第七章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布學習目標1.理解n重伯努利試驗模型.2.理解二項分布.3.能運用n重伯努利試驗模型及二項分布解決一些簡單的實際問題x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn1.離散型隨機變量的均值的概念則稱E(X)＝

＝

為隨機變量X的均值或數學期望.3.一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么：X10Pp1-p

4.離散型隨機變量的均值、方差的性質若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝

.2.離散型隨機變量的方差的概念D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).D(aX+b)=a2D(X)aE(x)+b知識回顧問題探究問題1：伯努利試驗在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結果.例如，檢驗一件產品結果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫學檢驗結果為陽性或陰性等.

我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoullitrials).

我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：(1）同一個伯努利試驗重復做n次；（概率相同）(2)各次試驗的結果相互獨立.做一做:下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?如果是,那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗,定義“成功”的事件為A,那么A的概率是多大?重復試驗的次數是多少？1.拋擲一枚質地均勻的硬幣10次.2.某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續射擊3次.3.一批產品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.問題探究隨機試驗是否為n重伯努利試驗伯努利試驗P(A)重復試驗的次數123是是是拋擲一枚質地均勻的硬幣某飛碟運動員進行射擊從一批產品中隨機抽取一件0.50.80.9510320問題探究探究1：伯努利試驗和n重伯努利試驗有什么不同?

伯努利試驗是一個“有兩個結果的試驗”，只能關注某個事件發生或不發生；n重伯努利試驗是對一個“有兩個結果的試驗”重復進行了n次，所以關注點是這n次重復試驗中“發生”的次數X.進一步地，因為X是一個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是它的概率分布列.思考：姚明作為中鋒，他職業生涯的罰球命中率為0.8，假設他每次命中率相同,請問他4投1中的概率是多少?思考：在4次投籃中姚明恰好命中1次的概率是多少?分解問題：1)在4次投籃中他恰好命中1次的情況有幾種?

表示投中,表示沒投中,則4次投籃中投中1次的情況有以下四種:(1)(2)(3)(4)2)說出每種情況的概率是多少?3)上述四種情況能否同時發生?追問1：在4次投籃中姚明恰好命中2次的概率是多少?追問2：在4次投籃中姚明恰好命中3次的概率是多少?追問3：在4次投籃中姚明恰好命中4次的概率是多少？追問4：在n次投籃中姚明恰好命中k次的概率是多少?問題探究問題2：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的？用Ai表示“第i次射擊中靶”(i=1，2，3)，用如下圖的樹狀圖表示試驗的可能結果：于是，中靶次數X的分布列為：思考：如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X等于2的結果有哪些？寫出中靶次數X的分布列.(2)中靶次數X的分布列為：X01…k…np……知識概念二項分布思考：二項分布與兩點分布有何關系?兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；二項分布可以看做兩點分布的一般形式.思考2：對比二項分布和二項式定理，你能看出他們之間的聯系嗎？

（其中k=0，1，2，···，n）實驗總次數事件A發生的次數事件A發生的概率概念辨析【診斷分析】

判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)在伯努利試驗中,關注的是事件A是否發生,而在n重伯努利試驗中,關注的是事件A發生的次數. (

)(2)n重伯努利試驗中每次試驗只有發生與不發生兩種結果. (

)(3)進行n重伯努利試驗,各次試驗中事件A發生的概率可以不同.(

)√√×例1：將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：（1）恰好出現5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現的頻率在[0.4，0.6]內的概率.分析:拋擲一枚質地均勻的硬幣,出現“正面朝上”和“反面朝上”兩種結果且可能性相等,這是一個10重伯努利試驗,因此,正面朝上的次數服從二項分布.典例分析典例分析例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.分析：小球落入哪個格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結果,設試驗為觀察小球碰到小木釘后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結果,且概率都是0.5.在下落的過程中,小球共碰撞小木釘10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響,因此這是一個10重伯努利試驗,小球最后落入格子的號碼等于向右落下的次數,因此X服從二項分布。X的概率分布圖如下圖所示：例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.例3：甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?分析:判斷哪個賽制對甲有利,就是看在哪個賽制中甲最終獲勝的概率大,可以把“甲最終獲勝”這個事件,按可能的比分情況表示為若干事件的和,再利用各局比賽結果的獨立性逐個求概率;也可以假定賽完所有n局,把n局比賽看成n重伯努利試驗,利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率.典例分析歸納小結一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p；（2)確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；（3）設X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，則X～B(n，p）.探究：假設隨機變量X服從二項分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).知識概念一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).證明：∵P(X=k)=Cnkpkqn-k(∵kCnk=n

Cn-1k-1)∴kP(X=k)=kCnkpkqn-k=npCn-1k-1pk-1qn-k∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2

+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np例4.一次數學測驗由25道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每道題選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率均為0.6，求此學生在這一次測驗中的成績的數學期望和方差．典例分析解析：設該學生在這次數學測驗中選對答案的題目的個數為ξ，所得的分數為η，由題意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，則E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.所以該學生在這一次測驗中的成績的數學期望與方差分別是60和96.課堂小結——你學到了那些新知識呢？1.二項分布的定義：2.確