專題函數、方程及不等式的應用

錄

一題型特訓?精準提分

題型01根據實際問題列方程（組）或不等式（組）

題型02利用方程方程（組）與不等式（組）解決實際問題

類型一圖形信息問題

類型二方案選擇問題

類型三商品利潤問題

類型四行程問題

類型五銷售盈虧問題

類型六工程問題

類型七幾何問題

類型八工程問題

類型九古代問題

類型十拋物線問題

類型十一實驗問題

類型十二動態問題

4中考逆襲?高效集訓

題型特訓?精準提分

題型01根據實際問題列方程（組）或不等式（組）

1.（2023?浙江紹興?校聯考三模）為迎接亞運，某校購買了一批籃球和足球，已知購買足球的數量是籃球的

2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價比足球貨30元，根據題意可列方程%=2x

X

爭，則方程中X表示（）

30+X

A.籃球的數量B.籃球的單價C.足球的數量D.足球的單價

2.12023?河南鄭州?校考模擬預測）如圖是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：

有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩.設共有銀子x兩，共有），

人，則所列方程正確的是（）

隔壁聽得客分銀，不知人數不知銀，

七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.

《算法統宗》

注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語

Ax^4=x-8B.7y-4=9y+8C.?二掌D.7y+4=9y-8

3.（2023?廣西費港?統考三模）小明、小華兩人練習跑步，如果小華先跑10m,則小明跑6s就可追上他；如

果小華先跑2s,則小明跑4s就可追上他，若設小明的速度為xm/s,小華的速度為ym/s,則下列符合題意的

方程組是（）

（6x—6y=10（6x-6y=10（6x+10=6y（6x-6y=10

A，[4x-2=4yB，（4x-2x=4yC，（4%-4y=2D，（2x=3y

4.（2023?廣東肇慶?統考三模）通過對一份中學生營養快餐的檢測，得到以下信息：①快餐總質量為300g；

②快餐的成分：蛋白質、碳水化合物、脂肪、礦物質；③蛋白質和脂肪含量占50%；礦物質的含量是脂肪

含量的2倍；蛋白質和碳水化合物含量占85%.若設一份營養快餐中含蛋白質x（g）,含脂肪y（g）,則可

列出方程組（）

[x+y=300fx+y=300x50%

A，+2y=300x15%（x=2y

（x+y=300（x+y=300x50%

C（300x85%-x+2y=300x50%D，（3y=300x15%

5.（2023?遼寧朝陽?校聯考三模）某市用大數據改善城市交通，實現了從治堵到治城的轉變.數據表明，某

市高架路上共22km的路程，利用城市大數據后，車輛通過速度平均提升了15%,節省時間5分鐘，設提速

前車輛平均通過速度為xkm/h,則下列方程正確的是（）

人2222_卜22221

*x（l+15%）x-*x（l+15%）x-12

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C-.-22-(-1-+-1-5-%-)---2-2=5-Dc.-22-(-1-+-1-5-%-)---2-2=一1

xxxx12

6.(2023?福建莆田?校考模擬預測)某科考隊分成兩支小隊進入沙漠采集環境信息，第一小隊于早晨8:00進

入沙漠，并于8:20在一顆枯樹旁做了標記，此時第二小隊進入沙漠，走到8:35時正好經過枯樹看到了標記，

已知兩支小隊在距離出發點4704m的位置相遇，設第一小隊的平均速度是um/s,則符合題意的方程是()

A.4704=4704+1200U+1200B.4704=4704+900U+1200

9001200

470412OOU4704900”

C.=4704++900D.=4704++900

9001200

7.(2023?安徽?模擬預測)隨著科研的投入，某種藥品的價格連續兩次降價，價格由原來每盒a元下降到b元.設

平均下降率為％,則如人“滿足的關系式為()

A.a=/)(1+x)2B.b=a(l—x)2C.a=b(l+2x)D.b=a(l—2%)

8.(2023?廣西玉林?統考一模)我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了一個問題：“直田積

八百六十四步，只云長闊共六十步，問長與闊幾何？‘'其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬的和

為6()步，問長與寬各多少步？若設長為x步，則下列符合題意的方程是()

A.(60-x)x=864B.竽60+X=854

C.(60+x)x=864D.(30+x)(30-x)=864

題型02利用方程方程(組)與不等式(組)解決實際問題

類型一圖形信息問題

9.(2023?江蘇鹽城?統考模擬預測)一輛快車從甲地出發駛向乙地，在到達乙地后，立即按原路原速返回到

甲地，快車出發一段時間后一輛慢車從甲地駛向乙地，中途因故停冷后，繼續按原速駛向乙地，兩車距

甲地的路程ykm與慢車行駛時間x(h)之間的函數圖象如圖所示，請結合圖象解答下列問題：

(1)甲乙兩地相距km,快車行駛的速度是km/h,圖中括號內的數值是；

⑵求快車從乙地返回甲地的過程中，y與x的函數解析式；

(3》慢車出發多長時間，兩車相距120km

10.(2023?天津河西?天津市新華中學校考三模)在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問

題恃境.

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已知小強家、書店、健身館依次在同?條直線上，健身館距小強家2km,書店距小強家1km.周末小強從健

身館運動后，勻速步行20min到達家門口時，突然想起忘記買書，于是立即趕往書店，勻速步行8min到達

書店，停留了6min購書，乂勻速步行lOmin后再次返I可家中.給出的圖象反映了這個過程中小強離家的距

離y(km)與離開健身館后的時間x(min)之間的對應關系.

請根據相關信息解答卜列問題:

⑴填表：

離開健身館的時間/min1020252832

離家的距離/km01

(2)填空：

①日店到健身館的距離為km；

②小強從家到書店的速度為km/min：

③小強從書店返回家的速度為km/min；

④當小強離家的距離為0.8km時，他離開健身館的時間為min.

(3)當20<%<44時，請直接寫出y關于工的函數解析式.

11.(2023?河北唐山?統考二模)如圖，某景區內的環行路是矩形48CD.景區的北門M與南門N之間有一段

小路MN僅供行人步行通過，且區域MNCD為正方形.現有P,Q兩游覽車分別從M和N同時出發，P車順時

針、Q車逆時針沿環形路力BCD連續循環行駛，供游客隨時免費乘車(上、下車的時間忽略不計)，兩車速度

相同.設P、Q兩車距北門M的最短距離分別為y2m(本題中最短距離指在環形路上距M的較短路程,

例：在C處時距離為CD+DM,在B處時距離則為84+力M),行駛的時間為tmin,%，％與￡的函數圖形如

圖所示.

(1)矩形ABC。的周長為m,游覽車的速度為m/min；

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(2)求力M的長;

(3)如圖，求Q,b的值及時，為與t的函數解析式；并直接寫出E、尸兩點的縱坐標之差.

12.(2023?廣西玉林?統考模擬預測)為了更好助推鄉村振興，今年水果上市期間，某單位駐村工作隊立足

本地特色，在打通為農服務“最后一公里”上主動作為，在村里成立村級供銷合作社，幫助果農進行銷售，該

村水果月銷售額)，(萬元)，在成立村級供銷合作社前是反比例函數圖象的一部分，成立村級供銷合作社后

是一次函數圖象的一部分.

(1)當1WXW4時，求y與x的關系式，并求出該種水果4月份的銷售額；

(2)該村水果有多少個月的月銷售領不超過90萬元？

13.(2023?廣東江門?江門市怡福中學校考?模)如圖是某水上樂園為親子游樂區新設滑梯的示意圖，其中

線段P/1是豎直高度為6米的平臺，P。垂直于水平面，滑道分為兩部分，其中力8段是雙曲線y=三的一部分，

BCD段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線的頂點，且B點的豎直高度為2米，當甲同學滑到C點

時，距地面的距離為1米，距點8的水平距離CE為魚米.

⑴求滑道8CD所在拋物線的解析式；

(2)求甲同學從點力滑到地面上。點時，所經過的水平距離；

(3)在建模實驗中發現，為保證滑行者的安全，滑道落地點。與最高點B連線與水平面夾角應不大于45。，

且由于實際場地限制，請直接寫出。。長度的取值范圍.

14.(2()23?內蒙占包頭?二模)某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜.如

圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度)，(?)與時間x(〃)之間的函數關系，其中

線段48、8c表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分。。表示恒溫系統關閉階段(即：當10WXW24時，

大棚內的溫度y(久)是時間k(力)的反比例函數)，已知點A坐標為(0,10).

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請根據圖中信息解答下列問題：

（1）當04%45時，求大棚內的溫度y與時間x的函數關系式；

⑵求恒溫系統設定的恒定溫度；

（3）若大櫥內的溫度低于10。（：時，蔬菜會受到傷害，問這天內，恒溫系統最多可以關閉多少小時，才能使蔬

菜避免受到傷害？

類型二方案選擇問題

15.（2023?廣東深圳?校考模擬預測）“后疫情時代”經濟復蘇，越來越多的人選擇在假期外出旅游，五一假期

為旅游旺季，深圳某景區為方便更多的游客在園區內休息，景區管理委員會決定向某公司采購一批戶外休

閑椅.經了解，該公司出售弧形椅和條形椅兩種類型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的0.75倍,

用8000元購買弧形椅的數量比用4800元購買條形椅的數量多10張.

（1）求弧形椅和條形椅的單價分別是多少元；

（2）已知一張弧形椅可坐5人,一張條形椅可坐3人,景區計劃共購進200張休閑椅，并保證至少增加800

個座位.求如何安排購買方案最節省費用、最低費用是多少元.

16.（2023.浙江?模擬預測）某禮品經箱商在春節前購進了甲、乙兩種規格的禮品盒200盒，共花費了17800

元.已知甲、乙兩種規格的禮品盒的進價和售價如下表：

類別甲規格乙規格

進價（元）75110

售價（元）108158

（1）該禮品經銷商購進甲、乙兩種規格的禮品盒各多少盒？

（2）由于市場供不應求，該禮品經銷商計劃再購進兩種禮品盒共50盒，而此次投入不超過5000元，為使得獲

利最大，應如何進貨.

17.（2023?浙江溫州?校聯考二模）某地移動公司提供的流量套餐有三種，如表所示，不表示每月上網流量（單

位：GB）,y表示每月的流量費用（單位：元），三種套餐對應的y關于X的關系如圖所示：

A套餐8套餐C套餐

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每月基本流量服務費（元）305080

包月流量（GB）51020

超出后每GB收費（元）10105

.v（元）

50

40

3m0

lo

oo

<x)

80

70

?)

50

40

30

20

lo

f（1）當x>5時，求人套餐費用力的函數表達式.

（2）當每月消耗流量在哪個范圍內時，選擇C套餐較為劃算.

（3）小紅爸媽各選一種套餐，計劃2人每月流量總費用控制在150元以內（包括150元），請為他們設計一種方

案使總流量達到最并完成下表，

小紅爸爸：一套餐小紅媽媽：一套餐

總流量

（填4、B、C）（填小B、C）

消耗流量_GB_GB_GB

18.（2022?湖北黃岡?校考模擬預測）習近平總書記強調，實行垃圾分類，關系廣大人民群眾生活環境，關

系節約使用資源，也是社會文明水平的一個重要體現.為改善城市生態環境，某市決定從6月1日起，在全

市實行生活垃圾分類處理，某街道計劃建造垃圾初級處理點20個，解決垃圾投放問題.有A、△兩種類

型垃圾處理點，其占地面積、可供使用居民樓幢數及造價見表：

類型占地面積可供使用幢數造價（萬元）

A15181.5

B20302.1

⑴已知該街道可供建造垃圾初級史理點的占地面積不超過370//A如何分配A、8兩種類型垃圾處理點的數

量，才能夠滿足該街道490幢居民樓的垃圾投放需求，且使得建造方案最省錢？

（2）當建造方案最省錢時，經測算，該街道垃圾月處理成本），（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可以

近似的表示為：y=伊3-8。/+5040x（0<x<144）,若每個型處理點的垃圾月處理量是％型處理點

I10%+72000（144<x<300）

的1.2倍，該街道建造的每個A型史理點每月處理量為多少噸時，才能使該街道每噸垃圾的月處理成本最低？

（精確到0.1）

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19.（2023?安徽合肥?統考三模）為響應政府鞏固脫貧成果的號召，某商場與生產水果的脫貧鄉鎮簽訂支助

協議，每月向該鄉鎮購進甲、乙兩種水果進行銷售，根據經驗可知：銷售甲種水果每噸可獲利（）.4萬元，銷

售乙種水果獲利如下表所示：

銷售力（噸）34567

獲利y（萬元）0.91.11.31.51.7

（I）分別求銷售甲、乙兩種水果獲利力（萬元）、為（萬元）與購進水果數量x（噸）的函數關系式；

（2）若只允許商場購進并銷售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？

（3）支助協議中約定，商場每個月向鄉鎮購進甲、乙兩種水果的數量分別為噸，且九滿足九=20-^m2,

請幫忙商場設計可獲得的最大利潤的進貨方案.

20.（2023?四川樂山?統考二模）某公司在甲、乙兩城生產同一種產品，受原材料產地，上、下游配套工廠

等因素影響，生產成本不同.甲城產品的成本），（萬元）與產品數量x（件）之間的關系式為'=。/+"+

C（QHO）,圖象為如圖的虛線所示:乙城產品的成本y（萬元）與產品數量件）之間的關系式為y=kx（kw0）,

其圖象為如圖的實線所示.

⑴求b、k的值.

（2）若甲、乙兩城一共生產5（）件產品，請設計一種方案，使得總生產成本最小.

⑶從甲城把產品運往A、8兩地的運費（萬元）與件數（件）的關系式為：y^A=nx,y甲8=3%；從乙城

把產品運往人、8兩地的運費（萬元）與件數（件）的關系為：y乙B=2X；現在A地需要40件，

8也需要10件，在（2）的條件下，求總運費的最小值（用含〃的式子表示）.

類型三商品利潤問題

21.（2024.陜西西安?交大附中分校校考一模）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果

進行銷售.通過市場調研發現：購進5千克甲種水果和3千克乙種水果共需38元；乙種水果每千克的進價

比甲種水果多2元.

（1）求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？

（2）已知甲、乙兩種水果的售價分別為6元/千克和9元/千克，若水果店購進這兩種水果共300千克，其中甲

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種水果的重量不低于乙種水果的2倍.則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利澗是多少？

22.（2023?河南周口?統考二模）某社區開展關愛“空巢”老人的活動，現從廠家購進“九連環”與“魯班鎖”兩種

益智玩具用來豐富晚年生活，已知購進2副“九連環”和3副“魯班鎖”共需320元；購進6副“九連環”和4副“魯

班鎖”共需560元.

九連環魯班便

⑴分別求這兩種玩具的單價；

⑵該社區計劃購進“九連環”的數量比“魯班鎖”數量的2倍還多10副，且兩種益智玩具的總數量不少于70副,

社區應如何安排購買才能使費用最少？最少費用為多少？

23.（2023?廣東陽江?統考二模）某文具店準備購甲、乙兩種水筆進行銷售，每支進價和利潤如下表：

甲水筆乙水筆

每支進價（元）aQ+5

每支利潤（元）23

已知花費400元購進甲水筆的數量和花費800元購進乙水筆的數量相等.

⑴求甲，乙兩種水筆每支進價分別為多少元.

（2）若該文具店準備拿出200（）元全部用來購進這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進甲種水筆的數量不超過

乙種水筆數量的4倍，問該文具店如何進貨能使利潤最大，最大利潤是多少元.

⑶文具店為了吸引客源.準備下次再購進一種進價為12（元/支）的丙水筆，預算用1500元購進這三種水

筆若干支（三種筆都需購買），其中甲水筆與乙水筆的數量之比為1：2,則該文具店至多可以購進這三種水

筆共多少支.

24.（2024?福建南平?統考一模）某商家將每件進價為15元的紀念品，按每件19元出售，每日可售出28件.經

市場調查發現，這種紀念品每件漲價1元，日銷售量會減少2件.

（1）當每件紀念品漲價多少元時，單口的利潤為154元？

⑵商家為了單日獲得的利潤最大，每件紀念品應漲價多少元？最大利潤是多少元？

25.（2023?江蘇南通?統考二模）某商品每件進價20元，在試銷階段該商品的日銷售量M件）與每件商品的日

銷售價M元）之間的關系如圖中的折線A8C所示（物價局規定，該商品每件的銷售價不得低于進價且不得高

于45元）.

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（1）直接寫出）,與X的函數關系式；

（2）若日銷售單價x（元）為整數，則當日銷售單價工（元）為多少時，該商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多

少？

（3）若該商品每天的銷售利潤不低于1200元，求銷售單價工的取值范圍.

26.（2023?安徽合肥?統考模擬預測）某水果店去年2月至5月份銷售甲乙兩種新鮮水果，己知甲種水果每

月售價月與月份x之間存在的反比例函數關系如表所示.

時間W月份2345

售價%/（元/千克）12864.8

甲種水果進價為3元/千克，銷售量P（千克）與x之間滿足關系式P=20%；乙種水果每月售汾月與月份x

之間滿足丫2=。/+以+4,對應的圖象如圖所示.乙種水果進價為3.5元/千克，平均每月銷售160千克.

⑴求yi與x之間的函數關系式；

⑵求與x之間的函數關系式；

⑶若水果店銷售水果時需要繳納0.2元/千克的稅費，問該水果店哪個月銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大,

最大利潤是多少？

27.（2022?安徽合肥?校考二模）已知某商品的進價為每件10元，我班數學興趣小組經過市場調查，整理出?

該商品在第x（1工無工30）天的售價與銷量的相關信息如下表：

第X天1<x<1515<x<30

1300

日銷售單價（元/千克）20+/10+—

X

日銷售量（千克）40—x

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(I)第幾天該商品的銷售單價是25元？

(2)在這30天中，第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

類型四行程問題

28.(2023?湖北武漢?華中科技大學附屬中學校考模擬預測)由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要

繼續向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”.某公司設計了一款新型汽車，現在對它的剎車

性能進行測試，開始剎車后的行駛速度u(單位：m/s)、行駛距離y(單位：m)隨剎車時間￡(單位：s)

變化的數據，整理得下表.

剎車時間t/s01234

行駛速度u/m/s302418126

行駛距離y/m027485372

行駛速度u與剎車時間t之間成一次困數關系，行駛距禺y與剎車時間￡之間成二次函數關系.

(1)直接寫出u關于￡的函數解析式和y關于t的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).

(2)當汽車剎車后行駛距離為63m時，求它此時的行駛速度.

(3)若汽車發現正前方40米有一輛卡車一直以10m/s的速度勻速行駛，汽車立即剎車，問汽車在剎車過程中

會不會追尾卡車？請說明理由.

29.(2023?浙江杭州?校考二模)一輛汽車從甲地前往乙地，若以100km/hkm/h的平均速度行駛，則3h后到

達，

⑴該車原路返回時，求平均速度y(km/h)與時間/(%)之間的函數關系式.

(2)已知該車上午8點從乙地出發，

①若需在當天11點至13點間(含11點與13點)返I可甲地，求平均速度v(km/h)的取值范圍.

②若該車最高限速為120km/h,能否在當天10點前返回甲地？請說明理由.

類型五銷售盈虧問題

30.(2023?廣東河源?二模)西安的大唐不夜城，已成為游客們必去的打卡之地，在其商業街上，擺放著琳

瑯滿目的具有古風特色的商品，其中做工精致的扇了?深受大家的喜愛，某店鋪老板用1580元購進了折扇和

團扇共100把，這兩種扇子的進價、標價如表所示：

種類價格折扇團扇

進價(元/把)1320

10/130

標價(元/把)3040

⑴圻扇和團扇各購進J'多少把?

(2)店鋪老板將這兩種扇子打折出售，全部售出后，該店鋪共獲利1240元，已知折扇按標價的九折出售，則

團扇的折扣是多少？

31.(2023?山西大同?校聯考模擬預測)某兒童服裝店從廠家購進了甲、乙兩種品牌的服裝，已知每套甲品

牌服裝比每套乙品牌服裝的進價貴30元，用4800元購進的甲品牌服裝的數量是用2000元購進的乙品牌服

裝數量的1.5倍.

(1)求甲、乙兩種品牌服裝的進價分別是多少；

(2)在銷售過程中，乙品牌服裝每套的售價是80元，且很快全部售出：甲品牌服裝每套按進價加價25%銷售，

售出一部分后，出現滯銷，商場決定打九折出售剩余的甲品牌服裝.這兩種品牌的服裝全部售完后共獲利

潤2200元，求有多少套甲品牌服裝打九折售出.

32.(2023?廣東?校聯考模擬預測)2023年是農歷癸卯年(兔年)，兔子生肖掛件成了熱銷品.某商店準備購

進A,3兩種型號的兔子掛件.已知購進4型號兔子掛件3件和8型號兔子掛件4件共需220元，且4型號

兔子掛件比B型號兔子掛件每件貴15元.

(1)該商店購進A,8兩種型號的兔子掛件進價分別為多少元？

(2)該商店計劃購進A,6兩種型號的兔子掛件共50件，且A,6兩種型號的兔子掛件每件售價分別定為48

元，30元.假定購進的兔子掛件全部售出，若要商店獲得的利潤超過310元，則A型號兔子掛件至少要購

進多少件？

類型六工程問題

33.(2023?重慶開州?校聯考一模)某工程隊采用A,B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造.原

計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務.

(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；

(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米.在實際施工中，B型設備在鋪路效率不

變的情況下，時間比原計劃增力口了(m+25)小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3加米，

而使用時間增加了〃?小時，求加的值.

34.(2022?重慶?重慶市第七中學校校考一模)甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長500()

米.甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工.計劃每天各施工5米，因地質情況不同，兩支隊伍每合格完成1

米橋梁施工所需成本不一樣.甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本

為12萬.

(I)若工程結算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的右求甲最多施工多少米.

(2)實際施工開始后，因地質情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化，甲每

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合格完成1米隧道施工成本增加。萬元時，則每天可多挖;Q米.乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天

少挖米.若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多（7。-12）萬元.求。的值.

35.（2020?福建廈門?校考模擬預測）某市創建“綠色發展模范城行”，針對境內長江段兩種主要污染源：生活

污水和沿江工廠污染物排放，分別用“生活污水集中處理''（下稱日方案）和“沿江工廠轉型升級”（下稱乙方案）

進行治理，若江水污染指數記為。，沿江工廠用乙方案進行一次性治理（當年完工），從當年開始，所治理的

每家工廠一年降低的。值都以平均值〃計算，第一年有40家工廠用乙方案治理，共使。值降低了12.經

過三年治理，境內長江水質明顯改善.

（1）求的〃值；

（2）從第二年起，每年用乙方案新治理的工廠數量比上一年都增加相同的百分數〃?，三年來用乙方案治理

的工廠數量共190家，求〃?的值，并計算第二年用乙方案新治理的工廠數量：

類型七幾何問題

36.（2022?江蘇蘇州?模擬預測）用28米長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形.

（1）當垂直于墻的一邊比另一邊少7米時，求長方形的面積.

（2）按表中列出的數據要求，填寫表格.

觀察表格，你感到長方形的面積會不會有最大的情況？如果會，可能是多少？

垂直于墻的一邊比另一邊少（m）1471013

長方形的面積—————

37.（2023?廣東東莞?東莞市東莞中學松II湖學校校考二模）某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用

現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10m）,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個

面枳為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m.

⑴若矩形養殖場的總面枳為36m2,求8。長度;

（2）求矩形養殖場的總面積最大值為多少.

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38.（2023?遼寧營口?統考二模）某中學開展課外木工拓展實踐活動.如圖所示為一塊余料，LBAF=LAFE=

90°,AB=EF=1,CD=3,AF=8,CD||AF,且CD和AF之間的距離為4,以力F所在直線為x軸，AF中

點為原點構建直角坐標系，則曲線DE是反比例函數y=：圖象的一部分.“創想小組”想利用該余料截取一塊

矩形MNG”材料，其中一條邊在4尸上，所截矩形MNG”材料面積是請你求出此時GN的長.

39.（2023?浙江杭州?模擬預測）如圖，一次函數y=x+4的圖象與反比例函數y（女為常數月JcHO）的

圖象交于A《一1,a）,B兩點,與x軸交于點C.

⑴求此反比例函數的表達式；

⑵若點P在4軸的正半軸上，目.S^ACP=4SABOC，求點P的坐標.

40.（2023?河南周口?校聯考模擬預測）如圖，在鳳4BCD中，A（-lf0）,8（2,0）,D（0,2）,反比例函數y=§在

第一象限內的圖象經過點C.

（1）點。的坐標為

⑵求反比例函數的解析式.

（3）點E是％軸上一點，若△BCE是直角三角形，請直接寫出點E的坐標.

41.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）為了增加校園綠化，學校計用建造一塊邊長為40m的正方形花壇種植“兩

花一草”，如圖，取四邊中點，構成正方形EFGH（甲區域），在四個角落構造4個全等的矩形（己區域），

甲、乙兩區域種植不同花卉，剩余區域種植草坪.

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⑴經了解，甲區域建造費用為50元/m2,乙區城建造費用為80元/nA草坪建造費用為10元，設每個

矩形的面積為xm2,建造總費用為），元，求），關于x的函數關系式；

⑵當建造總費用為74880元時，矩形區城的長和寬分別為多少米？

⑶甲區域建造費用調整為40元/n?,乙區域建造費用調整為。元/m2（a為10的倍數），草坪建造單價不變，

最后建造總費用為55000元，求”的最小值.

類型八工程問題

42.（2023.重慶九龍坡.重慶實驗外國語學校校考三模）某新修公路沿線需要進行綠化施工，由甲、乙兩工

程隊合作完成.已知若由甲工程隊單獨施工，需要30天才能完成此項工程；若由乙工程隊先施工30天，

剩下的由甲、乙合作施工，則還需10天才能完成此項工程.

（1）求乙工程隊單獨完成此項工程需要多少天？

（2）若甲工程隊每天所需費用為I萬元，乙工程隊每天所需費用為L5萬元.甲、乙兩工程隊合作完成此項工

程，總費用恰為56萬元，則應安排甲工程隊施工多少天？

43.（2023?四川資陽?統考二模）“瑞午臨仲夏，時清日竟長.”臨近端午節，一網紅門店接到一份粽子訂單,

立即決定由甲、乙兩組加工完成.已知甲、乙兩組加工一天共生產350袋粽子，甲組加工2天比乙組加工1

天多生產250袋粽子.

（1）求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子？

（2）已知這份粽子訂單為1700袋，若甲、乙兩組共用10天加工完成，則甲組至少加工多少天？

44.（2023?吉林白城?校聯考三模）某車間甲、乙兩臺機器共生產9200個零件，兩臺機器同時加工一段時間

后，甲機器出現故障，維修一段時間后仍按原來的效率加工，已知甲機器每天加工150個零件，如圖是表示

未生產零件的個數y（個）與乙機器工作時間”（天）之間的函數圖像.

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⑴乙機器每天加工個零件，甲機器維修了天；

（2）求未生產零件的個數y（個）與乙機器工作時間x（天）之間的函數關系式；

（3）當甲、乙兩臺機器共生產7600個零件時，乙機器加工了多少天？

45.（2023?重慶渝中?重慶巴蜀中學校考一模）重慶市蒲南區是中國西部綠色菜都，為全市人民提供了新鮮

多樣的蔬菜.今年，區政府著力打造一個新的蔬菜基地，計劃修建灌溉水渠1920米，由甲、乙兩個施工隊

合作完成.己知乙施工隊每天修建的長度是甲施工隊每天修建的長度的土而乙施工隊單獨修建這項工程需

要的入數L匕甲施工隊單獨修建這項工程需要的入數少4A.

⑴求甲、乙兩施工隊每天各修建多少米？

（2）若甲施工隊每天的修建費用為13萬元，乙施工隊每天的修建費用為15萬元，實際修建時先由甲施工隊

單獨修建若干天，再由甲、乙兩個施工隊合作修建，恰好12天完成修建任務，求共需修建費用多少萬元？

類型九古代問題

46.（2023?福建泉州?統考模擬預測）程大位是明代商人、珠算發明家，在其杰作《算法統宗》（如圖）中記

載有如卜.問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？”

譯文：“用繩子測量水井的深度，如果將繩子折成三等份，一份繩子比井深多5尺；如果將繩子折成四等份，

一份繩子比井深多1尺繩長、井深各是多少尺？”

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程大位1533?1606安徽黃人山人明朝

算法發明家著（直指比法統宗）

（1）請你求出上述問題的解；

（2）若在（I）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外，第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺;

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第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…，這只青蛙按照這樣的規律向上爬與休息，若它想要在9天內

(包括第9天)爬出井外，求m至少要為多少尺？

47.(2021?安徽?校聯考三模)我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去

買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準與一株椽其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文.如

果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多

少株椽？

類型+拋物線問題

48.(2024.陜西西安?校考一模)陜北窯洞，具有十分濃厚的民俗風情和土氣息.如圖所示，某窯洞口的下

部近似為矩形04BC,上部近似為一條拋物線.已知。4=3米，48=2米，窯洞的最高點M(拋物線的

頂點)高地面。力的距離為f米.

8

(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，求拋物線的表達式;

(2)若在窯洞口的上部要安裝一個正方形窗戶。EFG,使得點。、E在矩形。48。的邊上，點尸、G在拋物

線上，那么這個正方形窗戶OER7的邊長為多少米？

49.(2023?河南洛陽?統考二模)圖1所示是一座古橋，橋拱截面為拋物線，如圖2,40,8c是橋墩，橋的

跨徑48為20m,此時水位在。。處，橋拱最高點P離水面6m,在水面以上的橋墩4。，BC都為2m.以OC所在

的直線為工軸、4。所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為、=。(無-捫2+匕其中

x(m)是橋拱截面上一點距橋墩4。的水平距離，y(m)是橋拱截面上一點距水面OC的距離.

圖I圖2

⑴求此橋拱截面所在拋物線的表達式；

(2)若橋拱最高點P離水面2m為警戒水位，求警戒水位處水面的寬度.

(3)有一艘游船，其左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在河中航行.當水位上

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漲2m時，水面到棚頂的高度為3m,遮陽棚寬10.8m,問此船能否通過橋洞？請說明理由.

50.(2023?江蘇揚州?校考模擬預測)如圖，一位運動員在距籃卜4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，

當球運行的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m,然后準確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為

3.05m.該運動員身高L9m,在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，設球運動的水平距離為％,豎直

高度為y.

(1)如圖，拋物線與y軸交點坐標為，籃筐中心坐標為.

(2)求y與％之間的函數關系式：

(3)運動員在這次跳投中，跳離地面的高度.

51.(2023?河北滄州?統考模擬預測)北京冬奧會上我國選手在跳臺滑雪項目中奪得金牌，如圖為某同學繪

制的賽道截面圖，著陸坡AC的坡角為30。，起跳點A在y軸上，某運動員(看作點)從點A開始起跳，騰空

后至著陸坡的8處著陸，騰空后運動員的橫坐標X、縱坐標y與時間/之間的關系式為X=QQ+1),y=

-51+70,〃為運動員起跳后水平方向的速度，測得某運動員起跳后106.

⑴求)，與％之間的函數關系式；

(2)該運動員經過幾秒后著陸，并求此時著陸點3到停止區的坡面距離；

(3)當/為何值時，運動員距離著陸坡的豎直距離力最大，最大值是多少？

52.(2023?安徽?模擬預測)某蔬菜基地調灑水車來澆灌菜地，已知灑水的剖面是由力C、兩條拋物線和地面

組成，建立如圖的平面直角坐標系.拋物線OVZ)的函數表達式為y=-g%2+gx+i,拋物線AM8上點A的

坐標為(0,總)，其最高點M離地面的高度是九米，且恰好在點。的正上方.

(1)如圖1,當h=6時，求拋物線與“軸正半軸的交點坐標.

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圖1

⑵如圖2,若大棚的一邊是防風墻PQ,防風墻距離點。有11米，墻高|米，要想所灑的水既能到墻邊又不會

灑到墻外，求力的取值范圍.

圖2

（3）如圖3,在（2）拋物線4MB正好經過墻角Q的條件下，為了防止強光灼傷蔬菜，菜農將遮陰網（用線段PE

表示，PE與拋物線4M8相交于點F）兩端固定在P,E兩處，點E距點。正好2米.若G是線段EF上一動點，

過點G作G”1x軸交拋物線AMB于點“，求G”長度的最大值.

圖3

53.（2023?湖北宜昌?統考模擬預測）閱讀以下材料，完成課題研究任務：

【研究課題】設計公園噴水池

【素材1】某公園計劃修建一個圖1所示的噴水池，水池中心。處立著一個高為2m的實心石柱。4,水池周圍

安裝一圈噴頭，使得水流在各個方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂點4處匯合.為使水流形狀更

漂亮，要求水流在距離石柱0.5m處能達到最大高度，且離池面的高度為2.25m.

【素材2】距離池面1.25米的位置，圍繞石柱還修了一個小水池，要求小水池不能影響水流.

【任務解決】

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(1)小張同學設計的水池半徑為2m,請你結合己學知識，判斷他設計的水池是否符合要求.

(2)為了不影響水流，小水池的半徑不能超過多少米？

類型十一實驗問題

54.(2022?江蘇南京?模擬預測)婦圖是小明“探窕拉力尸與斜面高度力關系”的實驗裝置，4、B是水平面上

兩個固定的點，用彈簧測力計拉著重為6N的木塊分別沿傾斜程度不同的斜面BC向上做勻速直線運動，經

測算，在彈性范圍內，沿斜面的拉力”(N)是高度.h(〃?)的一次函數.實驗結果如圖1、圖2所示：

圖1圖2圖3

(I)求出F與/?之間的函數表達式：

(2)如圖3,若該裝置的高度〃為U.22，",求測量得到拉力”；

(3)若彈簧測力計的最大量程是5M求裝置高度〃的取值范圍.

55.(2023?浙江紹興?統考三模)漏刻是我國古代的一種計時工具，據史書記載，西周時期就已經出現了漏

刻，這是中國古代人民對函數思想的創造性應用.某學校STEAM社團在進行項目化學習時依據漏刻的原理

制作了一個簡單的漏刻計時工具模型.該實驗小組通過觀察，記錄水位/i(cm)、時間t(min)的數據，得到表

格.

t(min)???1234???

h(cm)?.?1.62.02.42.8???

為了描述水位h(cm)與時間t(min)的關系，現有以下三種函數模型供選擇:九=kt+b(kH0),h=at2+bt

C(Q工0),h=[(k手0).

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（1）在平面直角坐標系中描出表中數據對應的點，再選出最符合實際的函數模型，求出相應的函數表達式，

并畫出這個函數的圖象.

（2）當水位高度h為4.8cm時，求對應的時間r的值.

56.（2023?河北滄州?模擬預測）如國，實驗室有一個長方體水槽，其中被試驗臺占據的一部分長方體記為C,

8為長方體C的上表面，A為水槽的底面，在實驗前先將水槽內的污水放完，清洗干凈后再注滿水.己知放水

與注水的速度相同，放水時水槽內的水量V（dn?）與放水時間x（分鐘）的函數關系如圖所示，點M表示放水

4分鐘時,，水面高度剛好到達8面.

（1）求。的值；

（2）求注水時水槽中的水深/i（dm）與注水時間x（分鐘）之間的函數解析式.

57.（2023?山東青島?統考二模）某藥品研究所開發一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體實

驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/亳升）與服藥時間Kh）之間的函數關系如圖所示（當44萬410

時，y與x成反比例）.

（1）根據圖象求出血液中藥物濃度下降階段），關于x的函數表達式；

（2）向：血液中藥物濃度不低于5微克/亳升的持續時間為多少小時？

58.（2021.浙江杭州.統考一模）某位同學做實險考察電流變化情況時，可以選擇若干定值電阻進行并聯（假

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設可以選擇任何數值的電阻），已知電源電壓U為3V（注：公式/=￡,其中/是電流強度、U是電壓，R是

電阻）

（1）若只選擇一個電阻，測得電流強度/為0.1A,求該電阻R的值.

（2）若所選的兩個電阻分別為此./?2，且&+/？2=20。，恰好使總電流強度/最小，求對應電阻燈,/?2的

值.（注并聯時總電阻/?=普）（在求對應此,&的值時，用數學的方法書寫過程）

59.（2023?江蘇鹽城?校考三模）閱讀與思考

卜面是小宇同學的一篇數學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務，今天是2023年6月8日（星期四），

在下午數學活動課上，我們“騰飛”小組的同學參加了??次“探索電壓?定時，輸出功率P與電阻R函數關系

的數學活動

第一步，我們設計了如圖所示的電路，電壓為定值6V不變.

第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數倍的變化.

第三步，我們根據物理知識P=W,通過測量電路中的電流計算電功率.

第四步，計算收集數據如下：

R/Q???246810???

P/W???18964.53???

第五步，數據分析，以R的數值為橫坐標，0的數值為縱坐標建立.平面直角坐標系，在該坐標系中描出以表

中數對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點.

數據分析中，我發現一組數據可能有明顯錯誤，重新實驗，證明了我的猜想正確，并對數據進行了修改，

實驗結束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數學日記.

任務：

（1）上面日記中，數據分析過