八年級上學期壓軸題模擬數學綜合檢測試卷解析(一)

2.已知AABC是等邊三角形，aAOE的頂點。在邊8c上

(1)如圖1,若4D=DE,ZAED=60°,求NACE的度數;

(2)如圖2,若點。為8c的中點，AE=AC,ZMC=90°,連C￡,求證：CE=2BF；

(3)如圖3,若點。為8C的一動點，ZAED=90°,ZADE=30\已知AABC的面積為

4舊，當點。在8c上運動時，△48E■的面積是否發生變化？若不變，請求出其面積；若變

化請說明理由.

2.在平面直角坐標系中，點八的坐標是(0M),點B的坐標SB)且a,b滿足

a2-12a+36+\a-b\=0.

(1)求A、8兩點的坐標；

(2)如圖(1),點C為x軸負半軸一動點，OC<OB.8DJ.AC于D,交y軸于點E,

求證：0￡)平分NCD乩

(3)如圖(2),點F為4F的中點，點G為x正半軸點8右側的一動點，過點F作R?的

垂線"7,交y軸的負半軸于點H,那么當點G的位置不斷變化時，S。切-SNM的值是

否發生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應結果.

3.請按照研究問題的步驟依次完成任務.

【問題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱為"8字形"，請說理證明NA+NB=NC+ND.

圖5

【簡單應用】

(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD、ZBCD,若/ABC=20。，ZADC=26°,求NP的度數

(可直接使用問題(1)中的結論)

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分NBAD的外角NFAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若/

ABC=36°,ZADC=16°,猜想NP的度數為_；

【拓展延伸】

(4)在圖4中，若設NC=x,ZB=y,ZCAP=|zCAB,ZCDP=|ZCDB,試問NP與NC、

NB之間的數量關系為—(用x、y表示NP)；

(5)在圖5中，AP平分/BAD,CP平分NBCD的外角NBCE,猜想NP與NB、D的關

系，直接寫出結論.

5.已知△ABC是等邊三角形，ZkAOE的頂點。在邊8c上

(1)如圖1,若AD=DE,ZAED=60°,求NACE的度數;

(2)如圖2,若點D為8C的中點,AE=AC,NEAC=90°,連CE,求證：CE=2BF；

(3)如圖3,若點。為BC的一動點，ZAED=90°,ZADE=30°,已知AA8c的面積為

4月，當點。在8c上運動時，△A8E的面積是否發生變化？若不變，請求出其面積；若變

化請說明理由.

5.如圖1,將兩塊全等的三角板拼在一起，其中^ABC的邊BC在直線I上，AC_LBC且AC

=BC；4EFP的邊FP也在宜線I上，邊EF與邊AC重合，EFFP且EF二FP.

（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關

系；

（2）將三角板4EFP沿直線I向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連接AP、

BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，并證明你的猜想；

（3）將三角板AEFP沿直線I向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點

Q,連接AP、BQ.你認為（2）中猜想的BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系還成立嗎？

若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

6.（1）如圖1,已知：在M8C中，ZB4C=90°,AB=AC,直線m經過點4BO_L直線

m,C￡J_直線m,垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.（提示：由于。0W+4E,證明

AD=CE,AE=8。即可）

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在S8C中，AB=AC,D、2、￡三點都在直線m上，

并且有N8DA=NAEC=N84C=a,其中。為任意鈍角，請問結論DE=BD+CE是否成立？如成

立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）如圖3,D、E是。、4E三點所在直線m上的兩動點（D、4E三點互不重合〕，

點F為/B4C平分線上的一點，且448F和，4CF均為等邊三角形，連接8D、CE,若/

BDA=ZAEC=ZBAC,試證明.OEF是等邊三角形.

7.如圖，在△48C中，點D為直線8c上一動點，ZDAE=9Q°,AD=AE.

圖1圖2圖3

(1)如果/84：=90。，AB=AC.

①如圖1,當點。在線段BC上時，線段CE與8。的位置關系為,數量關系為

②如圖2,當點。在線段8c的延長線上時，①中的結論是否仍然成立？請說明理由；

(2)如圖3,若△48C是銳角三角形，ZACB=45°,當點。在線段8c上運動時，證明：CE1

RD.

8.如圖，.ABC和AADE中,AB=AD=6,BC=DE,ZB=ZD=30°,邊AO與邊BC

交于點P(不與點A,C重合)，點A,E在AO異側，/為NP4c與440的角平分線的

交點.

⑴求證：ZBAD=ZCAE：

(2)設AP=x,請用含“的式子表示P。，并求P。的最大值；

(3)當AB_L4C時,NA/C的取值范圍為利。vNA7Cv〃。，求出明〃的值.

【參考答案】

?.(1)60。：(2)見解析：(3)不變，

【分析】(1)由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BADM^CAE,得

ZACE=ZB=60°；

(2)由題意，先求出NBEC=30。，然后求出NCF

解析：(1)60°；(2)見解析；(3)不變，

【分析】(1)由題意，先證“DE是等邊三角形，再證得N4CE=N

8=60°；

(2)由題意，先求出N8￡C=30。，然后求出/CFE=90。，利用直角三角形中30度角所對直

角邊等于斜邊的一半，即可得證；

(3)延長須至F,使￡F=4E,連。F、CF,先證明ZiADF是等邊三角形，然后證明

△EHA,結合HG是定值，即可得到答案.

【詳解】解：(1)根據題意，

?；AD=DE,ZAED=60°,

???△ADE是等邊三角形，

：,AD=AE,ZDAE=60°,

?：AB=AC,N8心60°,

???zLBAC-ZDAC=Z.DAE-ZDAC,

即W￡)=NC4￡,

:.△BAD^RCAE,

:.NAC￡=N8=60°；

(2)連CF,如圖：

圖2

'：AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZ64C=60°,ZEAC=9Q°,

.??N8AE=150°,

:.NAE8=NA8E=15°；

??.△ACE是等腰直角三角形，

:.4EC=45°,

.,.ZB￡C=30°,NEBC=45°,

??N。垂直平分8C,點F在A。上，

1?CF=BF,

.??NFC8=NE8c=45°,

:.NCFE=90°,

在直角ZkCEF中，ZCFE=90°,NCEF=30°,

：,CE=2CF=2BF；

(3)延長4F至F,使EF=4E,連OF、CF,如圖:

VZAED=90\EF=AE,

，DE是中線，也是高，

???△ADF是等腰三角形，

ZADE=30°f

:.ZDAE=60°,

???△ADF是等邊三角形；

由（1）同理可求N4CF=/48C=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q°,

：.CF//ABf

過E作EG_LCF于G,延長GE交84的延長線于點兒

易證AEGF也△EH4

，EH=EG=；HG,

???HG是兩平行線之間的距離，是定值，

:.S^ABE=!SAABC=-X4X/3=2A/3；

22

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，垂直平分線的

性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握

所學的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題.

3.（1）,；（2）證明見解析；（3）不變化，.

【分析】（1）由非負性可求a,b的值，即可求A、B兩點的坐標；

（2）過點。作于M,于N,根據全等三角形的判定和性質解答即可；

（3）由于點F是等

,即

解析：（1）A（0,6）,5（6,0）;（2）證明見解析；（3）不變化，SAFH-S=9.

【分析】（1）由非負性可求。，b的值，即可求4、8兩點的坐標：

（2）過點。作OMJL5O于M,ONJLAC于N,根據全等三角形的判定和性質解答即可；

（3）由于點F是等腰直角三角形八OB的斜邊的中點，所以連接OF,得出0F=8F.ZfiFO=

NGFH，進而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質以及三

角形面積公式解答即可.

【詳解】解：（1）???/-12。+36+|〃一可=0

/.（＜s—6）2十,

a-6=0

即a=/>=6.

a-b=0

???A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過點。作OM_LA。于M,ON1AC于M

根據題意可知N4CO+NC4090。.

???BD1AC,

工ZBCD+ZCBE=90°,

工NCAO=4CBE.

A(0,6),4(6,0),

，0A=0B=6.

NCAO=NEBO

在△AOC和△BOE中，OA=OB

/AOC=ZBOE=90°

:.AOC^BOECASA).

：.OE=OC,AC=RE,SAOC=SBOE

.」AC?ON=LBE?OM,

22

：.OM=ON,

:?點、。?定在NCDB的角平分線I.,

即0。平分NCD8.

(3)如圖，連接OF,

???JO"是等腰直角三角形且點F為48的中點,

OF=FB,OF平分NA08.

，4OFB=4)FH+N〃7格=90。.

又;FG1FH,

/.ZHFG=/BFG+/HFB=90°,

???4OFH=4BFG.

???NFOB=L/AOB=45。,

2

JZFOH=ZFOB+Z//OS=45°+90°=135°.

又/FBG=180°-ZABO=180°-45°=135°,

Z.ZFOH=Z.FBG.

Z.OFH=Z.BFG

在和aEBG中)OF=BF,

ZFOH=NFBG

???FOH=￡,FBG(ASA).

?q=q

??uFOHuFBG，

X

**,SAFH-SFBG=SAFH~SFOH=SFOA=—SAOB=—^—OA?OB=-6X6=9.

故不發生變化，且5"〃-SF8G=9.

【點睛】本題為三角形綜合題，考查非負數的性質，角平分線的判定，等腰直角三角形的

性質和判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問

題，正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

4.(1)見解析；(2)ZP=239；(3)ZP=265；(4)ZP=；(5)ZP=.

【分析】(1)根據三角形內角和定理即可證明；

(2)如圖2,根據角平分線的性質得到N1=/2,Z3=Z4,列方

解析：(1)見解析；(2)ZP=239；(3)ZP=262；(4)ZP=^^；(5)Z

180°+ZB+ZD

P=------------2------------

【分析】(1)根據三角形內角和定理即可證明；

(2)如圖2,根據角平分線的性質得到N1=N2,Z3=Z4,列方程組即可得到結論；

(3)由AP平分NBAD的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,推出N1=N2,Z3=Z

4,推出NPAD=180°-N2,ZPCD=180°-Z3,由NP+(18O°-Z1)=ZD+(180°-Z3),ZP+

Z1=ZB+Z4,推出2NP=/B+ND,即可解決問題；

(4)根據題意得出NB+NCAB=NC+NBDC,再結合/CAP=|NCAB,ZCDP=|ZCDB,得

JJ

到y+(ZCAB-^ZCAB)=ZP+(ZBDC-^ZCDB),從而可得NP=y+NCAB-gNCAB?/

CDB+-/CDB=2x+y；

33

(5)根據題意得出NB+NBAD=ND+NBCD,ZDAP+ZP=ZPCD+ZD,再結合AP平分/

BAD,CP平分/BCD的夕卜危NBCE,得至NBAD+NP=[/BCD+3(180°-ZBCD)]+ZD,

所以NP=900+:NBCD-；ZBAD+ZD=18°°+Zg+ZZ).

222

【詳解】解：(1)證明：在^AOB中，ZA+ZB+ZAOB=180°,

在ACOD中，ZC+ZD+ZCOD=180°,

VZAOB=ZCOD,

.,.ZA+ZB=ZC+ZD；

(2)解；如圖2,YAP、CP4)?另4平7>NBAD,NBCD,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

ZP+Z3=Z1+ZB?

由（1）的結論得：

ZP+Z2=Z4+ZZX2)

①+②，得2NP+N2+N3=N1+N4+NB+ND,

AZP=-(ZB+ZD)=23°；

(3)解：如圖3,

E圖3

VAP平分NBAD的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

ZPAD=180°-Z2,ZPCD=1800-Z3,

VZP+(18O0-Z1)=ZD+(180°-Z3),

ZP+Z1=ZB+Z4,

A2ZP=ZB+ZD,

/.ZP=1(ZB+ZD)=yx(36°+16°)=26°；

故答案為：26。；

(4)由題意可得：ZB+ZCAB=ZC+ZBDC,

即y+ZCAB=x+ZBDC,S[JZCAB-ZBDC=x-y,

ZB+ZBAP=ZP+ZPDB,

即y+ZBAP=ZP+ZPDB,

即y+(ZCAB-ZCAP)=ZP+(ZBDC-ZCDP),

即y+(ZCAB-|ZCAB)=ZP+(ZBDC-|zCDB),

，ZP=y+ZCAB-iNCAB-/CDB+gZCDB

2

=y+-(ZCAB-ZCDB)

=y+j(x-y)

21

故答案為：ZP=—x+-y；

(5)由題意可得：ZB+ZBAD=ZD+ZBCD,

ZDAP+ZP=ZPCD+ZD,

:.ZBZD=ZBCDZBAD,

YAP平分NBAD,CP平分/BCD的外角NBCE,

:.ZBAP=ZDAP,NPCE=/PCB,

yZBAD+ZP=(ZBCD+yZBCE)+ZD,

AyZBAD+ZP=[ZBCD+y(1800-/BCD)]+ZD,

:.ZP=90°+yZBCD-yZBAD+ZD

=90。+；(ZBCD-ZBAD)+ND

=90°+；(ZB-ZD)+ZD

180°+ZB+ZD

-2'

/180°+ZB+ZD

故答案為:ZP=2

【點睛】本題考查三角形內角和，三角形的外角的性質、多邊形的內角和等知識，解題的

關犍是學會用方程組的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

5.（1）60。；（2）見解析；（3）不變,

【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BADMaCAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由題意，先求出NBEC=30。，然后求出NCF

解析：（1）60。；（2）見解析；（3）不變，2G

【分析】（1）由題意，先證是等邊三角形，再證△加。且△CAE,得N4CE=N

8=60°；

（2）由題意，先求出N8EC-30。，然后求出NCFE-90。，利用直角三角形中30度角所對直

角邊等于斜邊的一半，即可得證；

（3）延長4E至F，使EF=4E,連OF、CF,先證明MDF是等邊三角形，然后證明△EG9

△EHA,結合HG是定值，即可得到答案.

【詳解】解：（1）根據題意，

;AD=DE,N4￡D=60°,

???△AOE是等邊三角形，

:.AD=AE,N￡ME=60°,

\'AB=AC,N8AC=6（r,

???ZBAC-ZDAC=ZDAE-NDAC,

即/E4D=NC4E,

:ABADqbCAE,

:.NACE=N8=60°；

(2)連CF,如圖：

圖2

\*AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZ64C=60°,ZEAC=90°,

：.ZBAE=150°,

:.ZAEB=ZABE=1SQ；

???△ACE是等腰直角三角形，

:.4EC=45°,

/.ZBfC=30°,ZfBC=45°,

二AD垂直平分BC,點F在AD上,

：,CF=BF,

/.ZFCB=Z￡eC=45o,

:.NCFE=90°,

在直角ZiCEF中，ZCFE=90°,ZCEF=30°,

：,CE=2CF=2BF：

(3)延長AE至F,使EF=AE,連OF、CF,如圖:

H

VZAED=90\EF=AE,

DE是中線，也是高，

???△ADF是等腰三角形，

,:ZADE=30°,

：,ZDAE=60°,

???△4DF是等邊三角形；

由(1)同理可求N4CF=/48C=60°,

:.ZACF=ZBAC=6Q°,

：.CF//AB,

過E作EGLCFJ-G,延長6E交BA的延長線于點H,

易證△EGFg^EHA,

：.EH=EG=^HG,

???HG是兩平行線之間的距離，是定值，

工558E=4S^ABC=-x4x/3=2x/3；

22

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，等腰三用形的判定和性質，垂直平分線的

性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握

所學的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題.

57.已知，40,a),B(b,0),點為x軸正半軸上一個動點,AC=CD,ZACD=9Q°.

(1)已知a,b滿足等式Ia+bI+b?+4b=-4.

①求A點和B點的坐標；

②如圖1,連8。交y軸于點H,求點H的坐標；

(2)如圖2,已知a+b=0,OC>OB,作點8關于y軸的對稱點E,連OE,點F為DE的中

點，連OF和CF,請補全圖形，探究OF與CF有什么數量和位置關系，并證明你的結論.

(1)①八(0,2),B(-2,0)；②H(0,-2)；(2)CF1OF,CF=OF,證明見解析.

【分析】(1)①利用絕對值、完全平方的非負性的應用，求出。、b的值，即可得到答

案；

②過C作y軸垂線交8A的延長線于E,然后證明△CE4絲△CBD,得到08=。從即可得到

答案；

(2)由題意，先證明△DFGg^EFO,然后證明ADCGgZVIC。，得到ZkOCG是等腰直角三角

形，再根據三線合一定理，即可得到結論成立.

【詳解】解：(1)???|。+4+6+4〃=-4,

???,+4+〃+劭+4=0,

.?.|"+可+(。+2)2=0,

/.a+b=0,b+2=(),

：.b=-2t

a=2,

：.A(0,2),B(-2,0)；

②過C作x軸垂線交BA的延長線于E,

???0/4=08=2,Z>408=90%

???△AOB是等腰直角三角形,

:./48。=45°,

VEC1SC,

???△BCE是等腰直角三角形，

：.8C=EC,ZBCE=90°=ZACD,

:.NACE=/DCB,

V^C=DC,

/.△CfA^ACBD,

AZCBD=Z￡=45°,

：.OH=OB=2,

：.H(0,-2)；

(2)補全圖形，如圖：

???點8、￡關于y軸對稱,

；?OB=OE,

\*a+b=0,即。=一6

：,OA=OB=OE

延長。F至G使FG=OF,連DG,CG,

VOF=FG,NOFE=NDFG,EF=DF

:?△DFGdEFO

：.DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

??.NCDG=NOCO：

Y4cO+NC4O=NACO+NDCO=90°,

???NOCO=NC4O；

???NCDG=NO8=/C4。；

'：CD=ACfOA=DG

:.△DCGWXACO

：.OC=GC,ZDCG=ZACO

ZOCG=90°,

，NCOF=45°,

???△OCG是等腰直角三角形，

由三線合一定理得CF±OF

VZOCF=ZCOF=45°,

:?CF=OF；

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三免形的判定和性質，軸對稱的性

質，非負性的應用，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出輔助線進行解題.

58.已知點4在x軸正半軸上，以0A為邊作等邊,。八￡,A[x,0),其中x是方程

3122…

------------7=7-----7的解.

23x-l6.V-2

(1)求點4的坐標；

(2)如圖1,點C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內作等邊48,連。8并延長

交V軸于點￡，求NBEO的度數；

(3)如圖2,點F為x軸正半軸上一動點，點F在點4的右邊，連接FB,以FB為邊在第

一象限內作等邊，-F8G,連G4并延長交y軸于點H,當點F運動時，A尸的值是否發

生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍.

圖1

(1)4(3,0)；(2)120°；(3)GH-A產的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解為x=3,即可求解；

(2)由“S4S"可證4。。也△DA8,可得NO84=NCO4=90。，由四邊形內角和定理可求

解；

(3)由“S4S”可證△ABG^^OBF可得OF=AG,ZBAG=ZBOF=6Q°,可求NO4H=60。，可

得八片=6,即可求解.

3122

【詳解】解：(1)??一是方程：-「一;二;~的解.

23x-l6x-2

解得：x=3,

檢驗當x=3時，6K-2W0,3X-1W0,

???x=3是原方程的解，

???點A(3,0)；

(2)VA4CD,是等邊三角形，

：.AO=AB,AD=AC,/8A0=NC40=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=A8,AD=AC,

：./^CAO^/\DAB(SAS)

：.ZDBA=ZC0A=9Q\

:.ZABE=90°,

'：40E+ZABE+N0A8+ZBf0=360°,

.,.Z8fO=120°；

(3)G+4F的值是定值，

理由如下：??'△ABC,ABEG是等邊三角形，

：.BO=AB=AO=3,FB=BG,N80A=/48。=NF8G=60°,

：.ZOBF=ZABG,且。8=八8,BF=BG,

：./\ABG迫4OBF(SAS),

：,OF=AG,ZBAG=ZBGF=6Q°,

:.AG=OF=OA+4F=3+AF,

*/ZOAH=1800-ZOAB-ZBAG,

,NOAH=60°,月./AOH=90°,OA=3,

：,AH=6f

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=64-3+AF-AF=9.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質，全等三角形的

性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力.

59.等邊A48C中，點〃、K分別在邊8C、AC上，且AK=C"，連接AH、8K交于點

尸.

(1)如圖1,求/AF3的度數：

圖1

(2)連接CF,若/W<?=90。，求打的值；

AF

(3)如圖2,若點G為4?邊的中點，連接“G,RAF=2FG,則N4/；G的大小是

F,

G

圖2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由A48C是等邊三角形，可得出A8=AC=8C,

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C”，可證A45Kg△C4/7(必S),得出

ZCAH=ZABK,由/8切=乙4派+/84尸=/。4”+/班/可求出/3/7/，最后由外角

定義求出NAEB.

(2)在M上取點。，使%)=A/，由44項=120?？勺CNART=I50。，再利用

AI3=AC,"BD=NCAF,%>=AE可證明A4瓦運ACA尸(SAS),進而求出

ZADB=ZCM=150°,再用補角的性質得知/4加=120。，在VA/T>中利用外角的性質可

求出NE4O=ZAO3-NAFD=30。，進而證出丫4尸。為等腰三角形，最后可證出

BF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延長M至E,使AA莊為等邊三角形，延長FG交CE于7,可得出

MBF^^ACE(SAS),進而得出NA￡C=NA&?=120。，利用角的和差得出

ZF￡T=60°=ZA?E,則證出A/M/EC,進而證出AAFG/4C7U(A4S),再利用

AF=2FG,4尸=律證出AEF7為等邊三角形，進而記出N8FG=120。.

【詳解】(1)???AA8C是等邊三角形，

/.AB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在AAHK和\CAH中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

???^ABK^CAH(SAS),

???ZCAH=ZABK,

???ZLBFH=ZABK+/BAF=ZCAH+ZBAF=60°,

JZ4ra=180o-Z?FH=180o-60o=120°.

(2)在防上取點。，使RD=AF.

K

D

BHC

由(1)知乙4陽二120。，

XZBFC=90°,

ZAFC=150°.

在A4BD和△C4”中，

VAB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

.??MBD^^CAF(SAS),

/.ZAT>8=NCE4=150。，

4=30°,

ZAFD=120°,

，ZFAD=ZADB-ZAFD=30°,

,ZFDA=ZFAD,

???AF=DF,

,:BD=AF,

:.BD=DF=AF,

BF=BD+DF=2AF,

：.BF.AF-2.

(3)Z^FG=120°.

提示：目測即得答案.詳細理由如下：

由(1)知4陽=120。.延長8/至E,使A4FE為等邊三角形.

延長依交CE于7.

???NBAF+NFAC=NFAC+NCAE=600,

工NBAF=NCAE,

在△84〃和VC4E中，

AF=AE

<ABAF=ZCAE,

AB=AC

???AABF^AACE(SAS),

，ZAEC=ZAFB=I2(r.

，ZFET=60°=ZAFE,

，AF//EC.

；?/FAG=NTCG,ZAFE=Z.TEF=^°

在..AFG和.C7G中，

ZFAG=Z.TCG

<AG=CG,

乙FGA=/TGC

：.AAFG^AC7U(A45),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

???ZAFE=Z7EF=60°

???AEF7為等邊三角形，

/.ZEfT=60°

???NBFG=180°-/EFT=120°.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定

和性質，熟練掌握全等三侑形的判定和性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.

60、在平面直角坐標系中，A(a,0),8(0,b)分別是x軸負半軸和y軸正半軸上一點，點C

與點A關于y軸對稱，點P是x軸正半釉上C點右側一動點.

(1)當2a2+4曲4〃+2。+1=0時,求48的坐標；

(2)當G+b=0時，

①如圖1,若。與P關于y軸對稱，P￡_LD8并交D8延長線于E,交AB的延長線于F,求

證：P8=PF；

②如圖2,把射線8P繞點8順時針旋轉450,交x軸于點Q,當CP=AQ時，求N4P8的

(1)4(-1,0),5(0,1)；(2)①見解析；②N4P8=22.5'

【分析】(1)利用非負數的性質求解即可；

(2)①想辦法證明NP8F=NF,可得結論；②如圖2中，過點Q作QF_LQ8交P8于F,

過點F作凸_Lx軸于從可得等腰直角2QF,證明(A4S),再證明FC=FP

即可解決問題.

【詳解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+26)2+(a+1)2=c,

V(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

.??a=-Lb=Lf

：.A(-1,0),8(0,；).

a+b=0,

.*.a=-b,

.\OA=OB,

又1Z>408=90°.

，N8AO=NA8O=45°,

???。與P關于y軸對稱，

:?BD=BP,

：?NBDP=NBPD,

設N8DP=N8P0=a,

則ZPBF=ZBAP+ZBPA=45°+a,

???PE_L08,

：.^BEF=30°,

??.NF=90。-NEBF,

又NEBF=NABD=NBAO-N8OP=45°-a,

:.ZF=450+a,

???NPBF=NF,

:.PB=PF.

②解：如圖2中，過點。作QF_LQ8交P8于F,過點F作F”_Lx軸于可得等腰直用

△BQF,

圖2

■:N80Q=/BQF=ZFHQ=90°,

，N8QO+NFQH=90。，/FQH+NQFH=90°,

：?NBQO=NQFH,

?：QB=QF,

:.△FQHWAQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

：,HO=AQ=PC,

：.PH=OC=OB=QH,

：.FQ=FP,

又N8FQ=45°,

:.ZAPB=22.5°.

【點睛】本題考查完全平方公式、實數的非負性、全等三角形的判定與性質、等腰直角三

角形的判定與性質，解題為關鍵是綜合運用相關知識解題.

61.如圖，已知C。是線段的垂直平分線，垂足為D,C在。點上方，ZBAC=30°,。是

直線C。上一動點，E是射線AC上除4點外的一點，PB=PE,連8E.

(1)如圖1，若點P與點C重合，求N48E的度數；

(2)如圖2,若P在C點上方，求證：PD+gAC=CE；

【分析】(1)根據線段垂直平分線的性質和等邊三角形的判定與性質得到：ABPE為等邊

三角形，則NCB￡=60°,故N48￡=90°；

(2)如圖2,過P作PH14E于9連8C,作PG_L8c交8c的延長線于G,構造含30度

角的直角APCG、直角ACPH以及全等三角形(R3PGB郅SPHE),根據含30度的直角三

角形的性質和全等三角形的對應邊相等證得結論；

(3)分三種情況討論，根據(2)的解題思路得至l」PO=；AC+CE或P0=CE-；4C,將數值代

22

入求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,???點P與點C重合，CD是線段A8的垂直平分線，

圖1

：.PA=PB,

.??N%8=NP84=30°,

ZBPE=ZPAB+ZPBA=6Q°,

?：PB=PE,

???△8PE為等邊三角形，

:.NC8E=60°,

:.NA8E=90°；

(2)如圖2,過P作PH_L4E于從連8C,作PG_L8c交8c的延長線于G,

?.?CD垂直平分48,

：,CA=CB,

VZe4C=30°,

:.NACD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=ZBCD=60°,

.,.ZGPC=ZHPC=30%

:?PG=PH,CG=CH=-CP,CD=-AC,

22

在R3PGB和RtAPHE中,

PG=PH

PB=PE'

:?R3PGgRt"HE(HL).

：,BG=EH,CB+CG=CE-CHt

：.CB+-CP=CE--CP,B|JCB+CP=CE,

22

又［CB=AC,

：.CP=PD-CD=PD--AC,

2

：.PD+-AC=CE：

（3）①當P在C點上方時，由（2）得：PD=CE-^AC,

當AC=6,C￡=2時,PD=2-3=-l,不符合題意;

②當P在線段C。上時，

如圖3,過P作連8C,作PG_L8c交8C「G,

此時RSPGBgRtMHE(HL),

：.BG-EH,R|JCB-CG-CE+CH,

：.CB--CP=CE+-CP,SPCP=CB-CE,

22

又YCBJC,

:.PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

當47=6,CE=2時,PD=2-3=-l,不符合題意;

③當P在。點下方時，如圖4,

當47=6,C￡=2時，PD=3-2=1.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了三角形綜合題，綜合運用全等三角形的判定與性質，含30度角直

角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識點，難度較大，解題時，注意要分類討

論.

62.在平面直角坐標系中，點4的坐標是（0，〃），點B的坐標（尻0）且a,b滿足

/-12〃+36+|〃-4=0.

（1）求A、8兩點的坐標：

（2）如圖（1）,點C為x軸負半軸一動點，OCvOB.BDLAC于D,交y軸于點￡,

求證：0。平分N6A.

（3）如圖（2）,點F為A8的中點，點G為x正半軸點“右側的一動點，過點F作收的

垂線中，交y軸的負半軸于點H,那么當點G的位置不斷變化時，S八"S"*的值是

否發生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應結果.

（1）4。，6）,"（6,0）；（2）證明見解析；（3）不變化，S"”—S初G=9.

【分析】（1）由非負性可求。，b的值，即可求4、8兩點的坐標：

（2）過點。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根據全等三角形的判定和性質解答即可；

（3）由于點F是等腰直角三角形八。8的斜邊的中點，所以連接。F,得出0F=8F.ZfiFO=

/GFH,進而得出N0FH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質以及三

角形面積公式解答即可.

【詳解】解：（1）-：a2-\2a+36+\a-b\=Q

(a-6)~+|a-4=0,

a-6=0

,八，即a=8=6.

a-b=0

??.A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過點。作0M_L3。于M,ONJ.4c于N,

根據題意可知Z4CO+ZC4O=90°.

8。J.AC,

ZBCD+ZCBE=90°,

，4CAO=ZCBE.

4(0,6),B(6,0),

OA=OB=6.

/CAO=NEBO

在△AOC和ABOE中，OA=OB

/AOC=^BOE=90°

：.AOC^.BOE(ASA).

.?.OE=OC，AC=BE，SeS…

：.-AC-ON=~BE-OM,

22

：?OM=ON,

工點。一定在NCD8的角平分線上，

即0。平分NCD8.

(3)如圖，連接0F,

???AQB是等腰直角三角形旦點F為人B的中點,

C.OFVAB,OF=FB,OF平分NA08.

4OFB=4OFH+ZHFB=9Q°.

又「FG1.FH,

，/HFG=/BFG+/HFB=90°,

，NOFH=NBFG.

???/FOB=L^AOB=45。,

2

...^FOH=Z.FOB+=d5°+90°=135°.

又\*/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

???4FOH=4FBG.

/OFH=NBFG

在△FOH和△F3G中，OF=BF,

NFOH=ZFBG

：,FOH^FBGCASA).

?**SFOH-SFBG?

S.AFH-Sfbg=SAFH-SF0H=SF0A=—SA0B=—x—=—x6x6=9.

故不發生變化，且S.""-S'w=9.

【點睛】本題為三角形綜合題，考查非負數的性質，角平分線的判定，等腰直角三角形的

性質和判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問

題，正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

63.如圖1,在平面直角坐標系中，AO=AB,N8AO=90。，8O=8cm,動點。從原點。出

發沿x軸正方向以acm/s的速度運動，動點E也同時從原點0出發在y軸上以bcm/s的速

度運動，且。，b滿足關系式a2+b2-4a-2b+5=0,連接0D,0￡,設運動的時間為t杪.

(1)求a,b的值：

(2)當t為何值時，ABAD出40AE；

(3)如圖2,在第一象限存在點P,使N4OP=30°,NAP0=15。，求乙48P.

8

(1)a=2,b=l：(2)t=§或t=8：(3)/ABP=105°.

【分析】(1)將。2+b2-4a-2b+5=0用配方法得出(a-2)2+(d-1)2=0,利用非負數

的性質，即可得出結論；

(2)先由運動得出80=8-2t|,再由全等三角形的性質的出貨80=0E,建立方程求解

即可得出結論.

(3)先判斷出AOAP絲△B4Q(S/45),得出。P=8Q,ZABQ=ZA0P=3Q°,ZAQB=Z

AP0=15°f再求出NOWP=135。，進而判斷出AOAQ名△84Q(SAS),得出N0QA=N8Q4

=15。，0Q=8Q,再判斷出AOP。是等邊三角形，得出/OQP=60。，進而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=乃。，即可得出結論.

【詳解】解：(1):標+爐-4a-2b+5=0,

???(a-2)2+(b-1)2=0,

.\a-2=0,b-1=0,

，a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,5=1,

由運動知，0D=2t,OE=t,

VOB=8,

：.DB=\8-2tl

ABAD出＞OAE,

?/DB=OE,

/.|8-2t|=t,

Q

解得，t=~(如圖1)或t=8(如圖2)；

J

(3)如圖3,

過點A作AQ_LAP，使AQ=4P,連接OQ,BQ,PQ,

則/APQ=45°,N%Q=90°,

???/OA8=90°,

:?/PAQ=/OAB,

:.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP,

即：ZOAP=ZBAQ,

\'OA=ABtAD=AD,

：,/\OAP^/\BAQ.(545).

：,OP=BQ,ZABQ=ZA0P=30o,ZAQB=ZAPO=15°.

在△AOP中，N40P=30°,N4PO=15°,

:.ZO/4P=1800-NAOP-ZAPO=13S°,

NOAQ=3600-ZOAP-N%Q=135。-90。=135。=N04P,

?：OA=AB,AD=ADt

.,.△O/AQ^ABAQ(SAS),

/.ZOQ4=Z8Q4=15°,OQ=BQ,

,：OP=BQ,

，OQ=OP,

???NAPQ=45。，ZAPO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

.?.△OPQ是等邊三角形，

/.ZOQP=60°,

；?NBQP=NOQP-ZOQA-ZBQA=60°-15°-15°=30°,

?；BQ=PQ,

???NPBQ=g(1800-Z8QP)=75°,

:.ZABP=ZABQ+ZPBQ=300+75°=105°.

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了配方法、非負數的性質、三角形內角和定理、

等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定及性質，構造出全等三角形是解題的關鍵.

64.如圖1,在平面直角坐標系中，點A（0“L2）,B（0,0）,C（36,詢，旦〃滿足

a2-2ab+2b2-\6l）+64=0,連接48,AC,AC交工軸于￡）點.

（1）求。點的坐標：

（2）求證：ZOAC+ZABO=450；

（3）如圖2,點E在線段AB上，作EGJL），軸于G點，交AC于F點、,若EG=AO,求

證：EF^OD+AG.

圖1圖2

（1）C（2,-8）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【分析】（1）由非負性可求a,b的值，即可求解：

（2）由"SAS"可■證△ABPg^BCQ,可得AB=BC,ZBAP=ZCBQ,可證Z\ABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得結論；

（3）由"AAS"可證△ATOgaEAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS”可證△TADgZ\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行線的性質可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得結論.

【詳解】解：（1）Va2-2ab+2b2-16b+64=O,

:.（a-b）2+（b-8）2=0,

??s=b=8，

Ab-6=2,

工點C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

???點A(0,6),點B(8,