中考高頻壓軸題突破一二次函數與面積

1.在平面直角坐標系X0V中(如圖)，已知拋物線)，=?；/+A+c?(其中氏C是常數)經

過點A(-2,-2)與點6(0,4),頂點為M.

(1)求該拋物線的表達式與點M的坐標；

(2)平移這條拋物線，得到的新拋物線與)，軸交于點。(點C在點8的下方)，且△BCM

的面積為3.新拋物線的對稱軸/經過點A,直線/與工軸交于點

①求點A隨拋物線平移后的對應點坐標；

②點從G在新拋物線上，且關于直線/對稱，如果正方形DEFG的頂點/在第二象限

內,求點尸的坐標.

Ox

2.在平面直角坐標系W中，規定:拋物線)，="X-/?)2+A的伴隨直線為y="x-/?)-&.

例如：拋物線y=2(x+l)2—3的伴隨直線為)，=2(%+1)—3,即y=2x—l.

(1)在上面規定下，拋物線y=(x+l)、4的頂點為.伴隨直線為；

拋物線)="+/尸一4與其伴隨直線的交點坐標為和；

(2)如圖，頂點在第一象限的拋物線y=1)?-4〃?與其伴隨直線相交于點(點A

在點3的右側)與x軸交于點CD

①若/C48=90：求/〃的值；

②如果點是直線8。上方拋物線的一個動點，AP5C的面積記為S,當S取得最

大值一27時，求小的值.

4

3.在平面直角坐標系中(如圖)，已知經過點A(-3,0)的拋物線、=加+2依-

3與〉，軸交于點C,點3與點A關于該拋物線的對稱軸對稱，。為該拋物線的頂點.

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸以及點3的坐標、點C的坐標、點。的坐標；

(2)聯結A。、DC、CB,求四邊形4BCZ)的面積；

(3)聯結AC.如果點E在該拋物線上，過點E作x軸的垂線，垂足為“，線段EH交

線段AC于點F.當EF=2F”時，求點E的坐標.

1-

A

-3-2-1O-

-1-

-2

-3

4.在平面直角坐標系中，拋物線y=-ax?+2ax+c與x軸相交于A(-I,0)、B兩點

(A點在B點左側)，與y軸相交于點C(0,3點),點D是拋物線的頂點.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點F(0,b)在y軸上，連接AF,點Q是線段AF上的一個動點，P是

第一象限拋物線上的一個動點，當b=-加時，求四邊形CQBP面積的最大值與點P

的坐標；

(3)如圖2,點Ci與點C關于拋物線對稱軸對稱.將拋物線y沿直線AD平移，平移

后的拋物線記為yi,W的頂點為Di,將拋物線yI沿x軸翻折，翻折后的拋物線記為”，

y2的頂點為D2.在(2)的條件下，點P平移后的對應點為Pi,在平移過程中，是否存

在以PQ2為腰的等腰△GPQ2,若存在請直接寫出點D?的橫坐標，若不存在請說明理

由.

試卷第2頁，共10頁

圖1圖2

5.如圖1,矩形OBCD的邊OD,0B分別在x軸和y軸上，且B(0,8),D(10,0).點

E是DC邊上?點，將矩形OBCD沿過點。的射線OE折直，使點D恰好落在BC邊上

的點A處.

(1)若拋物線y=ax2+bx經過點A,D,求此拋物線的解析式；

(2)若點M是(2)中拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M,使aAME為等腰三角

形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由；

(3)如圖2,動點P從點O出發沿x軸正方向以每秒I個單位的速度向終點D運動，

動點Q從點D出發沿井線D-C-A以同樣的速度運動，兩點同時出發，當一點運動到

終點時，另一點也隨之停止，過動點P作直線lJ_x軸，依次交射線OA,OE于點F,

G,設運動時間為t(秒)，aQFG的面積為S,求S與t的函數關系式，并直接寫出t

的取值范圍.(t的取值應保證aQFG的存在)

圖I圖2備用圖

6.已知拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸為直線x=；,交x軸于點A、B,交y軸于點C,

且點A坐標為A（-2,0）.直線y=-mx-n（m>0）與拋物線交于點P、Q（點P

在點Q的右邊），交y軸于點H.

（1）求該拋物線的解析式：

（2）若n=-5,且aCPQ的面積為3,求m的值；

（3）當時，若n=-3m,直線AQ交y軸于點K.設aPQK的面積為S,求S與

備用圖

7.已知：如圖，在平面直角坐標系*?），中，以點夕（2,右）為圓心的圓與y軸相切

于點4,與x軸相交于B、C兩點（點8在點C的左邊）.

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）在（1）中的拋物線.上是否存在點M,使△M8P的面積是菱形ABC尸面積的;.如

果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果若不存在，請說明理由；

（3）如果一個動點。自點。出發，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運

動到（I）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長.

試卷第4頁，共10頁

2

8.拋物線y=-§x2+bx+c與x軸交于A(?1,0),B(5,0)兩點，頂點為C,對稱軸交x

軸于點D,點P為拋物線對稱軸CD上的一動點(點P不與C,D重合).過點C作直

線PB的垂線交PB于點E,交x軸于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當aPCF的面積為5時，求點P的坐標；

(3)當APCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標.

備用圖

9.如圖，拋物線y=gx?+bx+c與y軸交于點C,與x軸相交于A,B兩點，點A的坐

標為(2,0),點C的坐標為(0,-4).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點Q是線段BA上的一動點，點E為線段AC上一動點，若始終保持NAQE=ZABC,

連接CQ,求ACQE的面積S關于點Q的橫坐標m的函數關系式；

(3)若點D為OB的中點，點M是線段BC上一點，當AOMD為等腰三角形時，直接

寫出點M的坐標.

10.定義：由兩條與X軸有著相同的交點，并且開II方向相同的拋物線所圍成的封閉曲

線稱為“月牙線”.如圖，拋物線G與拋物線G姐成一個開口向上的“月牙級”，拋物線

。與拋物線C2與工軸有相同的交點M,N（點M在點N的左側），與），軸的交點分別為

A,8且點A的坐標為10,-3）,拋物線G的解析式為丁=加產+4〃。-12〃?，（機＞0）.

（1）請你根據“月牙線”的定義，設計一個開口向下.“月牙線”，直接寫出兩條拋物線

的解析式：

（2）求M,N兩點的坐標；

（3）在第三象限內的拋物線。上是否存在一點P,使得△以M的面積最大？若存在，

求出△%M的面積的最大值；若不存在，說明理由.

11.如圖，拋物線y=ax?+bx+c與x軸相交于A（3,0）、B兩點,與y軸交于點C（0,

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）若P是拋物線上且位于直線AC上方的一動點，求aACP的面積的最大值及此時

試卷第6頁，共10頁

點P的坐標；

（3）在線段0C上是否存在一點M,使BM+立CM的值最小？若存在，請求出這個

2

最小值及對應的M點的坐標；若不存在，請說明理由.

12.如圖，拋物線），=-工2+加T+C交X軸于A,B兩點,交y軸于點C.直線），=+2

經過點B,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線8C上方拋物線上一動點，設點尸的橫坐標為

①求AP3C面積最大值和此時”的值；

②。是直線上一動點，是否存在點尸，使以A、B、P、。為頂點的四邊形是平行

四邊形，若存在，直接寫出點P的坐標.

13.定義：對于拋物線），=012+灰+。（〃、氏c是常數.。和），若按=ac,則稱該拋物

線為黃金拋物線.例如：y=/-x+l是黃金拋物線

（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；

（2）將黃金拋物線y="-x+i沿對稱軸向下平移3個單位

①直接寫出平移后的新效物線的解析式；

②新拋物線如圖所示，與x軸交于人、8（人在4的左側），與y軸交于C,點P是直線

下方的拋物線上一動點，連結PO.PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C,

那么是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在.請求出此時點P的坐標：若不

存在，請說明理由.

③當直線8c下方的拋物線上動點P運動到什么位置時，四邊形OBPC的面積最大并求

出此時尸點的坐標和四邊形O8PC的最大面積.

14.在平面直角坐標系中，點A是），軸上一點，其坐標為（0,6）,點4在工軸的正半

軸上.點P,Q均在線段人B上，點P的橫坐標為〃?，點Q的橫坐標大于/〃，在△PQM

中，若PM〃x軸，QM1），軸，則稱△PQM為點P,。的“肩三角形.

（1）若點8坐標為（4,0）,且陽=2,則點尸，B的“肩三角形”的面積為_____；

（2）當點P,。的“肩三角形''是等腰三角形時，求點8的坐標；

（3）在（2）的條件下，作過O,P,8三點的拋物線尸渡+灰+c

①若M點必為拋物線上一點，求點P,Q的“肩三角形”面積S與〃?之間的函數關系式，

并寫出自變量m的取值范圍.

②當點P,Q的“肩三角形”面積為3,且拋物線丁=江+"+c與點P,。的“肩三角形''■恰

有兩個交點時，直接寫出機的取值范圍.

15.如圖，矩形A0C8的頂點A、。分別位于工軸和＞軸的正半軸上，線段。4、OC的

長度滿足|。4一15|+10。-13=0,（OA＞OC）t直線MN分別與x軸、軸交于M、N

兩點，點C關于直線aV的對稱點。恰好落在直線上，fitanZCBD=4.

（1）求點8的坐標；

（2）求直線助V的解析式；

（3）將直線用V以每秒I個單位長度的速度沿y軸方向向下平移，求直線AN掃過矩形

AOC8的面積S關于運動的時間［。＜fW13）的函數關系式.

16.如圖，已知拋物線丫=奴2+區+。經過點4-3,0）、4（9,0）和。（0,4）,C。垂直于丁

軸，交拋物線于點。，DE垂直于x軸，垂足為E,直線/是該拋物線的對稱軸，點尸是

試卷第8頁，共10頁

(1)求出該二次函數的表達式及點。的坐標;

(2)若心AAOC沿x軸位右平移，使其直角邊0C與對稱軸/重合，再沿對稱軸/向上平

移到點C與點尸重合，得到RrZXAa尸，求此時即△4。尸與矩形OCDE重疊部分圖形

的面積；

⑶若R/ZXAOC沿“軸向右平移，個單位長度(0<Y6)得到四△&QG，放△&OC與

心△(龍。重疊部分圖形的面積記為S,求S與1之間的函數表達式，并寫出自變量，的取

值范圍.

17.已知拋物線)，=/-21+。(〃<0)與y軸相交于點A,頂點為"直線。分

別與x軸、y軸相交于8、C兩點，并且與直線AM相交于點N.

⑴試用含。的代數式分別表示點M與N的坐標.

(2)如圖，設AAMC與A7以C關于.V軸對稱，且點N的對應點*,恰好落在拋物線上，AN'

與x軸交于點。，連結C7X求：

①。的值；

②四邊形AOCN的面積.

⑶若尸為拋物線)，二乂-21+。包<0)上的一點，當以/>、A、C、N為頂點的四邊形

是平行四邊形時.，求出P點的坐標.

18.如圖，已知拋物線。：y=-，(x+2)(,r-〃z)(〃7>0)與x軸相交于點3、C,與>軸

相交于點E,且點力在點C的左側.

(1)若拋物線a過點MQ2),求實數，〃的值.

(2)在(1)的條件下，解答下列問題：

①求出MCE的面積；

②在拋物線的對稱軸上找一點〃，使BH+EH最小,并求出點〃的坐標.

(3)在第四象限內，拋物線C】上是否存在點尸，使得以點8、C、/為頂點的三角形

與ABCE相似？若存在，求〃?的值；若不存在，請說明理由.

試卷第10頁，共10頁

參考答案：

1.(1)y=-^x2+2x+4-頂點M的坐標是：(2,6)；(2)①點4對應點的坐標為(-6,-

5)；②尸(-2,2V7-2).

【分析】(1)根據拋物線)，=-g.，+/u-+c(其中仇c是常數)經過點4(-2,-2)與點8(0,

4),從而可以求得拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點式，即可得到頂點M的坐標；

(2)①根據新拋物線的對稱軸/經過點A,可得新拋物線的頂點為(-2,&),設平移后新勉物

線的解析式為＞=-g(x+2)2+%,可得。點坐標，由面積列方程求出鼠從而可以得到點A

隨拋物線平移后的對應點坐標；

②根據題意和正方形的性質，設尸(-2,2辦E(-2+a,辦將E代入(2)的解析式中即可

求出。，繼而解題.可以求得點尸的坐標.

【解析】解：(1)將4-2,-2)、僅0,4)代入)，=-；/+力x+c中，

--x(-2)2-2b+c=-2

0+0+。=4

伍=2

解得彳

c=4

???該拋物線的表達式為：y=-lx2+2x4-4；

???頂點M的坐標是：(2,6)；

(2)①???平移后拋物線的對稱軸經過點A(?2,-2),

???可設平移后的拋物線表達式為：y=-g(x+2)2+&,

AC(0,-2+k).

???SVBC“=；AC2=；[4-(-2+&)]?2=3,

解得，k=3.

Ay=-l(A+2)2+3,

即原拋物線向左平移4個單位，向下平移3個單位可以得到新的拋物線.

???點A對應點的坐標為(?6,-5)；

②設EG與。尸的交點為，.在正方形。EFG中，EG1DF,EG=DF=2EH=2DH.

???點E、G是這條拋物線上的一對對稱點，

答案第H頁，共40頁

軸.

???/)尸JLx軸，

設F(-2,2a).

???點尸在第二象限內,

/.EG=DF=2EH=2DH=2a.

不妨設點石在點G的右側，那么E[-2+ma).

將點E代入y=-g(x+2)2+3,得一g/+3=a,

解得，4=,%=—77-1(不合題意，舍去).

AF(-2,2V7-2).

【點評】本題考查了二次函數的綜合，涉及待定系數法求解析式、函數圖象的平移、二次函

數的性質、正方形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答.

2.(1)(-1,-4),y=x-3,(0,-3),(-1,-4)；(2)①〃？的值為一"；②〃?二一2.

2

【分析】(1)根據題干中的定義即可找出其伴隨直線為產(x+1)-4,即產[3,再聯立拋

物線求解即可

(2)①先與其伴隨直線聯立求得交點A4,再求出拋物線與x軸的交點C,D,根據NCAB=90。

由勾股定理求出in；

②設直線4C的解析式為嚴爪+〃.將以2,-3m),C(—1,0)代入求出產一過戶

作x軸的垂線交2c于點Q,將三角形面積用含m的表達式表示出來即可

【解析】(1)由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為產(x-1)-4,即產r-3,

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得卜=。+h一4,解得｛"。或???其交點坐

y=x-3[y=-3[y=-4

標為(0，-3)和(-I,-4).

故答案為：(?1,?4)；產[3；(0,-3)；(-1,-4)；

(2)①;拋物線解析式為尸〃?(X—1)2—4加，其伴隨直線為產機(X—1)—4〃?，即y=nLX—5m.

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得卜’二風1)一.解得[*或[X=J，."(1,

y=nix-5m[y=-4/〃(y=-3/n

—4/77),B(2,—3/n).

在y=m(x-I)2—4/n中，

令),=0可得下一1或x=3,.\C(-1,0),D(3,0),，4。2=4+16謁，A52=l+/n2,BCM+

9m2.

答案第12頁，共40頁

???NCAB=90°,???AC2+AB2=BC2'即4+16評+1+加2=9+9m2,解得：〃?二走(拋物線開口

2

向下，舍去)或〃?二一正，.??當NC4B=90。時，加的值為一立.

22

②設直線BC的解析式為尸公+〃.

2k+b=-3m[k=-in

???8(2,—3〃?)，C(-l,0),/J,，八，解得匕，，直線BC的解析式為廣一

-k+b=0[b=-m

nix-in.

過P作x軸的垂線交BC干點Q.

2

丁點尸的橫坐標為x,:.P(xtm(x—I)—4m),Q(x,—mx—ni).

*.*P是直線BC上方拋物線上的一個動點，PQ=m(x—1)2—4m+nix+m=m(x2—x—2)=m[(x

Cl，G*7

一抨一小??芯/此號乂q一㈠力夕?彳加一杯一萬機.;當后寺時，"BC的面積

有最大值一?2〃7?，???S取最大2￡7■時，即一27尸27多，解得：片一2.

8484

【點評】此題考查二次函數與一次函數的綜合問題，其中包含面積的計算，難度較大.

3.(1)對稱軸為x=?1,點B、C、D的坐標依次為(1,0),(0,-3),(-1,-4)；(2)

9；(3)(-2,-3).

【分析】⑴由題意可知該拋物線的對稱軸為直線、二卷=7,而點A(30),求出

點B的坐標，進而求解;

答案第13頁，共40頁

(2)根據題意將四邊形ABCD的面積分解為ADAM、用形DMOC、△BOC的面積在，即

可求解：

(3)根據題意設點E(x,x2+2x-3),則點F(x,-x-1),求出EF、FH長度的表達式，即可

求解.

—

【解析】解：(1)???該拋物線的對稱軸為直線x=k=-1,而點A(-3,0),

2a

工點B的坐標為(1,0),

???c=-3,故點C的坐標為(0,-3),

???函數的對稱軸為x=-1,故點D的坐標為(-1,-4)；

(2)過點D作DM1AB,垂足為M,

117

???S梯形一5(OC+DM]?OM—5(3+4)K1一5，

113

S,=—OBOC=—xlx3=—,

AUOHBV.r-222

.73_

,?S四邊形MCA)=S：+S梯形+=4+—+—=9；

f/?=-3(k

(3)設直線AC的表達式為：y=kx+b,則｛/，解得：

-3k+h=0n[/?

故直線AC的表達式為：y=-x-3,

將點A的坐標代入拋物線表達式得：9a-6a-3=0,解得：a=l,

故拋物線的表達式為：y=x2+2x-3,

設點E(x,x2+2x-3),則點F(x,-x-1),

貝ljEF=(-x-1)-(x2+2x-3)=-x2-3x,FH=x+3,

VEF=2FH,

-x2-3x=2(x+3),解得：x=-2或-3(舍去-3),

故m=-2.

答案第14頁，共40頁

故點E的坐標為：（-2,-3）.

【點評】本題主要考杳二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會

利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從

而求出線段之間的關系.

4.（1）y=-y[2x2+2>/2x+35/2;（2）當m=^■時，S網邊彬CQBP取得最大值堂也■，此時P

28

點坐標為匕&）；（3）存在，滿足要求的a的橫位標有：々3+3月7,-73-3歷'，

244646

-48+J1I734-48-J11734

"92'92'

【分析】（1）將A、C兩點坐標代入拋物線解析式當中求出a與c的值即可；

（2）先求出B、F坐標，然后可以證明AF與BC平行，于是△QBC的面積就等于△ABC

的面積，問題就轉化為求APBC的面積的最大值，作PE〃y軸交直線BC于E,設P點的

橫坐標為未知數m,將E點坐標也用m表示,PE的長度用P、E縱坐標之差表示，于是△PBC

的面積就可以表示成關于m的二次函數，通過配方法即可求出最值及P點坐標.

（3）由于限定了以RD?為腰，因此分兩大類分別列方程計算即可.

【解析】⑴將A（-1,0）、C（0,3&）代入拋物線解析式得:

一。一2。+。=0

c=3&

CI=>/2

解得：

c=3x/2

，拋物線的解析式為y=-x/2x?+2&x+3應.

（2）如圖1,連接BC,AC,作PE〃y軸交BC于E.

?「y=-0x2+275x+3￡=-0(x+1)(x-3).

答案第15頁，共40頁

AB(3,0),

Vb=-V2，

AF(0,-五),

.OFOCf-

OAOB7

???AF〃BC,

SAQBC=SAABC=AB*OC=672，

由B、C兩點坐標可得直線BC的解析式為：y=?&x+3a,

設P(m,m2+275m+3>/5),則E(m,-也m+3&),

PE=yp-yE=->/2m2+4V2m,

YE)=.亞幅+6近m=.亞(mA…旭,

/?SAPBC=(XB

22-8

，當m=:時，S四邊杉CQBP取得最大值叁旦，此時P點坐標為(;，身也).

2824

(3)Vy=-75x2+272K+35/2=-\/2(x-l)2+4>/2,

AD(I,40),拋物線對稱軸為x=l,

???G與C關于直線x=l對稱，

ACi(2,3V2)，

由A、D兩點坐標可求得直線AD的解析式為y=272x4-272，

設Di(m,2&m+2—),

則Pi(m+g,2&m+述)，D2(m,-2及m-2及),

227

I]D；=32m2+60m+—,CR=9/n2+36，〃+54,

8

,,43

P.C；=9nr-13m+—,

''8

當PICI=PID2時，9/zr-13/n+=32m2+60m+,解得叫=一‘？+3/351,

88146

-73-3>/357

m,=----------------.

當CID2=PID2時，9m2+36m+54=32m2+60m+^^,解得m=—8+11734

8392

-48-Jl1734

m,=------------------

92

答案第16頁，共40頁

綜上所述，滿足要求的D?的橫坐標有：即3歷,33師,-48+VH病,

464692

-48-J11734

92,

【點評】本題為二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、

二次函數圖象的基本性質、鉛垂高法求三角形面積、配方法求二次函數最值、等腰三角形的

存在性問題，解一元二次方程等重要知識點，綜合性強，難度較大，特別是第二問，有一定

計算量，解答時容易出錯,同時注意分類討論思想在本題中的應用.

5.(1))，=一；/+￥一(2)存在，滿足要求的點M的坐標為(5,8-2#),(5,8+26)，(5,

---/2+—/(0</<8)

126

5),(5,2.5),理由見解析；(3)S=，-52+M?&,/<9)

62

-r10)

[62

【分析】(1)先利用矩形的性質及折疊的性質求出點A的坐標，然后用待定系數法即可求

得拋物線的解析式；

(2)易求得拋物線的對稱軸x=5,過點E作ETJ_AH,垂足為T,設點M的坐標為(m,

n),運用勾股定理用含n的代數式表示出AM?、EM2,然后分三種情況進行討論：AM=AE,

EM=EA,MA=ME分別列出等式，求出n,就可求出點M的坐標；

(3)根據點Q的位置不同，分以下四種情況進行討論：①點Q在線段DC上；②點Q在

ACI?.且在直線【的右邊;③點Q在AC上且在直線I上:④點Q在AC上且在直線/的左邊，

分情況討論即可.

【解析】(1)解：：四邊形OBCD是矩形，B(0,8),D(10,0),

.\BC=OD=10,DC=OB=8,ZOBC=ZC=90°.

由折疊可得：OA=OD=10,AE=DE.

VZOBC=90°,OB=8,OA=10,

???AB=’。摩-的=6,

???AC=4.

設AE=DE=x,則CE=8-x,

VZC=90°,

.*.x2=42+(8-x)2,

解得：x=5,

，AE=DE=5,

???點A的坐標為(6,8),點E的坐標為(10,5).

答案第17頁，共40頁

???拋物線丫=2*2+6乂經過點A(6,8),D(10,0),

I

a=—

36。+68=8,,3

100a+10b=0解得

,10

b=一

3

此拋物線的解析式為y=-1x2+yx；

（2）存在M,使4AME為等腰三角形.

設拋物線的對稱軸與BC交于點H,過點E作ET_LAH,垂足為T,連接AM、ME,如圖1,

圖1

10

設點M的坐標為(m,n),則m=---2--x-廠h不)空，

AAH=6-5=1,HM=8-n,ET=10-5=5,TM=5-n

VAH1HM,

/.AM2=AH2+MH2=1+(8-n)2

VET1MH

AME2=ET2+MT2=25+(5-n)2

①若AM=AE,MAM2=AE21

A1+(8-n)2=25,

???(8-n)2=24,

解得：n,=8-2x/6,n,=8+276,

此時點M的坐標為(5,8-26)或(5.8+2公)：

②若EM=EA,貝ljEM』EA2

A25+(5-n)2=25

J(5-n)2=0

，113=5

此時點M的坐標為(5,5)；

答案第18頁，共40頁

③若MA=ME,則MA2=ME2

A1+(8-n)2=25+(5-n)2

解得：ru=2.5

此時點M的坐標為(5,2.5)；

綜上所述：滿足要求的點M的坐標為(5,8-2n),(5,8+2#),(5,5),(5,2.5)；

(3)設直線0A的解析式y=kix,

丁點A的坐標為(6,8),

.*.6ki=8,

??.k,=p

4

???直線0A的解析式為)，=§x,

同理可得：直線OE的表達式為y=g%,

VOP=lxt=t

，P(t,0)

???直線LLx軸于點P,點F,G是直線/與OA,OE的交點

(4)(1

F,Gty—tI,

IJ/\/

故FG=《t-《t=汽，

326

①當0<tV8時.點Q在線段DC上，

過點Q作QS_L直線/,垂足為S,

答案第19頁，共40頁

B

0PD\

1圖2

貝ijQS=PD=10-t

：.S=^FGQS=^FGPD

=-x-tx(10-t)

26

5225

=-----1H-----1;

126

②當80V9時，點Q在線段CA上,且在直線1的右側，

設FG交AC于點N,如圖3,

注

圖3

則QN=CN-CQ=PD-CQ=(10-t)-(t-8)=18-2t

:?S=：FGQN

=—x—rx(18-2z)

26

5215

=-r+—t:

62

答案第20頁，共40頁

③當t=9時，QN=18-21=0,點Q與點N重合，此時AQFG不存在，故舍去；

④當9V610時，點Q在線段CA上，且在直線I的左側，設FG交AC于點N,如圖4.

則QN=CQ-CN=CQ-PD=(t-8)-(10-1)=21-18

:?S=；FGQN

=1x5fx⑵-18)

26

5215

=-r---

s、”

-----1"H---/(()</<8)

126

+與t<9)

綜上所述：5=

62

-z2--/(9<r?10)

162

【點評】本題主要考查二次函數與幾何綜合，掌握待定系數法，等腰三角形的定義及性質,

勾股定理是基礎，利用方程的思想并分情況討論是解題的關鍵.

5m2一日"1+^(0<m<})

U、3525(

6.(1)y=--+―x+3；(2)〃?=2；(3)S=<-5m~+—m-----\<m<—

22222J

°,15/、5

3〃廠---m\/?>—

212,)

【分析】⑴將點仆2,。）代入解析式，對稱軸為廣?《小聯立即可求〃與。的值,

（2）設點Q橫坐標X/,點。的橫坐標M則有4/Vx2,聯立），=■心+5,y=-

22

根據韋達定理可得X/+X2=2〃?+1,內%2=4,由面積之間的關系：S^CPQ=S^CHP-S^CHQ,

可求〃?的值；

答案第21頁，共40頁

(3)當〃=-3〃?時，PQ解析式為)=-聯立布-//tr+3w=--x2+-x+3,解得x

=3或x=2〃？-2；由條件可得P(3,0),Q(2w-2,-2w2+5/n),K(0,5-2m),所以

有HK=\5m-5|=5|m-1|；

①當0＜小＜1時，HK=5-5nhSbPQK=S&PHK$QHK=gxHK(x-x)=1x(5-5/〃)

359S

(5-2m)=5m2-----in+—,

22

_53595

②當時，HK=5m-5,S&PQK=-5m2+—m-----,

222

③當2勿?2＞3時，，如圖③，有心S/QK=gxKQ|y|二T(2w2-5m)=3m2-m,

【解析】(1)將點A(-2,0)代入解析式，得4〃?2^^支，

..=.A=1

,2a2,

..?a=—?,,b=1—；

22

工產-g/+gx+3；

(2)設點Q橫坐標X/,點P的橫坐標X2,則有X/VX2,

把n=-5代入y=-〃Lt-〃，

.*.y=-m.x+5,

】佚立y=-"ti+5,y=-g/2+gx+3得：

「1,1.

-Z/LV+5=—xZ+—x+3,

22

Ax2-(2/n+l)x+4=0,

Xl+X2=2"l+1,X/X2=4,

:△CP。的面積為3：

:$CPQ=S&CHP-S4HQ,

即{X2-XI)=3,

??X2-x/=3,

2

/.(X]+x2)-4X/X2=9,

:.(2m+l)2=25,

=2或〃z=-3,

，6=2；

答案第22頁，共40頁

(3)當〃=-3〃?時，PQ解析式為y=-mx+3m,

:?H(0,3w),

*.*y=-nix+3m與y=~^x2+^x+3相交于點P與Q,

.c1,1,

??-mx+3m=—K+—x+」,

22

，x=3或x=2〃?-2,

當2/〃-2V3時，有0＜切〈2,

2

???點尸在點Q的右邊,

:.P(3,0),Q(2〃？-2,-2m2+5m),

???AQ的直線解析式為)，=士寧x+5-2m,

：.K(0,5-2〃?)，

：.HK=\5m-5\=5\m-1|,

①當OV〃?V1時，如圖①，

113525

：?S&PQK=S&PHK$QHK=jxHK(x?x)=-x(5-5w)(5-2m)=5m2一一w+—,

NNZ.

②當iv〃?v|時，如圖②，

答案第23頁，共40頁

,SAPQK=SAPHK-SAQHK=；XHK(x?x)=gx(5〃7-5)(5-2m)=-5m2+^-m-,

2

:?P(.2m-2,-2m+5m)fQ(3,0),K(0,0),

13is

SAPQK=—xKQ\y\=—(2rn2-5m)=3m2一■—m,

5m2-ym+y(0</n<l)

綜上所述,

3m2--m

22J

【點評】本題是二次函數的綜合題；熟練掌握二次函數的圖象及性質，數形結合，分類討論

是解題的主要思想.

7.（1）>'=^x2-^x+x/3.（2）存在，點M的坐標為（0,后），（3,0）,（4,右）,

答案笫24頁，共40頁

(7,8G).(3)—.

3

【分析】(1)連接以，P8,PC,過點尸作PG_L8C于點G,求出P點的坐標，然后求得點

A、B、C的坐標用待定系數法求得二次函數的解析式即可；

(2)因為“8尸和zkCB尸的面積是菱形A8CP面積的梟故過點A、C作8P的平行線，與

拋物線的交點即是滿足條件的點M.

(3)將原方程配方后得到拋物線的頂點Q(2,一號,然后作點P關于)，軸的對稱點E

則P'(-2,6).連接〃Q,則。。是最短總路徑，根據勾股定理，可得利。=半.

【解析】解：(1)如圖1,連接以，PB,PC,過點。作PG_L8C于點G,

???。?與)，軸相切于點A,

???%_Ly軸，

VP(2,石)，

AOG=AP=2,PG=OA=g,

:.PB=PC=2,

：,BG=\,

ACG=1,BC=2.

/.0B=\,0C=3.

???A(0,G),B(1,0),C(3,0),

根據題意設二次函數解析式為：(x-1)(x-3),

則(0-1)(0-3”=石,

解得:“邛.

故二次函數的解析式為：=x+x/3.

33

(2)???點B(1,0),點尸(2,6),

???8P的解析式為：y=V3x->/3；

則過點A平行于8P的直線解析式為:過點C平行于8P的宜線解析式為：)，=6

X-3石，

從而可得①：—史X心

33

解得：x/=0,k=7,

從而可得滿足題意的點M的坐標為(0,6)、(7,873)；

答案第25頁，共40頁

②房?3百=22一拽x+G，

33

解得：xi=3,4=4,

從而可得滿足題意的點M的坐標為：(3,0)、(4,73)

綜上可得點M的坐標為(0,后)，(3,0),(4,G),(7,86).

(3)*.*y=_4f/0=~~(x2-4x+3j=^-(x-2)2，

???拋物線的頂點。(2,-立).

3

如圖2,作點。關于)，軸的對稱點E則產(-2,6).

連接P'Q，則。。是最短總路徑，根據勾股定理，可得?’。=空.

3

【點評】此題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、切線的性質、一次

函數解析式、解一元二次方程、二次函數的圖象及性質等多個知識點，解題的關鍵是要會利

用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來.

8.(i)y=_Q+]x+?⑵P(2,-3)或(2,5)；⑶P(2,當或(2,-2)或(2,土土叵)

99952

或(2,-9+3電

2

答案第26頁，共40頁

2

【分析】(1)函數的表達式為：y=](x+l)(x-5),即可求解；

(2)確定PB、CE的表達式，聯立求得點F(2-督，0),SAPCF=|XPCXDF=1(2-m)

(2-^-2)=5,即可求解；

(3)分當CP=CF、CP=PF、CP=PF三種情況，分別求解即可.

n921()

【解析】解：(1)函數的表達式為：y=](x+1)(x-5)=-1x2+1x+y；

(2)拋物線的對稱軸為x=2,則點C(2,2),

設點P(2,ni),

將點P、B的坐標代入一次函數表達式：y=sx+t并解得：

函數PB的表達式為：y=-：mx+日，

JJ

VCE1PE,故直線CE表達式中的k值為之，

m

將點C的坐標代入一次函數表達式，

同理可得直線CE的表達式為：y=--x+2--,

mmJ

故點F(2——,0),

SAPCF=|XPCXDF=^(|2-m|)(|2-半-2|)=5,

解得：m=5或-3,

故點P(2,-3)或(2,5)；

(3)由(2)確定的點F的坐標得：

CP2=(2-m)2,CF2=(—)2+4,PF2=(—)2+m2,

33

①當CP=CF口、J,即：(2-m)2=(―)2+4,解得：m