2024-2025學年貴州省遵義市高二下學期第一次月考數學檢測試卷注意事項：1．本試卷滿分150分，考試用時120分鐘．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】直接求解拋物線的準線方程.【詳解】拋物線的準線方程為.故選：D.2.設在處可導，則（）．A B. C. D.【正確答案】C【分析】根據導數的定義判斷即可.【詳解】因為在處可導，所以.故選：C3.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據向量垂直的坐標關系可得，即可根據模長公式求解.【詳解】由于與垂直，故，解得，故，故選：C4.已知等比數列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設等比數列的公比為，由條件結合等比數列通項公式求，由此可求結論,【詳解】數列為等比數列，設數列的公比為，因為，，所以，所以，即，故.故選：C.5.已知圓與直線，若平分圓的周長，則的最小值為（）A.1 B.3 C.9 D.18【正確答案】C【分析】由平分圓的周長，所以直線l過圓C的圓心，得，再利用不等式即可求得結果.【詳解】因為平分圓的周長，所以直線l過圓C的圓心，即，即，所以，當且僅當時取等號.故選：C6.若直線是曲線的一條切線，則的值為（）A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】求出函數的導函數，根據導數的幾何意義，可得切點坐標，然后求出的值.【詳解】由，得，設切點為，則由導數的幾何意義得，又切線方程為，所以，即，解得，.故選：D.7.已知雙曲線的左，右焦點分別為，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】根據題意可知雙曲線的漸近線方程的斜率需小于直線的斜率，得，結合和離心率的定義即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因為雙曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是.故選：B8.已知函數若函數有三個零點，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將問題轉化為與圖象有三個交點，分析分段函數的性質并畫出圖象，即可確定k的范圍.【詳解】由題意，與圖象有三個交點，當時，，則，∴在上，遞增，在上，遞減，∴時，有最大值，且在上，在上.當時，單調遞增，∴圖象如下∴由圖知：要使函數有三個零點，則.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分．9.已知函數的定義域為R，函數的導函數的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（）A.函數的單調遞減區間是B.函數單調遞增區間是，C.處是函數的極值點D.時，函數的導函數小于0【正確答案】BD【分析】綜合應用函數單調性與導函數的關系即可解決.【詳解】根據導函數的圖象，對于A項，在上，，可得函數的單調遞減區間是，故A錯誤；對于B項，在上，，在上，可得函數的單調遞增區間是，，故B正確；對于C項，是的變號零點，且時，，當時，，故是函數的極大值點，是的不變號零點，不是函數的極值點，故C錯誤；對于D項，，故D正確.故選：BD.10.已知圓：和圓：．現給出如下結論，其中正確的是（）A.圓與圓外切B.、分別為圓和圓上的動點，則的最大值為8，最小值為2C.過且與圓相切的直線有一條D.過且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為或【正確答案】BD【分析】對于A：根據兩圓位置關系分析判斷；對于B：根據圓的性質可得結果；對于C：判斷點與圓的位置關系，即可得結果；對于D：設直線方程為，根據截距列式求解即可.【詳解】對于選項A：因為圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，則，即，所以圓與圓外離，故A錯誤；對于選項B：由圓的性質可知：，即的最大值為8，，即的最小值為2，故B正確；對于選項C：因為，可知點在圓外，所以過且與圓相切的直線有兩條，故C錯誤；對于選項D：由題意可知所求直線的斜率存在，設直線方程為，則直線在x，y軸上的截距分別為，則，解得或，所以直線方程為或，故D正確；故選：BD.11.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，點P為兩曲線位于第一象限的公共點，且，I為的內心，三點共線，且，x軸上的點A，B滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C.平分 D.【正確答案】ACD【分析】根據給定條件，結合橢圓、雙曲線定義及余弦定理求解判斷AB；利用橢圓、雙曲線定義，結合三角形內角平分線性質定理求解判斷CD.【詳解】設，而橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，由雙曲線的定義，得，由橢圓的定義，得，則，又，由余弦定理得：，即，整理得，對于A，，即，A正確；對于B，，即，B錯誤；對于C，又平分，則，由，得，則，C正確；對于D，由為的內心，得為的角平分線，則，同理，則，于是，即，由，得，則，又三點共線，即為的角平分線，又平分，則有，而，則，即，由，得，即，由選項B知，，D正確．故選：ACD結論點睛：是的角平分線，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線，，當時，直線與之間的距離為__________.【正確答案】##【分析】由兩直線平行列方程求，根據平行直線間距離公式求解即可.【詳解】因為直線，，，所以，解得或，當時，直線，，兩直線重合，不滿足要求，當時，直線，，兩直線平行，滿足要求，所以當時，直線與之間的距離為.故答案為.13.一個箱子的容積與底面邊長x的關系為，則當箱子的容積最大時，______．【正確答案】60【分析】根據，利用導數法求解.【詳解】解：因為，所以，，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，故6014.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n層有個球，則數列的前20項和為______.【正確答案】【分析】根據題意列出數列的遞推關系，再利用累加法求出通項公式，最后用裂項相消法求出數列的前20項和.【詳解】由題意得，，當時，，以上各式累加得：，經檢驗符合上式，所以，所以設數列的前項和為，則，所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程和演算步驟．15.已知函數，當時，取得極值．（1）求的解析式；（2）求在區間上的最值．【正確答案】（1）（2）的最小值為，最大值為.【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；（2）利用導函數判斷出函數在區間上的單調性，比較端點處的值可得結論.【小問1詳解】依題意可得，又當時，取得極值，所以，即；解得；所以；【小問2詳解】由（1）可知，令，可得或，當變化時，的變化情況如下表所示：單調遞增單調遞減單調遞增因此，在區間上，的最小值為，最大值為.16.已知數列是等差數列，且.（1）求的通項公式；（2）若數列的前項和為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)由等差數列的概念計算基本量即可；(2)根據等差數列的求和公式計算即可.【小問1詳解】設的公差為，則，解得，所以；【小問2詳解】由（1）知；得.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證明，，然后利用線面垂直的判定定理證明垂直于平面；（2）通過建立空間直角坐標系，由空間向量法即可求出兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】由于是等邊三角形，為的中點．故是等邊的中線，所以，又因為平面，在平面內，所以，由于和在平面內，且交于點，，，所以平面；【小問2詳解】取的中點，連接，則由是的中點，知是三角形的中位線，故平行于.因為平面，平行于，所以垂直于平面，即三線兩兩垂直.以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則由，，，，，知，，，所以，．設平面的法向量為，則，即，令，則，，故．顯然平面的一個法向量為.而，故平面與平面夾角的余弦值為．18.已知函數.（1）若，求在上的值域；（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導可得，利用導數可得的單調性，進而分析最值和值域；（2）分析可知原題意等價于在上恒成立，構建，利用導數求的單調性和最值，結合恒成立問題分析求解.小問1詳解】若，則，，令，解得；令，解得；可知在上單調遞減，在上單調遞增，則，且，當時，，可知在上的最大值為，所以在上的值域是；【小問2詳解】當時，滿足要求，所以，原題意等價于對恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，；當時，；可知在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得，綜上，實數的取值范圍是.19.閱讀材料：北京奧林匹克體育場（如圖1），俗稱“鳥巢”，其外形是以眾多鋼鐵線條“編織”而成的.從空中向下俯視，其外圍形狀大致為兩個橢圓，大橢圓的弦是小橢圓的切線（如圖2），那些編織“鳥巢”的“枝條”，甚至看上去好像是直線把橢圓“包裹”出來的，數學上稱這種情況為直線族的包絡.下面我們來討論小橢圓是如何被“包裹”出來的.建立平面直角坐標系，設大橢圓的標準方程為：，在這個大橢圓上“均勻”地取個點，這些點的坐標可以記為大橢圓上的這個點可以通過一族直線（一共有條）.確定直線的方法如下：先取第一個點，第二個點（這個點也可以看作為繞著橢圓中心逆時針轉動一個角度后得到的），由點可得到直線.以此類推就可以得到一系列的直線：，，這條直線就形成一個直線族，這個直線族的包絡線就構成一個小橢圓，直線族中每條直線都與小橢圓相切.結合閱讀材料，回答下面的問題：（1）若坐標為，大橢圓的離心率為，求大橢圓的方程（2）（i）直線族構成的包絡線小橢圓與直線族的條數無關，但越大，小橢圓的形狀越清晰.若在滿足（1）的大橢圓上取個點形成的直線族，中，求出直線方程，并求出該直線族構成的包絡線小橢圓標準方程.（ii）若直線族中有與小橢圓切于點，另一條直線與小橢圓分別交于（異于點），與交于點，求證：成等比數列.【正確答案】（1）（2）（i）方程為，；（ii）證明見解析【分析】（1）根據可得，即可由離心率公式求解，（2）求解，的坐標，根據，的方程求解，得（i），根據直線與橢圓相切可得，聯立直線與橢圓方程得韋達定理，