第一課時(向量確定空間位置關系)3.2立體幾何中的向量方法1.

用向量能確定空間的點,直線,平面嗎?2.

用向量怎樣判定點在直線上,點在平面內,直線在平面內?3.

用向量怎樣判定直線與直線平行,直線與平面平行,平面與平面平行,直線與直線垂直,直線與平面垂直,平面與平面垂直?學習要點

問題1.

什么是直線的方向向量?什么是平面的法向量?一直線的方向向量是否唯一?一平面的法向量呢?

在直線l

上,或平行于直線l

的向量都可以作為直線l

的方向向量.一直線的方向向量不唯一.與平面a

垂直的向量都可以作為平面a

的法向量.一平面的法向量不唯一.

問題2.

用向量能確定空間的點、直線、平面嗎?如果能,怎樣確定?如果不能,需加上什么條件?一定點與一向量就能確定空間的點.取定點O為基點,APBOQ····如圖,確定了點A;確定了點B;確定了點P;確定了點Q.

以青蛙的舌根為定點,舌頭伸出的方向與長度確定了捕捉昆蟲的點.分別叫點A、B、P、Q

的位置向量.

問題2.

用向量能確定空間的點、直線、平面嗎?如果能,怎樣確定?如果不能,需加上什么條件?如果知道一直線l

的方向向量a,a和直線l

上一點P,P·l就能確定直線l的位置.·Al為直線AP:(A是直線上任意的點).另一方面:已知直線l

的方向向量,和l

上一點P,如果存在實數t,有則點A在直線l

上.

問題2.

用向量能確定空間的點、直線、平面嗎?如果能,怎樣確定?如果不能,需加上什么條件?任一平面a,可由a

內的兩條相交直線確定.設平面a

內兩相交直線的交點為O,方向向量分別為a,b.則就確定了平面a(P

為a

內任意的點,x,y

為實數).

問題2.

用向量能確定空間的點、直線、平面嗎?如果能,怎樣確定?如果不能,需加上什么條件?另一方面:如果a,b是平面a

內兩相交直線的方向向量,O為平面a

內一點,如果存在實數x,y,使則點P

在平面a

內,直線OP

在平面a

內.由此可得:

如果一直線l

的方向向量p,可用平面a

內兩相交直線的方向向量a,b表示,即則l

平行平面a,或在a

內.

問題2.

用向量能確定空間的點、直線、平面嗎?如果能,怎樣確定?如果不能,需加上什么條件?如果知道一平面a

的法向量n和平面a

內一點,P·a就能確定這個平面a.法向量也可以確定平面的位置.

問題3.

①兩直線的方向向量平行,這兩直線是什么位置關系?②兩直線的方向向量垂直呢?③一直線的方向向量平行于一平面的法向量,這條直線與這個平面是什位置關系?④若方向向量垂直于法向量呢?⑤兩平面的法向量平行,這兩平面是什么位置關系?⑥兩法向量垂直呢?※兩直線的方向向量平行,則這兩直線平行.※兩直線的方向向量垂直,則這兩直線垂直.

問題3.

①兩直線的方向向量平行,這兩直線是什么位置關系?②兩直線的方向向量垂直呢?③一直線的方向向量平行于一平面的法向量,這條直線與這個平面是什位置關系?④若方向向量垂直于法向量呢?⑤兩平面的法向量平行,這兩平面是什么位置關系?⑥兩法向量垂直呢?

※一直線的方向向量平行于一平面的法向量,則這條直線垂直于這個平面.naal

※一直線的方向向量垂直于一平面的法向量,則這條直線平行于這個平面或在這個平面內.naal

問題3.

①兩直線的方向向量平行,這兩直線是什么位置關系?②兩直線的方向向量垂直呢?③一直線的方向向量平行于一平面的法向量,這條直線與這個平面是什位置關系?④若方向向量垂直于法向量呢?⑤兩平面的法向量平行,這兩平面是什么位置關系?⑥兩法向量垂直呢?

※兩平面的法向量平行,則這兩平面平行.

※兩平面的法向量垂直,則這兩平面垂直.mnabmanb【向量確定線面的位置關系】

設直線l,m

的方向向量分別為a,b,平面a,b

的法向量分別為u,v,則l

//m

a//ba=kb,(kR);l

⊥m

a⊥ba·b=0;l

//a

a⊥ua·u=0;l

⊥a

a//ua=ku,(kR);a//b

u//vu=kv,(kR);a

⊥b

u⊥vu·v=0.

例.

證明定理“一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.”

已知兩相交直線l,m

都在平面a

內,l//平面b,m//平面b.求證:a//b.證明:設直線l,m

的方向向量分別為a,b,平面a,b

的法向量分別為u,v.∵l//b,m//b,∴a⊥v,b⊥v,則a·v=0,b·v=0,因為l,m

都在平面a

內且相交,所以平面a

內任一向量p可表示為p=xa+yb(x,yR)

例.

證明定理“一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.”

已知兩相交直線l,m

都在平面a

內,l//平面b,m//平面b.求證:a//b.證明:設直線l,m

的方向向量分別為a,b,平面a,b

的法向量分別為u,v.∵l//b,m//b,∴a⊥v,b⊥v,則a·v=0,b·v=0,因為l,m

都在平面a

內且相交,所以平面a

內任一向量p可表示為p=xa+yb(x,yR)于是v·p=v·(xa+yb)=xv·a+yv·b=0,即平面b

的法向量垂直于平面a

內的任一向量,∴a//b.

例(補充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各條棱長都相等,E,F

分別是CC1和AC

的中點,求證:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.分析:ABCA1B1C1EF(1)目標:思路:①底面是等邊三角形,可計算向量的數量積.②側棱垂直底面的任一直線,可計算數量積.于是考慮:將向量和轉換到底面和側棱上.

例(補充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各條棱長都相等,E,F

分別是CC1和AC

的中點,求證:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.證明:ABCA1B1C1EF(1)=0.∴AB1⊥BM.設各棱長為a,則

例(補充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各條棱長都相等,E,F

分別是CC1和AC

的中點,求證:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.分析:ABCA1B1C1EF(2)目標:用平面BC1F內兩相交直線的方向向量表示思路:運算,轉換到三向量中的兩向量表示.將向量經過加減

例(補充).

已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的各條棱長都相等,E,F

分別是CC1和AC

的中點,求證:(1)

AB1⊥BM;

(2)

AB1//平面BC1F.證明:ABCA1B1C1EF(2)∵FC1與FB在平面BC1F內,∴AB1//平面BC1F.練習(補充)

1.

如圖,四棱錐S-ABCD

中,AB//CD,BC⊥CD,側面SAB

為等邊三角形,AB=BC=2,CD=1.求證:SD⊥AB.SABCD

2.

如圖,四棱錐P-ABCD

的底面ABCD

是平行四邊形,E

是AB

的中點,F

是PD

的中點.求證:AF//平面PCE.PABCDEF

1.

如圖,四棱錐S-ABCD

中,AB//CD,BC⊥CD,側面SAB

為等邊三角形,AB=BC=2,CD=1.求證:SD⊥AB.SABCD證明:=0.∴SD⊥AB.

2.

如圖,四棱錐P-ABCD

的底面ABCD

是平行四邊形,E

是AB

的中點,F

是PD

的中點.求證:AF//平面PCE.PABCDEF證明:EP,PC

是平面PCE

內的直線,∴AF//平面PCE.【課時小結】1.

向量確定空間的點、線、面

一基點和一向量,基點為起點,向量的終點確定點.直線的方向向量和直線上的一點確定直線.平面內不共線的兩向量確定平面.平面的法向量和平面內的一點確定平面.【課時小結】2.

向量確定點、線、面關系(t

為實數)(1)點P

l,a

是l

的方向向量,若有則點A

在直線l

上.(2)點O

平面a,a,b不共線,a//a,b//a,若有則點P

在平面a

內,直線OP

在平面a

內.【課時小結】3.

向量確定平行與垂直

設直線l,m

的方向向量分別為a,b;平面a,b

的法向量分別為u,v;不共線的兩向量e1,e2與平面a

共面.則l

//m

a//ba=kb,(kR).l

⊥m

a⊥ba·b=0.兩直線平行,方向向量共線:兩直線垂直,方向向量數量積為0:【課時小結】3.

向量確定平行與垂直

設直線l,m

的方向向量分別為a,b;平面a,b

的法向量分別為u,v;不共線的兩向量e1,e2與平面a

共面.則l

//a

a⊥ua·u=0.l

//a

a=xe1+ye2,(x,yR).直線平行平面,方向向量垂直法向量:直線平行平面,直線用平面的共面向量表示:平面平行平面,法向量平行:a//b

u//vu=kv,(kR).【課時小結】3.

向量確定平行與垂直

設直線l,m

的方向向量分別為a,b;平面a,b

的法向量分別為u,v;不共線的兩向量e1,e2與平面a

共面.則l

⊥a

a//ua=ku,(kR).a

⊥b

u⊥vu·v=0.直線垂直平面,方向向量平行法向量:平面垂直平面,法向量垂直:練習:(課本104頁)第1、2題.

1.

設a,b分別是直線l1,l2

的方向向量,根據下列條件判斷直線l1,l2

的位置關系:

(1)a=(2,-1,-2),b=(6,-3,-6);(2)a=(1,2,-2