易錯06園

弦的圓周角問題卜.易錯點一：忽略了兩個圓周角

平行弦問題卜一易錯點二：忽略兩弦與圓心的位互

切線的判定及衽原一易錯點三：理解不準確

圓與團的位員奚系］、易錯點四：易忽略多種情況

不規則國彩的不同、易錯點五：易重復或減少面積

三角形的內心和外心I易錯點六：;昆清兩心的構成

易錯點一：忽略了兩個圓周角

易錯提醒：在同一個圓中,一條弦對著兩種圓周角，這兩種圓周角互補.

e0??

例I.如圖，。0的半徑是2,AB是。0的弦，點P是弦AB上的動點,且1W0PW2,則弦AB所對的圓周角的度

B.120

C.60或120D.30或150

【答案】C

【詳解】作如圖,

E

???點尸是弦/山上的動點，jai<0P<2,：.0D-\y

NOA3=30,

.404=120,

:.ZAEB=-ZAOB=60,

2

???ZE+ZF=180，

ZF=12().

即弦/夕所對的圓周角的度數為60或120.

故選C.

點睛：圓內接四邊形的對角互補.

例2.在半徑為1的中，弦入區=正，則弦A/3所對的圓周角的度數為().

A.45°B.30°C.45。或135°D.60。或120。

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理,勾股定理的逆定理,掌握一條弦所對的圓周角有兩種情況是解答本題的關

鍵.連結04,08,先根據勾股定理的逆定理得到NAO8=90。，再根據圓周角的頂點在優弧和劣弧上兩種情

況，分別求出弦48所對的圓周角的度數即可.

【詳解】如圖，連結OA,0B,

?：OA=OB=1,AB=6,

:.OA2+OB2=AB2,

.,.Z4OZ?=9()0,

當圓周角的頂點在優弧上時，NADB=1NAOB=45。，

當圓周角的頂點在劣弧上時，人8=9()。，

...ADB=360°-90°=270°,

.\ZADB=135°

綜上所述,弦所對的圓周角的度數為45。或135。.

故選C.

:易錯警示：圓周角定理是重點，同弧（等弧）所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角.直角的圓周角所

:對的弦是直徑，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

為W7.?面耳二疝玄而/涵圓￡'治京3禍：貝忌劉玄而誦祠而加而贏意

【答案】15。或165。

【分析】本題考查圓周角定理，分弦所對的弧為優弧和劣弧兩種情況進行討論即可.解題時，要注意分類討

論.

【詳解】解：當弦所對的弧為劣弧時，

???該弦所對的圓心角是30。，

???這條弦所對的圓周角的度數是15。；

當弦所對的弧為優弧時，貝IJ：這條弦所對的圓周角的度數是180。-15。=165。；

故答案為：15。或165。.

變式2.已知A4為々的弦，沿43折疊刈圓心。恰好落在上，則弦A4所對的圓周角的度數為.

【答案】60。或120。

【分析】本題考查了折疊的性質，1員I的基本概念，等邊三角形的性質，解題關鍵是〃數形結合”.由沿A3折

疊0a圓心。恰好落在。。上點。‘，”J得△08。是等邊三角形，即可得NAO8,再由圓的基本蹴念即可求

解.

【詳解】解：沿A8折疊）0,圓心〃恰好落在。。上點。，00,交A8「點C如圖：

由折疊可得：OB=O'B,O4=O'4,

；.OB=O'B=O（y,

.?..080'是等邊三角形，

.-.Z(7OB=60o,

：.ZAOB=12(T,

???弦A8所對的圓周角的度數為：60°或120°

故答案為：60。或120。

變式3.如圖，GO的半徑為1,A3是0。的一條弦，且31,則弦48所對的圓周角的度數為.

【分析】連接Q4,0B,判定△A08是等邊三角形，再根據圓周角定理可得NC=；/AO8=30。，根據圓內接

四邊形的性質，即可得到答案.

【詳解】解：如圖：連接OA,05,在優弧/18上取一點C在劣弧月月上取一點〃

AB=\,1。的半徑為1,

/.0A-OB=AB,

.?.AAOA是等邊三角形，

.:/A0Ba,

???NC」2408=3()。，

2

.:/A06=1800-/C=150°,

，弦AB所對的圓周角的度數為30。或150。.

故答案為：30。或150°.

【點睛】本題考查的是圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，掌握同弧所對的圓周

角是圓心角的一半是解題的關鍵.

變式4.線段是圓內接正十邊形的一條邊,貝IJ加，所對的圓周角的度數是度.

【答案】18或162/162或18

【分析】作出圖形，求出一條邊所對的圓心角的度數，再根據圓周角和圓心角的關系解答.

圓內接正十邊形的邊力。所對的圓心角Z1=36O0^10=36°,

則/2=360。-36。=324。，

根據圓周角等于同弧所對圓心角的一半，

物所對的圓周角的度數是36。乂：=18。或324秋!=162。.

故答案為：18或162.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角、圓周角定理等知識，解題關鍵是熟練掌握圓周角和圓心角的

關系,并要注意分兩種情況討論.

1.已知弦A8把。的周長分成1:3的兩部分，則弦A8所對?的圓周角的度數為.

【答案】45。或135。

【分析】此題考查了圓周角定理與圓的內接四邊形的性質，以及圓心角與弧的關系.此題難度不大，解題的

關鍵是注意數形結合思想的應用.先根據題意畫出圖形，然后由圓的一條弦1月把圓周分成1:3兩部分，求得

/AO8的度數，又由圓周先定理，求得NACB的度數，然后根據圓的內接四邊形的對角互補，求得/A/用的

度數,繼而可求得答案.

【詳解】解：,?弦A8把。分成1:3兩部分，

/.Z4OB=-x36()o=90o,

4

ZACH=-ZAOB=45°,

2

四邊形AO3C是：。的內接四邊形，

ZADB=I8O0-Z4C?=135°.

「?弦AB所對的圓周角的度數為45°或135。，

故答案為45。或135。.

A

D

2.已知A8是半徑為6的圓的一條弦，若A8=6JJ,貝IA8所對圓周角的度數是（)

A.60°B.30。或150。C.60。或120。D.120°

【答案】C

【分析】根據垂徑定理和正弦定義求得NAOC=60°,進而得到/AO8的度數，再根據圓周角定理和圓內接

四邊形的對角互補求解即可.

【詳解】解：如圖，OCJ_A8于C則AC=BC=gA8=3G,

在RlOAC中，0A=6,AC=36

???/sc_AC_氏

??sinNAOC=---=—>

OA2

JZAOC=60。，

?：OA=OB,OC1AB,

???ZA?OC=ZAOC=60°,

???ZAOB=2ZAOC=\20°,

???^ADB=-^AOB=60°,

2

???四邊形AZME是圓內接四邊形，

二^AEB=180°-ZADB=120°,

故A3所對圓周角的度數是60。或120。，

故選：C.

【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的性質、解直角三角形以及圓內接四邊形的性質,

熟練掌握圓周角定理是解答的關鍵.

3.在半徑為5的弦A6=5,則弦A8所刈的圓周角的度數為.

【答案】30。或150°

【分析】本題考查了圓周角定理,1員I內接四邊形對角互補；

弦所對的弧有優弧和劣弧,故弦所對的圓周角也有兩個,它們的關系是互補關系;弦長等于半徑吐弦所對的

圓心角為60°.

【詳解】解:如圖，弦A8所對的圓周角為NC,NO,

連接OA、OB,

因為4B=OA=O8=5,

所以，ZAQ8=60°,

根據圓周角定理知，NC=g/AOB=30。，

根據圓內接四邊形的性質可知，ZD=180°-ZC=150°.

所以,弦AB所對的圓周角的度數30。或150°.

故答案為：30。或150。.

4.在，。中，NAO4=84。，則弦所對的圓周角的度數為.

【答案】42。或138。

【分析】畫出圖形,可知弦A/3所對的圓周角有兩個，根據“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”，“圓的內

接四邊形對角互補”即可求解,本題考查圓周角定理和圓的內接四邊形的性質，解題的關鍵是注意弦所對的

圓周角有兩個，且互補.

【詳解】解：如圖，/AC3和都是弦A8所對的圓周角，

弦AB所對的圓心角ZAOB=84。,

ZACB=-NAOB=42°,

2

四邊形4OAC是：。的內接四邊形，

ZAZ)8+NAC8=180。，

Z4DB=l80°-ZACfi=138°,

故答案為:42。或138。.

5.己知半徑為/■,弦AB=r,則AD所對圓周角的度數為.

【答案】30°或150°

【分析】先計算出N40B的度數，根據圓周角定理即可求出-C的度數，再根據圓的內接四邊形定理，可得

的NADB度數,這兩個角都是弦仍所對的圓周角.

【詳解】解：如圖，

。中Q4=O8=A-

,ZAOB=60°,

：.ZC=-ZAOB=30°,

2

???四邊形是。的內接四邊形，

???ZC+Z4DB=180°,

???zfADB=180o-30°=I50°,

???弦歷所對的圓周角的度數是3。°或150°.

故答案為：30。或150°.

【點睛】本題考查了圓周角定理和圓內接四邊形定理，熟練掌握這兩個定理是解題的關鍵.注意：圓當中

一條弦對了兩條弧,也就對了兩個圓周角，做題時防止漏掉一個解.

6.如圖，四邊形4BC。內接于《9,OC=4,AC=4X/L

⑴求點。到AC的距離；

⑵求出弦AC所對的圓周角的度數.

【答案】⑴2夜

(2)/3=45°,N氏135°.

【分析】(1)連接物，作仍U力。于〃根據勾股定理的逆定理得到/力叱90°,根據等腰直角三角形的性質

解答；

(2)根據圓周角定理求出N8,根據圓內接四邊形的性質計算，得到答案.

【詳解】(1)連接制作勿L/C丁〃

VOA=OC=4,4C=45/2,

:.OA2+OC2=42+42=32,AC2=(472)=32,

:.勿?+心力戊

???△力"為等腰直角三角形，44比=90。，

又1?O〃_LAC,

???AH=CH,

：.O*三A。：?叵，即點。至U力。的距離為20；

(2)Q?AOC90?,

二.N比力妗45°,

???四邊形4a力內接于。Q

，/方180°-45°=135°.

綜上所述：弦AC所對的圓周角N8=45°,NZM35。.

【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質，圓周角定理,勾股定理的逆定理,掌握圓內接四邊形對角互補

是解本題的關鍵.

7.如圖，四邊形A8CO內接于。0,OC=4,AC=4&.

Dr

A

⑴求點。到AC的距離；

(2)直接寫出弦AC所對的圓周角的度數.

【答案】⑴點〃到到4c的距離為2a

(2)弦AC所對的圓周角的度數為45。或135。

【分析】(1)過點。作OE/AC于點￡利用勾股定理求解即可;

⑵連接04,利用圓周角定理求出再利用圓內接四邊形的性質求出-ADC即可.

【詳解】(1)解：過點。作OE/AC于點七則。石一^人。，

'：AC=4立

AC￡=2>/2,

在RtCCE中，0。=4,

-\0E=>j0C2-CE2業_(2扃=2立

???點。到到AC的距離為2及;

(2)解：連接。4,

由(1)知，在Rt.OCE中，0E=CE

???NOCE=NEOC=45。,

*：OA=OC,

???^OAC=OCA=45°f

???Z4OC=90。、

:.ZB=45°,

ZADC=180°-ZB=I80。-45°=135°,

；?弦AC所對的圓周角的度數為45°或135。.

D

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵.

易錯點二：忽略兩弦與圓心的位置

易錯提醒：求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側，兩弦在圓心的

異側.

例3.如圖，一下水管道橫截面為圓形,直徑為260cm，下雨前水面寬為100cm,一場大雨過后，水面寬為

240cm,則水位上升cm.

【答案】70或170/170或70

【分析】過圓心作垂直于弦的線段，構造直角三角形，再分水位分別在圓心上方和下方的兩種情況去討論,

垂徑定理與勾股定理結合求解即可.

【詳解】解：

如圖所示：。石_18,。尸_1弁4、由題意48=1005］，CZ>240cm,

根據垂徑定理，DE=-CD=\20cm,BF=-AB=50cm,

22

直徑為260cm，半徑OD=OB=130cm,

???在RtVOED+,OE2=OD2一O爐=13()2-1202=2500,

1.OE=5()cm

在Rt/XOFB中，。尸2=OB2_BF2=13O2_5O2=14400,

OF=120cm

①當C。在圓心下方時,

EF=OF-OE=l20-50=70cm

②當CD在圓心上方時，

EF=OF+OE=120+50=170cm

故答案為：70或170

【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，掌握垂徑定理、靈活運用分類討論的思想是解題的關鍵.

例4.已知。0的直徑為20,AB,CI)分別是己0的兩條弦，且AB//CD,AB=16,Q)=10,則AB,Cl)之間的距離是.

【答案】5G-6或56+6

【分析】分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心0一側時，如圖】所示,過。作OE_LCD,交CI)于點E,交AB

于點F,連接0A,0C,由AB//CD,得到OF_LAB,利用垂徑定理得到E與F分別為CD與AB的中點,在直角三

角形A0F中，利用勾股定理求出0F的長,在三角形COE中,利用勾股定理求出0E的長，由OE-OF即可求用

EF的長；當兩條弦位于圓心0兩側時，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的長即可.

【詳解】解：分兩種情況考慮：

當兩條弦位于圓心0一側時，如圖1所示，

過0作OE_LAB,交CD于點E,交AB于點F,連接0A,0C,

VAB//CD,.\OE1CD,

???F、E分別為AB、CD的中點，

AF=BF=-AB=8,CE=DE=-CD=5,

22

在RbCOE中，OC=10,CE=5,

根據勾股定理得：OE=doc，-CE2=11()2-5-=56，

在RtAOF中，OA=10,A尸=8,

2

根據勾股定理得：OF7OA】_AF=J1()2—G=6,

則E尸=OE-O尸=56一6;

ffil圖2

當兩條弦位于圓心。兩側時，如圖2所示，同理可得Eb=OE+OF=5G+6,

綜上,弦AB與CD的距離為56-6或5后+6,

故答案為：56-6或56+6.

【點睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵.

變式1.如圖，的半徑為4,AB,CO是。的弦，且人兩/C。，43=4,CQ=4&，則A8和C。之間的距

離為.

【答案12>/3±2>/2

【分析】作0EJ_AB于E,交CD于F,連結OA,0C,根據平行線的性質等到。尸_LCO,再利用垂徑定理得到

AE=；AB,b=再由勾股定理解得OE,OF的長，繼而分類討論解題即可.

【詳解】作OE_L于E,交CD于F,連結OA,0C,如圖,

AB//CD

:.OFA.CD

:.AE=BE=-AB=2fCF=DF=-CD=2y/2

22

在心△OAE中，

?.-04=4,AE=2

:.0E=^"=26

在2.ObW,

0C=4,CF=2x/2

OF=%-（2揚2=25/2

當圓心0在AB與CD之間時，

EF=OF+OE=2拒+2五

當圓心0不在AB與CD之間時，

EF=OF-OE=2+-2近

即AB和CD之間的距離為2G±2及,

故答案為：2G±2&.

【點睛】本題考查勾股定理、垂徑定理、分類討論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關

鍵.

變式2.在圓柱形油槽內裝有一些油，油槽直徑MV為10分米.截面如圖，油面寬/仍為6分米,如果再注入

一些油后，當油面寬變為8分米,油面力8上升（）

B.4分米

C.3分米D.1分米或7分米

【答案】D

【分析】實質是求兩條平行弦之間的距離.根據勾股定理求弦心距,作和或差分別求解.

解：連接OA.作gL/18于G,

則在直角△物◎利力G=3分米,

因為a=5分米,根據勾股定理得到：06=4分米，即弦49的弦心距是4分米,

同理當油面寬AB為8分米時,弦心距是3分米,

當油面沒超過圓心。時，油上升n分米；當油面超過圓心。時，油上升了7分米.

因而油上升了1分米或7分米.

故選:D.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，靈活運用是本題解題關鍵，注意要分類討論.

變式3.。。的半徑是1(),弦A3/7C。，43=16,8=12,則弦A3與CO的距離是()

A.2B.14C.2或14I).7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應用.作于￡。尸_1。。于￡由垂徑定理得

==C/=：C￡>=6,由于，易得A0、〃三點共線，在RtZ\4OE和RIAOCF中，利用勾

股定理分別計算出OE與O尸，然后討論：當圓心。在弦人B與CO之間時，人8與CO的距離=OF+OE;當圓

心。在弦A8與CO的外部時，AB與CD的距離=OF-OE.

【詳解】解：如圖，作O￡_LA6于七Of_LC。于門連。4,OC,OA=OC=lO,

?：AB//CD,

:?E、0、尸三點共線,

在RtZXAOE中，OE=ylOA2-AE2=V102-82=6.

在RtOC"中，OF=>]OC2-CF2=V102-62=8,

當圓心〃在弦A8與CO之間時，48與。。的距離OP+OE=8+6=14;

當圓心。在弦A8與CD的外部時：AB與CD的距離OF-OE=8-6=2.

所以A3與。。的距離是14或2.

故選：C.

變式4.已知20的半徑為13,弦平行于CO,CO=10,A8=24,求AB和CO之間的距離.

【答案】A8和。。之間的距離為7或17

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分當0的圓心。位于A8、CO之間時，當。的圓心。不

在兩平行弦A3、8之間時，兩種情況分別利用勾股定理和垂徑定理求出點。到A3和CO的距離,據此可

得答案.

【詳解】解：如圖，當。。的圓心。位于48、C。之間時，作OE_L4?于點6并延長EO,交CD于尸

點.分別連接AO、CO.

ABCD,

:?EF，CD,

VCD=10,43=24,

AAE=-AB=\2,CF=-CD=5,

22

在中，由勾股定理得o月=，042一人月2=5,

在RtATF。中，由勾股定理得OE=J℃2_c產=口,

.?.E尸=OE+O尸=5+12=17,

???A8和CD之間的距離為17;

如圖所示，當。的圓心0不在兩平行弦AB、CO之間（即弦48、C。在圓心。的同側）時,

同理可得：OF=12.OE=5r

：.EF=OF-OE=7,

，A8和C。之間的距離為7;

綜上所述，和C。之間的距離為7或17.

1.在半徑為4cm的。中，弦切平行于弦仍AB=4&m,/BOD=90。，則/歸與5之間的距離是cm.

【答案】26+2或26-2

【分析】根據題意,分析兩種/伊的位置情況進行求解即可；

【詳解】解：①如圖,/1次7〃過點。作G"JL48、GHLCD

在。。中

ZBO￡>=90°,GH±AB、GH1CD

JNGOB+/DOH=90。

J4GOB=/ODH

ZOGB=4DHO

*.?</GOB=ZODH

OB=OD

：.AGOBw^DHO(AAS)

???BG=OH

,：OGLAB

：.OH=BG=-AB=2y/3

2

22

???OG=yJOB-BG="一(2可=2

???GH=OH+OG=2s/3+2

'：AB//CD

:"B與必之間的距離即GH

??J8與⑦之間的距離為+2

②如圖，作O/_LAB、2。，4機連接/1〃

則有四邊形如叨是矩形，

:.*PD

???ZZ?(7D=90°

工/曲￡>=45。

,/PDLAB

，AP=PD

*：OF1AB

：.BE=-AB=2yf3

2

/.OE=-BE2="-(2廚=2

,/OD1=OF-+FD2

：.42=(2+PD)1+(2石-

，PQ=2癢2

故答案為：26+2或26-2

【點睛】本題主要圓的的性質、三角形的全等，勾股定理,掌握相關知識并正確做出輔助線是解題的關鍵.

2.已知力從切是。。的兩條平行弦，。。的半徑為17cm,AB=3(km,CQ=16a〃，則力從5間的距離為.

【答案】7或23

【分析】過圓心作兩條平行線的垂線,根據垂徑定理分別在直角三角形中計第即可.

【詳解】如圖，當兩條弦在圓心兩惻時:

TAB、5是。。的兩條平行弦，

.?.過圓心作MN分別垂直于AB、CD,

則根據垂徑定埋可得：BN=15,DM=8,

在Rt/XDMO中，OM=doti1-DM?=A/172-82=15；

同理在Rt^BNO4'，ON=yjOBr-BN1=V172-152=8；

則MN=15+8=23,

同理可得:當兩條弦位于圓心同側時,MN=15-8=7,

故答案為：7或23.

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理解直角三角形，熟練掌喔垂徑定理并仔細計算是解題關鍵.

3.如圖，已知用是半圓。的直徑，弦QV/力氏折8./俗=10,則切與用之間的距離是.

【分析】過點。作于〃連接值;先利用垂徑定理得到CHM,然后在Rtzxa〃中，利用勾股定理即可

求解.

【詳解】解:過點。作。從L8于〃

在RtzXM/中，011=752-42=3,

所以CD與/歷之間的距離是3.

故答案為3.

【點睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理,熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關鍵.

4.若弦AB,切是。〃的兩條平行弦，。。的半徑為13,月於10,小24,則AB,切之間的距離為

A.7B.17C.5或12D.7或17

【答案】I)

【分析】過0作0E_LAB交AB于E點，過。作0F_LCD交CD于F點，連接0A、0C,由題意可得：

0A=0C=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E>F、0在一條直線上,EF為AB、CD之間的距離，再分別解RtZXDEA、RtA

OFC,即可得0E、OF的長，然后分AB,CD在圓心的同側和異側兩種情況求得AB與CD的距離.

【詳解】解：①當AB、CD在圓心兩側時；

過。作OE±AB交AB于E點，過。作OF_LCD交CD于F點,連接0八、0C,如圖所示:

???半徑r=13,弦AB/7CD,且AB=24,CD=10

.*.CA=0C=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E.F、0在?條直線上

???EF為AB、CD之間的距離

在RtAOEA中，由勾股定理可得：

0E2=0A2-AE2

??-CE=V132-122=5

在RtAOFC中，由勾股定理可得：

OF^-OC-CF2

AEF=OE+OF=17

AB與CD的距離為17;

②當AB、CD在圓心同側時;

同①可得：0E=5,0F=12;

則AB與CD的距離為:0F-0E=7;

故答案為：17或7.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的弧.也考查了勾股定理以及分

類討論思想的運用.

5.AB和CD是。0的兩條平行弦,AB=6,CD=8,00的半徑為5,則AB與CD間的距離為（）

A.1或7B.7C.1D.3或4

【答案】A

【分析】分兩種情況：①當AB、CD在圓心兩側時;②當AB、CD在圓心同側時;利用垂徑定理及勾股定理求

出答案.

【詳解】解：①當AB、CD在圓心兩側時;

過0作OE_LCD交CD于E點，過。作OF_LAB交AB于F點,連接OA、0C,如圖所示：

:半徑r=5,弦ABZ/CD,且AB=6,CD=8,

???CA=0C=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、0在一條直線上,

???EF為AB、CD之間的距離

在RtAOEC中,由勾股定理可得:

0E2=0C2-CE2

22

/.CE=A/5-4=3,

在RtAOFA中，由勾股定理可得：

0尸=042-AF2

??-CF=752-32=4,

.\EF=OE+OF=3+4=7,

AB與CD的距離為7;

②當AB、CD在圓心同側時;

同①可得：0E=3,0F=4;

則AB與CD的距離為:OF-OE=1;

綜上所述：AB與CD間的距離為1或7.

【點睛】此題考查圓的垂徑定理、直角三角形的勾股定理，解題中注意運用分類討論的思想避免漏解.

6.已知：。的半徑長為R=5,弦A4與弦C。平行，48=6,6=8,求間的距離.

【答案】1或7

【分析】先根據勾股定理求出OF=4,OE=3,再分AB、CD在點。的同側時,AB、CD在點0的兩側時兩種情況

分別計算求出EF即可.

【詳解】如圖，過點。作OEJLCD于E,交AB于點F,

VAB//CD,

ACE1AB,

在RtAAOF中，OA=5,AP=^AB=3,AOF=4,

在RtACOE中,0C=5,CE=；CD=4,???0E=3,

當AB、CD在點0的同側時，AB、CD間的距離EF=OF-OE=4-3=1;

當AB、CD在點0的兩側時,AB、CD間的距離EF。的0F=3+4=7,

故答案為：1或7.

【點睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，在圓中通常利用垂徑定理和勾股定理求半徑、弦的一半、弦

心距三者中的一個量.

7.已知的半徑為5cm,弦A8//C。，A8=6cm,CD=8cm,求48與CD間的距離.

【答案】7c“7或1cm

【分析】有兩種情況,即AB,CD在圓心0的同側或兩側兩種情況,需分類討論.

【詳解】解：如圖①，過。作于/交CO于E,連接OA；OC,

..0E1CD;

由垂徑定理得=CE=DE=-CD=4,

-2

:.OF=ylOA2-AF2=4,0E=y/0C°-CE。=3,

EF-OF-OE-\cm;

①

如圖②，過。作O產_LAB于f，O￡_LC。于E,連接AO,CO,

同理可得。產=①*OE=3cmf

當AB,CO在圓心。的兩側時,

EF=OF+OE=7(cm),

.:A8與CD的距離為7cm或\cm.

②

【點睛】此題主要考查的是勾股定理及垂徑定理的應用，需注意AB、CD的位置關系有兩種，不要漏解.

易錯點三：理解不準確

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直;②不知道直線與圓有沒有公共點

時，作垂直,證垂線段等于半徑.

切線性質定理及推論；①圓的切線垂直于過切點的半徑;②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；③經

過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

易錯提醒：運用判定和性質時,要嚴格根據方法及定理進行說明,不能憑主觀進行判斷.

例5.如圖，A8是Q。的直徑，弦CD_LA4,垂足為點￡。尸為?。的切線，A/交COF點G,若A￡=3,

【答案】C

【分析】本題考查圓的相關知識，三角形相似的判定及性質，等腰三角形的性質.

連接。。，由題意易證0的半徑長,從而在RdODE中，求得ED=JOD2—OE2=2?由。/是。的切線,

得到4ODE+/CDF=90。，又ZEAG+ZAGE=90°,NCOF=ZFGD=ZAGE,得到/EAG=/EDO,從而?.

“吁"。，根據對應邊成比例求得EG《進而QG=E。YG3

『過點〃作WCO于點附根據"

I3

三線合一”可得6例=-6。=二，因此由4人￡<?-QWG即可解答.

28

【詳解】連接。0.

33

加33

???，0的半徑00=04=

2236

135

：.OE=AE-AO=3---=-

66

<C7)_L/W,即NAEQ=90°

2

⑸

???在RtZ\OO￡中，ED=yJOD2-OE2==2,

丁。尸是。的切線,

：.0D±DF

Z.ODF=90°,即NODE+NCDF=90°,

?；ZA￡G=90°.

O

ZEAG+ZAGE=9(),

???FD=FG,

???/CDF=/FGD=ZAGE,

：.4EAG=NEDO,

'：/AEG=NOEO=90。,

???AEGsDEO,

加“3EG

.AEEG—=_

..——=——，即Hrt25,

DEE0-

O

EG=-

4t

53

?.DG=ED-EG=2--=-.

44

過點，'作「加j_a＞于點M

.*FD=FG,

\GM=-GD=-x-=-,

2248

??ZAGE=ZFGM,NA￡G=NGMG=90。,

??AEGsFMG,

5

AG_-4-10

8

故選：C

例6.如圖，AC是。。的切線,8為切點，連接04,OC.若NA=30。，A8=OC=2x/5,則8c的長度是

C.2GD.4

【答案】B

【分析】本題考查切線性質、正切定義、勾股定理，連接08,先根據切線性質得到2084=90。，再利用正

切定義求得08,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：連接04,

???AC是。的切線，

/./OBA=/OBC=90。,

VZ4-300,AB=OC=2y/3,

，OB=AB?tan300=2V5x—=2,

3

???BC=yl0C2-0B2=J僅豆丫-2?=2&,

故選：B.

變式1.⑴如圖①，.4?。中，/。=90。,"＞平分/84C交BC于點D,點。在邊A4上，月.。經過A、D

兩點,分別交/W、AC于點E、F.求證：是OO的切線：

圖①

⑵如圖②，.A8C中，NC=90。，用直尺和圓規作P,使它滿足以下條件：圓心P在邊上,經過點A,且

與邊8c相切.（保留作圖痕跡，不用寫出作法）

圖②

【答案】（1）證明見解析

（2）作圖見解析

【分析】木題考查了圓的性質、圓的切線的判定、等邊對等角、平行線的判定與性質，解題的關鍵是作出

恰當的輔助線.

連接。。，由04=OD得ZOAD=AODA,再由Z.OAD=NCAD得NODA=ZC4D,從而得OD〃AC,結合

NC=90。可證OO1BC,因0Q為圓的半徑，從而得證.

【詳解】（1）證明：連接00,如圖.

圖①

:)0經過力、〃兩點，

：?OA=OD,

，4)AD=/ODA,

???AO平分N84C

???^0AD=ZCAD

：.^ODA=ZCAD

：.0D//AC

;ZC=90°,

???/ODB=90。,

：.0D_L8C,又點〃在1。上，

???8C是。的切線.

⑵根據(1)題的證明過程，所作P如下圖.

變式2.如圖，BD是'0的直徑，力是8。延長線上的一點，點￡在：。上，8C_LAE,交AE的延長線于點C

AC交（。于點F,且點E是DF的中點.

H\

IDA

(1)求證：AC是。的切線；

(2)若AD=3,AE=3v/5,CE=75,求AC的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵2

【分析】(1)由圓周角定理及等腰三角形的性質可得NEBC=NOAE=NAEO,經過角的轉化即可證明

NOEC=90。，再根據切線的判定定理可得答案；

(2)設(。的半徑為2；在RtZ\AOE中，由勾股定理可得關于r的方程,求出r的值,再根據等角，利用三角函

數即可求出8c1的值.

【詳解】⑴證明：如圖，連接

*/B。為直徑，

???Zr>BE+ZBDE=90°.

又AE_LBC,

/.N￡BC+N4EC=90。，

又OB=OE,

J￡DBE=NBEO,

又E為。尸中點,

???ZEBC=QBE=/BEO,

???ZBEO+ZBEC=90°,

即ZOEC=90°

：,OE1AC,

則AC為。的切線.

(2)設。半徑為r,

〈AC為。的切線,

???ZOEC=90°,

即zMOE為直角三角形，

AAE2+OE2=AO\l^AE=3y/2,4。=3,

A18+r2=（3+r）2,

/?=1.5,

，80=3,00=1.5,

???在RtZSAOE中,

1.51

AO45~3

???在RtAABC中,

BC

sinZA而

BC=sinNAxAB=—x6=2,

3

BC=2.

【點睛】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理及銳知的三角函數等知識點,熟練掌握相關性質及定理是

解題的關鍵.

變式3.如圖，己知等腰4A8C,AB=AC,以AB為直徑作：。交8c于點〃過〃作。產工AC于點￡交加

⑵若CE=6。。=2,求2。的半徑.

【答案】(1)證明

⑵氈

3

【分析】本題主要考查切線的性質和判定及特殊角的三角函數的應用，掌握切線問題中的輔助線的作法是

解題的關鍵.

(D連接0D,證明4ODB=/C,推出AC//OD,即可證明結論成立；

⑵連接AD,在RtCE￡＞中，求得利用三角形函數的定義求得NC=30。，ZAOD=60。，在RtAD8中，利用勾

股定理列式計算求得圓的半徑即可.

NB=NC,

又?：OB=OD,

:.NB=NODB、

NODB=/C,

AC//OD,

-DFA.AC,

:.OD1DF,

.?.。「是(，。的切線；

(2)連接4),設?半徑為，

CE=?CD=2,

ED2=CD2-CE2=22-(V3)2=L

V/「CE退

乂cosZC=-----=——，

CD2

/.ZC=30°,

...ZB=30°,

/.ZAOZ)=60°,

/正是：。的直徑.

；.ZADB=9Qo,

AD=—AB=r,

2

???AB=AC,

???CD=BD=2,

又?.?仞2+4。2=.2

.\?4-22=(2r)2,

.?/=38(負值已舍).

3

變式4.如圖，A8是。的直徑，CO是：。的弦，A6_LCD,垂足是點〃，過點C作直線分別與A8,AO的

延長線交于點E,F,且NECD=2NBAD.

(1)求證：C尸是的切線；

(2)如果A3=20,CD=12,求AE1的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵當

【分析】(1)連接oc,5C,利用圓周角定理，垂徑定理，同圓的半徑線段,等腰三角形的性質和圓的切線的判

定定理解答即可；

(2)利用勾股定理在RlOCH中求出O”=8,同理求出BC=2jib,4c=6后，利用切線的性質及勾股定理

建立等式解答即可.

【詳解】(1)證明：連接OC、3C,如圖所示:

他是：。的直徑，

/.zACB=90°.AO=OB,

ABLCD,

.?.AB平分弦CD,A3平分CQ,

:.CH=HD,CB=DB,NCHA=9D°=NCHE,

ABAD=ZBAC=NDCB,

NECD=2/BAD,

/.NECD=2ZBAD=2ZBCD,

?/Z.ECD=NECB+/BCD,

/.NBCE=NBCD,

:.ZBCE=^BAC,

\'OC=OA,

：.ZBAC=ZOCA,

:.ZECB=/OCA,

???ZACB=90°=ZOCA+ZOCB,

.?.NECB+NOCB=90°,

二.半徑CO_LR7,

.?.CF是1。的切線;

(2)解：-AB=20,CD=\2,

在⑴的結論中有40=08=10,CH=HD=6、

在Rt007中，OH=JOC?-C〃2=JlO?-6?=8，則BH=OB-OH=10-8=2,

在RtZk4CH中，BC=dCH2+BH?=2M，

在Rt.AC"中，物=3+0〃=8+10=18,貝==6而,

,:HE=BH+BE,

???在RlAECH+,EC2=HC2+HE2=62+(2+BE)2,

CF是。的切線，

.，.NOC8=90°,

在RtA.EC。中，EC2=OE2-OC2=(OB+fiE)2-102=(10+BE)2-IO2,

.?.(10+BE)2-102=62+(2+Z?￡)2,

解得=

545

/.AE=AB+BE=20+-=—

22

【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理,垂徑定理，勾股定理,解題的關鍵是連接經過切點的

半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

1.一個邊長為4cm的等邊三角形/WC與。等高，如圖放置，。與4c相切于點C。與AC相交于點/:；

則C石的長為cm

【答案】3

【分析】本題連接OC,并過點。作OF1CE于月根據等邊三角形的性質，等邊三角形的高等于底邊的立

2

倍.已知邊長為4cm的等邊三角形A8C與。。等高，說明。的半徑為即OC=G，又NAC3=60。，故

有NOb=30。，在RtZkOR?中，利用銳角三角函數,可得出“C的長,利用垂徑定理即可得出C￡的長.

【詳解】解：連接OC,并過點。作。“工CE于月

ABB為等邊三角形，邊長為4,

故高為2百，即OC=Ji,

,?。0與4c相切于點C

.?.zOCB=90°,

又乙4。=60。、故有NOB=30。；

3

在中，可得FC=0C?cos300=1,

O尸過圓心，H.OF1CE，根據垂徑定理易知CE=2/C=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、切線的性質、銳角三角函數、垂徑定理，熟練掌握相關性質并靈

活運用，即可解題.

2.如圖，正方形A8C。的邊長為J點E是A8邊上的一點，將"CE沿著CE折疊至若C/、CE恰

好與正方形/WCQ的中心為圓心的。相切，則折痕CE的長為（)

C.觸

D.以上都不對

【答案】c

【分析】此題考查了翻折變換的知識.連接OC,則根據正方形的性質可推出NE6=/次”=；NA8=30。,

在RtBCE中，設BE=X,則CE=2x,利用勾股定理可得出X的值，也即可得出CE的長度.

(詳解］解：連接OC,則4DC0=ZBCO,AFCO=ZECO,

B

:.ZDCO-ZFCO=/B8-/EC0,BP/DCF=/BCE,

又QVBCE沿著CE折疊至AFCE,

/BCE=NECF,

ZECF=ZBCE=-/BCD=30°,

3，

在RtBCE中，設BE=x，則CE=2x,

得CE?=BC2+BE2,即4X2=x2+4-,

解得8E=理，

:.CE=2x=—.

3

故選:C.

3.如圖，在ABC中，AB=AC,AO平分/8AC,交3c于點〃以AO為直徑作9。，交A8于點￡交AC于

點F,連接EF交AD千點、G,連接0B交EF千點、P,連接DF.

(1)求證：BC是。的切線;

(2)若OG=3,EG=4,求：

①tanDQ莊的值；

②線段PG的長.

【答案】(1)見解析；

⑵①/②3.

【分析】（1）根據三線合一得到AD/8C,即可證明BC是（。的切線；

（2）①如圖所示，連接OE,DF,OE,由角平分線的定義和圓周角定理得到NEM=N%,即N利用三線合

一得到AG_LE尸，利用勾股定理求出OE=5,即可求出AD的長,從而得出Z）G=2,由垂徑定理得出G尸，最

后根據正切的定義即可得出答案；

②證明EF//BC,得到△AEGSAABZZ利用相似三角形的性質求出BD=5,證得△OD3,OPG是等腰直

角三角形即可求出PG的長.

【詳解】（1）證明：???AB=AC,A。平分N84C,

???AD1BC,

???。。是。的半徑,

:?BC是。的切線；

⑵解：①連接DE,DF,OE,

???AO為O的直徑,

,ZA￡D=ZA/7>=90°,

「AO平分NB4C,

，/癡9=N物〃，

ZADE=ZADF,

'AE=A尸，

???AGLEF,

V0G=3,EG=4,

???OE=V32+42=5>

???AG=8,4。=10,

DG=2,

由垂徑定理可得G/=EG=4,

21

tanNDFE=-=—

GF42

②???AG1EF,AD1BC,

??EF//BC,

??AAEGSAABZ),

.AGEG

.詬—訪，

*1()-BD，

?.80=5,

?.BD=OD,

,?4ODB是等腰直角三角形,

??NOBD=45。,

：EF〃BC,

??NOPG=/OBD=45。,

??OPG是等腰直角三角形，

?.PG=OG=3.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三線合一定理，勾股定理，相似三角形的性質與判定等等,

正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

4.如圖，在二"C中，AB=AC,A。2BC于點。，少是祀上一點，以BE為直徑的。交BC于點￡連接OE,

。0,且/DOB=90。.

⑴求證：AC是。的切線；

(2)若"1=1,OC=3,求BE的長