6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示

素養目標學法指導

1.平面向量運算的坐標表示依然可以類

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量比數的運算來學習，注意坐標運算的二

的坐標表示.(邏輯推理)維特征.

2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量2.由于使用了正交分解，因此平面向量

和、差的坐標運算法則.(數學運算)的坐標運算其實是同名坐標之間的運

算.

知識點平面向量的正交分解及坐標表示

1.平面向量正交分解的定義

把一個向量分解為兩個垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐標表示

(1)定義：在平面直角坐標系中，設與x軸、「軸方向相同的兩個單位向量

_分別為/，J,取｛九J｝作為基底.對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基

本定理可知，有且只有一對實數x,y,使得a=(x,y).我們把有序數對(x,

y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y).此式叫做向量a的坐標表示.

(2)特殊向量的坐標:i=(l,O),j=(O,l),0=(0,0).

［知識解讀］點的坐標與向量坐標的區別和聯系

點的坐標反映的是點的位置，而向量的坐標反映的是向量的大小和方向，向量

僅由大小和方向決定，與位置無關.

1.聯系：(1)當且僅當向量的起點為原點時，向量終點的坐標等于向量本身的

坐標.

(2)兩個向量相等，當且僅當它們的坐標相同.即

\xx=x2,

若a=(x”%)，b=5,%)，則a=從*

5=外

注意：相等向量的坐標是相同的，但是兩個相等向量的起點、終點的坐標卻可

以不同.

2.區別：(1)書寫不同，如a=(1,2),4(1,2).

(2)給定一個向量，它的坐標是唯一的；給定一個有序實數對，由于向量可以

平移，故以這個有序實數對為坐標的向

量有無窮多個.因此，符號(x,y)在平面直角坐標系中有雙重意義，它既可以

表示一個固定的點，又可以表示一個向量.為了加以區分，在敘述中，常說點(x,

力或向量(x,y).

3.平面向量的坐標運算

設向量a=(x”%)，b=(如④，4GR,則有下表:

文字描述符號表示

兩個向量和的坐標分別等于這兩

加法&+力=(3+生，

個向量相應坐標的和

兩個向量差的坐標分別等于這兩

減法a-b=(1一)，必一二)

個向量相應坐標的差

實數與向量的積的坐標等于用這

數乘個實數乘原來向量的相應坐標/8=（（乂，--）

向量一個向量的坐標等于表示此向量

已知力(xi,%)，8(品，必)，

坐標的有向線段的終點的坐標減去起

則花=(而一為，必一必)

公式點的坐標

題型一NF面向量的坐標表示

典例1如圖，在平面直角坐標系才分中，0A=4,AB=3,N/Ox=45°,Z

"18=105°,OA=a,需=6.四邊形物固為平行四邊形.

(1)求向量a，b的坐標.

(2)求向量威的坐標.

(3)求點8的坐標.

［歸納提升］求向量坐標的三個步驟:

平移一將向量的始點移至坐標原點

找出以X軸正向為始邊，向量所在

求角

射線為終邊的角0

根據x=zcos8,y=rsin。(/為向量的

求坐標

模)求終點坐標，即為向量坐標

【對點練習】?己知向量a在射線y=x(x20)上，且起點為坐標原點0,又

\a\=y［2,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量力)作為基底，則向量a

的坐標為()

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.電?D.(-^2,一/)

題型二平面向量的坐標運算

典例2已知平面上三個點4(4,6)、6(7,5)、C(l,8),求荔、AC,AB+AC.AB

—AC.

［歸納提升］平面向量坐標運算的技巧

(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行.

(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量

的坐標運算.

(3)向量的線性坐標運算可完全類比實數的運算進行.

【對點練習】?(1)已知點4(0,1),庾3,2),向量能=(—4,-3),則向量

BC=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)已知4(1,-2),6(2,1),C(3,2)和〃(一2,3),試用坐標來表示功+防+壹

題型三平面向量坐標運算的綜合應用

典例3已知平面上三點的坐標分別為4(—2,1),庾一1,3),。⑶4),求點

〃的坐標，使這四點構成平行四邊形的四個頂點.

［歸納提升］平行四邊形頂點坐標的求解

(1)已知平行四邊形的三個頂點的坐標求第四個頂點的坐標主要是利用平行四

邊形的對邊平行且相等這個性質，則其對應的向量相等，即向量的坐標相等.

(2)當平行四邊形的頂點順序未確定時，要分類討論.

【對點練習】?如果將灑=償，，繞原點。逆時針方向旋轉120°得到宓,

典例4已知點4(2,3),3(5,4),<7(7,10),若亦=花+兒衣(兒GR),試求當

點尸在第三象限時，4的取值范圍.

【對點練習】?已知點。是內一點，//加=150°,/8%=90°,

設而=a,說=b,OC=cSLIa\=2,|引=1,”=3,求向量宓，距的坐標.（以0

為坐標原點，游所在直線為x軸建立平面直角坐標系）

6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示

素養目標學法指導

1.平面向量運算的坐標表示依然可以類

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量

比數的運算來學習，注意坐標運算的二

的坐標表示.（邏輯推理）

維特征.

2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量

2.由于使用了正交分解，因此平面向量

和、差的坐標運算法則.（數學運算）

的坐標運算其實是同名坐標之間的運

算:.

知識點平面向量的正交分解及坐標表示

1.平面向量正交分解的定義

把一個向量分解為兩個垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐標表示

(1)定義：在平面直角坐標系中，設與x軸、「軸方向相同的兩個單位向量

_分別為＞，J，取｛＞，J｝作為基底.對于平面內的任意一個向量a,由平面向量基

本定理可知，有且只有一對實數x,y,使得a=(x,力.我們把有序數對(x,

y)叫做向量a的坐標，記作a—(x,y).此式叫做向量a的坐標表示.

(2)特殊向量的坐標：i=(1,0),J=(0,1),0=(0,0).

［知識解讀］點的坐標與向量坐標的區別和聯系

點的坐標反映的是點的位置，而向量的坐標反映的是向量的大小和方向，向量

僅由大小和方向決定，與位置無關.

1.聯系：(1)當且僅當向量的起點為原點時，向量終點的坐標等于向量本身的

坐標.

(2)兩個向量相等，當且僅當它們的坐標相同.即

\xx=X,

若a=(x”必)，b=5%)，則1

1%=必?

注意：相等向量的坐標是相同的，但是兩個相等向量的起點、終點的坐標卻可

以不同.

2.區別：(1)書寫不同,如a=(l,2),4(1,2).

(2)給定一個向量，它的坐標是唯一的；給定一個有序實數對，由于向量可以

平移，故以這個有序實數對為坐標的向

量有無窮多個.因此，符號(x，y)在平面直角坐標系中有雙重意義，它既可以

表示一個固定的點，又可以表示一個向量.為了加以區分，在敘述中，常說點(心

力或向量(x,y).

3.平面向量的坐標運算

設向量a=(x”m)，b=J,必)，則有下表:

文字描述符號表示

加法兩個向量和的坐標分別等于這兩a+Z>=（1+在,弘+%）

個向量相應坐標的和.

兩個向量差的坐標分別等于這兩

減法a-b=（1一），%一二）

個向量相應坐標的差，

實數與向量的積的坐標等于用這

數乘個實數乘原來向量的相應坐標Xa=(/父,，%)

向量一個向量的坐標等于表示此向量

已知4（xi,%），B（x”必），

坐標的有向線段的終點的坐標減去起

則~AB=（在―X”必一弘）

公式點的坐標

題型一3F面向量的坐標表示

典例1如圖，在平面直角坐標系xOy中，的=4,AB=3,N/0x=45°,Z

如4105°,OA=a,焉=6.四邊形位以7為平行四邊形.

(1)求向量&，6的坐標.

(2)求向量9的坐標.

(3)求點6的坐標.

［解析］(1)作4V_Lx軸于點弘

貝I」OM=OA-cos45°=4X^=2小，

AM=OA'sin45°=4X乎=2啦，

所以力(2鏡，2①故a=(2蛆,2^2).

因為N4OC=180°-105°=75°,ZAOy=45°,

所以/。%=30°.又OC=AB=3,

所以第=沅=(弓歲)即H—會吟

(3)宓=應+誦

=^-1,2舟啕.

［歸納提升］求向量坐標的三個步驟：

而朝一|將向量的始點移至坐標原點

找出以解山正向為始邊，向量所在

射線為終邊的角e

士,灰*_|_根據x=rcos0,y=rsin"r為向量的

"㈣模)求終點坐標，即為向量坐標

【對點練習】?已知向量a在射線尸爪心0)上，且起點為坐標原點。，又

|a|=V2,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j.作為基底，則向量a

的坐標為(A)

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.(^2,:)D.(一嫄，-^2)

［解析1由題意，a=(鏡cos45°)￡+(*sin45°)j—I+J=(1,1).

題型二平面向量的坐標運算

典例2已知平面上三個點】(4,6)、6(7,5)、。(1,8),求第、AC.亞+衣、AB

—AC.

［分析］先計算出葩，元的坐標，再進行向量的線性運算.

［解析］?4(4,6)、8(7,5)、C(l,8)

.,.荔=(7,5)—(4,6)=(3,-1)；衣=(1,8)—(4,6)=(—3,2)；

和丸=(3,-1)+(-3,2)=(0,1)；

AB-(3,—1)一(—3,2)=(6,-3).

［歸納提升］平面向量坐標運算的技巧

(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行.

(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量

的坐標運算.

(3)向量的線性坐標運算可完全類比實數的運算進行.

【對點練習】?(1)已知點力(0,1),3(3,2),向量尿=(一4,一3),則向量

BC={A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)已知4(1,-2),M2,1),C(3,2)和〃(一2,3),試用坐標來表示加■如森

［解析］(1)解法1：設C(x,y),則赤=(x,y—1)=(—4,—3).

即x=—4,y=—2,故。(一4,-2),則反'=(-7,—4),故選A.

解法2：BC=AC-AB=(-1,-4).

(2)松(一3,5),9(—4,2),"(—5,1)，

AD-\-BD-\-CD=(-3,5)+(—4,2)+(—5,1)=(-12,8).

題型三平面向量坐標運算的綜合應用

典例3已知平面上三點的坐標分別為力(-2,1),8(—1,3),以3,4),求點

〃的坐標，使這四點構成平行四邊形的四個頂點.

［分析］利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關系，進而求出〃點

的坐標.

［解析］設點〃的坐標為(*,y),

當平行四邊形為/灰力時，由拔=(1,2),DC={3-x,4-y),且加=應；得

〃(2,2).

當平行四邊形為U時，由9=(1,2),"(x—3,y-4),且加=而，得

伏4,6).

當平行四邊形為切時，由衣=(5,3),龍=(一1-%3—力，且衣=場，得

〃(一6,0),

故點D的坐標為(2,2)或(4,6)或(-6,0).

［歸納提升］平行四邊形頂點坐標的求解

(1)已知平行四邊形的三個頂點的坐標求第四個頂點的坐標主要是利用平行四

邊形的對邊平行且相等這個性質，則其對應的向量相等，即向量的坐標相等.

(2)當平行四邊形的頂點順序未確定時，要分類討論.

如果將灑=惇,I

【對點練習】?9繞原點。逆時針方向旋轉120°得到宓,

乙)

則硼坐標是(D)

1}

A.2)

C.(―1,y/3)f

2)

因為游=(平,1］

［解析］3所在直線的傾斜角為30。，繞原點。逆時針方向旋

轉120。得到麗在直線的傾斜角為150。，所以48兩點關于y軸對稱，由此

可知6點坐標為一半，9，故座的坐標是T，9.

、乙乙)、乙乙)

典例4已知點4(2,3),8(5,4),C(7,10),若9加+人衣(46R),試求當

點尸在第三象限時，4的取值范圍.

[錯解]由已知得淳=葩+4衣=(5—2,4—3)+4(7—2,10—3)=⑶1)+

A(5,7)=(3+5A,1+74),

[3+5A<0,3

又點尸在第三象限，所以一7/所以人一.

[1+7A<0,5

3

故兒的取值范圍為(-8,