩個不等實根(C)有兩個相等實根(D)有實根

練習11.若代數式3N+X+。在實數范圍內分解成含1的兩個一次代數式的積.求〃的取值范圍.

【答案】9、l)](x+l)；。2(X_1)(1J)；10、B11>a-~^

2.立方和公式與立方差公式.

立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a3±b3

說明：注意公式的逆用(即為化簡公式)以及變用:c^+ab+b2.

a±b

3

例6.若J+拄被他+26)整除等于m,則m=________(用關于a、b的代數式表示)

8

練習12.因式分解：

(1)x3+l(2)x6-l(3)4+8〃

(4)x3-8(5)ay[a+b4b

【答案】1>[(x+l)(x2-x+l)]2>[(x+Da-DC^+,+i)]3、[〃("+2)(〃2-2。+4)]4、[(x-2)(x2+2x+4)]5>

[+y[b)(a—y[ab+0)]

例7.因式分解：x3+3x2-4x~12.

練習13.因式分解：a5+b5—a3b2—a2b3[(a-b)2(a+b)(a2-^ab+b2)]

三.根式的分母有理化、根式化簡（最簡根式）

例8.化簡:炳+百+A

練習14.3小xJ（2-4產

練習15.已知a=-2,b=-3,求da3b-』+^a3b3的值.

【答案】14、[243+2-45]15、[5痣]

例9.化簡：

，2+，3V2+1<3+1

亞1_2+行[而-9石-%

練習16.化簡?

V3+175+732-V3

練習17.化簡(V3-V2)2(5+2V6)1784-73X728+373)][9]

練習18.已知：a=—.化簡1-2"+/=2"+1

[3]

2+J3a—1a—ci

練習19.化簡1+2,石

J3+3+J5+J15

例10.利用立方差和公式

已知切>0,〃>0.且加.化簡：---?(—^——_2)[3y/~n]

2m+y/mnm7mnJ加+J〃

練習20.已知：當x=8，y=18,求：>一尸的值.[-V2]

y/x-y/yXy/y-yy/x

練習21.已知:a=修+g求：7a3+^3-367的值.[11]

75+73V5-V3

四.一元二次方程：

1.一元二次方程根的判別式及韋達定理.

對于關于x的一元二次方程?x2+Z?x+c=0(〃M)①

(1)記△斗2-4碇，稱之為上述一元二次方程的判別式.(注意不是"2-4℃)

當且僅當：A>0時，方程①有兩個不等實數根：

-/7+VA-Z7-VAe

xi=-------,X2=-------②

2a2a

當且僅當：A=0時，方程①有兩個相等實數根：X]=X2=Xl=-2

2a

當且僅當:A<0時，方程①無實根.

(2)韋達定理(根與系數關系)：由②可知：當A》0時，必有

bc(-^)2-Ab2-(Z?2-4ac)cr

Xl+X2=——,X1X2=—r[=-----=

aa(2。)2

說明：韋達定理是方程理論最基礎的一個結論，當然也是中學數學必須熟練掌握的一個公式.

實例：方程2N+10x-7=0.

例11.不解方程，判別下列方程根的情況.

(1)2x2+3尸4=0;(2)16y2+9=24y;(3)5(x2+l)-7x=0.

練習22.(1)下列方程中，有兩個相等的實數根的是(B)

(A)2y2+5=6y(B)x2+5=2V5x(C)V3x2-V2x+2=0(D)3x2-2V6x+l=0

(2)關于x的方程62—2x+1=0中，如果a<0,那么根的情況是(B)

(A)有兩個相等的實數根(B)有兩個不相等的實數根

(C)沒有實數根(D)不能確定

例12.已知方程2x2+(A9)x+(R+34+4)=0有兩個相等的實數根，求左值，并求出方程的根.

練習23.若關于尤的方程尤2+2(°+1.+(層+4°-5)=0有實數根，試求正整數a的值.

練習24.關于x一元二次方程fc?-2x-l=0有兩個不相等實數根，則k的取值范圍是.

練習25.如果尤2—2(機+1)X+/+5是一個完全平方式，則.

【答案】23、g,2,3]24、伏〉-1且際0]25、[2]

例13.已知xi，尬是方程2/-7x+4=0的兩根.

求：(1)(X1-X2)2(2)Xl2+X22(3)Xl3+%23

練習26.若關于工的方程02-2)%2-(7〃-2)尤+1=0的兩個根互為倒數，貝!J租=

練習27.設孫尤2是方程2x2+4x-3=0的兩根，利用根與系數關系求下列各式的值：

(1)(xi+l)(%2+l)(2)^+—(3)xr+X1X2+X22(4)\xi-X2\

XlX2

練習28.求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1-石和1+后.

【答案】26、-V327>,710；28、x2-2x-4=0

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