2022~2023學年第二學期期中試卷高一數學2023.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數滿足，則的虛部是A.3 B. C. D.2.已知向量，，則在上的投影向量為A. B. C. D.3.定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于A.8 B. C.8或 D.64.在平行四邊形中，是對角線上靠近點的三等分點，點在上，若，則A. B. C. D.5.在中，若，則的形狀為A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.已知，則的值為A. B. C. D.7.在中，內角為，，，且。若對于任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍為A. B.C. D.8.已知，，若平面內一點，滿足，則的最大值是A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯或不選的得0分，部分選對的得2分。9.下列關于平面向量的說法中正確的是A.已知，均為非零向量，若，則存在唯一的實數，使得B.已知非零向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是C.若且，則D.若點為的重心，則10.歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋。依據歐拉公式，下列選項中正確的是A.對應的點位于第二象限 B.為純虛數C.的模長等于 D.的共軛復數為11.將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則A.在上是減函數B.由可得是的整數倍C.是奇函數D.函數在區間上有8個零點12.奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則。“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（）的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”。若是銳角內的一點，，，是的三個內角，且點滿足，則A.為的垂心 B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分。13.若是虛數單位，，則__________。14.已知空間向量，滿足，，且，的夾角為，若，則實數等于__________。15.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞。若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則兩點的距離為__________。16.如圖，中，，，，為重心，為線段上一點，則的最大值為__________，若、分別是邊、的中點，則的取值范圍是__________。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題10分）（1）已知復數在復平面內對應的點在第二象限，，且，求；（2）已知復數為純虛數，求實數的值。18.（本小題12分）已知平面直角坐標系內三點，，在一條直線上，滿足，，，且，其中為坐標原點。（1）求實數，的值；（2）設的重心為，且，求的值。19.（本小題12分）已知向量，，且函數。（1）若，且，求的值；（2）若將函數的圖象上的點的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的，再將所得圖象向左平移個單位，得到的圖象，求函數在的值域。20.（本小題12分）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用，明朝科學家徐光啟所著《農政全書》中描繪了筒車的工作原理。如圖，一個半徑為的筒車，按逆時針方向轉一周的時長為，筒車的軸心距離水面的高度為，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：，在水面下則為負數），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關系為。（1）求，，，的值；（2）求盛水筒出水后至少經過多少時間就可以到達最高點；（3）在筒車運行的過程中，求相鄰兩個盛水筒距離水面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求出高度差的最大值。21.（本小題12分）在①，②，③（為面積），三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答。在中，角，，的對邊分別為，，，且選條件：__________。（1）求；（2）作，使得四邊形滿足，，求長的取值范圍。22.（本小題12分）對于函數，，若對任意且，，，都有，，是一個三角形的三邊長，則稱函數為上的“完美三角形函數”。（1）設，，若函數是上的“完美三角形函數”，求實數的取值范圍；（2）在滿足（1）且的條件下，令函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍。2022~2023學年第二學期期中試卷高一數學參考答案2023.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案ABACDDAC二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯或不選的得0分，部分選對的得2分。題號9101112答案ADABCACABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分。13. 14. 15. 16.20，四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.解：（1）設，由題意得，解得，，因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以，則。（2），由題意得，解得。18.解：（1）因為三點，，在一條直線上，所以，又，所以，①因為，所以，即，②由①、②解得或。（2）因為，所以為的中點，所以，。所以，，，，因此。19.解：（1）因為向量，，所以。因為，所以。又，，因此，所以。（2）因為將函數的圖像上的點的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的，再將所得圖像向左平移個單位，得到的圖像，所以。當時，，所以，即函數在的值域為20.解：（1）由題知，得，由題意得，解得，，時，，，，。（2）由，得，，即，，當時，盛水筒出水后第一次到達最高點，此時。（3）設兩個相鄰的盛水筒分別用和表示（領先于），則，經過相鄰兩個盛水筒距離水面的高度分別為和，，，的最大值為。21.解：（1）選①：，由正弦定理得，，即，又，，因為，，故。，。選②：，由正弦定理得，即有，所以，，。選③：，即，即，，，，。（2）設，則，，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦