2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．）1.下列關(guān)于求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C2.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為（）A. B. C. D.1【正確答案】B【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)和面積.【詳解】因?yàn)?，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為2，則切線方程為，其與x軸交點(diǎn)為，所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為.故選：B.3.已知函數(shù)，則（）A. B. C.e D.【正確答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義求得答案.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：D4.已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求導(dǎo)得，則，由此可求答案．【詳解】解：由題意得，若函數(shù)有極值，則，解得，故選：A．5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．6.已知某個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則這個(gè)函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、特殊區(qū)間上函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)的極限，特殊值，函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：，當(dāng)時(shí)，，故，由圖可知，當(dāng)時(shí)，所求函數(shù)的函數(shù)值為正數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，與圖象不符；也可以如下解釋：當(dāng)時(shí)，，又，故恒成立，與圖象不符，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，當(dāng)時(shí)，，又，則，故，而由圖可知，當(dāng)時(shí)，所求函數(shù)的函數(shù)值大于1，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，故當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故該函數(shù)在處取得極小值，與圖象相符，且函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)也和圖象相符，故D正確；故選：D.7.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成與有三個(gè)交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得出的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)椋字?，所?不是零點(diǎn)，令，即，得到，令，，則，易知恒成立，由，得到，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又易知，當(dāng)，且時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的圖象如圖所示，由題知與有三個(gè)交點(diǎn)，所以，故選：A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題設(shè)不等式整理后構(gòu)造函數(shù)滿足，得出在上單調(diào)遞增，整理待求不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得.詳解】由可得，即，設(shè)，，則由可得，在上單調(diào)遞增.又，由可得，，即，解得.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用構(gòu)建函數(shù)的單調(diào)性求抽象不等式的解集的問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于觀察已知不等式和題設(shè)不等式的組成，提煉出構(gòu)造函數(shù)的基本形式，結(jié)合函數(shù)定義域和函數(shù)值等條件，利用單調(diào)性求解抽象不等式.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知函數(shù)，則（）A.的極值點(diǎn)為 B.的極大值為C. D.只有1個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BCD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性求極值即可判斷A、B；利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷C；令函數(shù)等于0，求出零點(diǎn)即可判斷D.【詳解】∵函數(shù)，∴，由，得，解得，由，得，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)在上取得極大值，，故A錯(cuò)誤，B正確；由，得，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即，故C正確；由，得，得，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確故選：BCD.10.下列不等式正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】ABD【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的不等關(guān)系可構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得到選項(xiàng)中不等關(guān)系的正誤.【詳解】對(duì)于A，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，令，則，由A知：，即恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABD.11.英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代法，做法如下：如圖，設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，則與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱是的一次近似值；這點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法．若使用該方法求方程的近似解，則（）A.若取初始近似值為1，則該方程解的二次近似值為B.若取初始近似值為2，則該方程解的二次近似值為C.D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)牛頓迭代法求方程近似解的方法，將初始值代入公式計(jì)算即可求解.【詳解】令，則，當(dāng)，，，故A正確；當(dāng)，，，故B正確；因?yàn)?；；；，∴，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．）12.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)______．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得.故13.已知函數(shù)滿足，則___________.【正確答案】##【分析】對(duì)求導(dǎo)，再代入，進(jìn)行求解.【詳解】，，即，解得：故14.已知函數(shù)在處有極大值，則______.【正確答案】分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由求得值，然后對(duì)所得結(jié)果加以檢驗(yàn)即可．【詳解】由已知，可得，令，解得或，由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增，不是極大值點(diǎn)，舍去；由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．綜上．故．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.（1）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；【正確答案】（1）0或；（2）1.【分析】（1）先求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，再分和，由切線方程與曲線聯(lián)立求解；（2）由，求導(dǎo)，得到在點(diǎn)處的切線的斜率為2a，然后根據(jù)題意，由求解.【詳解】（1）由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以曲線在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得，由，解得，符合題意；綜上：實(shí)數(shù)的值為0或；（2）由，得，則在點(diǎn)處的切線的斜率為2a，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得.16.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖像并求出方程的解的個(gè)數(shù)．【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值；（2）當(dāng)時(shí)，有個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有個(gè)解.【分析】（1）直接對(duì)于求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，進(jìn)而求解極值；（2）由（1）的單調(diào)性與極值，最值，畫出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的解的個(gè)數(shù).【小問1詳解】由題意可知，的定義域?yàn)?，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.所以故;【小問2詳解】由（1）可知作出函數(shù)圖像，由圖，當(dāng)時(shí)，方程的解個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)或時(shí)，方程的解個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，方程的解個(gè)數(shù)為個(gè).17.已知函數(shù)．（1）若是的極值點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的最值．【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）最小值為，最大值為．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合求得，代入導(dǎo)函數(shù)，得到，再由在上單調(diào)遞增，且時(shí)，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，，單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,計(jì)算可得，計(jì)算，，比較大小可得最大值.【小問1詳解】因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，可得．所以，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，，所以時(shí)，，，單調(diào)遞減；時(shí)，，，單調(diào)遞增．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】在（1）的條件下，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．求，，，，∴.所以，當(dāng)時(shí)，求的最小值為，最大值為．18.福州某公園有一個(gè)半圓形荷花池（如圖所示），為了讓游客深入花叢中體驗(yàn)荷花美景，公園管理處計(jì)劃在半圓形荷花池中設(shè)計(jì)棧道觀景臺(tái)和棧道、、、，觀景臺(tái)在半圓形的中軸線上（如圖，與直徑垂直，與不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知米，，棧道總長(zhǎng)度為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）若棧道的造價(jià)為每米千元，問：棧道長(zhǎng)度是多少時(shí)，棧道的建設(shè)費(fèi)用最小？并求出該最小值．【正確答案】（1），（2）棧道長(zhǎng)度是時(shí)建設(shè)費(fèi)用最小，最小值為千元【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念分別求、、的長(zhǎng)度即可；（2）求出的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即可求出最值.【小問1詳解】因?yàn)樵诎雸A形的中軸線上，，米，，所以，，所以，所以棧道總長(zhǎng)度，.【小問2詳解】由（1）得，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，棧道的建設(shè)費(fèi)用最小，建設(shè)費(fèi)用最小值為千元.19.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【正確答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知在有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域?yàn)?，，（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零