2024-2025學年河北省保定市曲陽縣高二下學期3月月考數學檢測試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.本試卷命題范圍：選擇性必修第二冊（第五章），選擇性必修第三冊（6.1～6.2）.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.某郵局有4個不同的信箱，現有5封不同的信需要郵寄，則不同的投遞方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【正確答案】A【分析】根據分步乘法計數原理，根據題中條件，可直接得出結果.【詳解】將5封不同的信，通過4個不同的信箱郵寄，每封信都有4種不同的投遞方法，因此總的不同的投遞方法共有：種.故選：A.2.把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則不同的分法共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.7種【正確答案】A【詳解】試題分析：分類：三堆中“最多”的一堆為5個，其他兩堆總和為5，每堆最至少1個，只有2種分法．三堆中“最多”的一堆為4個，其他兩堆總和為6，每堆最至少1個，只有2種分法．三堆中“最多”的一堆為3個，那是不可能的．考點：本題主要考查分類計數原理應用．點評：本解法從“最多”的一堆分情況考慮開始，分別計算不同分法，然后求和．用列舉法也可以，形象、直觀易懂．3.函數在上是單調增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】問題轉化為在上恒成立，求出，從而求出實數a的取值范圍.【詳解】，由題意得：，即在上恒成立，因為，所以恒成立，故實數a的取值范圍是.故選：B4.已知函數（為自然對數的底數），則等于（）A.0 B. C.1 D.【正確答案】C【分析】先求出時的導函數，再分別求出和，即可得到目標的值.【詳解】當時，，所以，所以，，所以.故選：5.如圖所示的五個區域中，中心區域是一幅圖畫，現要求在其余四個區域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據題意可知每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，分類研究，不同色；同色兩大類，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)不同色，先涂區域有種方法，再涂區域有種方法，再涂區域有種方法，再涂區域有種方法，由分步乘法計數原理可得有種；(2)同色；先涂區域有種方法，再涂區域有種方法，再涂區域有種方法，再涂區域有種方法，由分步乘法計數原理可得有種．由分類加法計數原理，共有種，故選：A．6.已知可導函數滿足，則當時，和的大小關系為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據條件構造函數，求導可知單調遞增，比較的大小，可得和的大小關系.【詳解】解：令，則，因為，所以，所以在上單調遞增；因為，所以，即，即.故選：A.本題考查構造函數法比較大小，考查利用導數求函數的單調性，屬于基礎題.7.已知函數在上的最大值為，則a的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由，求導得，再根據在上的最大值為，分，，討論求解.【詳解】由，得，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增，故當時，函數有最大值，解得，不符合題意.當時，函數在上單調遞減，最大值為，不符合題意.當時，函數在上單調遞減.此時最大值為，解得，符合題意.故a的值為.故選：A.8.已知函數是定義在上的奇函數，的圖象連續，且，記的導函數為，若在上恒成立，則使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】構造函數，求導后由可得，進而由確定，當時，，當時，，進而由奇函數的性質當或時，，當或時，，當或時，，進而可得.【詳解】設，則，由題意，故在區間上單調遞減，又，故當時，，，故，當時，，，故，又函數是定義在上的奇函數，故當或時，，當或時，，當或時，，由得或，由的，故由得或或，故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象不可能是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】依據單增則，單減則可判斷.【詳解】由圖像可知，在上單調遞增，則在上，故C、D選項的圖象不可能是的圖象；在上先減后增再減，則先負后正再負，故A選項的圖象不可能是的圖象，B選項的圖象可能是的圖象.故選：ACD10.下列說法正確的為（）A.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法B.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法C.6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法D.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450種不同的分法【正確答案】ABC【分析】根據給定條件，利用分組分配的方法，列式判斷AB；利用隔板法計算判斷C；利用分類加法計數原理列式計算判斷D.【詳解】對于A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，先取2本給甲，再從余下4本中取2本給乙，最后2本給丙，不同分法有種，A正確；對于B，把6本不同的書按分成3組有種方法，再分給甲、乙、丙三人有種方法，不同分法種數是，B正確；對于C，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，相當于把6本相同的書排成一排，中間形成5個間隙，取兩塊隔板插入兩個間隙，把6本書分成3部分，分給甲、乙、丙三人的不同分法數為，C正確；對于D，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3類辦法，每人2本有種，一人1本，一人2本，一人3本有種，一人4本，另兩人各一本有種，所以6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法數是：，D錯誤.故選：ABC11.設函數有兩個極值點，則實數的取值可以是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】由題意，利用求導將問題轉化成方程在上有兩個不等的實根，繼而理解為與在上有兩個交點，結合二次函數的性質即得.【詳解】函數的定義域為，則，依題意知，在上有兩個不等的實根，即方程在上有兩個不等的實根，也即函數與函數在上有兩個交點，由二次函數的圖象可得：，解得，故C，D兩項正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同分法的種數是______.【正確答案】720【分析】根據題意，利用分步乘法計數原理計算即可.【詳解】由題意知這是一個分步計數問題，3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，分第一張有10種結果，分第二種有9種結果，分第三種有8種結果，根據分步乘法計數原理共有種結果．故720．13.已知函數的圖象在點處的切線方程為______.【正確答案】【分析】先求導，再根據導數的幾何意義即可求出.【詳解】由，則，則，且，所以函數在點處的切線方程為，即.故14.已知，函數在有極值，設，其中為不大于的最大整數，記數列的前項和為，則___________.【正確答案】615【分析】根據給定條件探求出，再借助的意義分析的前100項的各個值，再求和作答.詳解】函數，求導得：，因，函數在有極值，則存在，有，解得，于是得，即，而，因此，數列的前100項中有1個0，3個1，5個2，7個3，9個4，11個5，13個6，15個7，17個8，19個9，而，所以.故答案：615關鍵點睛：涉及數列新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，由給定的數列結合新定義探求數列的相關性質，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.有5名同學站成一排拍照．（1）若甲乙必須站一起，則共有多少種不同的排法？（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，則共有多少種不同的排法？（3）求出現甲必須站正中間，并且乙、丙兩位同學不能相鄰排法？【正確答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用捆綁法求得方法數.（2）利用分類加法計數原理、分步乘法計數原理，計算出方法數.（3）利用分步計數原理，求得方法數【詳解】（1）將甲乙捆綁在一起，故方法數有種.（2）如果甲排左端，則方法數有種；如果乙排左端，則方法數有種.故總的方法數有種.（3）按照甲、乙、丙、其他三個同學的順序進行安排，所以方法數有種.本小題主要考查簡單排列組合問題的求解，考查分類加法、分步乘法計數原理，屬于基礎題.16.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】由排列數與組合數的計算公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，整理可得，解得.（2）由，則，整理可得，分解因式得，解得，所以.17.設函數，.（1）求函數的單調區間；（2）若關于的方程有三個不同實根，求實數的取值范圍；（3）已知當時，恒成立，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）在和單調遞增，在單調遞減（2）（3）【分析】（1）利用導數研究函數的單調性即可；（2）根據（1）畫出的圖象，數形結合即可求解；（3）利用分離參數的方法求解恒成立問題即可.【小問1詳解】的定義域為R，，今得或，令得，在和單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】由（1）可知為的極大值點，為的極小值點，的圖象如圖所示，由圖可知，若關于的方程有三個不同實根，則【小問3詳解】時，恒成立，即在恒成立，今，則，等價于，且開口向上，在單調遞增．18.已知函數.（1）若，求函數極值；（2）若函數無零點，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）極小值為，無極大值；（2）．【分析】（1）當時，利用導數分析函數的單調性，由此可求得函數的極值；（2）求得，對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數的單調性，結合已知條件可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，所以，令，得，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以為函數的極小值點，極小值為，無極大值；（2）由，得．①當時，，此時函數沒有零點，符合題意；②當時，，所以函數單調遞減．又，且，所以函數有零點，不符合題意；③當時，令，則．當時，，所以函數單調遞減；當時，，所以函數單調遞增．所以，若函數沒有零點，則需，即，得．綜上所述，若函數無零點，則實數的取值范圍為．方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.19.已知函數的導函數為.（1）判斷的單調性；（2）若存在兩個極值點和，證明：【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求出的導數，根據的取值分情況討論，結合導數確定函數的單調區間；（2）根據已知條件，化不等式