2024-2025學年廣東省深圳市高二下學期3月月考數學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束，只需將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列結論中，正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用基本初等函數求導公式，復合函數求導公式以及導數的運算法則的進行求導，逐項分析即可.【詳解】對于A，常數導數等于0，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.2.設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（）A.6 B.2 C.3 D.【正確答案】A【分析】根據導數的定義，結合導數的幾何意義求解即可.【詳解】由題意，，即，故，即曲線在點處的切線的斜率是6.故選：A3.已知函數，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據條件，利用基本函數的導數與導數的運算法則，即可求解.【詳解】因為，則，所以，解得，故選：A.4.函數在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據函數的性質，判斷函數圖象的形狀.【詳解】因為，所以，所以函數為偶函數，圖象關于軸對稱，故排除答案CD，又，，設，，則，.所以在上為增函數，又，所以在上恒成立，即在上單調遞增，故排除B.故選：A5.已知為R上的可導函數，其導函數為，且對于任意的，均有，則（）A.，B.，C.，D.，【正確答案】A【分析】構造函數，利用導數判斷函數的單調性，根據且可得答案.【詳解】構造函數，則，所以函數在上單調遞增，故，即，即.同理，，即.故選：A.6.2023年10月23日，杭州亞運會歷時16天圓滿結束.亞運會結束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（）A.18種 B.24種 C.30種 D.36種【正確答案】C【分析】分類當丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.【詳解】由題意可知，當丙站在左端時，有種站法；當丙不站在左端時，有種站法.由分類加法計數原理可得，一共有種不同的站法.故選：C.7.已知函數在區間上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據題意可知在[1,2]上恒成立，將問題再轉化為函數的最值問題求解即可.【詳解】，若函數在區間上單調遞減，即在上恒成立，即在[1,2]上恒成立.令，則在上單調遞減，,所以,,即故選：C.8.已知函數，，若函數有5個零點，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用分段函數思想，結合分離參變量，再利用求導，數形結合，可得參數范圍.【詳解】當時，由得：，顯然，是的一個零點，再當時，有，作出圖象可得：當時，，所以當時，在有兩個零點；再當時，由得：，整理得，令，求導得，令，得當時，，所以在區間上遞增，當時，，所以在區間上遞減，作出圖象：所以由圖可得：當時，在有兩個零點；又由于，所以要使得有五個零點的參數，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，下列結論中正確的是（）A.是函數的極小值點B.是函數的極小值點C.函數在區間上單調遞增D.函數在處切線的斜率小于零【正確答案】BC【分析】根據導函數圖象，求得函數單調性，結合極值點定義，即可容易判斷選擇.【詳解】由圖象得時，，時，，故在單調遞減，在單調遞增，故是函數的極小值點.對選項：顯然，故錯誤.故選：BC．本題考查由導數涵圖象研究函數性質，屬基礎題.10.現分配甲、乙、丙三名臨床醫學檢驗專家到A，B，C，D，E五家醫院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫院，且允許多人選擇同一家醫院，則（）A.所有可能的安排方法有125種B.若A醫院必須有專家去，則不同的安排方法有61種C.若專家甲必須去A醫院，則不同的安排方法有16種D.若三名專家所選醫院各不相同，則不同的安排方法有10種【正確答案】AB【分析】利用分步計數原理及排列知識逐項分析即得.【詳解】對于A，每名專家有5種選擇方法，則所有可能安排方法有種，A正確；對于B，由選項A知，所有可能的方法有種，A醫院沒有專家去的方法有種，所以A醫院必須有專家去的不同的安排方法有種，B正確；對于C，專家甲必須去A醫院，則專家乙、丙的安排方法有種，C錯誤；對于D，三名專家所選醫院各不相同的安排方法有種，D錯誤．故選：AB.11.已知函數，，則下列說法正確的是（）A.當時，有唯一零點B.當時，是減函數C.若只有一個極值點，則或D.當時，對任意實數，總存在實數，使得【正確答案】ABD【分析】對于A：求導，確定單調性，然后利用零點存在定理判斷；對于B：求導，利用導數研究函數單調性；對于C：直接驗證時的極值情況；對于D：求導，作出的圖象，觀察圖象可得.【詳解】對于A：當時，，令，得，令，得，即在上單調遞增，又，，由零點存在定理可得在上有唯一零點，即有唯一零點，A正確；對于B：，令，得，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，又當時,，所以恒成立，即當時，是減函數，B正確；對于C：當時，由B知，即，所以，即在上單調遞減，無極值，C錯誤；對于D：當時，，，令，得，令，則，當，即時，單調遞增，當，即時，單調遞減，所以，即恒成立，所以單調遞減，又，所以，所以在上單調遞減，且當時，，當時，，可得的大致圖象如下：由圖可知對任意實數，總存在實數，使得，D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知定義在上的函數，則曲線在點處的切線方程是______．【正確答案】【分析】利用導數的幾何意義求出切線斜率，進而可得切線方程.【詳解】令，得．對求導，得，所以，故曲線在點處的切線方程為．故答案為.13.甲、乙等6位同學去三個社區參加義務勞動，每個社區安排2位同學，每位同學只去一個社區，則甲、乙到同一社區的不同安排方案共有__________.【正確答案】18【分析】按照分步計數原理并利用平均分組后再分配的計算方法求解可得.【詳解】根據題意，安排6位同學到社區參加義務勞動可分成兩步：第一步，將6位同學分成3組，要求甲、乙一組，其余4位同學平均分組，則有種分組方法；第二步，將分好的3組全排列，安排到三個不同的社區，有種情況；則由分步計數原理可得，甲、乙到同一社區的不同安排方案共有種不同的安排方法.故18.14.設函數，若存在，使得在上的值域為，則實數的取值范圍為________【正確答案】【分析】先結合導數研究函數的單調性，結合單調性把原問題轉化為在上有兩解，構造函數，，結合已知條件轉化為研究函數的值域，利用導數可求.【詳解】由題可得：，當時，，所以在上單調遞增，若存在，使得在上的值域為，則，即在上有兩解，令，，則，當時，，當時，，，故在上單調遞增，在上單調遞減，且，，，所以要使在上有兩解，則，故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.用五個數字，問：（1）可以組成多少個無重復數字的四位密碼？（2）可以組成多少個無重復數字的四位數？（3）可以組成多少個十位數字比個位數字大的無重復數字的四位偶數？【正確答案】（1）120（2）96（3）32【分析】（1）直接全排列即可得答案；（2）注意首位不能為0，從不為0的四個數選一個放在首位，再從剩下的四個數選三個數全排列即可得答案；（3）分0在個位、在個位、4在個位三種情況進行討論，再由分類加法計數原理求解可得答案.【小問1詳解】從5個數字任取4個進行全排列，故有個；【小問2詳解】首位不能為0，則有個；【小問3詳解】由題意，是偶數個位數必須是.分3種情況討論：①0在個位，十位必須比0大，千位數字不能是0且不能與個位和十位數字重復，百位數字在剩下的數字選一個，所以共有；②在個位，十位數字必須比2大，千位數不能是0且不能與個位和十位數字重復，百位剩下2個里面選一個.有種選法；③4在個位，里面沒有比4大的數字，不存在這種可能.則共有種情況.16.某班級在迎新春活動中進行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各兩張，“龍”卡三張．每個學生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“福”“龍”“迎”“春”張卡片，則額外獲得2分．（1）求學生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數；（2）求學生乙最終獲得分的不同的抽法種數．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據組合數的知識求得正確答案.（2）根據分的組合情況進行分類討論，由此求得正確答案.【小問1詳解】學生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數為種.【小問2詳解】學生乙最終獲得分，有兩種情況：①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數有種.②，抽到抽中“福”“龍”“迎”“春”張卡片，方法數有種.所以學生乙最終獲得分的不同的抽法種數為種.17.已知函數．（1）寫出函數的單調區間；（2）求函數在上的最大值、最小值．【正確答案】（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為.（2）最大值，最小值為.【分析】（1）求解導函數，求出與的解集，從而得函數的單調區間；（2）列出，，的變化情況表，得函數的極大值與極小值，再計算端點值，從而可得上的最值.【小問1詳解】由題意，函數的定義域為，，得或，當時，或；當時，，所以函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.【小問2詳解】由（1）知，，，的變化情況如下表：極大值極小值所以函數的極大值為，極小值為，又，所以函數在上的最大值為，最小值為.18.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若恒成立，求正實數的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）利用導數，并討論、研究的符號，進而判斷的單調性；（2）將問題轉化為恒成立，構造中間函數，只需求時的范圍即可.【詳解】（1）且，∴時，即單調遞增；時，有，即在上單調遞增；有，即在上單調遞減；綜上，時在上單調遞增；時在上單調遞減，在上單調遞增；（2）由題設，，即恒成立，令，則，∴由（1）知：時有極小值也是最小值，故只需即可.若，則，即在上遞減，又，∴時，，即恒成立∴正實數的范圍為.關鍵點點睛：第二問，將問題轉化為恒成立，并構造函數并應用導數研究最值，進而求參數a的范圍.19.已知函數在處取得極值（1）求實數的值（2）求證：（3）證