專題22.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）【八大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化】......................................................1

【題型2根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)】......................................................3

【題型3五點法繪二次函數(shù)的圖象】..............................................................5

【題型4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】........................................................10

【題型5二次函數(shù)圖象的平移變換】..............................................................12

【題型6二次函數(shù)圖象的對稱變換】.............................................................15

【題型7利用二次函數(shù)的對稱軸、最值求參數(shù)】...................................................17

【題型8利用二次函數(shù)的增減性求參數(shù)范圍】.....................................................20

?舉一反三

【知識點1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】

二次函數(shù)的圖象是一?條拋物線。當時，拋物線開口向上；當QV0時，拋物線開口向下。間越大,

拋物線的開口越小；⑷越小，拋物線的開口越大。

尸加y=(Dr+ky=a(x-h)2)=a(x-h)2+ky-ax^+bx+c

b

對稱軸y軸y軸x=hx=hx=——

2a

(b4ac-t2、

(0,k)3,0)(h,k)(-----,--------)

(0,0)2a4a

頂點

a>0時，頂點是最低點，此時y有最小值；〃<（）時，頂點是最高點，此時y芍最大

值。最小值（或最大值）為0伏或若三）。

4a

xV0（/7或一芻時，y隨x的增大而減小；x>0（〃或一芻時，），隨工的增大而增大。

增a>0

即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，），隨x的增大而增大。

減

x<O（h或一芻時，丁隨x的增大而增大；上>0（人或一梟時，y隨x的增大而減小。

性

a<0

即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，），隨x的增大而減小。

【題型1二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化】

【例1】<2023春安徽阜陽?九年級校考階段練習）拋物線y=ax2+2ax+a24-。的頂點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】將拋物線化為頂點式，求出頂點坐標，即可求解.

【詳解】解：y=ax2+2ax4-a2+a=a(x+l)2+a2

頂點坐標為(一1,小)

由題意可得：QHO,所以

頂點位于第二象限，

故選：B

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求得頂點坐標.

【變式(2023春,全國?九年級專題練習)將二次函數(shù)＞=%2-4%+3化為3/=。(工一771)2+攵的形式，下

列結(jié)果正確的是()

A.y=(x+2)2+1B.y=(x-2)2+1C.y=(x+2)2-1D.y=(x-2)2-1

【答案】D

【分析】利用配方法整理即可得解.

【詳解】解：y=x2-4%+3

=(x2-4x4-4)+3-4

=(x-2)2-1

即:＞，=(%-2)2-1.

故選：D.

【點睛】本題考查了利用配方法把二次函數(shù)的一般形式化為頂點式，熟練掌握和運用利用配方法把二次函數(shù)

的一般形式化為頂點式的方法是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023春?河北承德?九年級統(tǒng)考期末)學(xué)完一元二次方程和二次函數(shù)后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一元二次方

程的解法有配方法，二次函數(shù)也可以用配方法把一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a#0)化成y=a(x-h)2+k的

形式.現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)通過配方法將二次函數(shù)丫=久2-4%+5化成、=。(無一九)2+*的形式如下：

甲：乙：

y=x2-4x+5y=x2-4x4-5

=x2-4x+4-4+5y—5=x2—4x

=(X-2)2+(-4+5)y—5+4=——4x+4

=(X-2)2+1y-\=(x-2)2

y=(x-2)2+1

兩位同學(xué)做法正確的是（）

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙王確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

【答案】C

【分析】此題根據(jù)配方的步驟結(jié)合利用到的等式性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：兩位同學(xué)做法都正確，甲同學(xué)利用配方的要求只對函數(shù)式右邊的整式同時加或者減同一個數(shù)原

式結(jié)果不變進行配方；乙同學(xué)對利用等式的性質(zhì)對函數(shù)式兩邊同時進行加減配方，故都正確；

故答案選：C.

【點睛】此題考查了配方法的實際配方過程，涉及到等式性質(zhì)，難度一般.

【變式1-3]（2023?廣東?九年級專題練習）用配方法把二次函數(shù)y=2/-3%+1寫成曠=。（％-九）2+憶的

形式為________

【答案]y=2（*_*z_,

【分析】本題直接利用配方法將原式變形求出答案即可.

【詳解】解：y=2x2-3x+l

2

=2（x-|x）+1

=2|3）20+|

=2（x±）2」.

48

故答案為y=2（%_}2_：

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確掌握配方法是解題關(guān)鍵.

【題型2根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷其性質(zhì)】

【例2】（2023春?九年級單元測試）在函數(shù)①y=3/；②y=#+i；③”一步一中，圖象開口大小

按題號順序表示為（）

A.①〉②,③B.①,③〉②C.②）③〉①D.②〉①〉③

【答案】C

【分析】由于拋物線的開口大小是由二次項系數(shù)a的絕對值的大小確定，|可越大則開口越小.利用這個結(jié)論

即可判斷開口大小.

【詳解】解：???物線的開口大小是由二次項系數(shù)a的絕對值的大小確定，|a|越大則開口越小.

()

A.兩條拋物線的頂點相同B.兩條拋物線的形狀相同

C.兩條拋物線與y軸的交點相同D.兩條拋物線的潮減性相同

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接判斷頂點坐標，對稱軸，開口方向及與y軸的交點以及增減性，即可得出

結(jié)論.

【詳解】解：A.兩條拋物線的頂點相同，都是（0,2）,不符合題意；

B.???|3|斗3|,???兩條拋物線的形狀相同，不符合題意；

C.兩條拋物線與y軸的交點相同，都是（0,2）,不符合題意；

D.拋物線yi=2+3x2,當xvO時,y隨x的增大而減小，當x>0時,y隨x的增大而增大，拋物線為=2-3x2,

當x<0時，y隨x的增大而增大，當x>0時，y隨x的增大而減小，故選項D不正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)解析式確定頂點坐標，對稱軸以及開口方向和與y軸的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

【題型3五點法繪二次函數(shù)的圖象】

【例3】（2023春?江蘇徐州?九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=%2-2%-3.

（I）完成下表，開在方格紙中畫該函數(shù)的圖象;

X??.-10123???

y??????

⑵根據(jù)圖象，完成下列填空：

①當%>1時，y隨x的增大而

②當y<0時，人的取值范圍是

【答案】（I）見解析；

（2）①增大；②-1VXV3.

【分析】（1）分別將％的值代入函數(shù)解析式求出y值，再描點，連線作出圖象；

（2）觀察圖象，當％>1時，），隨工的增大而增大，當y<0時，函數(shù)圖象在“軸下方，即可得x的取值范圍.

【詳解】（1）解：分別將％=-1,0,1,2,3代入丫=/一2%-3得丫=0,-3,-4,-3,0,

如圖，

故答案為：0?—3,—4?—3,0；

（2）觀察圖象，當為>1時，y隨工的增大而增大，當y<0時，函數(shù)圖象在工軸下方，即一1<工<3.

故答案為：①增大；②一1V%<3.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不

等式的關(guān)系.

【變式3-1]（2023春?廣東河源?九年級校考階段練習）己知函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得:

（1）拋物線頂點坐標.

（2）對稱軸為.

(3)當x=時，y有最大值是.

(4)當時，>-隨著x得增大而增大.

(5)當___________時，y>0.

【答案】(一3,2)x=-3-32%<-3-5<x<-1

【分析】(1)由拋物線與x軸兩個交點的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得頂點坐標；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸；

(3)根據(jù)拋物線的頂點坐標即可求解；

(4)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(5)拋物線在x軸上方的部分對應(yīng)的x的取值即為所求.

【詳解】解:(1)???拋物線與“軸交于點(一5,0),(-1,0),

二頂點橫坐標為乎=-3,

由圖可知頂點縱坐標為2,

???頂點坐標為(一3,2)；

(2)對稱軸為x=-3；

(3)當％=-3時，y有最大值是2；

(4)當》<-3時，y隨著％得增大而增大；

(5)當―5<%V—1時，y>0.

故答案為(1)(一3,2)：(2)x=-3：(3)-3,2；(4)x<-3；(5)-5<x<-l.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)、=。/+8％+以。。0)的頂點坐標是(-/,甯3,

對稱軸直線％=-/,二次函數(shù)丫=a/+匕％+C(Q=0)的圖象具有如下性質(zhì)：①當a>0時，拋物線y=

ax2+bx+c(a*0)的開口向上，x<一/時，y隨匯的增大而減小；x>一段時，y隨匯的增大而增大；x二一/

時，y取得最小值年打，即頂點是拋物線的最低點.②當。<0時，拋物線y=。/+6%+?°于0)的開口

向下，“<一之時，y隨匯的增大而增大；時，y隨X的增大而減小；時，y取得最大值差聲,

即頂點是拋物線的最高點.

【變式3-2](2023春?河南安陽?九年級校考階段練習)已知拋物線y=-2/+4x+6.

(1)請用配方法將y=-2x2+4%+6化為y=a(x-h)2+k的形式，并直接寫出對稱軸;

(2)在如圖所示的平面直角坐標系巾，畫出y=-2/+4X+6的圖象：

⑶該拋物線沿工軸向左或向右平移機(m>0)個單位長度后經(jīng)過原點，求機的值.

【答案】(l)y=-2(x-l)2+8：x=l

Q)見解析

⑶m=1或3

【分析】(1)利用配方法進行求解即可；

(2)畫出二次函數(shù)的圖象；

(3)求出函數(shù)與x軸的交點，根據(jù)平移規(guī)律進行求解.

【詳解】(1)y=-2x24-4x+6

=-2(x2—2x)+6

=-2(7-2x4-1)4-64-2

=-2(x-l)2+8

對稱軸為：x=1；

(2)當x=0時，y=6；

當),二o時，x=3或%=—1,

所以該圖象經(jīng)過點(0,6),(—1,0),(3,0)；

???拋物線沿工軸向左平移3個單位長度或向右平移1個單位長度后經(jīng)過原點,

，m=1或3.

【點睛】本題考杳二次函數(shù)的頂點式、畫二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)平移的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)掌握二

次函數(shù)平移的規(guī)律.

【變式3-3］（2023?上海松江?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=2/-4x—1.

⑴用配方法求這個二次函數(shù)的頂點坐標；

（2）在所給的平面直角坐標系％Oy中（如圖），畫出這個二次函數(shù)的圖像；

⑶請描述這個二次函數(shù)圖像的變化趨勢.

【答案】⑴頂點坐標Q-3）

⑵見解析

⑶這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線％=1左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的

【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出答案；

(2)先求出幾個特殊的點，然后描點連線即可；

(3)根據(jù)(2)函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：(1)y=2x2-4x-1=2(x2-2x)-1=2(x-l)2-3

，二次函數(shù)的頂點坐標(1,一3)；

(2)解：當％=0時?，y=-1,

當:y=-1時，x=2,

經(jīng)過點(0,—1),(2,—1)?

頂點坐標為：(1,一3)

圖像如圖所示：

(3)解：這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線％=1左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練學(xué)握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【知識點2二次函數(shù)解析式的表示方法】

(1)一般式:y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，a和)；

(2)頂點式:y=a(x—h)2+k(a^0),

它直接顯示二次函數(shù)的頂點坐標是(h,k)；

(3)交點式:y=a(x—x1)(x—x2)(a^0),

其中X”X2是圖象與X軸交點的橫坐標.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并

非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與X軸有交點，即y-4。。之()時，拋物線的解析式才可以

用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

【題型4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】

【例4】(2023春北京海淀九年級期末)已知二次函數(shù)y=ak21bxic經(jīng)過40,5),B例,0)兩點,它的對

稱軸為直線％=3,求這個二次函數(shù)解析式.

【答案】y=x2-6x+5

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可.

【詳解】解：由題意得：

f--=3

j2a

|25a+5匕+c=0'

Ic=5

a=1

解得：b=—6,

c=5

???該二次函數(shù)的解析式為y=/-6%+5.

【點睛】本題主要考查求二次函數(shù)解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】(2023春?湖北恩施?九年級校考階段練習)已知一條拋物線的對稱軸是直線x=l,函數(shù)的最大

值是y=2,且該拋物線經(jīng)過坐標原點(0,0).求此拋物線的函數(shù)關(guān)系.

【答案】y=—2(%—1)2+2

【分析】根據(jù)題意得出頂點坐標為(1,2),設(shè)拋物線解析式為y=a(x—l)2+2,將點(0,0)代入，得Q+2=0,

即可求解.

【詳解】解：???對稱軸是宜線x=1,函數(shù)的最大值是y=2,

，頂點坐標為(1,2),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1尸+2,

將點(0,0)代入，得Q+2=0

解得：。=-2,

，拋物線解析式為y=-2(%一I)?+2.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】(2023春?河北承德?九年級承德市第四中學(xué)校考階段練習)在二次函數(shù)丫=/十匕%+^^中，函數(shù)

y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：

X-2-101234

y72-1-2in27

則〃?的值為()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】A

【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可求解.

【詳解】解：把點(一1,2),(0,-1)代入y=/+b%+c,得：

{li+c=2,解得：(c=-l

Ic=-13=-2

工二次函數(shù)的解析式為y=X2-2X-1,

當x=2時，y=4-ZxZ-l=-l.

故選：A

【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式的方法是解題

的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?全國?九年級假期作業(yè))己知拋物線與入軸交點的橫坐標為-3和2,且過點(1,-8),它對

應(yīng)的函數(shù)解析式為()

A.y=x2+x-6B.y=-x2-x+6C.y=-2--2z+12D.y=2/+2x-12

【答案】D

【分析】設(shè)函數(shù)解析式為丫=。。+3)(工一2),將點(1,一8)代入即可求得〃的值，可得結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)拋物線函數(shù)解析式為：y=a(x+3)(x-2),

???拋物線經(jīng)過點(1,-8),

/.-8=a(l+3)(l-2),

解得:a=2,

???拋物線解析式為：y=2(x4-3)(%-2),

整理得：y=2x2+2x-12,

故選：D.

【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設(shè)出二次函數(shù)的交點式是解題的關(guān)鍵.

【知識點3二次函數(shù)的平移】

方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.

概括成八個字“左加右減，上加下減”.

任意拋物線y=a(x-h)2+k可以由拋物線y=ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下：

上加下減

2

y=axy=ax+k

向上伏＞0)、下(Av0)平移內(nèi)個單位m

目*

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-m>岳

l§啟

上加下減_

y=a(x-hy向上供＞0)、卜MvO呼移⑶個單密y^=a(x-hY+k

方法二：

⑴產(chǎn)ad+Zu，+c沿y軸平移:向上(下)平移m個單位，y=a.r+bx-^c變成

y=ax1+bx+c+m(或y=ax1-^bx-\-c-m)

⑵產(chǎn)加+Z?x+c沿x軸平移：向左(右)平移m個單位，產(chǎn)加+6+c變成產(chǎn)。。+加產(chǎn)+3+加)+c(或

y=a(x-m)1+b(x-m)+c)

【題型5二次函數(shù)圖象的平移變換】

【例5】(2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模)把拋物線y=/+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得

到拋物線y=/-4x+3,則從c的值分別為()

A.b=-12.c=32B.b=4,c=-3C.b=0,c=6D.b=4.c=6

【答案】D

【分析】將拋物線y=M-4x+3化成頂點式，再根據(jù)“左加右減，上加下減”，采取逆推的方法可得拋物線

y=x2+bx+c的解析式.

【詳解】解：將拋物線y=X2-4X+3化成頂點式為y=(x-2)2-l,

將拋物線y=X2-4X+3向左平移4個單位，再向上平移3個隼位得新拋物線解析式為y=(x-2+4)2-

1+3,

即y=x2+4x+6,

???拋物線y=x2+bx+c的解析式為y=x2+4x+6,

b=4?c=6,

故選:D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)平移的特征，熱練掌握“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023春?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期末）將二次函數(shù)y=/+2x+2的圖象向右平移1個單位，再

向下平移一個單位，得到對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為.

【答案】y=/

【分析】先將二次函數(shù)解析式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律”左加右減，上加下減''解答即可.

【詳解】解：將二次函數(shù)y=/+2%+2化為頂點式為：y=（x+1尸+1,

將二次函數(shù)y=（%+1尸+1的圖象向右平移1個單位，再向下平移一個單位，得到的新圖象函數(shù)的表達式

為y=0+1-1）2+1-1=X2,

故答案為：y=x2.

【點睛】本題考杳二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象平移規(guī)律是解答的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023?山西運城?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線為=-2/+以+。經(jīng)過平移

后得到拋物線丫2,則拋物線力的表達式為（）

A.y=-2x2-4xB.y=-2x2-4%+1C.y=-2x2+4xD.y=-2x2+

4x4-1

【答案】B

【分析】由平移的性質(zhì)可得二次項的系數(shù)為-2,再結(jié)合平移后的拋物線的頂點坐標可得答案.

【詳解】解：???拋物線為=-2/+bx+c經(jīng)過平移后得到拋物線丫2,而力的頂點坐標為：（-1.3）,

，?.及=-2（%+1產(chǎn)+3=-2X2-4X+1,即y=-2x2-4x+1；

故選B

【點睛】本題考查的是拋物線的平移的性質(zhì)，熟記拋物線的平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023春?山東煙臺?九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，如果拋物線y=3/不動，而把x

軸、），軸分別向上、向右平移5個單位，那么在新坐標系中此拋物線的解析式是（）

A.y=3（x—5）2+5B.y=3（x—5）2—5

C.y=3（x+5）2+5D.y=3（x+5）2—5

【答案】D

【分析】該題實際上是將拋物線'向下、向左平移5個單位，根據(jù)“左加右減”的規(guī)律解答即可.

【詳解】解:拋物線y=3/的頂點坐標為（0,0）,

把點（0,0）向下、向左平移2個單位（-5,-5）,

，在新坐標系中此拋物線的解析式為y=3a+5）2-5.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故Q不變，所以求平移后的

拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解

析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

【題型6二次函數(shù)圖象的對稱變換】

［例6］（2023?陜西?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，將拋物線-（m+l）x+m繞原點旋轉(zhuǎn)180。后

得到拋物線C',在拋物線C'上，當xvl時，）-隨人的增大而增大，則，〃的取值范圍是（〉

A.?n>1B.m<1C.m>—3D.m<-3

【答案】D

【分析】據(jù)題意求得拋物線C'的對稱軸和開口方向，并結(jié)合“在拋物線C'上，當XVI時，），隨x的增大而增大”

作答.

【詳解】???拋物線C的表達式是y=x2-（?n+l）x+m

???拋物線。的開I1向上，對稱軸為x="?，

又拋物線C'是拋物線C繞原點旋轉(zhuǎn)180。得到的，

???拋物線C'的開口向下，對稱軸為％=-等，

???拋物線C'上，在對稱軸％=-?的左邊），隨x的增大而增大，

又在拋物線。'上，當》<1時.，），隨x的增大而增大，

=解得mW-3.

故選:D.

【，點睛】此題考杳二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及中心對稱與坐標變換等，熟悉相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵.

變式6-1］（2023?浙江?九年級假期作'也）先將拋物線y=Q-1產(chǎn)+2關(guān)于x軸作軸對稱變換，所得的新拋

物線的解析式為（）

A.y=-（x-I）2I2B.y=-（xIl）2卜2

C.y=-(x-I)2-2D.y=-(x+l)2-2

【答案】C

【分析】若拋物線關(guān)于％軸作軸對稱變換，則圖象上所有的點橫坐標不變縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可解答.

【詳解】拋物線y=(x-l)2+2關(guān)于％軸作軸對稱變換，

則所得拋物線為一y=(x-I)?+2,即y=-(x-l)2-2.

故選：C.

【點睛】此題考杳了拋物線的軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是找到對稱軸，并熟知關(guān)于x軸、y軸的對稱點的坐標

特征.

【變式6-2](2023春?江蘇?九年級專題練習)將二次函數(shù)丫=(%-1)2-4的圖象沿直線/=1翻折，所得圖

象的函數(shù)表達式為()

A.y=-(x-I)2+4B.y=(%+I)?-4

C.y——(x+l)2—6D.y——(x—l)2+6

【答案】D

【分析】根據(jù)翻折對稱性，寫出翻折后所得圖象的頂點坐標，即可寫出函數(shù)表達式.

【詳解】解：將二次函數(shù)y=(x-l)2—4的圖象的頂點坐標是(L—4),沿直線y=l翻折后所得圖象的頂點

坐標為(1,6),所以翻折后所得圖象的函數(shù)表達式為y=-(%-1)2+6,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求二次函數(shù)解析式，明確關(guān)于直線y=1翻折前后的兩個

圖象的頂點坐標特征是解題的關(guān)鍵.

【變式6-31(2023春?北京朝陽?九年級校考期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-^(x-4)2+2

可以看作是拋物線y=[/+2經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn))得到的，寫出一種由拋物線

y=^x2+2得到拋物線y=-1(x-4)2+2的過程：.

【答案】拋物線y=：i+2先向右平移4個單位，再關(guān)于直線y=2軸對稱得到拋物線y=-：(x-4)2+2.

(分析】由拋物線y=+2向右平移4個單位后得到拋物線y=^(%-4/+2后，此時正好與y=-^2+

2關(guān)于直線y=2對稱，即可得到答案.

【詳解】解：???拋物線y=1x2+2向右平移4個單位后得到拋物線y=-4尸+2后，正好與y=-^x2+2

關(guān)于直線y=2對稱，

，拋物線y=-1(x-4)2+2可以看做是拋物線y=^x2+2先向右平移4個單位，再關(guān)于直線y=2軸對稱

得到的，

故答案為：拋物線y=：/+2先向右平移4個單位，再關(guān)于直線y=2軸對稱得到拋物線y=-：(％-4)2+

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，軸對稱變化，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知認進行求解.

【題型7利用二次函數(shù)的對稱軸、最值求參數(shù)】

【例7】(2023?吉林長春?長春市解放大路學(xué)校校考三模)已知二次函數(shù)y=m/-+2(zn工0),當一1W

“W2時，函數(shù)的最大值為y=4,則機的值是______.

【答案】】或一2

【分析】將二次函數(shù)配方成頂點式，分機＞0和mV0兩種情況分析即可.

［詳解】y=mx2-2mx+2=mix2-2x+l）4-2-m=m（x-l）2+2-TH

故該拋物線的對稱軸為直線x=1

當相＞。時，拋物線開口向上，且一1WXW2時，函數(shù)的最大值為y=4

即x=-1時，y=4

代人求得m=|

當血＜0時，拋物線開口向下，且一14x42時，函數(shù)的最大值為y=4

即x=1時，y=4

代人求得m=-2

???m的值為彳或一2

故答案為：;或一2.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類

討論是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023春?九年級單元測試）已知拋物線＞=%2+（加一1次一：的頂點的橫坐標是2,則m的值是

【答案】-3

【分析】由拋物線y=/的頂點的橫坐標是2可得拋物線的對稱軸為％=一緊=2,即可求

得m的值.

【詳解】解：???拋物線、=/+（加一1）》一；的頂點的橫坐標是2.

二對稱軸x=一;二?=2,

?cXX

:.m=-3,

故答案為：—3.

【點睛】本題主要考杳了二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線y=%2+（爪-1）%的頂點的橫坐標是2可得拋物線

的對稱軸為％=-*=2,是解題的關(guān)鍵.

NX］

【變式7-2](2023春?九年級單元測試)若拋物線y=x24-(m-l)x+(m+3)的頂點在y軸上，則m

【答案】1

【分析】根據(jù)頂點在)，軸上，得出該拋物線對稱軸為y軸，則-5=-彳=0,即可求解.

ZQ2

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

:拋物線y=x2+(m-l)x+(m+3)的頂點在y軸上，

???該拋物線對稱軸為)，軸，

?bm-1八

??--=------0?

2a2

解得：771=1,

故答案為：1.

【點睛】本潁主要考杳了二次函數(shù)的頂點，解撅的關(guān)犍是掌握二次函數(shù)的對稱軸為直線％=-；.

2a

【變式7-3](2023?浙江溫州?校考三模)拋物線y=x2-2ax+b的頂點落在一次函數(shù)y=-2x+4的圖象上,

則b的最小值為.

【答案】3

【分析】首先求出拋物線y=無2-2。%+6的頂點坐標，然后代入一次函數(shù)y=-2%+4,然后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：y=x2—2ax+b=(x—a)2—a2+b,

，頂點坐標為(。,一。2+b),

???拋物線y=x2-2ax+b的頂點落在一次函數(shù)y=-2x+4的圖象上，

(a,-a2+b)在一次函數(shù)y=-2x+4的圖象上,

-a2+b=-2a+4

，匕=a2-2a4-4=(a—I)2+3

VI>0,

???拋物線開I」向上，

???當Q=1時，b有最小值3.

故答案為：3.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的頂點式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

【題型8利用二次函數(shù)的增減性求參數(shù)范圍】

【例8】(2023?陜西西安?交大附中分校校考模擬預(yù)測)已知拋物線y=/-4mx+血，當一2Vx<1時，y的

值隨工值的增大而增大，則此拋物線的頂點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】先計算出拋物線對稱軸為直線％=—等=2m,再根據(jù)拋物線開口向下，得到蘇>2小時，)，隨k的增

大而增大，結(jié)合當-2。<1時，)，隨x的增大而增大，得到機工-1,再根據(jù)拋物線的頂點坐標，判斷出頂點

所在象限.

【詳解】解：拋物線的對稱軸為x=-等=2m,

???拋物線開口向上，

J當％>2m時，)，隨工的增大而增大，

丁當一2V%V1時，y隨x的增大而增大，

.",2m<-2,即mW—1；

;拋物線的頂點縱坐標為4m2-8m2+m=-4m2+m,

工頂點坐標為(m,-4m2+m),

2

Vm<-1,而-4/+m=-(2m-Dj