2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點的對稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.【詳解】在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標為，故選：A2.將乘積多項式展開后的項數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理即得.【詳解】由題可得多項式展開后每項的字母分別取自三個括號內(nèi)的項，應(yīng)分三個步驟取出，故由分步計數(shù)原理可得.故選：B．3.已知向量，且//，則實數(shù)的值為（）A.或 B. C.或 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標表示分析運算.【詳解】顯然，若//，則，可得，解得.故選：D.4.若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】C【分析】利用向量共面的判定方法可得答案.【詳解】因為構(gòu)成空間的一組基底，所以不共面；由于，所以，，共面，A不正確；由于，所以，，共面，B不正確；由于，所以，，共面，D不正確；對于C，不存在實數(shù)，使得成立，所以，，不共面.故選：C5.已知O，A，B，C為空間中不共面的四點，且，若P，A，B，C四點共面，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間共面向量基本定理即可求解.【詳解】因為P，A，B，C四點共面，所以，所以.故選:C．6.空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點是的中點，則A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】分析：由空間向量加法法則得到，由此能求出結(jié)果．詳解：由題空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點是的中點，則故選C.點睛：本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．7.6名同學(xué)排成一排，其中甲?乙兩人必須在一起的不同排法共有（）A.720 B.360 C.240 D.120【正確答案】C【分析】先將甲乙捆綁在一起，然后將其看成一個元素與其余4人一起進行全排列可得.【詳解】先將甲?乙兩人排成一排共種排法，將甲?乙兩人看成一個元素，然后與其余4人一起排成一排，共有種，所以甲?乙兩人在一起的不同排法共有種排法.故選：C8.如圖，在棱長為a的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E，F(xiàn)為上兩個動點，且的長為定值，則點Q到平面的距離（）A.等于 B.和的長度有關(guān)C.等于 D.和點Q的位置有關(guān)【正確答案】A【分析】取的中點G，連接，利用線面平行判斷出選項B,D錯誤；建立空間直角坐標系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點到面的距離，從而得出結(jié)論.【詳解】取的中點G，連接，則，所以點Q到平面的距離即點Q到平面的距離，與的長度無關(guān)，B錯．又平面，所以點到平面的距離即點Q到平面的距離，即點Q到平面的距離，與點Q的位置無關(guān)，D錯．如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個法向量．設(shè)點Q到平面的距離為d，則，A對，C錯．故選：A．本題主要考查點到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線方向向量分別是，，則B.直線l的方向向量，平面的法向是，則C.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為【正確答案】AC【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計算可判斷D.【詳解】A選項：因為，且不重合，所以，A正確；B選項：因為，所以所以或，B錯誤；C選項：因為，所以，C正確；D選項：記直線l與平面所成角為，則，因為，所以，D錯誤.故選：AC10.若，，與的夾角為120°，則的值為（）A.17 B. C. D.1【正確答案】AC【分析】根據(jù)空間向量夾角公式得到方程，求出或.【詳解】由題意得，即，化簡得，解得或故選：AC11.如圖，在長方體中，，點P為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，，P，D三點共線B.當時，C.當時，平面D.當時，平面【正確答案】ACD【分析】由題意，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標公式，求得點的坐標，根據(jù)空間向量公式，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則，，設(shè)，，則，可得，，對于A：當時，則點P為對角線的中點，根據(jù)長方體性質(zhì)可得三點共線，故A正確；對于B：當時，∴，解得，所以，則，因此不正確，故B錯誤；對于C：當時，，設(shè)平面的法向量為，，∴，，當時，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正確；對于D：當時，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，則，∴，而，∴，∴平面，故D正確．故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.若三個向量，，共面，則實數(shù)m的值為______．【正確答案】21【分析】根據(jù)向量共面基本定理即可求解.【詳解】，，共面，則存在實數(shù)，使得，即，故2113.已知平面的一個法向量為,點在內(nèi),則到的距離______【正確答案】4【分析】解利用點到面的坐標距離公式即可求解.【詳解】解：由題意得：則到平面的距離故14.如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱的中點，，，與平面交于點，則________.【正確答案】【分析】設(shè)，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量基本定理可知存在、使得，由空間向量基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得實數(shù)的方程組，即可解得實數(shù)的值.【詳解】設(shè)，其中，，，，因為、、、四點共線，則向量、、共面，由共面向量定理可知，存在、使得，即，所以，，解得.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若，求的值；（2）求最小值.【正確答案】（1）2（2）【分析】（1）由空間向量垂直得到方程，求出答案；（2）計算出，利用模長公式得到，求出最小值.【小問1詳解】因為，所以，即，解得；【小問2詳解】所以，.所以當時，取得最小值為.16.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，．（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．【正確答案】（1）見解析（2）【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可證明;(2)建系,利用空間向量的坐標運算可求解.【小問1詳解】在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由題可知，，,平面且,所以平面,又因為平面,所以.【小問2詳解】以為坐標原點，分別為軸建系如圖，由，，可得，則有設(shè)平面的一個方向量為,所以即令則，所以因為平面,所以為平面的一個法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.17.如圖，四面體中，，分別為，上的點，且，，設(shè)，，.（1）以為基底表示；（2）若，且，，，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量的加減數(shù)乘運算，結(jié)合題設(shè)條件即可求得；（2）先求出平面的基底兩兩之間的數(shù)量積，再根據(jù)（1）中的表示式，兩邊取平方，利用向量數(shù)量積的運算律計算即得.【小問1詳解】由圖可得，;【小問2詳解】由題意，，則，于是，由兩邊取平方，，故.18.用0，1，2，3，…，9這十個數(shù)字．（1）可組成多少個三位數(shù)？（2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）可組成多少個小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【正確答案】（1）900；（2）648；（3）379【分析】（1）（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，先確定百位上的數(shù)字，再分析十位與個位，進而計算出正確答案.（3）根據(jù)分類加法、分步乘法計數(shù)原理，分別分析1位數(shù)，兩位數(shù)與三位數(shù)滿足條件的數(shù)字計算出正確答案.小問1詳解】要確定一個三位數(shù)，可分三步進行：第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；第三步，確定個位數(shù)，有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有個.【小問2詳解】要確定一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進行：第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個位數(shù)，有8種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個．【小問3詳解】作用題意，小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類：第一類，滿足條件一位自然數(shù)：有10個，第二類，滿足條件的兩位自然數(shù)：有個，第三類，滿足條件的三位自然數(shù)：第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1，2，3，4，有4種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個位數(shù)，有8種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有個，所以小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)共有（個）.19.如圖，在四棱錐，平面，，且，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，且.【分析】（1）建立適當空間直角坐標系后，求出平面的法向量后，借助向量的數(shù)量積為零即可得兩向量垂直，即可得線面平行；（2）求出平面的法向量后，結(jié)合所得平面的法向量，利用夾角公式計算即可得；（3）假設(shè)存在，設(shè)出對應(yīng)未知數(shù)，可表示出向量，再結(jié)合空間