專題03選擇壓軸題之幾何最值問題J

?三

AW

【方法點撥】涉及旋轉、對稱、折疊的最值問題中，若無法直拄求解，可先找到關鍵點的運動抗跡，再利用

“垂線段最短”來求解.

【例1】（2020?南譙區二模）如圖，△48C中，ZA=30°,/ACB=90°,BC=2,。是AB上的動點,

將線段C。繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CE,連接BE則4E的最小值是（）

【分析】如圖，過點C作CK1AB于K,將線段CK繞點C逆時針旋轉90°得到C4,連接HE,延長

HE交AB的延長線于J.首先證明四邊形CKJH是正方形，推出點E在直線〃/上運動，求出反/,根據

垂線段最短解決問題即可.

【解答】解：如圖，過點。作C7CLAB于K,將線段CK繞點。逆時針旋轉90°得到C"，連接HE,延

長HE交AB的延長線于人

?:NDCE=NKCH=9()",

???ZDCK=ZECH,

?：CD=CE,CK=CH,

:.△CKDWACHE（SAS）,

:./CKD=NH=90°,

VZCKJ=ZKCH=ZH=90°,

???四邊形CK〃7是矩形，

,:CK=CH,

???四邊形CKJ〃是正方形，

???點E在直線〃/上運動，當點七與J重合時，BE的值最小，

在RlZXCBK中，VBC=2,ZABC=60°，

???CK=8C?sin60°=V3,8K=3C?cos600=1,

:,KJ=CK=V3

:,BJ=KJ-BK=W-\,

，BE的最小值為8一1,

補充方法：4c上截取C/=2,得三角形CFO全等于三角形C8E,。尸在。尸垂直AB時最小.

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，正方形的判定和性質，垂線

段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考

問題.

【變式1-1］（2021?懷寧縣模擬）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,AC=BC=4,〃是△H8C?的高C。

上一個動點，以8點為旋轉中心把線段8產逆時針旋轉45°得到鳥?’，連接。P,貝IJOP'的最小值

是（）

IV

'A

A.2V2-2B.4-2V2C.2-V2D.V2-1

【分析】在8c上截取BE=8D,由等腰直舛三角形的性質可得8A=4/，NABC=NBAC=NBCD=N

DCA=45°,BD=CD=AD=2V2=BE,由旋轉的性質可得BP=8P,NPBP,=45°,可證

BEP,可得PE=P。，當PE_LCO時，PE有最小值，即。〃有最小值，由直角三角形的性質可求。P'

的最小值.

【解答】解：如圖，在上截取BE=8。，連接EP,

VZACB=90°,AC=BC=4,CD±AB,

???BA=4&,ZABC=ZBAC=ZBCD=ZDCA=45°,BD=CD=AD=2>/2=BE

???旋轉

；?BP=BF,ZPBP'=45°,

?:BE=BD,N人BC=NPA產=45°,BP=BP'

:.△BDP&ABEP(SAS)

/.PE=P'D

.?.當尸石_LC。時，PE有最小值,即￡>P有最小值,

PELCD,NBCD=45°,

???CE=y[2PE=BC-BE=4-2x[2

：.PE=2yf2-2

故選：A.

【點睛】本題考瓷了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形判定和性質，添加恰當輔助線構

造全等三角形是本題的關鍵.

【變式1-2]（2020?南山區校級一模）如圖，團A8C￡>中，ND4B=60°,人8=6,BC=2,P為邊CO上的

一動點，貝IJP8+的最小值等于（）

A.5B.10C.5V2D.10V2

【分析】y/2BP+AP=V2QBP+與AP),求BP+挈AP的最小值屬“胡不歸”問題，以4為頂點，AC為

一邊在下方作45°角即可得答案.

【解答】解：以4為頂點，AC為一邊在下方作NCAM=45°,過尸作PFL4M于R過8作8。_LAM

42BP+AP=V2（BP+等AP）,要使企8P+”最小，只需BP+孝AP最小，

VZC4M=45°,PFLAM,

是等腰直角三角形，

:.FP=,AP,

.??8P+多最小即是8f最小，此時〃與七重合，尸與。重合，即取十多最小值培線段的

長度，

???NC4M=45°,BDA.AM,

???NAED=NBEC=45°,

VZAC5=90°,

Dr*

sinZBEC=sin45=而，tanNBEC=市,

乂BC=4,

:?BE=Zi,CE=4,

???4C=6,

：,AE=2,

DF

而sin/C4M=sin45,=玲，

，DE=V2,

:,BD=BE+DE=5內

：,y[2BP+AP的最小值是血80=1。,

故選：B.

【點睛】本題考杳線段和的最小值，解題的關鍵是做45°角，將求80+冬42的最小值轉化為求垂線段

的長.

類型2利用嗦》對稱”求線段最值AW..........................

【方法點撥】“將軍飲馬”問題是中考的熱點問題之一，解決這類問題的方法是找出兩定點中任一點關于動

點所在直線的對稱點，再將另一點與對稱點相連，連線與直線的交點即為所求的點.通常情況下，求三角形

或四邊形的周長的最小值時，往往也是利用軸對稱進行解題.

【例2】（2021?淮南一模）如圖，□△ABC中.NB4C=90°,AB=\,4c=2&.點。，E分別是邊3C,

AC上的動點，則。A+OE的最小值為（）

16&

【分析】如圖，作A關于8c的對稱點4,連接/VV,交BC于F,過H作AE_LAC于￡交BC于D,

則此時AO+QE的值最小，就是/VE的長，根據相似三角形對應邊的比可得結論.

【解答】解：作A關于8C的對稱點連接AA，，交8c于R過4作AE_LAC于E,交BC于D,則

AD=A'D,此時AZMOE的值最小，就是HE的長；

RtZ\A8C中，N8AC=90°,AB=\,AC=2\[2,

:.BC=JP+（2企y=3,

S^ABC=/C?A凡

A1X2V2=3AF,

AF2/2

AF=

VZA,FD=ZDEC=90<>,ZA'DF=ZCDE,

；?ZA'=ZC,

VZAEA'=ZBAC=90°,

???

.AAl_BC

''AfE~AC

4叵

,~_3

ArE~2\f2'

即AD+DE的最小值是3：

【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形相似的性質和判定、兩點之間線段最短、垂線段最短等知

識，解題的關鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

【變式2-1](2020?荊門)在平面直角坐標系中，長為2的線段C。(點。在點C右側)在工軸上移動，4

(0,2),B(0,4),連接AC,BD,則AC+BD的最小值為()

A.2V5B.2V10C.6&D.3>/5

【分析】設C(〃?，0),則有AC+8O=Cm2+22++2尸+42,推出要求AC+3O的最小值，相當

于在x軸上找一點〃(/〃，0〉，使得點。到M(0,2)和N(-2,4)的距離和最小，如圖1中，作點

,W關于x軸的對稱點Q,連接NQ交x軸于V,連接,此時P'M+P'N的值最小，求出NQ即

可解決問題.

【解答】解?：設C（加,0）,

?：CD=2,

?,D(/n+2,0),

(0,2),B(0,4),

：.AC+BD=Vm2+22+7（m4-2）2+42,

???要求4C+B。的最小值，相當于在x軸上找一點P（〃?，0）,使得點P到W（0,2）和N（-2,4）

的距離和最小，

如圖1中，作點M關于x軸的對稱點Q，連接NQ交x軸于P',連接MP',此時P'M+P'N的值最

小，

P'M+P'N的最小值=尸'N+PQ=NQ=V22+62=2\/10,

：,AC+BD的最小值為2VIU.

故選：B.

【點睛】本題考查軸對稱-最短路徑問題，坐標與圖形的性質，兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是

學會利用參數解決問題，學會利用數形結合的思想思考問題，學會用轉化的思想解決問題，屬于中考選

擇題中的壓軸題.

【變式2-2］（2020?紅橋區一模）如圖，在四邊形ABCO中，乙4=/。=90°,48=5,AD=4,CD=3,

點P是邊人。上的動點，則△PBC周長的最小值為（）

D

AB

A.8B.4V5C.12D.6V5

【分析】作點C關于A。的對稱點E，連接EB交AD于點P',連接CP,WJEP'=CP',ED=CD,

此時△尸'AC周長最小為：P'C+PB+BC=PE+PrB+BC=EB+BC,作BRLOC的延長線于點R在

r△BC尸和心△"￡中，根據勾股定理即可得△PBC周長的最小值.

【解答】解：作點C關于AO的對稱點￡,連接￡8交AQ于點P',

連接CP',則EP'=CPr,ED=CD,

此時△尸8c周長最小為：

P1C+P1B+BC=PE±P'B+BC=EB+BC,

作/〃口_。。的延長線于點R

NA=/AQC=90。,

???四邊形是矩形，

：,BF=AD=4,DF=AB=5,

：,CF=DF-CD=5-3=2,

EF=DF+ED=5+3=8,

???在RlZXBC/和RtaBF'E中，根據勾股定理，得

BC=\ICF2+BF2=2V5,

BE=y/BF2+EF2=46

：?BC+BE=6后

所以△尸3C周長的最小值為6店.

故選：Q.

【點睛】本題考查了軸對稱■最短路線問題、勾股定理，解決本題的關鍵是掌握軸對稱性質.

【變式2?3】（2020?市南區二模）如圖，在矩形A4CO中，AD=\2,AEVBD,垂足為E,ED=3BE,點、P、

0分別在8Q,A。上，則AP+PQ的最小值為（）

A.4&B.2V2C.6V3D.4百

【分析】在RiZXABE中，利用三角形相似可求得AE、OE的長，設人點關于4。的對稱點/V,連接A'

D,可證明△ADA'為等邊三角形，當PQ_LA。時，則。。最小，所以當A'Q_LAQ時AP+PQ最小，從

而可求得4P+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案.

【解答】解：設BE=x,則OE=3x,

???四邊形4BCO為矩形，且AE_L8。，

???XABEs/\DAE,

:?Ap=BE*DE,即AE1=3x2,

.*.AE=V3x?

在RtZXAOE中，由勾股定理可得AUMAF+DF,即時2=（舊大）2+（3v）2,解得工=26，

：.AE=6,DE=6V3,

如圖，設A點關于4。的對稱點為A',連接A'O,PA',

則A'A=2AE=\2=AD,AD=A'D=12,

???△AA'。是等邊三角形，

\*PA=PA',

???當4'、尸、Q三點在一條線上時，A'P+PQ最小,

乂垂線段最短可知當PQ_LA。時.，A'P+尸。最小，

：.AP+PQ=A'P+PQ=A'Q=DE=6>/3.

故選：C.

QD

【點睛】本題主要考查軸對稱的應用，利用最小值的常規解法確定出A的對稱點，從而確定出AP+PQ

的最小值的位置是解題的關鍵，利用條件證明D4是等為三角形，借助兒何圖形的性質可以減少復

雜的計算.

AW..........................

【方法點撥】利用“到定點的距離等于定長的點位于同一個圓上”或“90°的圓周角所對的弦是直徑”等

可以確定某些動點的運動軌跡是圓（或圓弧）.當圓外一定點與圓上一動點位于圓心同側，且三點共線時，該

動點到圓外定點的距離最短；當圓外一定點與圓上一動點位于圓心異側，且三點共線時，該動點到圓外定點

的距離最長.

【例3】（2020?百色模擬）如圖，在長方形紙片ABCO中，AB=4,AO=6.點E是AB的中點，點尸是

,4。邊上的一個動點.將沿EF所在直線翻折，得到AGf：尸.則GC長的最小值是（）

A.2V10-2B.2/10-1C.2V13D.2A/10

【分析】以點￡為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點G在線段CE上時，GC的長取最小值,

根據折疊的性質可知GE=2,在Rl^BCE中利用勾股定理可求出CE的長度，用CE-GE即可求出結論.

【解答】解：以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點G在線段CE上時，GC的長取最小

值，如圖所示

根據折疊可知：GE=AE=^AB=2.

在Rt^BCE中，BE=gAB=2,BC=6,ZB=9O°,

???CE='BE?+BC2=2內,

，GC的最小值=。6?GE=2國-2.

故選：A.

【點睛】本題考杳了翻折變換、矩形的性質以及勾股定理，利用作圓，找出GC取最小值時點4'的位

置是解題的關鍵.

【變式3-1]（2020?河北模擬）數學興趣小組在“中學生學習報”中了解到“直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半”，用含30°角的直角三角板做實驗，如圖，NAC8=90。，BC=6cin,M,N分別是4從

BC的中點，標記點N的位置后，將三角板繞點C逆時針旋轉，點M旋轉到點,在旋轉過程中，線

段MW'的最大值是（）

A.1cmB.8cmC.9cmD.10a〃

【分析】根據直角三角形的性質得到A3=28C=12,CM=6,CN=3,在旋轉過程中，點W'始終在以

。為圓心，CM為半徑的圓上，當旋轉當與B,C在一條直線上時，即到。的位置時，線段NM'的

值最大，于是得到結論.

【解答】解：???NACB=90°,BC=6cm,NA=30°,

：.AB=2BC=\2,

?；M,N分別是AB,8c的中點，

???CM=6,CN=3,

???將三角板繞點C逆時針旋轉，點M旋轉到點、M'，

在旋轉過程中，點M'始終在以C為圓心，CM為半徑的圓上，

???當旋轉當與從。在一條直線上時，即到。的位置時，線段MW的值最大，

即的最大值=ON=6i3=9,

故選：c.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，含30°角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握

直角三角形的性質是解題的關鍵.

【變式3-2]（2020?蕪湖二模）如圖，已知正方形A8CO的邊長為8,點E是正方形內部一點，連接8E,

CE,且NABE=N8CE,點P是A8邊上一動點，連接尸。，PE,則PD+PE長度的最小值為（）

A.8V2B.4V10C.8V5-4D.4^13-4

【分析】根據正方形的性質得到NA3C=9（T,推出N8EC=90°,得到點E在以8c為直徑的半圓上

移動，如圖，設8c的中點為。，作正方形A8CQ關于直線A3對稱的正方形4FG從則點。的對應點是

F,連接尸。交48于P,交。。于E,則線段E產的長即為PD+PE的長度最小值，根據勾股定理即可得

到結論.

【解答】解：???四邊形A8CO.是正方形，

，NABC=90°,

???N4BE+NC8E=90°,

:NABE=NBCE,

,NBCE+NCBE=90°,

：?NBEC=90°,

???點E在以8C為直徑的半圓上移動,

如圖，設AC的中點為O,作正方形A4CO關于直線AB對稱的正方形4FG3,則點。的對應點是凡

連接RT交A8于尸，交半圓。于￡,則線段爐的長即為PD+PE的長度最小值，OE=4,

VZG=90°,FG=BG=AB=S,

???OG=12,

:.OF=yjFG2+OG2=4V13,

.\EF=4VT3-4,

???PD+PE的長度最小值為4713-4,

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質，勾股定理的綜合運用.凡是涉及最短距離

的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點.

【變式3-3]（2021?海安市模擬）如圖，在RtZXABC中，NAC4=90。，N/WC=60°,BC=2內。為

4C上的動點，P為□△ABC內一動點，且滿足NAPB=120。，若D為的中點，則PQ+OQ的最小

B.V43C.4D.V43+4

【分析】如圖以AB為邊，向左邊作等邊△A8E,作aABE的外接圓。0,連接OB,則點P在。。上.作

點。關于AC的對稱點。'，連接O。'，OP,PD',PD'交AC于Q,則尸Q+QO=PQ+Q。'=PD',

根據PO'20。-OP,求出OP,0D'即可解決問題.

【解答】解：如圖以43為邊，向左邊作等邊作△ABE的外接圓。0,連接。兒則點P在。O

在RtZXAHC中，VZ/^CB=90°,N/WC=60°,BC=26,

???A8=4>/5,

則易知08=4,OB工BC,

作點。關于AC的對稱點》,連接0。'，0P,P。'，P。'交AC于Q,則PQ+QQ=PQ+Q?2PQ',

VPD'20。'-OP,0P=0B=4,OD'=J42+（3V3）2=V43,

/.PD'>V43-4,

C.PQ+DQ的最小值為聞-4,

故選：A.

【點睛】本題考查軸對稱-最祖問題，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問

,題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

類型4面積的最值問題AW

【方法點撥】幾何圖形面積最值問題的解題通法：

1.觀察幾何圖形，若能直接判斷出當動點在何位置時，幾何圖形的面積取得最值，則直接計算即可.

2.若根據動點的位置，無法直接判斷幾何國形面積的最值，則可設出未知數，用含未知數的代數式表示出該

幾何圖形的而積，利用函數的性質求解.

【例4】（2020?立山區二模）如圖，。0的半徑是2,直線/與。。相交于A、B兩點,M、/是。0上的

兩個動點，且在直線/的異側，若N/U〃=45°,則四邊形歷AM?面積的最大值是（）

A.2V2C.4V2D.8V2

【分析】過點。作OCLA5于C,交OO于。、￡兩點，連接04、08、DA.DB、E4、EB,根據圓周

角定理推出aOAB為等腰直角三角形，求得A8=^Q4=2夜，根據已知條件即可得到結論.

【解答】解：過點。作OCL48于C,交。。于。、E兩點，連接0A、08、DA.DB、￡4、EB,如圖，

VZAMB=45°,

???NAOB=2N4MB=90°,

???△0A8為等腰直角三角形，

：,AB=V2OA=2^2,

,**S囚邊形MANB=SaMAB+SdNAB，

???當M點到46的距離最大，△MA4的面積最大；當N點到A3的距離最大時，△NA3的面枳最大，

即M點運動到。點，N點運動到E點，

此時四邊形MANB面積的最大值=5四邊形ZME8=SAZM/S△助8=%B?CO+%B?CE=：AB（CD+CE）=

?DE=1x2V2X4=4V2.

乙

故選：c.

NE

【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了圓周角

定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

【變式4-1］（2020?岐山縣二模）如圖，正方形BEFG的頂點E在正方形A8C。的邊A。上，CD.EF交

于點從AD=16,連接EC,FC,則△（?￡：/的面積的最小值為（）.

A.16V2B.48C.96D.256

【分析】由于S/\CEF=S/、CHF^SMHE=根據全等三角形的性質得到EM=AB=16,求得5八0所

DEDH

=8CH,根據相似三角形的性質得到二=—,設AE為x,于是得到DH=點1（*+.61）=-七（x

ABAE1616

-8）2+4W4,即可得到結論.

【解答】解：過尸作FG_LQC于點G,FMLAD,交4。的廷長線于M,連接CR

**SACEF=S&CHKS?CHE=*心EM,

:叢EMFm叢BAE,

\EM=AB=\b,

,?SdCEF=8CH，

:4EDHSABAE,

.DEDH

'AB-AE'

殳AE為x,則DH=白（-A16X）=一/（x-8）2+4<4,

??O，W4,

??CH》12,CH最小值是12,

??△CE尸面積的最小值是96.

【點睛】本題考查了正方形的性質，解題的關鍵是找出線段QN的最大值，根據三角形的面積公式找出

其去最值的條件，再結合二次函數的性質去解決最值問題.

【變式4-2]（2020?昆山市二模；如圖，在△4BC中，AB=10,AC=2\f5,/AC8=45°,。為AB邊上

一動點（不與點B重:合），以CO為邊長作正方形CDEF,連接BE,則△BOE的面積的最大值等于（）.

D,

BC

A.9V2B.18C.36D.20V5

【分析】如圖，過點E作EM1BA于M,過點C作CNLBA交BA的延長線于N,過點A作AH1BC于

H.解直角三角形求出BN的長，設8。=X，則。N=12?x,再利用全等三角形的性質證明EM=ON=

12-x,利用三角形的面積公式構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點E作EM_L84于M,過點。作CN_LBA交班的延長線于N,過點A作A”_L

BC于H.

ZACH=45°,AC=2A/5,

：.AH=CH=AC*cos45°=>/10,

在中，???/人，8=90°，A8=l(),AH=V10,

:.BH=y/AB2-AH2=102-(V10)2=3V10,

:?BC=BH+CH=4屈,

二SMCB=亍3C?A〃=4?A8?CM,

:.CN=4,

在RlZXACN中，AN=y/AC2-CN2=J(2的/-42=2,

:?BN=BA+AN=12,設8。=弟則。N=12?x,

???四邊形EFCO是正方形,

:.DE=DC,4EDC=4EMD=4DNCS,

AZEDM+Z4DC=90°，乙4OC+N/)CN=90°,

???NEDM=NOCM

:?△EMDWADNC(AAS),

：.EM=DN=\