第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《分式與二次根式》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．計算的結果是（

）A． B． C． D．3．如果把分式中的x、y都擴大3倍，那么分式的值（

）A．擴大3倍 B．擴大9倍 C．縮小 D．不變4．分式和的最簡公分母是（

）A． B． C． D．5．下列方程中，有實數根的是（

）A． B．C． D．6．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．7．已知，下列判斷：①計算結果；②隨的增大而增大；③當時，．其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③8．我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積為．現已知的三邊長分別為，則面積為（

）A． B． C． D．二、填空題9．已知，那么應滿足的條件是．10．觀察下列各式：，…請寫出你歸納的一般結論：（用含n的代數式表示）．11．已知，則的值是12．已知，則的值是．13．如圖，一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是．14．已知一個分式（a為正整數），對該分式的分母與分子分別減1，成為一次操作，以此類推，若干次操作后可以得到一個數串，，，…，通過實際操作，某同學得到了以下四個結論：①第3次操作后得到的分式可化為．②第4次操作后的分式可化為．③若第5次操作后得到的分式可以化為整數，則a的正整數值共有7個．④若經過n次操作后得到的分式值為10，則滿足這個條件的a的值有1個，且．以上四個結論中正確的有．（只填寫序號）15．已知：如圖，在正方形外取一點，連接，，．過點作的垂線交于點，連接．若，．下列四個結論中，正確的結論有個．①；②；③點到直線的距離為；④．三、解答題16．計算：．17．計算：(1)；(2)．18．先化簡，再求值：，其中．19．已知(1)化簡；(2)若在平面直角坐標系中，點為反比例函數上一點，且，求的值．20．觀察以下等式．第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……請根據以上規(guī)律，解答下列問題．(1)直接寫出第4個等式：______．(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示，為正整數），并證明該等式成立．21．我們在學習二次根式的時候會發(fā)現：有時候兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，如，．課本中閱讀材料告訴我們，兩個含有二次根式的非零代數式相乘，如果它們的積不是二次根式，那么這兩個代數式互為有理化因式．請運用有理化因式的知識，解決下列問題：(1)化簡：________；(2)比較大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空）(3)設有理數滿足：，則________；(4)已知，求的值．22．閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現：當，時，∵∴，當且僅當時取等號．請利用上述結論解決以下問題：(1)當時，的最小值為；(2)當時，求當x取何值，有最小值，最小值是多少？(3)當時，求當x取何值，有最小值，最小值是多少？(4)如圖，四邊形的對角線，相交于點O，的面積分別為4和9，求四邊形的面積的最小值．參考答案題號12345678答案BDABDCDB1．B【分析】本題考查了二次根式的定義，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定義是解題的鍵．據此逐項判斷即可．【詳解】解：A、中，不是二次根式，不符合題意；B、是二次根式，符合題意；C、不是二次根式，不符合題意；D、中，不是二次根式，不符合題意；故選：B．2．D【分析】本題考查了分式的乘方運算，根據分式的乘方運算法則計算即可求解，掌握分式的乘方運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：，故選：．3．A【分析】本題主要考查分式的基本性質，掌握分式的性質和約分，是解題的關鍵．根據分式的基本性質，即可得到答案．【詳解】解：∵把分式中的和都擴大3倍后，得：，∴分式的值擴大了3倍．故選：A．4．B【分析】本題考查了最簡公分母“確定最簡公分母的一般方法：1、如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各項系數的最小公倍數和所有字母的最高次冪的積；2、如果各分母都是多項式，先把它們分解因式，然后把每個因式當做一個字母，再從系數、相同字母求最簡公分母”，熟練掌握確定最簡公分母的方法是解題關鍵．根據確定最簡公分母的一般方法即可得．【詳解】解：∵，，∴分式和的最簡公分母是，故選：B．5．D【分析】本題考查解無理方程，分式方程．分別解無理方程，分式方程及二次根式的意義逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、∵，去分母整理得，∵，∴方程無實數解；即無解，該選項不符合題意；B、∵，∴，，∴且，∴無解，該選項不符合題意；C、∵，∴，解得該不等式組無解，∴無實數解；原方程不符合題意；D、∵，∴，解得：，∵，∴，∴，故方程有實數根，符合題意；故選：D．6．C【分析】本題考查了二次根式的四則運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．根據二次根式的加、減、乘、除運算法則逐項計算即可．【詳解】解：A、和不是同類二次根式，原計算錯誤，不符合題意；B、，原計算錯誤，不符合題意；C、，原計算正確，符合題意；D、，原計算錯誤，不符合題意；故選：C．7．D【分析】本題考查了分式的混合計算和一次函數的性質．先根據分式的計算法則化簡即可得，進而判斷①計算正確，由一次函數的增減性判斷錯誤，把代入計算可得，即可判斷③．【詳解】解：，即：，故①計算結果正確；∵，∴隨增大而減小，故②結論錯誤；當時，，故正確；綜上所述：正確結論有①③．故選D．8．B【分析】本題考查了二次根式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．把代入計算即可．【詳解】解：，，，故選：B．9．【分析】本題主要考查零指數冪底數的條件，熟練掌握零指數冪的底數不為0是解題的關鍵．由題意得到，即可得到答案．【詳解】解：由題意得到，．故答案為：．10．（n為正整數）【分析】本題主要考查了數字的變化的規(guī)律，根據已知式子找出規(guī)律是解題關鍵．由已知等式可以猜想出結論；【詳解】解：由已知等式可猜想一般結論：（n為正整數），證明：，故答案為：（n為正整數）．11．/【分析】本題主要考查分式的化簡求值，將變最后整體代入計算即可形為，再把變形為，最后整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴∴，∴．故答案為：12．7【分析】本題考查了根式的加減運算，根據根式加減運算法則直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，∵，∴，∴，，∴，故答案為：7．13．【分析】本題考查了勾股定理的應用、幾何體的平面展開圖，分兩種情況展開，再結合勾股定理計算即可得解．【詳解】解：將長方體展開如圖（1）所示：此時，將長方體展開如圖（2）所示：此時，∵，∴它所行的最短路線的長是，故答案為：．14．①②④【分析】本題考查了分式的運算，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．根據新定義得到第3次操作后得到的分式為，可判斷①；根據新定義得到第4次操作后得到的分式為，可判斷②；根據新定義得到第5次操作后得到的分式為，再變形為，由分式可以化為整數得出是20的因數，再結合a為正整數求出的值，可判斷③；經過n次操作后得到的分式為，由題意得，結合和都是正整數，求出符合題意的a的值，可判斷④，即可得出結論．【詳解】解：第3次操作后得到的分式為，，故①正確；第4次操作后得到的分式為，，故②正確；第5次操作后得到的分式為，，又第5次操作后得到的分式可以化為整數，是20的因數，，，又a為正整數，，a的正整數值共有9個，故③不正確；經過n次操作后得到的分式為，由題意得，，整理得：且，，，，，又a為正整數，，為正整數，是9的倍數，或，當時，，此時，舍去；當時，，此時；滿足這個條件的a的值有1個，且，故④正確；綜上所述，正確的有①②④．故答案為：①②④．15．①②④【分析】根據正方形的性質可得，再根據同角的余角相等求出，然后利用“邊角邊”證明，從而判斷①正確，根據全等三角形對應角相等可得，可證，從而判斷②正確，根據等腰直角三角形的性質求出，再利用勾股定理列式求出的長，過點B作，交的延長線于點F，先求出，由等腰三角形的性質可求，即可判斷出③錯誤；由勾股定理可求得，即可求正方形的面積，從而判斷④正確．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，又∵，∴，在和中，∵，，，∴，故①正確；∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，如圖，過點B作，交的延長線于點F，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點到直線的距離為；故③說法錯誤；∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①②④．【點睛】此題分別考查了正方形的性質、全等三角形的性質與判定、三角形的面積及勾股定理，綜合性比較強，解題時要求熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決問題．16．【分析】本題主要考查零次冪，算術平方根，負指數冪，特殊角的三角函數的計算，掌握其運算法則是關鍵．先算零次冪，絕對值，算術平方根，負指數冪，特殊角的三角函數值，最后再根據實數的混合運算法則計算即可．【詳解】解：．17．(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是準確掌握運算法則和運算順序．（1）化簡二次根式，然后進行二次根式的加減即可；（2）先算二次根式的除法，再進行加減法運算即可．【詳解】（1）解：（2）解：18．；【分析】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則對原式進行化簡．先對括號內式子通分計算，再將除法轉化為乘法，然后根據分式基本性質約分得到最簡分式，最后代入求值．【詳解】解：原式，當時，原式．19．(1)(2)【分析】本題考查了分式的運算，反比例函數的性質等知識，解題的關鍵是：（1）根據同分母相加減的運算法則計算即可；（2）根據反比例函數的性質求出，根據兩點間距離公式求出，然后根據完全平方公式求解即可。【詳解】（1）解：；（2）解：∵點為反比例函數上一點，∴，∵，∴，∴，∴，即.20．(1)(2)，證明見詳解【分析】本題主要考查數字規(guī)律，二次根式性質與化簡的計算，理解計算方法，找出規(guī)律是解題的關鍵．（1）根據材料提示找出規(guī)律即可求解；（2）結合（1）中的規(guī)律，并驗證即可．【詳解】（1）解：已知第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……∴第4個等式為：，故答案為：；（2）解：猜想的第個等式（用含的等式表示，為正整數）為：，證明：等式左邊，∵為正整數，∴，∴等式左邊等式右邊，∴等式成立．21．(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，理解題目中所給的有理化因式的定義，熟知二次根式的運算法則是解答關鍵．（1）利用有理化因式的定義和二次根式的運算法則進行化簡求解；（2）根據題意得到所給的兩個二次根式都是正數，再結合有理化因式的定義比較它們倒數的大小來求解；（3）先利用有理化因式的定義進行化簡，根據化簡結果列一元二次方程組求解即可；（4）設，，根據有理化因式的定義計算出的值，根據的值得出的值，即是結果．【詳解】（1）解：的有理化因式是，∴，故答案為：．（2）解：∵，，而，∴，∵和都是大于0的數，∴，故答案為：．（3）解：∵，，∴，又∵，∴，解得：，∴，故答案為：．（4）解：設，，則，∵，∴，即．22．(1)2(2)當時，有最小值，為8(3)當時，有最小值，為4(4)25【分析】本題考查了配方法在二次根式，分式及四邊形面積計算中的應用與拓展，讀懂閱讀材料中的方法并正確運用是解題的關鍵．（1）當時，直