專題突破卷04導數中利用構造函數解決題型

原題生預嵬

導數中利用構造函數解決題型

—構造新函數證明不等式

構造新函數研究方程的根

題生各個擊破

題型一構造新函數比較大小

<)7I--L

I.已知。=亞,%=cos,,c=e97,則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】構造函數/(X)=COS.(l—1],(0,1和g(x)=e、-(x+l),(x>0),利用導數

乙)

求解函數的單調性，即可求解.

【詳解】令/(X)=COSA?一\~—,則r(x)=x-sinr,

令°(x)=x-siiu.xw(0假)，則”("=1_CC&>0,口(1)即/'(x)單調遞增，所以

,f(x)>,f(O)=O,故為增函數，所以=可得cos；>段，故”b.

令g(x)=e'-(x+l),(x>0),M/(A)=e'-l>0.故g(x)為增了數,所以g(表>g(0)=0,

±o?_107

即e97一絲>o.所以e97〈二，故c<%所以c<a<b

9798

故選：B.

r*43

2.已知4=丁;b=jc=e,則下列大小關系正確的是()

1114ln3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】構造函數/(外=4(》之6),通過導數判斷單調性，進而利用單調性判斷函數值的

1ILV

大小.

【詳解】由題，c=F.令(X>e),則r(x)=譬L

Ineliu-Inx

因為Me,所以r(x)=l^*o,所f(x)=捻在［e,+8)上單調遞增，

又a=/(4),b=f(3),c=/(e),e<3<4.故cvbca.

故選：C.

3.已知定義域為我的偶函數f(x)的導函數為r(“，當x<0時，.y(x)-/(x)<o,若

。=如/=/幽,。=組，則a,4c的大小關系是()

eln23

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【答案】D

【解析】構造函數，根據奇偶性及導數確定單調性，利用單調性即可求解.

X

【詳解】令g(x)=/&D，由偈函數/(X)知,

X

當xe(y,0)50，”)時，g(-x)=-g(x),

故g(x)=△△為奇函數，

X

當x<0時，g加="0

x

則g(X)為減函數，

由奇函數知，以外在(。，內)上為減函數，

而In2<Ivev3,

所以g(3)>g(e)>g(ln2),

即c<a<b,

故選：D

4.設4=100訪0.1,8=8$-!-,。=205訪-!-,貝|J()

2020

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】構造函數，根據三角函數的性質、利用導數判斷單調性，作商比較大小即可得解.

【詳解】解：由題意〃=IOsinD.1=lOsin-i-=20sinJcos-!-,

102020

1n1

,:0<—<一,*<?0<cos—<1?

20220

20sin—cos—<20sin—,即有

202020

20sin-]

又因為J=——^=20tan-,設〃x)=tanx-x,0<x<^,

bcos-202

20

sinJT,cos2x-t-sin2x,1,1-cos2JTsin2x_

-----1=--------；------1=—;---1=----;-=——20，

COSA,)cos-xcos'XcosXCOS'X

當且僅當x=0時等號成立：

???函數〃x)=tanx-x在0.目上單調遞增，

.?.當0?1<弓時f(x)之f(0)=0.即有tanxNx,當且僅當x=0時等號成立：.

—=20tan—>20x—=1,即有/?<c.

b2020

”?I1

2()sin—cos—

又因為公一絲產20sin^,設/(x)=sinx-.r.0<x<^,

1

bc_o_s——

20

則/'(x)=(sinx)-1=cosx-IWO，當且僅當x=0時等號成立：

二函數/(x)=sinx-x在0,g)上單調遞減，

.?.當0"<曰時〃工)</(0)=0,即有sinxWx,當且僅當x=0時等號成立；.

.\-=20sin—<20x—=1,即有a<從

b2020

綜上知，a<b<c.

故選：D.

5.設。=[，/?=ln(l+sin0.02),。=214，則a,b,c的天小關系正確的是()

JUJU

A.a<h<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】分別構造函數/(x)=sinx-Kxw(0.S，g(x)=lnx-x+l,xe(0,l),/?(x)=ex-(1+x)2,

利用其單調性判斷.

【詳解】解：設/(力=5而]-川6(0目，則/(1)=85》一140.

所以“力在上遞減，所以/(x)</(0)=0,即sinxur,

設g(x)=lnx-x+l,x€(0,l),則g<x)=，-l>0,g(x)遞增,

則g(x)vg(1)=O,即lnx<x—1,

所以》=In(1+sin0.02)<sin0.02<0.02=a.

令〃(x)=e'-(l+x)2,則〃(x)=c*-2(l+”，/r(.r)=e'-2,

當X<ln2時，/f(X)<0,則"(x)遞減，X/f(ln2)=-2in2<0,/f(0)=-l<0,

所以當x?0,如2)時,//(x)<0,〃(x)遞減，

則〃(x)<M0)=。，即e'<(l+x。

因為0.02e(O,ln2),ljllJ/:(0.02)<0,

所以即<1.02*喂，即。$<。=21碌,

故匕<a<c，

故選：D

2|]]

6.設。=五，^=sin—,c=ln—,則卜列止確的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】

根據題意，由時，sinx<x,cos.r>l-^,然后構造函數求導，即可判斷.

【詳解】

對因為y=sinx_,jIjliJ/=cosx-l<0,即函數y=sinx_x在(01)單調遞減,

且x=0時，)'=0,則sinx-x<0,RPsinx<x：

片)時'0(X)=COSX-1+、，則。(x)

當XW=-sinx+x,且當xe|o，]J時，sinx<x,

則°'(工)>0，所以困數0,2單蜩遞增，貝ij0(x)>P(O)=O,即

,廣

cosx>I---

2

先考慮函數/("=siiu?-ln(l+x),xe[0A],則

8位，>1上一，=2(小卜門—卜二-3-膽+嘰。

1+x21+A-2(1+A)2(1+X)

故/(奈)>/(。)=0,從而b>c.

再考慮函數g(x)=lnx-2('I),xe[\,+oc),

x+1

，/\I4(X+I)2-4X(X-I)'

則gx—~/、，―~120.

x(x+1)-x(x+l)'x(x+l)-

2年一1]

故g儒卜g(1)=o,即需-吟一>0,故

io+，

綜上，b>c>a,

故選：B.

7.已知4=21n3-2,〃=ln5-逐+1,c=3ln2-20+l，則小b,c的大小關系是(

A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】構造f(x)=lnx-?+l,則。=/(9)、力=/(5)、c=/(8),利用導數研究其單調

性，即可判斷a,b,c的大小.

【詳解】4=2加3—2=1119一步+1，〃=ln5—6+l=ln5-6-l，

=3ln2-2&+l=ln8-&+l,

令f(x)=Inx-6+1且定義域為(0,+8),則f\x)=--一二二上正,

x2V.V2x

所以在(4,y)上r(x)<0,即以")遞減,故/(5)>f(8)>〃9),^b>c>a.

故選：A

321

8.已知b=~,c=e2,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】D

【分析】

構造函數/(x)=x-lnx-1(x>l),^(A)=e'-x-l(x>0),利用導數分析這兩個函數的單調

性，可得出〃、J的大小，-L］的大小，利用不等式的基本性質可得出eT、；的大小關

系，由此可得出。、〃、C三個數的大小關系.

【詳解】令/(x)=x-lnx-l,其中1>1,

則廣(刈=1」=土］>0,所以，函數.f(x)在(1,y)上為增函數，

XX

131

故當x>l時，/(x)>/(l)=0.則lnx<x-l,所以a=

因為0<Ve<2?則c=e'=-p>~?

當x>0時,證明er>x+l,令g(x)=e'-x-1,其中x>0,則g<x)=e、-l>0,

所以函數g(*在(o.y)上為增函數，故當x>o時，g(x)>g(o)=o.

3,12

所以當％>0時,所以e2〈士,

23

—2

3I2-<

所以In—<—<e3-因此

22

故選：D.

9.6/=sin—,/?=—,c=ln1.1,則()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】根據《反。的形式，分別構造函數/(x)=x—sinx(x>0)和

^(x)=x+ln(l-x)(O<x<l),利用導數求得函數單調性后，通過比較x和％=0時的函

數值可得大小關系.

【詳解】4*y(A)=X-sinX(A->0),plij/*(A)=i-cosx>0,

\/(尤)在(0，y)上單調遞增，???/(5)>"0)=0,即\>sin，.">〃；

c=In1.1=In-=-In-=—In1——1,

1011、11J

令g(x)=x+ln(l-x)(0<x<l),則g(r)=l----=———<0.

.?.g(x)在(0.1)上單調遞減，..g[A)<g(0)=0,即."〈c：

綜上所述：a<b<c.

故選：B.

%20.2025

10.設“：。”力=」一,c=ln￡^,則()

20242024

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】構造函數/(x)=x-lnCr+l)(0WxKl),利用導數研究單調性，即可比較。，c,由

e2^>eo_r可比較。，b,從而得到答案

［詳解】構造函數/(A)=x-lnix+l)(0<x<1),所以f'(x)=1-丁匚=」，>0,即/(.r)在(0,1)

1+x\+x

上單調遞增，

所以/(—!—)>/(0)=0，BP———ln(l+—!—)>0,KP—!—>ln^5?2,所以〃>c,

20242024202420242024

5Q23

又因為Ce施h〉C一1所以則。">c,

故選：B

11.已知。，〃滿足加“=/川》-〃=人(。是自然對數的底數)，則()

A.ea+,<hB.ab<e

5Io

C.-<a<eD.-e3</?<-e'

223

【答案】D

【分析】由題知3-a-lna=0,2-(ln〃-l)-ln(lnA-l)=0,令2—c—lnc=0,進而構造函數

/(x)=2-x-hiA-,再根據函數〃尤)的單調性得c+l=ln兒a>c,再與2—c=lnc求和整

理即可判斷A、B,再由零點存在性定理判斷C、D.

【詳解】因為"e"=e'，所以a=e"0,即lna=3-a,也即3-a-ln以=0,

即2-4-lna=-l,

令2-c-hic=0.

由〃ln/A〃=e\B|J/?(ln/?-l)=e\所以I曲+In(lnb-1)=3,

即2—(11協—協-1)=0,

4-/(A)=2-A-1ILV,xe(0,+?),/(“)=-1-：<0在(0,y)恒成立，

所以函數/(A)=27-liu?在定義域(0,y)上單調遞減,

由〃c)=/(31)=0,/⑷=—1<0,

所以c=ln1,a>c,所以c+l=ln/>,則a+l>ln〃，所以尸>6,故A錯誤:

又因為lnc=2-c,得2-lnc+l=】n〃，所以lnc+lnb=lnc〃=3,解得c)=c'，

所以">灰、=不，故B錯誤：

令g(x)=3-x-lnx,則g(x)在定義域(0,+8)上單調遞減,

Xg(e)=3-e-lne=2-e<0,^(2)=3-2-ln2=l-ln2>0,

則g(x)在(2,§上存在唯一零點,

又g(a)=3—a—lna=0,所以故C錯誤:

因為/⑵=2_2_ln2=_ln2<0,

因為2-=4e>2x2.5=10>9,所以2e；>3,所以空>

,⑶r3?31?3??3?2「八

/—=2------In—=——In—=Ine2-In—=In----->0，

y2)222223

所以在停2)上存在唯?零點，即|<c<2,則:<：<|,乂加

則〃=J,所以=故D正確.

c23

故選：D

12.已知〃?=2的，〃=〃=2.04,則〃，〃的大小關系為()

A.ni<p<ng,n<m<p

C.P<n<mD.m<n<p

【答案】A

【分析】將0.02換成x，分別構造函數/(x),g(x),,利用導數分析其在0的右側包括0.02的

較小范國內的單調性，結合/(。)=0,8(。)=0即可得出m,n,p的大小關系.

【詳解】令x=0.02,則相=2?=2|'0°2=2山，〃=44+0.24=J4+12X,

P=2.04=2+0.04=2+2A-,

當/.0<12x<4,,4+12x<y/4+5

設/(x)=2+2—4+12x,則r(x)=2—/6=智際-6,

''''>/4<12^x/4+12^

、o62V4+12x-6^25/4+5-6..

:.f(x)=2一一/=——i<1=0,

'j4+12xj4+12xV4+12.V

.?./(x)=2+2x-〃+12x在0,；)單調遞減,/./(0)=0>/(0.02)=(2+0.04)-74+0.24,

/.0>(2+0.04)-V4+0.24=>V4+0.24>2+0.04=>7424>2.04,

當0<x<g,.-.0<l2x<4,、/4+12xv14+12

設g(x)=2+2x-2“"

則g(x)=2-2,+Aln2=2(l-2*ln2)>0,

:.g(x)=2+2x-2,+x在10,皆單調遞增，g(0)=0<g(0.02)=2+0.04-21go2,

.二…<2+0.04,:.m<p,

故選:A.

題型二構造新函數利用單調性解不等式

13.定義在R上的函數〃力導函數為r(”，若對任意實數必有且

/(力+2024為奇函數，則不等式/(x)+2024e'<0的解集為()

A.(-8,0)B.(0,+i?)c.卜。0'!)D.g'+8)

【答案】B

【分析】構造以外=牛，根據導數研究g。)單調性，結合已知將問題化為g(x)<g(0),

e

再根據g(x)的單調性即可求出結果.

【詳解】設g(x)=華，則g

ee

對任意實數x,有/(x)>/'(x),

所以g'(x)<0,則g。)在R上單調遞減.

因為/(x)+2024為奇函數，且f(x)的定義域為R,

所以40)+2024=0,所以八0)=-2024,所以g(0)=—2024.

因為爐>0，所以求不等式/(x)+2024e'<0的解集，

即求答<-2024的解集，即求g(X)<8(0)的解集，

e

因為g(x)在R上單調遞減,所以g(x)<g(0)的解集為x>0,

所以不等式/(x)+2024c'<。的解集為(0,+司.

故選：B

14.定義在R上的可導函數/(X)滿足八*)<1,若/(刈-川-則"，的取值范

圍是()

A.(-O0.-1]B.(Y,g]C.1-1,+8)D.[；，+8)

【答案】B

【分析】構造函數，并求出函數的導數，結合函數的單調性得到關于冽的不等式，解出即

可.

【詳解】令g(x)=/(x)-x,則g(x)=f(x)-l<0,故g(x)單調遞減，

/(，”)-f(l-2小)N35一I即￡(⑼N.g(1-2m),得小￡1一2m,解得：mV；.

故選：B.

15.已知函數“X)及其導函數/'(X)的定義域均為R,且

(A-l)[r(^)+/W>0,/(2-x)=/(x)e^2,則不等式坐九絲1的解集是()

ex

A.(0,e2)B.(l,c2)C.(e,e2)D.(e2,+co)

【答案】B

【分析】構造函數g(x)=e'/(x),根據已知討論導數符號可得單調性，由

=一可得g(2)=g(O),將不等式以螞<絲)轉化為g(lnx)<g(2),然后

e-x

利用單調性可解.

【詳解】記g(x)=e，/(x),則g'(x)=e，/3+c\r(x)=eI/(j)+T(切，

因為(x—l)[r(x)+/(x)]>0，

所以當x>l時,//(A)+/(X)>0,則g[x)>0,g(x)在(1,+8)上單調遞增;

當KV1時,r(x)+/(A-)<0,則g'(x)<0,g(x)在(一%1)上單調遞減.

又“27)=f(x)e*2=e27/(27)=e'/(x),即g(27)=g(x),

所以g(2)=g(0),

因為""<犯=。⑶<e2/(2)=g(Inx)<g(2),

ex

所以Ovlnxv2,解得lev/.

故選：B

16.已知定義在R上的函數/"),滿足/(2-x)，*(x),且當4>毛>1時，恒有

/叱/(%)<0,則不等式/"-1)>/(2工+1)的解集為()

X2~Xi

A.(-2,0)B.卜c.(-<?,-2)U^|,+co^D.(-<?,-2)v(0,+co)

【答案】C

【分析】先根據〃2-x)=/(x)得出對稱軸，再根據單調性結合對稱性列出不等式求解.

【詳解】由"2—%)=/(%)得，/(X)的圖象關于直線x=l對稱，

令g(x)=f(x+l),則g(x)是偶函數，又當為"之1時,恒有"電)一"")<0,

出7]

故在口，”)上單調遞減，所以g(力在[()，”)上單調遞減，

則/(K-l)>"2x+l)=g(x-2)>g(2x)nk-2|<|2M，

BPW(X-2)2(4X2,3A-2+4X-4)0,(3X-2)(X+2)>0

2

解得xv-2或x>

故選：C.

17.已知定義在R上的函數f(x)的導函數為尸(“，且滿足了'(M-2〃x)>0,〃1012)=6的，

則不等式的解集為()

A.(0,2024)B.(0?2)C.(2024,y)D.(e*,y)

【答案】B

【分析】令/=glnx,不等式轉化為$構造函數g")=’,求導得到單調性，結

合g(1012)=縹以=1,得到g(，)<g(1012),根據單調性解不等式，求出解集?

e2

【詳解】令"glnx,則％=e",

所以不等式/n，<x等價轉化為不等式./■(，)<e,即*<I,

構造函數g(/)=半，則

ee

由題意,J⑺:2/(/)〉o,所以g(。為R上的增函數，

X/(1012)=e2024,所以g(10l2)="翳)=l,

e

所以g?)=4P<l=g(1012),解得Y1O12,即:lnx<1012,

所以Ocve202，

故選：B

18.已知定義域均為R的函數〃x),g(x)的導函數分別為了'(￡l,g'(x),且

g⑺>0J⑸=g⑸,/(，)[?(：年"。)<0,則不等式/(x)<g(x)的解集為()

A.(F5)B.(5,+co)C.(fl)D.(1,+<?)

【答案】B

【分析】運用函數導數的四則運算構造新力(”=焉，〃'(x)=

g(H]

則用新函數的單調性解題即可.

r(x)g(x)-/(x)g'(x)

【詳解】令則力‘(”=V。,所以力㈤單調遞減.

屋工)口(疥

由/(x)(g(x)，g(x》OJ(5)=g(5),

得力(力=4^</乂5)=41^=1，所以x>5.

g(x)g(5)

故選：B.

19.已知函數八工)及其導函數/'Or)的定義域均為R,〃0)=0且/(x)+r(x)>0,則不等

式/(丁+4￥-5)>0的解集為()

A.(-<?,-5)U(1,-KO)B.(9,-1)U(5M)

C.(-5,1)D.(-1,5)

【答案】A

【分析】根據題意，構造函數8。)=0了(幻，判斷以外的單調性，將所求不等式進行同解

變形，利用單調性得到一元二次不等式，解之即得.

【詳解】設g(x)=</(x)，則g'(x)=eV(x)+/'(x)]>0,故0*)單調遞增.

又g(0)=e°/(0)=0,故/(x2+4x—5)>0可轉化為/44―〃/+4x-5)>0，即

g(Y+4,E-5)〉g(。)，

由g(x)單調遞增可得A-2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,

即不等式/(X2+4%-5)>0的解集為(f,-5)J(l,-KO).

故選：A.

20.已知可導函數八x)的定義域為(7,0),其導出數/‘(X)滿足礦(幻+2/。)>。，則不等

式(*+2024)2.〃工+2024)-〃一1)<0的解集為()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,-2023)C.(-oo,-2024)D.S-2023)

【答案】A

【分析】構造函數g(X)=￡f(M(%<0)，利用導數研究函數的單調性，原不等式可轉化為

g(x+2024)<g(-l),結合函數的單調性解不等式即可.

【詳解】令g(x)=(A-<0)，則g'(x)=+2/(.1)]<0,

故g(x)在(YO,0)上單調遞減，

不等式(％+2024?/(.(+2024)-/(一1)<0可變形為

(X+2024)2./(X+2024)<(-1)2./(-1),

即弟+2024)<以-1),

所以x+2024>-1且A+2024<0,解得-2025<X<-2024.

故選：A

21.已知函數y=/(x)的定義域是(70,0)J(o,+?>),對任意的即A2c(0,+8),%產占，

都有xj(%)-xJU)<0,若函數)，=〃2x+l)的圖象關于點J/o]對稱，且"2)=2,

巧一司、乙)

則不等式的解集為()

A.(-2,O)U(O,2)B.(-2,0)u(2,+x)

C.(-OO?-2)LJ(0,2)D.(-oo,-2)"2,+8)

【答案】C

【分析】構造函數結合題目給的對任意的彳勺￡(0,+4,9%,都行

?(/)；"%)<0,得出今2的單調性，再利用),=〃2x+1)的圖象關于點可對稱,

得到"X)的奇偶性求解最后的不等式.

【詳解】因為任意的不出?0，+e),X產修，都有必生豆⑷<0.

X?一再

f(x2)/(.￥))

所以'I,再<0,令占>/>0,貝IJ衛3<生口,

令g(x)=△2，則g(x)在(0,口)單調遞減，

又函數.y=〃2x+i)的圖象關于點(［可對稱,

則/(-V)關于(o,o)對稱，即fix)為奇函數，

所以g(x)="0為偶函數，

X

則g(x)=4也在(—，())上單調遞增，

X

由

可得當x>0時，叢?>1,

X

又/⑵=2,則竿=1.

所以當工>0時，0cx<2,

當xv0時,犯<1,且回=犯“

x-22

所以xv-2,

則解集為【XIx<-2或0vx<2}

故選：C.

22.已知函數f(x)及其導數/'(X)的定義域均為R,對任意實數孫/(x)=/(-x)-2x,且

當x20時，r(x)+x+l>0.不等式“2x-2)-/(x)<-(+3x的解集為()

A.(-co,2)序)C.(|,+8)D.m(2,+g)

【答案】B

(分析］構造函數g(x)=f(x)+^x2+x,從而結合導數與所給條件得到函數g(x)的單調性

與對稱性，在將所給不等式中/(X)化為g(X)即可得解.

【詳解】令g(x)=/(x)+gr+x,則g(x)=r(x)+x+l,

由題意可得,當xNO時,/(x)+x+l>0,即g(x)在(0,+8)二單調遞增,

由/(切=/(_幻一級，則g(x)_gx2_x=g(_x)_g/+x_2x,

即g(x)=g(-x)，故g(x)為倡函數，故g(x)在(一8,0)上單調遞減，

則不等式/(2x-2)-/(x)<-與+3x可化為：

g(2.￥-2)--i(2A-2)2-(2x-2)-^(A)4-ix2+x<--^-+3x,

即g(2x—2)<g(x),則有|2x-2|<W，即(2X-2)2",

KP(2x-2+x)(2x-2-x)<0,HP(3x-2)(x-2)<0,

解得xw停2).

故選：B.

23.已知函數的導函數為/'(.i),且/(l)=e,當x>0時，f(x)<-+e,則不等式

X

/(X)：底>］的解集為()

e

A.(0,1)B.(0,+O7)C.(1,+巧D.(0,l)u(l,-hx>)

【答案】A

【分析】由不等式化簡構造新函數，利用導數求得新函數的單詞性，即可求解原不等式.

【詳解】不等式『(』7nx>1等價于/(等e*十Inx,即十In),0,

e'

構造函數g(x)=/*)-e'+Ini,x>0,所以g'(x)=fXx)-ex--,

x

因為x>0時，r(x)<L+e\所以g'(x)〈0對Vxe(0,E)恒成立，

所以g。)在(0,內)單調遞減，

又因為以1)=/⑴-cTnl=0,

所以不等式/")一e，+lnx>0等價于g(x)>g⑴,所以Ovxvl,

即/(*7nA>1的解集為(o」i.

e

故選：A.

24.已知定義在R上的奇函數/(x),其導函數為廣(力，/(-3)=0,當X>0時，

3/(力+#'(x)<0,則使得人力<。成立的x的取值范圍是().

A.(^,一3)5。，3)B.(-3,O)U(3,-HC)

C.(YC,-3)U(3,+℃)D.(-°o,—3)<J(—3,0)

【答案】B

【分析】設點x)=V/(x),根據題意可得函數g(x)為偶函數以及其單調性，再分x>0以及

x<0討論即可得出答案.

【詳解】設或x)=x"(x)，貝Ijg'(x)=3x7(x)+Vf(x)=W(x)+")],

由于當x>0時，3/a)+.y(“<0,

則當”>0時，g'(x)<。，g。)在(。,內)單調遞減，

又了⑴為奇函數，/。)=-/(一外,則以一/)=(-力3/(-工)=》"(、)=身(刈，則函數g(x)為偶

函數，

可得函數g(x)在(F，0)上單調遞增，

乂/(-3)=0,則以-3)=晨3)=0,

當x>0時，由/")<(),可得g(x)<0,即g(x)<g(3),解得x>3；

當x<0時，由f(x)〈O,可得g(x)>0,即g(x)>g(3),解得—3vxvO；

綜卜,不等式/5)<0的解集為(-3.0)D(3.+s).

故選：B.

題型三構造新函數證明不等式

25.若0<%<與<1,則()

t：J,A,

A.e+Ini]>e+ln.r2B.e"+Iar)<e+lnv2

x,t2x,2

C.A:e>.r1eD.x2e<.^e*

【答案】C

【分析】根據選項構造兩個函數/。)=爐-山，g(x)q,再利用導數思想，來研究在(0,1)

上是否是單調函數，即可作出選項判斷.

【詳解】令/(x)=ex-hir,則r(x)=e、-‘，令刈月=--\則〃(x)=e'+二>0恒成

-XX

立，

即ra)=e-在定義域(0,+8)上單調遞憎，且/O=e；-e(0J<l)=e-l)0,

因此在區間g，l)上必然存在唯?小，使得/(小)=0，

所以當工?0,%)時/(%)單調比減，當工￡(/,1)時/(%)單調遞增，故A,B均錯誤;

令g(x)=',g'(x)=W5,當Ovxvl時，g'(x)<0,

XX

???g(x)在區間(0,1)上為減函數,

vO<x,<x,<l,.-.—>—,即w鏟>%u,.?.選項C正確,D不正確.

國電

故選：C.

26.^-<a<b<\,貝ij()

e

A.ba<bl><au<a,'B.ba<aa<bh<ab

C.ah<aa<baD.ab<bh<aa<ba

【答案】C

【分析】根據指數函數的性質結合/(*)=.vlnX-<x<1)的單調性分析判斷.

e

【詳解】因為)，=〃’(1<a<1)在R上遞減，且,<〃</><1,

ee

所以>aa>ah>a'

因為y="d<人<I)在R上遞減，

ee

所以癡

令f(x)=xln.v(-<A-<1),則f'(X)=Inx+1,

e

因為［<工<1，所以八x)>。，

e

所以/*)在上遞增，

因為!<“</><1,所以/(a)</(〃)，

e

所以〃Ina<b\nb,所以Inau<Inbb，

所以〃"</，

所以a"人a.

故選：C

27.已知Iog1,2021>log“2021>0,則下列結論正確的序號是()

①0.2"<0.2',②!>」，③lna+"，④若〃?>0,則

??b~bb+m

A.??B.??C.①④D.②④

【答案】B

【分析】推導出利用指數函數的單調性可判斷①，利用作差法可判斷②④，利用

函數/(戈)=X-Inx在(1,400)上的單調性可判斷③.

【詳解】因為log/OZlAlogJOZI〉。，即93叫堊！>0,則］na>［n/〉>0,得

InbIna

對于①，因為指數函數y=02為R上的減函數，則0.2“<0.2"，①對；

對于②，審=(叱叱”嘰0,則②錯；

a'b~a~b~a~h~a'lr

對于③，構造函數/(x)=x-lnx,其中x>l,則/("=1一’=二1>0,

.1X

所以，函數/(X)在(l,E)上為增函數，則/(〃)>/(〃)，即a-hw>〃-Inb,

故ln〃+a>lna+Z?,③對：

b(a+m)-a(b+ni)m(b-a)

,八Ihla4+〃？0

對于④，.?心°，則則廣方④鐐

b(b+m)b(b+m)

故選：B.

28.下列不等式中不成立的是()

A.e^'-'>coslB.兀ln4<4h】冗

C202311:20234+1

,02021<102023

■20232+1>20233+1D.8202282024

【答案】c

【分析】由不等式e「之x+1可得A正確，構造函數利用單調性可得B正確,

作差之后化簡可得C錯誤，構造函數g(x)=1n：：：i］利用單調性可得D正確.

【詳解】由產1之cosl-1+l：令1y=e'-x-l,則y'=e'-l.

所以(Y>,O)上y'<o,y遞減，(o,-H?)±y>o,y遞增,故”e0-o-i=o,

所以e*2x+l,而cosl-IwO,所以6。*1之8S1-1+1=851,所以人正確：

由兀In4v41n7t知，令/(*)=丹^，則/,(4；)二一"'〔1-,

令r(x)<。得：x>e,所以〃工)在(e,y)上遞減，所以〃4)</(兀)，

即”<皿，所以兀11［4<411］兀，所以B正確；

4n

5,42

「2023'+120234+l(2023+1)(2023+1)-(2023+1)(2C23+1)

]-------------------

20232+l2023、+1(2O232+l)(2O233+l)

(20236+2x20233+1)-(20236+20234+20232+1)-20232x20222

(20232+1)(2023、+1)-(20232+1)(20233+1)

2023、I20234+1

即Hn---;-<----；—所以C錯誤;

2023-+120233+1

由'321"四2023知，向in9()21〈扁In2(P3：令&/(\止而inx而,(”、)，

則(⑴=fn(x+l)—東心=(x+l)Mx+l)-#nj,

[ln(x+l)丁.r(A+l)[ln(x+l)j*

令〃(x)=xlnx,則”")=1[1/+工,=111人+1,令”(%)>0得

所以〃(x)在,+8)上遞增，所以(x+1)hi(x+1)>xlnx對xel：e,+00)恒成立,

即g'(x)>。對xe(e,+co)恒成立，所以g(x)在(e,+<?)上遞增,

所以g(2021)<g(2023),即巖黑鬻，亦即log皿202lvlogM,2023,所以D正確.

In2022In2024

故選：C

29.已知a=3/rln2,6=26n3,c=61n%,則下列結論正確的是()

A.a>c>bB.a>h>cC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】令/(司=皿，利用導數可求得/(x)單調性，由單調性可得手>叱>華，利

x3乃4

用所得不等式化簡整理即可得到大小關系.

【詳解】令/(k=皿，則/。)=上?二

?\X

二.當xc(O,e)時，>0；當了€(5田)時，r(x)<0：

\/(x)在(0，e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，

「/r/\八In3In7TIn4

.-./(3)>/(/r)>/(4),BUrPt—,

,ln3Inn,c…

由—>---得ZH：^ln3>3lnn?1.2萬ln3>6ln/r,tipb>c\

3冗

,ln^In4-,3

由--->---得：4ln^->^ln4,..6ln^->—^In4=3^1n2,即c>a；

兀42

綜上所述：b>c>a.

故選：D.

30.已知函數〃力=：/一%2,若/W)=e"-〃，則川與“的大小關系為()

A.m>nB./〃=〃

C.m<nD.不能確定

【答案】A

【分析】設g(x)=e*t,利用導數先研究函數/⑶和或力圖象性質，并得到在R上g(x)>/(-r)

恒成立,若=-〃=g(〃)，可知〃?>3,若〃<0,則顯然而>〃,若〃A0,由

g(m)>f(m)=g(n),所以/〃>",綜上所述,m>n.

【詳解】由=,r(x)=x2-2x=x(x-2),

當x<0或x>2時，廣(幻>0.則函數〃力單調遞增,