專題13.4線段的垂直平分線的判定與性質【九大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1利用線段垂直平分線的性質求長度】......................................................1

【題型2利用線段垂直平分線的性質求最值】......................................................5

【題型3利用線段垂直平分線的性質求角度】......................................................9

【題型4利用線段垂直平分線的性質探究角度之間的關系】.........................................13

【題型5利用線段垂直平分線的性質證明】........................................................19

【題型6線段垂直平分線的判定】...............................................................24

【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】...............................................................27

【題型8線段垂直平分線的判定與性質的綜合運用】...............................................31

【題型9線段垂直平分線的實際應用】...........................................................38

，舉一反三

【知識點1線段垂直平分線的性質】

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與?條線段兩個端點距離相等的點，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1利用線段垂直平分線的性質求長度】

【例1】（2023春?遼寧阜新?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在A/IBC中，AB、4c的垂直平分線分別交BC于點E、口

若A48c的周長是20,AB=4,AC=7,則△AEF的周長為（）

【答案】C

【分析】先根據(jù)△48C的周長公式求得8c=9,再根據(jù)線段垂直平分線的性質得到=FA=FC,根

據(jù)A4E尸的周長公式計算，即可得到答案.

【詳解】解：???△ABC的周長是20,

+AC+BC=20

'：AB=4,AC=7,

:.BC=9,

???EG是線段43的垂直平分線，

???EA=EB,

同理，F(xiàn)A=FC,

AEF的周長=EA+EFFA=EB+EF+FC=BC=9,

故選：C.

【點睛】本題考杳的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相

等是解題的關鍵.

【變式1-1］（2023春?四川成都.八年級校考期中）如圖，△48C中，乙4BC的角平分線8D和4C邊的中垂線。E

交于點。，DMJ.的延長線于點M,DNJ.8C于點N.若=3,BC=7,則的長為

【答案】2

【分析】連接/D,CD,由“AAS”可證三/kBDN,可得BM=BN,由“HL”可證Rt△4DM三Rt△COM

可得AM=GV,即可求解.

【詳解】解:連接4D,CD,

YBO是乙48c的平分線,

：.z.ABD=乙DBC,

在公80河和^BDN中,

(ADMB=乙DNB=90°

Z.ABD=Z.DBC，

(BD=BD

?MBDM會△BDN(AAS),

：,BM=BN,DM=DN,

???。￡?是力。的垂直平分線,

：.AD=DC,

在和RtACDN中，

MD=CD

=DN'

???RtUDMBRtACD/V(HL),

：,AM=CN,

'：AB=3,BC=7,

：.BC-AB=BN+CN-(BM-AM)=2AM=4,

/.AM=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，靈活運用這些性

質解決問題是本題的關鍵.

【變式1-21(2023春?福建福州?八年級校考期中)如圖，AABC中，平分1BC且平分BC,DE148

于E,DFlAC^F.如果48=5,AC=3,則AE二.

【答案】4

【分析】連接BD,根據(jù)角平分線的性質可得尸，根據(jù)線段垂直平分線的性質，可得BD=CD,繼而可

證得Rt△BED三Rt△CFD,可得BE=CF,再證得△AEDAFDt得至l〃E=AF,設BE=x,由力B-BE=

AC+CF,即可得方程5-工二3+X,解方程求出X,進而可求得4E.

【詳解】解：連接BD,CD,

A

【答案】6cm

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質可得ZM=DB,EA=EC,OA=OB=OC,從而可求出BC=11cm,然

后根據(jù)△08。的周長為23cm,即可求出。8的長，即可解答.

【詳解】解：???0M是的垂直平分線，

DA=DB,0A=0B,

???ON是力C的垂直平分線，

???EA=EC,OA=0C?

???OB=0C,

???△ACE的周長為11cm,

:.AD+DE+AE=11cm,

:.BD+DE+CE=11cm,

???BC=11cm,

???△OBC的周長為23cm.

???08+OC=23-11=12cm,

???OB=OC=6cm,

???OA=OC=6cm,

故答案為：6cm.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等

是解題的關鍵.

【題型2利用線段垂直平分線的性質求最值】

【例2】（2023春?甘肅隴南?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△48。中，AB=5,AC=7,BC=10,EF垂直平

分8C,點P為直線EF上的任一點，則△4BP周長的最小值是.

AE

【答案】12

【分析】根據(jù)題意知PB=PC,故當點尸與點。重合時，AP+8P的最小值等于AC的長，根據(jù);IB,AC的長

度即可得到△力BP周長的最小值.

【詳解】解：連接PC,設4c交E戶于O,

AE

??飛/垂直平分8。，

：.PB=PC,

???當P和。重合時，力0+BP的值最小，最小值等于4c的長，

'：AB=5,AC=7,

:.A4BP周長的最小值是AB+46=5+7=12.

故答案為：12.

【點睛】此考查了垂直平分線的性質、最短路徑等知識，熟練學握垂直平分線的性質是解題的關鍵.

【變式2-1］（2023春?江西九江?八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在△ABC中，AC=4,BC邊上的垂直平分線

分別交BC、4B于點。、E,若△AEC的周長是11,則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（）

A.28B.18C.10

【答案】D

【分析】利用垂直平分線的性質和已知的三角形的周長計算.

【詳解】解：???。￡是的中垂線，

；?BE=EC,

^\AB=EB+AE=CE+EA,

又???△4EC的周長為IL

故4B=ll-4=7,

直線。E上任意一點到A、C距離和最小為7.

故選:D.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，線段垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩

端點的距離相等）有關知識.難度簡單.

【變式2-2]（2023春?山東濟南?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點A、8為圓心，

以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E,F,作直線EF,D為8c的中點，M為直線EF上任意一點.若BC=2,

△/WC面積為3,則。M+M。長度的最小值等于.

【答案】3

【分析】連接AD,AM,利用等腰三角形的性質得到4。1BC,根據(jù)三角形面積公式求出4。=3,利用基本作

圖得到Er垂直平分48,則=所以BM+MD=MA+MD2AZ）,當月.僅當4、M、。共線時取等

號，從而得到BM+MD的最小值.

【詳解】解：連接力DMM,如圖，

VAB=AC,。為BC的中點,

：,AD1BC,

IAABC的面積為3,

：.^x2AD=3,

解得AD=3,

由作法得E5垂直平分4B,

：.MA=M8,

?；BM+MD=MA+MD>AD,

???當且僅當4、M、。共線時，MA+MO的最小值為3,

.??BM+MD的最小值是3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖-作已知線段的垂直平分線，等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質

和最短路徑問題，確定出當且僅當4、M、。共線時，MA+M。取得最小值是解題的關鍵.

【變式2-3］（2023春?山東青島?八年級校考期末）如圖，在△4水:中，NA=54。，ZC=76°,。為AB中點,

點P在AC上從C向A運動；同時，點。在8c上從B向。運動，當/尸Z）Q=時，△PDQ的周長

最小.

【答案】28。/28度

【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，把三角形的周長轉化為一條線段的長，利用三角形的內角和及平角的定義

求解.

【詳解】過點。作J_4C于N,并截取Nr=OM過點。作QE_LAC于M,并截取ME=QM,連接石F,

貝lj的長為△PDQ的最小值，

根據(jù)作圖知：AC垂直平分。E,8C垂直平分。F,

:.DQ=FQ,PD=PE,

DQ+DP+PQ=FQ+PE+PQ,

根據(jù)兩點之間線段最短，所以七戶的長是△戶。。的最小值，

此時有：/FDQ=)DQP,/MDP=)DPQ,

在AA8C中有NA=54。，ZC=76°,

.\ZB=I8O°-ZA-ZC=50°,

???NBON=40。，NAOM=36。，

/.NPOQ=180。-ZBDN-NADM-/FDQ-NMDP

=180。-40。-36T(NDQP+NDPQ)

=(ISO0-NPDQ)

=104°-90°+1ZPDC，

解得：/尸。Q=28°.

故當NPDQ=28。時，△尸。。的周長最小.

故答案為：28°

【點睛】本題考查了最短路徑問題，通過軸對稱把問題進行轉化是解題的關鍵.

【題型3利用線段垂直平分線的性質求角度】

【例3】(2023春?福建寧德?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在△力BC中，點M,N為AC邊上的兩點，AM=NM,

BM1AC,ND人BC于點D,且NM=NO,若=a,則NC=()

A

A.B.90°-；aC.120°-aD.2a-90°

22

【答案】D

［分析］根據(jù)看垂直平分線的性質可得=乙NBM=90°—a,NM=ND和BM1AC,ND1EC可得BN

平分WDM,進而得到N4BM=NO8N=4N8M=90。-。，最后由三角形內角和求出NC即可.

【詳解】：AM=NM,BMLAC,匕4=a,

=乙NBM=90°-a,

?:NM=ND,BM1AC,ND1BC,

；?BN平分乙NDM,

???//IBM=Z.DBN=乙NBM=90°-a,

：,LABC=4ABM+乙DBN+乙NBM=270°-3a,

：.LC=1800-Z.A-乙ABC=180°-(270°-3a)-a=2a-90°,

故選：D.

【點睛】本題考杳垂直平分線的性質，角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學

知識解決問題，屬于中考常考題型.

【變式3-1］(2023春?安徽池州?八年級統(tǒng)考開學考試)如圖,△謝中,BD平分匕ABC,8c的中垂線交BC于

點、E,交BD于點尸，連接CF.若乙4=60。，Z.ACF=48°,則〃BC的度數(shù)為.

【答案】48°

【分析】由角平分線的定義可得=MCD,由垂直平分線的性質可得BF=CF,從而得到"8C=乙FCB,

進而得到ZABD=乙FBC=乙FCB、由三角形內角和定理進行計算即可得到答案.

【詳解】解：???80平分乙力8C,

AZ.ABD=乙BCD,

???E"垂直平分8C,

:?BF=CF,

:?乙FBC=乙FCB,

/.ABD=乙FBC=乙FCB,

???Z.A+/.ACF+乙ABD+乙CBD+乙BCF=180°,Z-A=60°,Z-ACF=48°,

.%Z.ABD=Z.CBD=Z.BCF=24°,

:./.ABC=2Z.ABD=48°,

故答案為：48°.

【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

【變式3-2］（2023春?四川甘孜?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△/WC中，=32。，乙ZMC的平分線AO交3c于

點D,若DE垂直平分力8,求NC的度數(shù).

【答案】LC=84°

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到。4=。氏2ZM8=48=32。，再根據(jù)角平分線的定義、三角形

內角和定理計算即可.

【詳解】解：???DE垂直平分4B,

：.DA=DB,

：.LDAB==32°,

??YD是NB4C的平分線，

：,LCAB=24DAB=64°,

：.LC=180°-/.CAB-乙B=180°-64°-32°=84°,

：,LC=84°.

【點睛】本題考杳了線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理、角平分線的定義.掌握線段的垂直平分

線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

【變式3-3］（2023春河北保定?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在A4BC中，4/平分43工。，3/平分乙4BC,點。是

AC.BC的垂直平分線的交點，連接A。、BO,若440B=a,則NA/B的大小為（）

【答案】B

【分析】連接C。并延長，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到。4=0C,OB=OC,根據(jù)等腰三角形的性質得到

乙。。1=匕。力。，乙OCB="BC,根據(jù)三角形的外角性質計算，得到乙4。8二；（乙。乙4+乙。。8）=戊.根據(jù)

三角形內角和定理得到乙〃8+乙1BA=180°-41/8,根據(jù)角平分線的定義得到+乙IBA=90。一%

4

求出乙4/B.

【詳解】解：連接C。并延長，

???點0是4C、8c的垂直平分線的交點，

0A=OC,OB=OC,

Z.OCA=Z.OAC,Z.OCB=Z-OBC>

?:(AOD是440C的一個外角,

:.Z.AOD=Z.OCA+Z.OAC=2/.OCA?

同理,Z.BOD=2Z.OCB,

:.Z.AOB=Z.AOD+乙BOD=2LOCA+2/.OCB=a,

：?Z.OCA+Z.OCB=一,

2

Z.ACB=p

-LBAC,8/平分乙ABC,

???HAB=-Z.CAB,UBA=-Z.CBA,

22

???Z.IAB+/.IBA=\QCAB+LCBA)=\(180°一4ACB)=90°-

:.Z.AIB=180°-(zMfi+Z-IBA)=90°++

故選：B.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平

分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

【題型4利用線段垂直平分線的性質探究角度、線段之間的關系】

【例4】(2023春?福建三明?八年級統(tǒng)考期末)如圖，四邊形A8CO是長方形，￡是邊。。的中點，連接A￡

并延長交邊8c的延長線于凡過點￡作4b的垂線交邊8C于M,連接AM.

(1)請說明"DE9bFCE，、

(2)試說明4M=8C+MC；

(3)設SAAEM=S/，S&ECM=S2,S&ABM=53,試探究5/,Sz，S3三者之間的等量關系，并說明理由.

【答案】⑴見解析；(2)見解析：(3)S3=2S,-4S2,理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)ASA可證得AADEgXFCE；

(2)由(1)可得AE=EF,AD=CF,根據(jù)垂直平分線的性質可得再由線段等量關系即可說明4M=8C+MC；

(3)由AE=EF得出SAECF=S1-S2,再由底和高的倍數(shù)關系得到&ABF=4SAECF=4S「4s2，從而根據(jù)

S3=SAAB『SAMAF得到結果.

【詳解】解：(1)???￡：是邊C。的中點，

/.DE=CE,

???ZD=ZDCF=90°,ZDEA=ZECF,

A^ADE^AFCE(ASA):

(2)由(1)得AE=EF,AD=CF,

???點E為AF中點，

VME±AF,

JAM二MF,

VMF=CF+MC,

VAD=BC=CF,

.\MF=BC+MC,

即AM=BC+MC；

(3)S3=2S「4s2，理由是：

由(2)可知：AE=EF,AD=BC=CF,

/.S1=SAMEF=S2+SAECF?

SAECF=SI-S2?

VAB=2EC,BF=2CF,ZB=ZECF=90°,

**?SAABF=4SAEC卜=4S「4s2，

:'SS=SAABF-SAMAF=SAABF-2SI=2S-4S?.

【點睛】本題考杳了長方形的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理。熟記性

質并找出三角形全等的條件是解題的關鍵.

【變式4-1］（2023春?陜西西安?八年級西安市鐵一中學校考期末）△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊

8c上的尸點，則線段以和8c的關系正確的是（）

A-PA<>B.P//BCC.PA>lBCD.PA>^BC

【答案】B

【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質，即可得到AP=8P=CP,進而得出線段雨和BC的關系.

【詳解】解：如圖所示，△A4C的兩邊A3、AC的中垂線交于邊4c上的。點，

A

2/7/

BC

：.AP=BP,AP=CP,

故選：B.

【點睛】本題考查垂直平分線的性質.線段垂在平分線上的點到戰(zhàn)段兩端的距離相等.

【變式4-2]（2023春?河南平頂山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，。尸是NMON的平分線，點A在射線OM上，P,

Q先直線ON上的兩動點，點Q在點尸的右側，且~Q=S4,作線段OQ的垂直平分線，分別交直線（開,

ON于點、B,點、C,連接/W,PB.

⑴如圖I,請指出與刊?的數(shù)量關系，并說明理由.

⑵如圖2,當P,Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段A〃，是否還存在（I）中的數(shù)量關系？若

存在，請寫出證明過程：若不存在，請說明理由.

【答案】（1）48=P8,理由見解析

（2）存在，理由見解析

【分析】（1）連接8Q,根據(jù)BC垂直平分。Q,可知80=BQ,則4BOQ=4BQ。，根據(jù)。產平分4MON,

貝IJ/40B=乙BOQ,即440B=4BQO,根據(jù)。力=QP,可知△AOB玨PQB,則可知48=PB；

（2）如圖，連接8Q,根據(jù)8c垂直平分OQ,可知8Q=BO,CQ=C。結合條件可證△BQCBOC,則N8Q。=

（BOQ,根據(jù)。小平分ZMON,乙BOQ=LFON,可知4/10尸==480Q,則乙4。5=48Q。，進而可知

/.AOB=/.PQB,由此可證△40B三ZkPQBCSAS）,則=PB.

【詳解】（1）解：AB=PB

理由如下：

連接8Q

M

OpcQT~N

??MC垂直平分OQ

：,B0=BQ

：,LBOQ=乙BQO

^OF^^LMON

：.LAOB=乙BOQ

：.^AOB=乙BQO

'：0A=QP

：,LAOB三APQB

：,AB=PB；

(2)存在，

理由：如圖，連接BQ,

:,BQ=BO,CQ=CO

(BC=BC

在ABQC^WLHOC中，CQ=CO

BQ=BO

:?LBQC三4BOC(SSS)

:.乙BQO=乙BOQ,

乙BOQ=乙FON,

:?乙AOF=^FON=LBOQ,

J.^AOF=乙BQO,

?LAOB=乙PQB,

(OA=PQ

在△A08和△PQ8中，卜/08=4PQ8

(BO=BQ

：.LA0B三APQB(SAS),

：,AB=PB.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問

題，學會用轉化的思想思考問題，本題屬于中考常考問題.

【變式4-3](2023春?山東日照?八年級統(tǒng)考期末)如圖1,在直用A/WC中，ZC=90°,分別作ZCAZ?的平

分線AP和AB的垂直平分線OP,交點為P.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,若點、P正好落在BC邊上.

①求N8的度數(shù)；

②求證：BC=3PC.

(2)如圖3,若點、C、尸、。恰好在一條直線上，線段A。、PD.8c之間的數(shù)量關系是否滿足AD+PO=BC?

若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由.

【答案】(1)①NB的度數(shù)是30。；②見解析；(2)滿足，理由見解析

【分析】(1)①由垂直平分線與角平分線的性質證明：ZPAD=ZPAC=ZB,再利用直角三角形的內角和定

理即可得到答案：②先利用角平分線的性質證明POPD,再用/B=30。證明BP=2PD,進而即可得到結論；

(2)過點P作PE±AC于點E,由垂直平分線的性質可知AC=BC,ZACD=ZBCD=45°,進而證明PE=CE,

由角平分線的性質可知PE=PD,即可證明RQAEPgRQADP(HL),可得AE二AD,再利用線段的和差

性質即可證明AD+PD=BC.

【詳解】（1）①:DP是AB的垂直平分線,

APA=PB,

/.ZPAD=ZB,

又7AP平分NCAB,

.\ZPAD=ZPAC,

AZPAD=ZPAC=ZB,

設NB=x。，則NCAB=NPAD+NPAC=2x。,

???在R￡△{8C中，ZC=90°,

AZB+ZBAC=90°,

即3x=90,x=30,

???NB的度數(shù)是30。.

②TAP平分NCAB,ZC=90°,DP_LAB,

.\PC=PD,

???在R@BDP中，ZB=30°,

.\BP=2PD,

.\BC=BP+PC=3PC.

(2)如圖，過點P作PE_LAC于點E,

〈CD是AB的垂直平分線，

.\AC=BC,

???ZACD=ZBCD=-ZACB=45°.

2

VPE±AC,

???ZCPE=90°-ZPCE=90°-45°=45°=ZPCE,

APE=CE,

又?JAP平分/CAB,PD_LAB,PE±AC,

APE=PD,

/.在RtAAEP和RtAADP中，

(AP=AP,

IPE=PD,

ARtAAEP^RtAADP(HL),

AE二AD,

，AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD,

XVAC=BC,

.\AD+PD=BC.

【點睛】本題考查了角平分線的性質、垂直平分線的性質、三角形的內角和定理、銳角三角函數(shù)、等腰直角

三角形的性質、直角三角形全等的判定與性質、含30。的直角三角形的性質、線段的和差性質，解答本題的

關鍵是掌握并熟練運用以上知識.

【題型5利用線段垂直平分線的性質證明】

【例5】（2023春?陜西榆林?八年級校考期末）如圖，在四邊形片8。（7中，4。所在直線垂直平分線段8C,

過點C作CFIIBD交AB于點F,延長AB,CD交于點、E.求證：

（1）四平分/￡7?戶：

（2）"CF=乙E.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）由40所在直線垂直平分線段得到=CD,從而得至=再利用平行線的性

質可知=再用等量代換即可證明；

（2）由/O所在直線垂直平分線段8C得到AC=AB^ACB=乙ABC,從而得到乙E+（BCE=Z.ACB=^ACF+

乙FCB,再根據(jù)■即可得證.

【詳解】（1）證明：丁力。所在直線垂直平分線段8C,

：.BD=CD,

:.乙BCD=乙CBD.

*：BD\\CF,

:.乙CBD=乙FCB,

:.乙FCB=乙BCD,

即CB平分“CF；

（2）??ND所在直線垂直平分線段8C,

:.AC=AB,

：.LACB=乙48c.

,：/-ABC^BCE的一個外角，

/./.ABC=乙E+Z.BCE>

：,z.ABC=ZE+乙BCE=Z.ACB=^ACF+乙FCB.

又?：乙FCB=^BCD,BPZFC5=LBCE,

???乙4CF=4".

【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角的性質，垂直平分線的性質，平行線的性質等知識，掌握

相關定理是解題的關鍵.

【變式5-1］（2023春?重慶泰江?八年級校聯(lián)考期中）已知在△力BC中，NCAB的平分線AD與BC的垂直平

分線DE交于點D,DM_LAB與M,DN_LAC交AC的延長線FN,你認為BM與CN之間有什么關

系？試證明你的發(fā)現(xiàn).

【答案】BM=GV,證明見解析.

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的性質可得DM=DN,再根據(jù)垂直平分線的性質可得8D=CD,

然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質即可得.

【詳解】BM=CN,證明如下：

如圖，連接BD,CD,

：AD平分乙8AC,DMLAB.DNLAC,

：.DM=DN,

?/DE垂直平分BC,

：?BD=CD,

在RtABMD與RtACND中,幽二累

lBD=CD

；?RtABMDSCND(HL),

：.BM=CN.

【點睛】本題考查了角平分線的性質、垂直平分線的性質、直角三角形全等的判定定理與性質，通過作輔助

線，構造全等三角形是解題關鍵.

【變式5-2]（2023春?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtZkABC中，Z4CB=90。，點E;尸在48上，

，連接工CE,CF,MCF=BF.已知乙4=50°,^ACE=30°,試證明zCFE=iCE凡

A

【答案】證明見解析

【分析】如圖所示，取BC中點G,連接/G,證明FG在線段BC的垂直平分線上，得至l"FGC=/FG8=90°,

進而證明△FGC三A/GB得至1叱只;6=2/86,利用三角形內角和定理求出N/CB==40。，再利用三角

形外角的性質分別求出/CFE、/CE/的度數(shù)即可證明結論.

【詳解】證明：如圖所示，取8C中點G,連接尸G,

*：CF=BF,

???FG在線段BC的垂直平分線上，

：.FG1BC,

：.LFGC=乙FGB=90°,

又VFG=FG,CG=BG,

：,LFGC三△FGB(SAS),

：.LFCG=乙FBG,

在在Rt△力BC中，LACB=90°,LA=50°,

:YB=180°-￡.ACB-^A=40°,

:YFCB=LB=40°,

：.LCFE=乙FCB+NB=80°,

XVzCEF=z/1=50°+/-ACE=80°,

AzCFE=乙CEF.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質，三角形外角的性質，三角形內

角和定理等等，證明乙FCG二4尸BG是解題的關鍵.

【變式5-3］（2023春?福建龍巖?八年級校考開學考試）已知（如圖），在中，。是BC的中點，過點。的

直線GF交AC于點F,交4c的平行線8G于點G,DELGF,交48于點E,連結EF.

⑴求證：BG=CF.

（2）試判斷BE+。尸與EF的大小關系，并說明理由.

【答案】（I）見解析

（2）BE+CF>EF,理由見解析

【分析】（1）先利用ASA判定486。三從而得出BG=CF；

（2）再利用全等的性質可得GO=F0,再有。￡IGF,從而得出EG=EF,兩邊和大于第三邊從而得出BE+

CF>EF.

【詳解】(1)證明：?:BGIIAC,

???Z.DBG=Z.DCF.

???D為8c的中點，

BD=CD,

在△BGD與△CFO中，

(Z.DBG=乙DCF

BD=CD,

IxBDG=乙CDF

:MBGD三△CTO(ASA).

ABG=CF.

(2)解：BE+CF>EF.

理由如下：連接EG,

GD=FD,BG=CF.

又DE1FG,

???。后垂直平分打；，

:.EG=EF.

二在中，BE+BG>EG,

即BE+CF>".

【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質、線段垂直平分線的定義和性質等知識，熟練掌握全等三角形的

判定方法并根據(jù)條件靈活選擇是解題的關鍵.

【知識點2線段垂直平分線的判定】

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）

【題型6線段垂直平分線的判定】

【例6】（2023春.吉林長春?八年級長春外國語學校校考期中）如圖,4。是的角平分線，DE,0戶分別

是和△ACD的高.

（1）求證：4。垂直平分EF；

(2)若4B=3,AC=2,△4BC的面積是4,則OE=_.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）由角平分線的性質得OE=0幾再由三Rtz\/1尸D（HL）,得4E=4尸，從而證明結論;

（2）根據(jù)三角形的面積公式，代人計算即可.

【詳解】（1）???/D是△48C的角平分線，DE.DF分別是△48D和△力CO的高，

:,DE=DF,

在RtzMED與AFD中，

（AD=AD

IDE=DF'

:.RtA/lFD^RtA/lFDCHL）,

：,AE=AF,

*：DE=DF,

??/O垂直平分EF；

（2）*：DE=DF,

:?SXABC=S^ABD+SMCD=?ED+^AC-DF=^DE（AB+AC）=4,

*：AB=3,AC=2,

：.DE=1，

故答案為:

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，熟練

掌握角平分線的性質是解題的關鍵.

【變式6-1］（2023春?陜西寶雞?八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD1BC于點D,BD=DC,AB+BD=DE,

求證：點C在4E的垂直平分線上.

【答案】見解析

【分析】由AD1BC,BD=DC,得至1］力。是8c的垂直平分線，因此力B=4C.再根據(jù)力8+8。=DE,可推

l\\AC=CE,因此得證點C在AE的垂直平分線上.

【詳解】'：AD1BC,BD=DC,

??//）是BC的垂直平分線，

,,AB=AC.

TAB+BD=DE,

：.AB+BD=CD+CE=AC+CD,

：.AC=CE,

??.點C在AE的垂直平分線上.

【點睛】本題考查垂直平分線的性質與判定，熟練掌握垂直平分線的性質與判定是解題的關鍵.

【變式6-2］（2023春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在A/IBC中，Z-ACB=90°,CD1AB于點D,BE平

分乙4BC交4C于點E,交。。于點F,過點E作EGIICD,交A8于點G,連接CG.

(1)求證：Z/14-Z.AEG=90°；

(2)求證：EC=EG；

(3)若CG=4,BE=5,求四邊形BCEG的面積.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

(3)四邊形8CEG的面積為10.

【分析】(1)證明EGJLAB,即可證明結論成立；

(2)利用角平分線性質定理即可證明結論成立；

(3)證明RtAEBG三RtZkEBC(HL),推出BE是線段CG的垂直平分線，利用四邊形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)證明：VEG||CD,CD1AB,

：,EGLAB,

J乙力+/AEG=90°；

(2)證明：???BE平分4ABC,EGLAB,乙4c8=90°,

；.EC=EG,

(3)解：\'EC=EG,EB=EB,

ARt△EBG三RtAE^C(HL),

:?BC=BG,

???BE是線段CG的垂直平分線，

，四邊形8CEG的面積=18ExCG=^x5x4=10.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是靈

活運用所學知識解決問題.

【變式6-3](2023春?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期末)如圖，力。與BC相交于點O,AB=CD,乙48c=4ZM,

EB=ED,連接。￡,BD,求證；0￡垂直平分BD.

jC

【答案】見解析

【分析】先證明△力8。三△C。。得到。8=。。，再由EB=E。即可證明。￡垂直平分8D.

【詳解】證明：在A/WO和△CD。中，

(Z.AOB=Z.COD

1/.AB0=Z.CDO

(AB=CD

???△4B0WACD0(AAS),

???OB=OD,

又?:EB=ED,

OE垂直平分8D.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的判定，證明△AB。三△CD。得到。8=

。。是解題的關鍵.

【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】

【例7】(2023春?山東威海?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在△力BC中，AB=AC,請用尺規(guī)作圖法在4c上求作

一點M,使MC+MB=AC,并連接MB.(保留作圖痕跡，不寫作法)

【答案】見解析

【分析】根據(jù)題意，作A8的垂直平分線與4c的交點即為點M,即可解答.

【詳解】???在AC上求作一點M,

AM+MC=AC,

???MC+MB=AC,

即點M在線段48的垂直平分線上.

如圖，點M即為所求.

八

R

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-垂直平分線，垂直平分線的性質，熟知垂直平分線的性質是解題的關鍵.

【變式（2023春?湖南郴州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力8c中，IB=4C=5,BC=8.

（I）尺規(guī)作圖：作邊力。的垂宜平分線交于點。，連接力0（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；

（2）在（1）作出的圖形中，求△/IBO的周長.

【答案】（1）見解析

⑵13

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法，作出AC的垂直平分線；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質得出4）=CD,進而根據(jù)A8+BD+4D=/B+BD+DC=4B+BC,即可求

解.

【詳解】（1）如圖，

（2）??NC的垂直平分線交BC于點。

：,AD=CD

工A48。的周長為：AB+BD+AD=AB+BDDC=AB+BC=13

【點睛】本題考查線段垂直平分線的作法和性質，解題的關鍵是正確畫出圖形.

【變式7-2]（2023春?廣東深圳?八年級深圳市福田區(qū)上步中學校考期中）如圖,已知△ABC,ABVBC,用

尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P,使得PA+PB=BC,則下列選項正確的（）

B

【答案】B

【分析】利用PB+PC=BC,PA+PB=BC,,則可判斷PA=PC,根據(jù)線段垂直平分線的性質得到點P

為的垂直平分線與BC的交點，然后利用基本作圖對各選項進行判斷.

【詳解】解：?：PB+PC=BC,PA+PB=BC,

：.PA=PC,

???點P在線段AC的垂直平分線上，即：點。為力C的垂直平分線與的交點.

故選：B.

【點睛】此題考查了線段垂直平分線的判定以及尺規(guī)作圖，解題的關鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法，并通過題意

確定點P的位置.

【變式7-3](2023春?上海閔行?八年級校考期中)如圖，點。在/力。8外，點。在邊04上，按要求畫圖，

寫出作圖結論，并填空.

(1)過點P分別畫PEJ.04,PF1OB,垂足分別是E、F.

(2)連接PQ,用尺規(guī)作線段PQ的垂直平分線MN.

(3)過P、。兩點分別作04、OB的平行線交于點G；若乙408=120。，貝【JNG=

【答案】（1）見解析

Q）見解析

（3）見解析；60°

【分析】（1）先延長4。，然后再過點尸作PEJLOA于點E,過點P作PF108于點尸即可；

（2）分別以點Q和點。為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于兩點“、N,連接MN即可;

（3）根據(jù)要求作圖，然后根據(jù)平行線的性質進行求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，PE,PF為所畫的垂線；

（3）解：如圖，PG、QG為所求作的平行線;

:"OQG=180°-乙AOB=60°,

???PG||04

???乙PGH=乙OQG=60°.

故答案為：60°.

【點睛】本題主要考查了垂直平分線作圖，作垂線，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本的作圖方法,

平行線的性質.

【題型8線段垂直平分線的判定與性質的綜合運用】

【例8】(2023春?廣東河源?八年級校考期中)如圖：在A/IBC中，點。是8C的中點，點E,F分另！在48,4c邊

上，旦DE1DF.

(1)猜想:EF_BE+CF(填上“<”、"=”或“>”)；

⑵證明你的猜想.

【答案】⑴v

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)圖形直接作答即可；

(2)如圖，延長F。至G,使FO=GD,連接8G,EG.證明△CDF三△BDG,推出CF=8G,得出ED垂直平

分FG,可得EF=EG,然后根據(jù)三角形的三邊關系和線段間的代換即可證得結論.

【詳解】(1)猜想：EF<BE+CF；

故答案為：<;

(2)證明：如圖，延長FO至G,使FD=GD,連接BG,EG.

?.?點。是的中點，

:.BD=CD.

在ACOF和aBOG中，

(CD=BD,

ZCDF=乙BDG,

(FD=DG,

??△CDF=△BDG.

CF=BG.

???DE1DF,

，￡。垂直平分尸6,

EF=EG.

???EG,BE,8G組成了一個三角形,

BE+BG>EG,

又EF=EG,CF=BG,

：?BE4-CF>EF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系以及線段垂直平分線的性質，正確添加輔

助線，證明三角形全等是解題的關鍵.

【變式8-1](2023春?福建福州?八年級統(tǒng)考期末)如圖,已知NA8C=NA/)C=90。，BC=CD,CA=CE.

備用圖

(1)求證：^ACB=ZACD,

(2)過點E作交4c的延長線于點M,過點M作MPJ_OC,交0c的延長線于點P.

①連接P,交AM于點M證明AM垂直平分PE；

②點。是直線人石上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點石重合.

【答案】(I)見解析

(2)①見解析：②見解析

【分析】(1)用HL證明M/kABC絲心AAOC,即可得到結論;

(2)①證明△NECq^NPC(SAS)即可；

②作。點關于AE的對稱點PT連接MP'交4E于點O,證明N.MP/=30。即可.

【詳解】（1）證明：在用ZkABC和即△AQC中，

BC=CD,AC=AC,

ABC^RtLADC,

,ZACB=ZACD：

(2),:RmABC沿RtbADC,

：.^BAC=ZCAD,

*：CA=CE,

:?NCAE=NCED,

*/N￡BA=90°,

JZBEA=ZBAC=ZCAE=30°,

VPD±AE,MPA.PD,

J.AE//MP,

/.NPMC=NM4E=30。，

?：ME〃AB,

???ZMEB=90°,

AZMEA=120°,

,/NMAE=30。，

/.NEM人=30°,

??"_LMP,CEA,ME,

：.ZMCP=ZMCE=60°t

???△NEC絲△NPC(SAS),

:?EN=PN,

N是EP的中點，NC_LPE,

???4M垂直平分PE：

②作尸點關于AE的對稱點P',連接MP，交AE于點O,

YAM垂直平分尸E,

；?ME=MP,

NEMP=60°,

工ZA/PE=60°,

???Z￡PZ>30°,

，NP』30。，

/.ZMP'P=30。,

???NMEP=60°,

，。點與E點重合.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質定理，線段垂直平分線的判定及性質，軸對稱的性質，正確掌

握全等三角形的判定及性質定理是解題的關鍵.

【變式8-2］（2023春?河北唐山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△48。中，^ABC=45°,八。，%分別為8C、AC

邊上的高，AD.相交于點足下列結論：?^FCD=45°；?AE=EC.③，左"3.憶=力。：F。；④若

BF=2EC,則=

正確的結論序號是（）

A

BDC

A.①?B.?@?C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)垂直定義可得乙4〃%=(ADC=9。\再利用N48C=45。得到4〃=BD,從而可證明△BD卜三

△/DC,進而得到FO=CD,即可判斷①；根據(jù)BE1AC,即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和

它們有一條公共邊可得#=給即可判斷③，若8F=2EC,根據(jù)△8。戶外40。可以得到"=",從

SRAFCCD

而可得E是4c的中點，然后可以推出EF是4c的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質即可判斷④.

【詳解】解：?.?AOJLBC,

:.Z.ADB=4ADC=90°,

???Z.ABC=45°,

Z.BAD=90°-Z-ABD=45°,

???AD=BD,

vBE1AC,

:.Z.BEC=90°,

AAEBC+zC=90。，

vZ.EBC+乙BFD=90°,

???/BFD=乙C,

???△BDF三△力DC(AAS),

???DF=CD,

NFCD=4DFC=45°,故①正確；

vAB豐BC,BE±ACt

:.AEfEC,故②不正確；

...S^ABF__嗎

?^AFC~\AFCD-CD'

?，?S“8F：S^AFC=AD:FD,故③正確;

,*,△BDFADC,

???BF=AC

???BF=2EC,

.'.AC=2EC,

??.E為AC的中點,

vBE1AC,

BE為線段4的垂直平分線，

BA=BC,故④正確，

所以，正確結論的序號是：①③④，

故選:D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握手拉手噗型-旋轉型全等是解題的關鍵.

如圖①，在△ABC中，若AB=8,AC=4,求BC邊上的中線AD的取值范圍是

（2）問題解決：如圖②，在△ABC中D是BC邊上的中點，DE_LDF于點D,DE交AB于點E,DF交AC

于點F,連接EF,求證：BE+CF>EF：

（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點作一個

70角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關系，并加以證明.

【答案】（1）2<AD<6；（2）證明見解析；（3）BE+DF二EF,證明見解析

【分析】（I）如圖1（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質得出BE=4C=4,再根據(jù)三角形的

三邊關系定理即可得；

（2）如圖2（見解析），先問（1）,根據(jù)三角形全等的判定定理與性質得出8M=C幾再根據(jù)垂直平分線

的判定與性質得出EM=EF,然后根據(jù)三角形的三邊關系定理、等屈代換即可得證；

（3）如圖3（見解析），先根據(jù)角的和差得出/NBC=ZD,再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得CN=CF,

乙NCB=dCD,從而可得乙ECN=70。="6,然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得EN=",最

后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得.

【詳解】（1）如圖1,延長AD至E,使=連接BE

,?，AD是BC邊上的中線

:,BD=CD

(BD=CD

在ABOE和△CO4中，\z.BDE=LCDA

\DE=DA

：,LBDE=^CDA(SAS)

：,BE=AC=4

在A/18E中，由三角形的三邊關系得：AB-BE<AE<AB+BE

，8—4〈力E<8+4,即4VAEC12

.*.4<AD+DE<12,即4<2AD<12

???2<AD<6

故答案為：2<AD<6；

(2)如圖2,延長PD至點M,使DM=DF,連接BM、EM

同(1)得：△BMD=△CFD(SAS)

：,BM=CF

,：DE1DF,DM=DF

???DE是MF的垂直平分線

：.EM=EF

在ABME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM>EM

：.BE+CF>EF；

(3)BE+DF=EF；證明如下：

如圖3