中考數(shù)學(xué)高頻考點突破——二次函數(shù)與一次函數(shù)

1.設(shè)一次函數(shù)y=2x+m+〃和二次函數(shù)％=x（2x+2）+〃.

⑴求證：X，%的圖象必有交點；

（2）若例>0,X，%的圖象交于點4n，。）、3（孫6）,其中設(shè)C（w㈤為乃圖象

上一點，且占工占，求占一%的值；

⑶在（2）的條件下，如果存在點。（西+2,C）在月的圖象上，且〃>C,求〃?的取值范圍.

2.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“梅

嶺點

⑴若點尸（3,〃）是一次匣數(shù)），=〃a+6的圖象上的“梅嶺點”，則〃?=：若

3

點P（〃八⑼是函數(shù)），=--的圖象上的“梅嶺點”，則/〃=_____________；

x-2

⑵若點尸（P，-2）是二次函數(shù)），=丁+原+。的圖象上唯一的“梅嶺點”，求這個二次函數(shù)的

表達式：

⑶若二次函數(shù).y=ad+bx+c（小人是常數(shù)，。>0）的圖象過點（0.2）,且圖象上存在

兩個不同的“梅嶺點”4（不為）,3（電,占），且滿足-1<$<1,|2-出|=2,如果

k=-b2+2b+2,請直接寫出A?的取值范圍.

3.開口向下的拋物線產(chǎn)ad+法+c與x軸交于點4,B,與V軸交于點C,A8C是等

腰直角三角形，面積為4.并與一次函數(shù)），=履（攵>。）的圖象相交于點M,M

（1）求拋物線的解析式；

（2）若衣=平移直線y=使得該直線平分，A8C的面積，求平移后直線解析式.

⑶在y軸正半軸上是否存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸

對稱？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.已知一次函數(shù)產(chǎn)心?+/〃的圖像過點（2,3）,A（k,y）,B（k+\,力）是二次函數(shù)

），二9一2）工+2根圖像上的兩點.

（I）若該二次函數(shù)圖像的對稱軸是x=l,分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式；

（2）當(dāng)點A、8在二次函數(shù)的圖像上運動時，滿足舊-為|=1,求加的值；

⑶點4、B的位置隨著k的變化而變化，設(shè)點A、B的運動路線分別與直線工二〃交于點

P、Q,當(dāng)PQ=2時，求〃的值.

5.如圖，二次函數(shù))，=-/+法+’的圖象過點4(2,2),8(3,-1).

⑵若一次函數(shù))，=-23+/〃的圖象與二次函數(shù)的圖象有交點，求，〃的取值范圍；

(3)過點P(O,p)作工軸的平行線MN,以MN為對稱軸將二次函數(shù)的圖象位于MN上方的

部分翻折，若翻折后所得部分與x軸有交點，且交點都位于x軸的正半軸，直接寫出〃的

取值范圍.

6.如圖，反比例函數(shù)y=§"＞。)與一次函數(shù)為=口+〃相交于點4(1,4)和點B

(1)請直接寫出當(dāng)y2必時自變量x的取值范圍；

(2)將一次函數(shù)為=&x+〃向下平移8個單位長度得到直線EF,直線所與工和)，軸分別

交于點E和點尸，拋物線丁=奴2+棧+c過點A、。、￡三點，求該拋物線的函數(shù)解析式

試卷第2頁，共8頁

(也稱函數(shù)表達式)；

(3)在(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得APBb是以8尸為斜邊的直角三幫

形，若存在，請用尺規(guī)作圖(圓規(guī)和無刻度直尺)畫出點P所在位置，保留作圖痕跡，

并直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.“三高四新”戰(zhàn)略是習(xí)近平總書記來湘考察時，為建設(shè)現(xiàn)代化新湖南擘畫的宏偉戰(zhàn)略

藍圖.在數(shù)學(xué)上，我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，將點尸(3,4)稱為“三高四新”

點,經(jīng)過2(3,4)的函數(shù)，稱為“三高四新”函數(shù).

(1)下列函數(shù)是“三高四新”函數(shù)的有;

12

@y=2x-2?y=x2-6x+\3(3)y=-3x2+6x+11?y=—

x

(2)若關(guān)于x的一次函數(shù))，=6+〃是“三高四新”函數(shù)，且它與)，軸的交點在y軸的正半

軸，求攵的取值范圍；

(3)關(guān)干x的二次函數(shù)『的圖象頂點為八.點和點N(&,%)是該

二次函數(shù)圖象上的點且使得NM4N=90。，試判斷直線用N是否為“三高四新”函數(shù)，并

說明理由.

8.對某一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù))，，若當(dāng)。力9,函數(shù)值)，滿足，向0〃，且滿

足n-m=k(b-a),則稱此函數(shù)為'伏系和諧函數(shù)”.

(1)已知正比例函數(shù).y=5x(1SE4)為2系和諧函數(shù)”，請求出出的值；

(2)若一次函數(shù))，=/?-3(lSv<4)為“3系和諧函數(shù)”，求〃的值；

(3)已知二次函數(shù)y=-2/+4如+42+2〃，當(dāng)-1WE1忖，y是'％系和諧函數(shù)”，求k的

取值范圍.

9.若函數(shù),、為滿足y=y+M，則稱函數(shù)是x、%的“融合函數(shù)”.例如，一次函

22

數(shù)y=2x+l和二次函數(shù)y2=X+3X-4,則yt、y2的“融合函數(shù)”為y=%+必=x+5x-3.

(1)若反比例函數(shù)y=［和一次函數(shù)，2-公一3,它優(yōu)的“融合函數(shù)”過點(1,5),求4的

值；

(2)若凹=a/+b%+c為二次函數(shù)，且a+/?+c=5,在工=，時取得最值，力是一次函

數(shù)，且X，%的“融合函數(shù)”為)=2/+》一4,當(dāng)-13工2時，求函數(shù)X的最小值(用含

，的式子表示)；

(3)若二次函數(shù)y=ad+b%+c與一次函數(shù)為=一級->，其中a+/?+c=U且

若它們的“融合函數(shù)”與X軸交點為4（40）、3（/,0）,求夜歸-引的取值范圍.

10.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影”，選自《九年級下冊教材》P89,粹園

的同學(xué)們學(xué)完此節(jié)內(nèi)容后，開始探究正投影在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用.若平面直角坐標(biāo)

系中，規(guī)定曲線在坐標(biāo)軸上的正投影的長度稱為在該軸上的“影長"，記為AB

兩點在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的正投影之間的范圍稱為在該軸上的“影長范圍”，例如：如圖，曲

線48,其中A（-3,1）、B（1,3）,則曲線在x軸上的的“影長”/為4,在x軸上

的“影長范圍”為一3±YM1.

3

（1）已知反比例函數(shù)的部分圖像在），軸上的“影長范圍”是求其在x

x

軸上的“影長”以及“影長范圍

（2）若二次函數(shù)），=-9+辦+2〃的部分圖像在％軸上的“影長范圍”是-4WX《2,且在

y軸上的“影長范圍”的最大值為10,求滿足條件的。的值.

（3）已知二次函數(shù)產(chǎn)加+辰+c與一次函數(shù)y=/x-2c交于A、B兩點，當(dāng)a+/，+c=0,

且實數(shù)a>%>3c,求線段在x軸上的“影長”的取值范圍.

11.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線），=（x-2）2的頂點為C,與），軸正

半軸交于點B.一次函數(shù),，=6+4（后0）圖像與拋物線交于點A、點&與x軸負半軸

交于點D.若A8=38D

（1）求點A的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)AC、BC,求AABC的面積；

（3）如果將此拋物線沿y軸正方向平移，平移后的圖像與一次函數(shù)），=履+4（原0）圖

像交于點P,與），軸相交于點Q,當(dāng)PQ〃X軸時.，試問該拋物線平移了幾個單位長度？

試卷第4頁，共8頁

12.已知拋物線經(jīng)過A（-3,0）,8（1,0）,C（2,|）三點，其對稱軸交x軸于點“，一次函

數(shù)y二丘+"攵。0）的圖象經(jīng)過點C,與拋物線交于另一點。（點。在點C的左邊），與

拋物線的對稱軸交于點石.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點F,使得點A、B、E、尸構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，如

果存在，求出點尸的坐標(biāo)，若不存在請說明理由

（3）設(shè)NCEH:a,NEAHM,當(dāng)用時，直接寫出々的取值范圍

13.如圖，已知一次函數(shù)y=2x-2的圖象分別與x軸y軸交于點A,B,在二次函數(shù)

），=丁+〃a+〃？中，/〃是一個不為0的常數(shù).

（1）若二次函數(shù)的圖象過點A,則機的值是;

（2）點尸是二次函數(shù)圖象的頂點，連接OP,若OP"AB,求〃?的值；

（3）二次函數(shù)的圖象與N軸交于點。，與x軸交于點C,設(shè)點C的橫坐標(biāo)為打，且

Ac<-p連接CO.能使CO與坐標(biāo)軸所成的夾角等于4480的，〃有幾個？請直接寫

出加的值.

14.綜合與探究：如圖I.一次函數(shù)），=百"-4百的圖象分別與x軸.軸交干/?.。兩

點，二次函數(shù)>=仆2-/X+。?的圖象過8,C兩點,且與X軸交于另一點A.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點尸是二次函數(shù)圖象的一個動點，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為叫若NA8C=2NA8P.求

”的值；

（3）如圖2,過點C作CO〃x軸交拋物線于點。.點M是直線3c上一動點，在坐標(biāo)

平面內(nèi)是否存在點N,使得以點C,D,M,N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請

直接寫出點N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

15.如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為坐標(biāo)系原點0,且經(jīng)過點4（3,3）,一次函數(shù)的圖象經(jīng)

試卷第6頁，共8頁

過點4和點8（6,0）.

（2）如果一次函數(shù)圖象與y釉相交于點C,點。在線段4c上，與），軸平行的直線DE

與二次函數(shù)圖象相交于點E,NCDO=NOED,求點。的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點。在直線人C上的一個動點時，以點0、C、。、E為頂點的四邊形能成為平

行四邊形嗎？請說明理由.

16.如圖，4/W。是以3。為底邊的等腰二角形，A,C分別是一次函數(shù)）,=xi3的國

象與），軸，工軸的交點，點4在二次函數(shù)y='/+隊+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上

存在一點。使四邊形A8C。能構(gòu)成平行四邊形.

（2）動點。在線段AQ上從點A至點。運動，同時動點Q在線段AC上從點。到點A

運動，兩點都是以每秒1個單位長度的速度運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點

也隨之停止.

①當(dāng)△APQ是直角三角形時，求P的坐標(biāo)；

②四邊形PDCQ的面積是否有最小值？若有，求出面積的最小值和點P的坐標(biāo);若沒有,

請說明理由.

17.【概念認(rèn)識】

己知根是實數(shù)，若某個函數(shù)圖像上存在點M（m，機），則稱點M是該函數(shù)圖像上的“固

定點

【數(shù)學(xué)理解】

（1）一次函數(shù)），=—2x+3的圖像上的“固定點”的坐標(biāo)是_：

（2）求證：反比例函數(shù)），=&（2>0）的圖像上存在2個“固定點”；

X

（3）將二次函數(shù),，=必+必+1（〃<一2）的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上

方，圖像的其余部分保持不變，翻折后的圖像與原圖像在x軸上方的部分組成一個類似

“W”形狀的新圖像.若新圖像上恰好存在3個“固定點”，求。的值.

18.如圖，若一次函數(shù)產(chǎn)-3x-3的圖象與x軸.y軸分別交于4、。兩點，點8的坐

標(biāo)為（3,0）,二次函數(shù)）=4x2+以-3的圖象過A、B、C三點.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,若點P在直線8C下方的拋物線上運動，過0點作PF_L8C,交線段6c

于點E在點P運動過程中，線段是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存

在，請說明理由.

（3）點P在），軸右側(cè)的拋物線上運動，過P點作X軸的垂線，與直線交于點。，若

NPCO+NACO=45。，請在備用圖上畫出示意圖，并直接寫出點尸的坐標(biāo).

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

1.(1)見解析

⑵-1

⑶"04

【分析】(1)轉(zhuǎn)化證明時，方程2x+〃z+〃r(2.t+M+〃有解，進而轉(zhuǎn)化證明一元二

次方程根的判別式為非負即可；

(2)由)；=不，求出內(nèi)，%,再解得〃的值，求得占的值，進而得到占-須的值；

(3)在(2)的條件F,2+〃?+〃=0,把點。(芭+2,c)代入x的解析式中，得到

(X]+2)[2(%+2)+〃4+〃=C,將(1)中〃=〃代入，根據(jù)。>。計算得到

2(內(nèi)+2f+〃7(.玉+2)=c=“，再轉(zhuǎn)化為(％+2)[2(x,+2)+"?]<0,由分類討論解不等式組即

可解答.

【解析】(1)解：當(dāng)，尸必時，

2x+in+n=x(2x+m)+n

化簡得：2f+(〃?-2)x-M=0

A=Z>2-4ac=(m-2)2+8tn=m2+4m+4=(m+2)2>0

/.方程2x+m+n=x(2x+〃i)+〃有解

???M，力的圖象必有交點；

⑵當(dāng)3戶2時，

2x+m+n=x(2x+m)+n

化簡得：2f+(〃?一2)x-加=0

(x-l)(2.v+/??)=0

???功乃都經(jīng)過點(1,0)

.\2+fn+n=O

y經(jīng)過點A

C(0〃)為K圖象上一點,

X3(2X3+m)+n=2+m+n

：.(x3-1)(2￡+in+2)=0

解得當(dāng)=1,2當(dāng)+〃i+2=0

答案第9頁，共38頁

-2-m

??Xy=~2~

-2-mm,

（3）在（2）的條件下,

2+，〃+〃=0

如果存在點。($+2,c)在y2的圖象上,

(%+2)[2(x)+2)+/z?]+n=c

2(x+2y+m(xl+2)+a=c

2

/.2(X]+2)+m{xx+2)=c-a

a>c,

:.c-a<0

2(X]+2/+m(xx+2)<0

/.(%+2)[2(x)+2)+m]<0

X+2>0x+2<0

2(N+2)+/”<0"[2(A)+2)+m>0

m八

x.=——,m>0

2

--+2>0--+2<0

22

或，

2(-y+2)+//z<02(--+2)+/n>0

tn<4w>4

（無解）或，

4<04>0

/.in>4.

【點評】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，第（2）題中轉(zhuǎn)化為證明一元二次方

程根的判別式，第（3）題中求得X2的值是解題關(guān)鍵.

2.(1)-1,3或-1；

(2)y=x*+5x+4；

37

⑶…至

【分析】（1）根據(jù)“梅嶺點”的定義,P（3,p）的橫縱坐標(biāo)相等,即〃=3m+6=3；P（陽，⑼的

答案第10頁，共38頁

橫縱坐標(biāo)相等，即機二二二，分別求解即可；

rn-2

(2)由題意，拋物線)，=/+法+。與直線y=x的唯一交點為P(—2,—2),即/+法+c=x有

兩個相等的根-2,方程/+9-1口+。=0可寫為*+2尸=0,對比兩個方程的系數(shù)，即可求

出b,c\

(3)先由“梅嶺點''的定義證明知七是方程ad+S-l)x+2=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)

系得出百十號一^^->A)X,=y,進而利用W一到一2推出

%=-6+2/?+2=-4/-84+3=-4(〃+1)2+7,再由-1<玉<1計算出a的取值范圍，即可求

出人的取值范圍.

(1)

解：點尸(3,〃)是一次函數(shù)y=〃a+6的圖象上的“梅嶺點”，

/.〃=3〃?+6=3,

解得〃z=T：

?.?點戶(/〃,〃?)是函數(shù))，=上；的圖象上的“梅嶺點”，

X-2

3

/.m=------，

m-2

整理得整-2ni-3=0?

解得明=3,nt,=-1,

經(jīng)檢驗，叫=3,嗎=-1是切=二彳的根，

in-2

.，〃?=3或-1,

故答案為：-1;3或-1；

(2)

解：.,點P(P，-2)是二次函數(shù))，=V+云+°的圖象上唯一的“梅嶺點”，

1.P(-2,-2),

即拋物線y=x2+幾+c與直線V=v的唯一交點為P(-2,-2),

二?方程/+加+。=彳的根為玉=X2=-2,

即方程/+(6-1口+。=0可寫為(X+2)2=0,

/.x2+S-l)x+c=f+4x+4,

b—5>c=4,

???二次函數(shù)的表達式為y=丁+5工+4；

(3)

答案第11頁，共38頁

解：,,二次函數(shù)y=ad+8x+c(小力是常數(shù)，。＞0)的圖象過點(0,2),

.".<?=2,

/.y=ax2+bx+2,

)，=々/+云+2圖象上存在兩個不同的“梅嶺點”人(內(nèi),內(nèi)),8(0工2)，

2

玉=ax；+如+2,x2=ax2+bx2+2,

22

ax1+(/7-l)X1+2=0,av2+(/?-l)x2+2=0,

.?.xrx2是方程a?+0-l)x+2=O的兩個根，

\-b

小f1=2,

(%-工產(chǎn)=4,

/.(X)+x)2-4x^2=(---)2-4x—=4,

2aa

：.b2-2b+\-Sa=4a2,

k——b"+1b+2=—4〃~—8a+3=—4(a+1)2+7,

小7=2,

.?.%=2或.q=2,

*/-1<x1<I,

/.-3<x2<-1或1<爸<3

/.-3<X)-x2<3,

/.—3<一<3,

a>0,

2

/-67>-9

237

/.-4(?+l)2+7<-4x(-+l)2+7=-y,

【點評】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解不等式等知

識點，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

3.⑴y=_#+2

(2)y=；x+百-]

答案第12頁，共38頁

⑶存在，P(0,4)

【分析】(1)根據(jù)等腰直龜三角形的性質(zhì)，利用面積為4,求出0C和A8的長，進而得出

點A,B,C坐標(biāo)，求拋物線解析式；

(2)求出直線8C的解析式，再求出點。和點E的坐標(biāo)，再由進行計

算求解即可；

p卜'w

(3)分別過點M,N作》軸的垂線，垂足分別為F,證△PMES^PNF,得名=受,

PNNE

代入求出《4+七)-2優(yōu),$=0,又M,N是直線尸心?與拋物線的交點，得人二+2辰-4=0,

根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出/+/=-2七七再=-4,進而求出,的值，得出點。坐標(biāo).

(I)

解是等腰直角三角形且與y軸交于點c

對稱軸x=-----=0

2a

?30

設(shè)拋物線的解析式為y=奴?+c

當(dāng)尸0時，)，=c

???拋物線開口向下

*：OC=^AB

t\AB=2c

???ABC面積為4

yx2(-xc=4

解得c=2或c=-2(舍去)

???點A為(-2,0),點3為(2,0),點C為(0,2)

將點A代入，得4。+2=0

解得斫-工

2

工拋物線的解析式為y=-+2.

(2)

解：設(shè)直線的解析式為廣質(zhì)+方

將點B(2,0)和點。(0,2)代入，得

2k+b=0k=-\

解得

b-2b-2

答案第13頁，共38頁

?二直線BC的解析式為y=-x+2

令平移后的直線解析式為)，=Jx+〃？

,/直線y=與直線BC交于點D

則-x+2=—x+m

2

...x=-4---2m

33

?.,),=一2+一2

-33

4222

即點。的坐標(biāo)為(§一§"，？+§'”)

???直線y=；x+，〃與x軸交于點E

???點、E為(-2m,0)

由題意，得SABDE=；SAABC

■22

-x(2+2”?)x(—+—〃？)=2

233

整理,得(1+m)2=3

解得m=6-1或m=-y/3-1(舍去)

???平移后直線解析式為y=+

(3)

解：存在，理由如下：

分別過點"，N作,，軸的垂線，垂足分別為七，F(xiàn)

：.NPEM=/PFN=9()°

答案第14頁，共38頁

設(shè)點P為（0，/）（/>0）,M（A-,），），N（x,y）,令N在M左側(cè)

*//MPE:/NPF

:APMESAPNF

,PEME

??而一而

l

.-ym_

又)，=瓜，y=kx

整理，得（%+.%）-25占=0

VM,N是直線尸丘與拋物線的交點

k.x=-—x2+2

2

x2+2kx-4=0

???/+4=-2/xmxn=-4

：.-2kt-2kx（-4）=0

解得/=4

工存在，點P（0,4）

【點評】本題考查二次函數(shù)的幾何綜合問題，涉及的知識點有求拋物線解析式，等腰宜角三

角形的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根

與系數(shù)關(guān)系等，熟練地運用以上知識是解決問題的關(guān)鍵.

4.(l)y=-；x+4,y=A2-2x+8

(2)3.5或2.5

答案第15頁，共38頁

(3)1或3

【分析】(1)根據(jù)對稱軸戶1,求出機的值，再根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(2,3),進而求出&值，

最后求得解析式：

(2)將A,8坐標(biāo)代入分別表示出力和”，再由2公3-〃?，得出川一%H—2%+〃一3|=|2加一6|

二1，求解即可；

22

(3)將A,“坐標(biāo)代入分別表示出y和y,再由2Q3-,〃，得出yP=3k-5k-i6,yQ=3kAI6,

再將上〃，A+l=〃代入，得出用〃表示的)，和戶進而屏—坨|=|2〃—4卜2,求解即可.

【解析】(1)解：由題意，得

???二次函數(shù)的對稱軸x=l,

.-(w-2)

■■--------------=1,

2

解得據(jù)=4,

，二次函數(shù)解析式為y=/-2x+8

當(dāng)〃?=4時，一次函數(shù)丁=奴+4,

乂一次函數(shù)經(jīng)過(2,3),

，2k+4=3,

解得A=-3，

???一次函數(shù)解析式為y=-gx+4.

(2)解：由題意，得

22

y\=k-(in-2)2+2m,y2=(^+l)-(m-2)(k+\)+2m,

得)1_%=_24+〃?-3,

???一次函數(shù)產(chǎn)6+”的圖像過點(2,3),

:.2k=3-m,

**.\)\-y2|=|-2A:+/z:-3|=|2/77-6|=l.

解得in=2.5或m=3.5.

(3)解：將A(匕y),B(k+1,為)代入二次函數(shù)y=f-(〃7-2)工+2〃7,得

22

yp=k-(m-2)k+2m,yQ=(A:+1)—(m-2)(A+l)+2m,

又一次函數(shù),=依+，〃的圖像過點(2,3),

/.2k=3-m,

22

yf,-3k—5k+6,—3k—k+6t

答案第16頁，共38頁

yk=n,k+\=n,

，把&=n代入得yP=—5〃+6,

把A=〃-l代入=3(〃-1)2-(〃-1)+6,

???卜廣壇卜⑶一小？，

解得〃=1或3.

【點評】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)對

稱軸等知識點，理解二次函數(shù)的定義和一次函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

5.(l)y=-x2+2x+2；

⑵/〃<6；

(3)當(dāng)時，翻折后所得部分與x軸有交點，且交點都位于x軸的正半軸

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式得到一個一元二次方程，利用一元二次方程根的判別

式求解即可；

(3)設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于F,與拋物線交于E,設(shè)原二次函數(shù)與y軸的交點為C,分

別求出當(dāng)翻折后E與尸重合，C與。重合時〃的值，即可得到答案.

(1)

解：???二次函數(shù)y=-/+云+c的圖象過點A(2,2),5(3,-1),

*-4+2〃+c=2

,,-9+3b+c=-l

(b=2

???<c,

c=2

J二次函數(shù)解析式為y=-x2+2x+2；

(2)

y=-2x+m

解：聯(lián)立2rc得X?一4%+〃?一2=0，

y=-x+2x4-2

???一次函數(shù)y=-2x+〃?的圖象與二次函數(shù)的圖象有交點，

?'?方程X2-4x+/〃-2=0有實數(shù)根，

.?.△二(-2—4(〃?-2)之0,

/.in<6；

(3)

解：設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于尸，與拋物線交于E,設(shè)原二次函數(shù)與y軸的交點為C,

二點。的坐標(biāo)為(0,2),

答案第17頁，共38頁

,:拋物線解析式為y=—丁+2x+2=—(工一I『+3,

，點E的坐標(biāo)為(1,3),

：.EF=3,

當(dāng)經(jīng)過翻折后所得部分與x軸恰好只有一個交點時，即點E翻折后與點尸重合，

???此時MN垂直平分ER

當(dāng)經(jīng)過翻折后所得部分與X軸的一個交點恰好為原點時，即點C翻折后與原點重合,

此時MN垂直平分0C,

.2

??〃=]=1,

3

???當(dāng)時，翻折后所得部分與X軸有交點，且交點都位于x軸的正半軸.

【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題,

二次函數(shù)與x軸的交點問題，翻折的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

6.(1)O<X<1^C-r>4

八、1、115

(2)y=-x-+-X+——

424

⑶存在，/>(1-l+x/7),^(l,-l-x/7)

【分析】(1)從函數(shù)的圖像和點人(1,4)和點8(4,I)的橫坐標(biāo)可以直接看出；

(2)把點做1,4)和點水4,I)代入必=&丫+〃的AB的解析式，求出D的坐標(biāo)，把%=-1+5

向下平移8個單位得到降『="3求出￡的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得過點A、。、"的

答案第18頁，共38頁

函數(shù)解析式；

(3)存在，如圖，(作BF的垂直平分線交B/于點M,點M即為8尸的中點，以點M為圓

心，M3為半徑作圓，交拋物線對稱軸于點《，鳥，點；4，鳥即為所求.)

(1)

從函數(shù)的圖像可以直接看出，因為點A(I，4)和點B(4,I)

所以當(dāng)0<x《l或x"時y之名

(2)

k+〃=4

J一1

4k+〃=1

{2

k-,=-1

解得■:

〃=5

乃=-x+5

令y=0得x=5

「.￡>(5,0)

把％=-x+5向下平移8個單位得到-3

令y=0得工二一3

/.E（-3,0）

設(shè)過點4、。、七的拋物線的函數(shù)解析式為)，=a(x+3)(x-5)

把點A?！?；

--y=-*+3）（工—5）=一*+]+?

1,115

——x-+—x+一

424

存在，如圖，作B尸的垂直平分線交B/于點M,點M即為B/的中點，以點M為圓心.MB

為半徑作圓，交拋物線對稱軸于點，6,點，4即為所求.

答案第19頁，共38頁

點橫坐標(biāo)為:三=2

-3+1

M的縱坐標(biāo)為：-=-1

，M(2,-1)

又FB=^(0-4)2-(-3-1)2=4&

???圓的半徑為：272

拋物線),=_%+1+與的對稱軸尸［,

424

所以MG=1,

GP尸GPz=J(2夜)2—F="

:.點P的坐標(biāo)為^(1-l+>/7),a(l-I-V7)

【點評】本題是三種函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，待定

系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式?尺規(guī)作圖,一次函數(shù)圖象的平移等知識.數(shù)形結(jié)合

答案第20頁，共38頁

思想是解本題關(guān)鍵.

4

7.（1）①②④；（2）且厚0；（3）直線MN為“三高四新”函數(shù)，理由見解析.

【分析】（1）把x=3分別代入各個函數(shù)求值判斷即可；

（2）由一次函數(shù)y="+〃是"三高四新”函數(shù)，得弘+匕=4,再由函數(shù)與），軸的交點在），軸

的正半軸，可知〃>0,即可求解；

（3）由二次函數(shù)頂點式解析式可知頂點A的坐標(biāo)為（3,0）,分別設(shè)出直線AM、AN的解

析式，由/MAN=90。，可得Qg,由此AN所在直線可化為為尸看（x-3）,因為點

“G，y）和點N（,q，%）均在二次函數(shù)圖象上，分別聯(lián)立拋物線和宜線的解析式，解得

4441一14

〃（4匕+3,44），W--,-y）,從而求出直線MN所在直線為），-7T—（％-3+/），

把尸3代入，解得尸4,由此即可判斷直線MN為“三高四新”函數(shù).

【解析】解：（1）當(dāng)x=3時,

①），=2.1-2=2x3-2=4；（2）j=x2-6x+13=32-6x3+13=4；

1?1?

@y=-3x2+6x+11=-3x3?+6x3+11=2；@y=—=—=4；

即函數(shù)①②④經(jīng)過（3,4）點，

1'三高四新”函數(shù)為①②④；

故答案為：①②④；

（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)丁=6+）是“三高四新”函數(shù)，即弘+〃=4且后0,

二?函數(shù)與y軸的交點在y軸的正半軸，

/./?>0,即4-34>（）,

4

kv1且后0：

（3）直線MN為“三高四新”函數(shù).理由如下：

如圖：

答案第21頁，共38頁

點4的坐標(biāo)為(3,0),

設(shè)AM所在直線為y=kix-3ki,AN所在直線為嚴(yán)左加-3依，(kik2和)

???NM4N=90。，

.\AM-LAN,kik2=-\,

故AN所在直線可化為為產(chǎn)-層(x-3)

???點M(%，無)和點N(y?)均在二次函數(shù)圖象上，

v=l(x-3)2

.*.?417,解得M(4￡+3,4婷),或M(3,0)(舍去),

y=^(x-3)

y=-(x-3)2

4v'44

由，,解得可?！?，門)，或N(3,0)(舍去),

、

y=-—I(x/-3)%K

k、

設(shè)MN所在直線的方程為產(chǎn)H+/r

(/(=.2一］

將MN點分別代入直線方程可得：］加心

|>_-3k］，+42i+3

IQ

即直線MN所在直線為y=與二1x+一3,1勺-3,

k\&

k2-\44

當(dāng)戶3時，y=^^.-+-=4t

即MN所在直線國(3,4)點，

???直線MN為“三高四新”函數(shù).

【點評】本題主要考查與二次函數(shù)有關(guān)的新定義的概念，關(guān)犍是要理解新定義的函數(shù)的特點，.

8.(1)k=5；(2)〃=±3；(3)k>\.

【分析】(1)由題意可得20-5=2(4-1),求出2的值即可；

(2)根據(jù)題意分兩種情況求：當(dāng)〃>00寸，p-3<}<4p-3；當(dāng)〃<0時?，4〃-39十-3；分

別求出〃即可;

(3)當(dāng)x=l時，y=a2+6a-2,當(dāng)x=-1時，y=a2-la-2,當(dāng)x=a時，y=3a2+2a.分

四種情況討論：①當(dāng)~1時，屋+6。-2<y<a2-2a-2,求出&>4；②當(dāng)a>1時，

-2<y<a2-2a-2,求出心>4；③當(dāng)-IgaVO時，a2+6a-2<)<3a2+2a,求出1〈心4；④當(dāng)

22

0<?<1時，a-2a-2<y<3a+2at求出1<A<4；進而可得k的取值范圍..

【解析】解：(1)Vl<x<4,

A5<y<20,

???20-5=火(4-1),

答案第22頁，共38頁

.,.)=5；

(2)VI<￥<4,

當(dāng)p>0時，〃-390p-3,

/.(4p-3)-(p-3)=3x3,

.*.p=3；

當(dāng)pVO時，4/？-3<y<p-3,

**.p-3-(4〃-3)=3x3,

:.p=~3：

綜上所述：〃=±3；

(3)y=-2x2+4ar+672+2d=-2(x-a)2+3a2+2a,

當(dāng)x=1時，y=a2+6a-2,

當(dāng)x=-1時，y=a2-2a-2,

當(dāng)x=a時，y=3a2+2a,

①當(dāng)aV-1時，a2+6a-2<y<a2-2a-2,

:.(a2-2?-2)-(標(biāo)+3?2)=k(1+1),

:?k=-4a,

???Q4；

②當(dāng)1時，屋+6。-2￡42-2a-2,

J"2+6。-2)-(a2-2a-2)=k(1+1),

^k=4(b

，&>4；

③當(dāng)?IgaVO時,a2+6a-2<y<3a2+2a,

J(3〃+2a)-(標(biāo)+6。-2)=k(1+1),

:.k=(a-1)2,

④當(dāng)0<?<l時，a2-2a-2<y<3a2+2a,

:.(3a2+2a)-(a2-2a-2)=k(1+1),

:?k=(?+l)2,

綜上所述：kNl.

【點評】本題考查函數(shù)的新定義，能夠理解新定義，并將定義應(yīng)用到一次函數(shù)、二次函數(shù)中,

結(jié)合函數(shù)的圖象及性質(zhì)進行分析是解題的關(guān)鍵.

答案第23頁，共38頁

8/+5(/<-l)

9.(1)k=6；(2)>'lmin='-2r+4/+3(-l<r<2);(3)-<|x,-x2|<2>/3

-f4+l中>2)

2

【分析】(1)根據(jù)融合函數(shù)的定義求出y=y+%=±+"-3,然后代入(1,5)求解即可；

■X

(2)設(shè)函數(shù)必的解析式為先=人工+4,即可得到

a=2

2z

y=y1+y2=ax+bx+c+kAx+by=ax+(b+k1)x+b]+c=2x~+x-4,貝小匕+勺=2,然后

%+c=-4

求出y=2--4a+4f+3.然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

22

(3)先求出y=+y2=ax+bx+c-cix-b=ax+(b-a)x+c-b,在由一元二次方程根與

系數(shù)的關(guān)系得至UN+%2=一~-----，%「*=--------?根據(jù)a+〃+c=O,a>h>c,

aa

【解析】解：（1）由題意得：反比例函數(shù)y=2和一次函數(shù)必=履-3,它們的“融合函數(shù)”

X

2

的解析式為y=y+%=-+丘一3,

X

2

;點（1,5）在丁=,+）：2=—十日—3函數(shù)圖像上，

x

5=Y+—3,

A=6；

（2）設(shè)函數(shù)%的解析式為%=占％+4,

22

由題意得：y=y\+y2+bx+c-\-kyx-\-b]=ax+（b+kt）x+b}+c=2x+x-4,

a=2

■b+=2,

2+c=-4

??,在x=f時，函數(shù)y=o?+從TC取得最值，

/.b=-4t,

a+b+c=5,

答案第24頁，共38頁

，2-4f+c=5,

c=3+4/,

:.y=2x2-4rx+4t+3,

???函數(shù)升=212—4a+4/+3的對稱軸為x=f,函數(shù)開口向上，—1KXK2

???當(dāng)/<-1時，其=2/-4戊+4/+3在廣一1處有最小值，最小值

y,=2x(-l)2-4/x(-l)+4/+3=8/+5(r<-l)；

當(dāng)/>2時，y=2--4a+4/+3在x=2處有最小值，最小值

%=2x22-4/x2+4/+3=T/+11(/>2)；

當(dāng)-14r42時,%=2/-4儀+4Z+3在處有最小值,最小值

必=2xr-4r+4r+3=-2r+4r+3(-1<r<2)；

8/+5(/<-l)

???綜上所述，)1mm=-2J+4r+3(-l<z<2)；

-4r+n(r>2)

(3)由題意得：二次函數(shù)y=a/+隊+c與一次函數(shù)月=-5一人的融合函數(shù)為

22

y=y]+y2=ax+bx+c-ax—b=ax+(b—a)x+c—b,

???它們的“融合函數(shù)”與x軸交點為4(40)、取々，0),

:,巧，々是一元二次方程，=+(〃-a)x+c-方=。的兩根，

b-ac-b

??勺=-----，XX----，

A+a\2~a

Va+b+c=0,a>b>c,

a>0,c<0,

，歸一wbaXi+wf-4A/

f(Z?-67)2~4(c-Z?)

二E

l(b-a)~~4a(c-b)

(b-a)2-4ac+4ab

答案第25頁，共38頁

，-a>2c,

cI

—>—

a2

,:b<a,

：.-a-c<a,

2a>-c,

A--<2,

a

.\--+2<4,

a

.5Cf人

..-<——+2<4,

2a

.T［，+2丫<6

4-

-4<12,

4IaJ

?*--<+-4<2方，

2認(rèn)。）

3

:./<I%-<2>/^.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的

應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在J?能夠港確理解題意.

10.（1）2；-3<x<-l；（2）〃=-13或-4+29；⑶-^^</<>/19

3

【分析】（1）把y=i,y=3分別代入y=-±中，求得對應(yīng)的x的值，根據(jù)反比例函數(shù)的性

x

質(zhì)即可求得結(jié)果；

（2）找到對稱軸為直線/=分-4工5<2及^>2、5<一4三種情況考慮即可；

4?乙4

答案第26頁，共38頁

(3)由條件可得。>0,c<0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得AB在x軸上的影長/為：

『=世』網(wǎng)￡=4(￡丫一4￡+4,再由已知條件可得從而可得/的取值范圍.

aJa2a5

3

【解析】(1)把y=i,y=3分別代入y=-2中，得：戶-3,X=~\

X

:比例系數(shù)-3Vo

???當(dāng)NO時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大

*,?—3Wx?—1

「影長”為7-(-3)=2,“影長范圍”為一3Vx?-1.

(2)拋物線的對稱軸為直線x="|

當(dāng)-4K?K2,即-阻把4時，由題意拋物線部分圖象在),軸上的影長的最大值就是二次函數(shù)

的最大值，故有土d=]()

-4

解得：a=-4+2V14=-4-2>/14(舍去)

.,.?=-4+2>/|4

當(dāng)9>2,即。>4時，當(dāng)TWX42時，函數(shù)值隨x的增大而增大

2

.?.當(dāng)尸2時，-4+4a=10

解得：*3.5(舍去)

當(dāng)卜-4,即人8時，當(dāng)-1VXV2時，函數(shù)值隨x的增大而減小

:.當(dāng)A--4時，-16-2a=10

解得：a=-\3

綜上所述，a=T3或-4+2至

(3)t：a+b+c=0,且實數(shù)〃>2/>>女

.*.a>0,c<0,b=-(a+c)

設(shè)A、8兩點的橫坐標(biāo)分別為〃人〃

ax2+bx+c=-bx-2c

?'?av2+2/?.v+3c=0

.2b3c

,?/〃+〃=---,mn=一

aa

設(shè)在x軸上的影長為/

則/2=(in-n)2—(m+n)2-4rnn=———產(chǎn)"。=—1-4f+4

答案第27頁，共38頁

c3c2

由a>2/?=-2(〃+c),得一>一一；由2〃=