第15講植樹問題

教學目標

手教學目標封閉與非封閉植樹路線的講解及生活運用.

手掌握空心方陣和實心方陣的變化規律.

知識梳理

一、植樹問題路線

（一）不封閉的植樹路線.

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數比段數多1.

全長、棵數、株距之間的關系就為：棵數=段數+1=全長子株距+i

全長=株距x（棵數—1）

株距=全長+（棵數-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數就比在兩端植樹時的棵數少1,即棵數與

段數相等.

全K、棵數、株距之間的關系就為：全K=株距X棵數；

棵數=段數=全長?株距；

株距=全長+棵數.

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數就比②中還少1棵.

全長、棵數、株距之間的關系就為：棵數=段數-1=全長+株距T.

株距=全長+（棵數+1）.

全長=株距X（棵數+1）

（二）封閉的植樹路線.

在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數

等于分成的段數.

全長、棵數、株距之間的關系就為：棵數=段數=周長+株距.

二、解植樹問題的三要素

（1）總路線長（2）間距（棵距）長（3）棵數，

只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個.

三、方陣問題

（1）明確空心方陣和實心方陣的概念及區別.

（2）每邊的個數=總數+4+1”；

（3）每向里一層每邊棋子數減少2;

（4）掌握計算層數、每層個數、總個數的方法，及每層個數的變化規律。

典例分析解

例1、大頭兒子的學校旁邊的一條路長400米，在路的一邊從頭到尾每隔4米種一棵樹，一共

能種幾棵樹？

.4舉.12米他米

【解析】從圖上可以看出，每隔4米種一棵樹，如果20米長的路的一邊共種了6棵樹，

這是因為我們首先要在這條路的一端種上一棵，就是說種樹的棵樹要比間距的個數多

1,

所以列式為：400v4+l=101（棵）.

例2、一條馬路長200米，在馬路兩側每隔4米種一棵樹，則一共要種樹棵。

【解析】考察植樹問題，200-4=50（段），（50+1）x2=102

例3、一條公路的一旁連兩端在內共植樹91棵，每兩棵之間的距離是5米，求公路長是多少

米？

【解析】根據植樹問題得到：（91-1）x5=450（米）

例4、校門口放著一排花，共10盆.從左往右數茉莉花擺在第6,從右往左數，月季花擺在第8,

一串紅花全都擺在了茉莉花和月季花之間.算一算，一串紅花一共有多少盆？

【解析】從左往右數茉莉花擺在第6,那么從右往左數芙莉花就是第：1。-（6-1）=5（盆）花,

從右往左數，月季花擺在第8,從左往右數月季花就是第：1°一（8-1）=3（盆）花,

一串紅花全都擺在了茉莉花和月季花之間，

一串紅花一共有：10-5-3=2（盆）.

例5、從小熊家到小豬家有一條小路，每隔45米種一棵樹，加上兩端共種53棵；現在改成每

隔60米種一棵樹.求可余下多少棵樹？

【解析】該題含植樹問題、相差關系兩組數量關系.

從小熊家到小豬家的距離是：45x（53-1）=2340（米），

間隔距離變化后，兩地之間種樹：2340:60+1=40（棵），

所以可余下樹：53-40=13（棵），

綜合算式為：53-[45x（53-1）+60+1]=13（棵）.

例6、馬路的一邊，相隔8米有一棵楊樹，小強乘汽車從學校回家，從看到第一棵樹到第

153棵樹共花了4分鐘，小強從家到學校共坐了半小時的汽車，問：小強的家距離學校多

遠？

【解析】第一棵樹到第153棵樹中間共有1534=152（個）間隔，

每個間隔長8米,所以第一棵樹到第153棵樹的距離是：152x8=1216（米），

汽車經過1216米用了4分鐘，1分鐘汽車經過：⑵6+4=304（米），

半小時汽車經過：304x30=9120（米），

即小明的家距離學校見20米.

例7、一位老爺爺以勻速散步，從家門口走到第11棵樹用了11分鐘，這位老爺爺如果走

24分鐘，應走到第幾棵樹？（家門口沒有樹）

【解析】從家門口走到第11棵樹是走了11個間隔，

走一個間隔所用時間是：11X1=1（分鐘），

那么走24分鐘應該走了：244-1=24（個）間隔，

所以老爺爺應該走到了第24棵樹.

例8、元宵節到了，實驗中學學校大門上掛了紅綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了21

只，每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈，問實驗中學學校的大

時針每過12小時就會轉一圈回到原來的狀態,

所以時針轉了4圈以后，

又經過了7個小時.55+12=47（小時）而這時時針指向9點，

所以原來時針指向2點.

例12、裁縫有段16米K的呢了，每天剪去2米，第幾天剪去最后?段？

【解析】如果呢子有2米，不需要剪；

如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個2米，只用1天；

如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里

有3個2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪

2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個2米，用3天，……

我們可以從中發現規律：所用的天數比2米的個數少1.

因此，只要看16米里有幾個2米，問題就可以解決了.

16米中包含2米的個數：16+2=8（個）

剪去最后一段所用的天數：8-1=7（天），

所以裁縫第7天剪去最后一段.

例13、有三根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處需用3分鐘，全部鋸完需要多少分鐘?

【解析】求鋸的次數屬植樹問題思路.一根木料鋸成了3段，只要鋸3-1=2次，鋸3根木料要

2x3=6次，問題隨之可求.

解：①一根木料要鋸成3段，共要鋸多少次?3-1=2（次）

②鋸開三根木料要多少次？2x3=6（次）

③鋸三根木料要多少時間？3*6=18（分鐘）

綜合算式:3x[（3-1）x3]=18（分鐘）或3x（3-1）x3=18（分鐘）

例14、甲、乙、丙三人鋸同樣粗細的木棍，分別領取8米,10米,6米長的木棍，要求都按2米

的規格鋸開.勞動結束后，甲，乙，丙分別鋸了24,25,27段，那么鋸木棍速度最快的比速度最慢

的多鋸次.

【解析】甲每鋸一根出8+2=4（段）需要鋸4-1=3（次）甲鋸24段需要鋸24+4*3=18（次）

乙每鋸一根出10+2=5（段）需要鋸5-1=4（次）甲鋸24段需要鋸25+5x4=20（次）

丙每鋸一根出6+2=3（段）需要鋸3-1=2（次）甲鋸24段需要鋸27+3x2=18（次）

鋸的速度快的甲和丙比鋸的慢的乙多鋸2次

例15、在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅色點，同時自右向左每隔5

厘米也染一個紅點，然后沿紅點將木棍逐級鋸開，那么長度是4厘米的短木棍有多少根？

0561012151820242530

I111111111I

A“，4L

4網來4題米

【解析】由于1（）0是5的倍數，所以自右向左每隔5厘米染一個紅點相當于自左向右每隔5厘

米染一個紅點.

而每隔3（）厘米可得到2個4厘米的短木棍.

最后100-30x3=1。（厘米）也可以得一個短木棍，

故共有2x3+l=7（根）4厘米的短棍.

例16、甲、乙倆人對一根3米長的木棍涂色，首先甲從木棍端點開始涂黑5厘米，間隔5厘

米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底,然后，乙從木棍同一端點開始留出6厘米不

涂色，接著涂黑6厘米，再間隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上沒有被涂黑部分的

長度總和為_________厘米.

056151825303640485060

【解析】考慮60。〃長的一段木棍中，

沒有被涂黑的部分長度總和為1+3+5+4+2=15（而）（如上圖），

所以3米長的木棍中共有15x（300+60）=75（5）長未被涂黑.

例17、大頭兒子和小頭爸爸一起攀登一個有3（）（）級臺階的山坡，爸爸每步上3級臺階，兒子

每步上2級臺階，從起點處開始，父子倆走完這段路共踏了多少級不同的臺階？

【解析】大頭兒子踏過的臺階數是：300+2=150（級），

小頭爸爸踏過的臺階數是300+3=100（級），

父子倆每2x3=6（級）臺階要共同踏1級臺階,

共重復踏了300+6=50（級），

所以父子倆共踏了：150+100-50=200（級）.

例18、北京市國慶節參加游行的總人數有60000人，這些人平均分為25隊，每隊又以12人

為一排列隊前進.排與排之間的距離為1米，隊與隊之間的距離是4米，游行隊伍全長多少米？

【解析】這道題仍是植樹問題的逆解題，它與植樹問題中已知樹的棵數，樹間的距離，求樹列

的全長相當.逆解時要注意段數比樹的棵數少1.所以，

⑴每隊的人數是：60000+25=2400（人）

⑵每隊可以分成的排數是：2400X2=200（排）

⑶20（）排的全長米數是：1x（200-1）=199冰）

（4）25個隊的全長米數是：199x25=4975（米）

（5）25個隊之間的距離總米數是：4x（25-1）=96（米）

⑹游行隊伍的全長是：4975+96=5071（米）

例19、學校三年級運動員參加校運動會入場式，組成6x6的方塊隊（即每行每列都是6

人），前后每行間隔為2米.他們以每分鐘40米的速度，通過長30米的主席臺，需要多少分

鐘？

【解析】運用植樹問題的逆解思路，即前后每行間隔長x間隔數二方塊隊長.

方塊隊長：2x（6-l）=10（米），

方塊隊通過主席臺行進路程總長：1°十3。=的（米），

方塊隊通過主席臺需要：如+40=1（分鐘），

綜合算式：[2x（6-l）+30]+40=l（分鐘）.

例20、有一路電車的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發

開往乙站，全程要15分鐘.有一個人從乙站出發沿電車路線騎車前往甲站，他出發的時候，

恰好有一輛電車到達乙站，在路上，他又遇到了10輛迎面開來的電車才到達甲站，這時候，

恰好又有一輛車從甲站開出，問：他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【解析】這個人前后一共看見了12輛電車，每兩輛車的間隔是5分鐘,

開出12輛電車共有12-1=11（個）間隔，

這樣可以計算出從第1輛電車開出到第12輛電車開出所用的時間,

共經了5x11=55（分鐘），

由于他出發的時候，第1輛電車巳到達乙站，

所以這個人從乙站到甲站用了55-15=40（分鐘）.

實戰演練

＞課堂狙擊

1.在一條長240米的水渠邊上植樹，每隔3米植1棵.兩端都植，共植樹多少棵？

【解析】240+3+1=81（棵）

2.從甲地到乙地每隔40米安裝一根電線桿，加上兩端共51根；現在改成每隔60米安裝一根

電線桿.求還需要多少根電線桿？

【解析】該題含植樹問題、相差關系兩組數量關系.

解：①從甲地到乙地距離多少米？4°x（5J1）=2000（米）

②間隔距離變化后，甲乙兩地之間安裝多少根電線桿？2000+20=100（根），

100+1=101（根）

③還需要下多少根電線桿？101-51=50（根）

綜合算式：[40x（51-1）+20+1]-51=5。（根）

3.馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹，問汽車每小時走多

少千米？

【解析】張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；

只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.

5分鐘汽車共走了：9x（501-1）=4500（米），

汽車每分鐘走：4500+5=900（米），

汽車每小時走：900x60=54000（米）=54（千米）

列綜合式:9x（501—1）+5x60+1000=54（千米）

4.丁丁和爸爸兩個人比賽跑樓梯，從一層開始比賽，丁丁到四層時，爸爸到三層，如此算來，

丁丁到16層時?，爸爸跑到了幾層？

【解析】丁丁實際跑了三層的距離，爸爸跑了兩層的距離，

到16層需要跑15層的距離，

所以丁丁跑了15+3=5（個）三層的距離，

爸爸同時跑了5個兩層的距離.

所以爸爸跑到了5x2+1=11（層）.

5.有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，六點時，5秒鐘敲完，那么十二點時，幾

秒鐘才能敲完？

【解析】六點時敲6下，中間共有5個間隔，

所以每個時間間隔是“5=1（秒），

十二點要敲12下，中間有11個時間間隔，

所以十二點要用：11x1=11（秒）才能敲完.

6.一根木料在24秒內被鋸成了4段，用同樣的速度鋸成5段，需要多少秒？

【解析】鋸的次數總比鋸的段數少1.

因此，在24秒內鋸了4段，實際只鋸了3次，

這樣我們就可以求出鋸一次所用的時間了，

又由于用同樣的速度鋸成5段；

實際上鋸了4次，這樣鋸成5段所用的時間就可以求出來了.

所以鋸一次所用的時間：24+（4-1）=8（秒），

胃5段所用的時間：8x6-1）=32（秒）.

＞課后反擊

1.20名運動員，騎摩托車圍繞體育場的環形跑道頭尾相接作表演，每輛車長2米，前后兩輛車

相距18米，這列車隊長多少米？如果每輛車的車速為每秒12米，這個車隊經過長為38米的

主席臺需要多長時間？

【解析】20名運動員共有20輛摩托車，那么他們之間一共有19個間隔，

這個車隊的長由20輛車長加上19個間隔組成.

20輛車的長度是：20x2=40（米）.

19個間隔的總長度為：19x18=342（米）.

所以這個車隊的長度為：40+342=382（米）

第二問是一個行程問題，

穿過主席臺實際上走的路程是主席臺長加上車隊的長度，

所以車隊走的總路程為382+38=420（米），

又因為車隊的速度為每秒12米，

所以用的時間為420+12=35（秒）.

2.一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共3。輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車

隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛2米，那么這列車隊要通過535米長的檢閱場地，需耍多

少時間？

【解析】車隊間隔共有30-1=29（個），每個間隔5米，

所以，間隔的總長為13°T）X5=145（米），

而車身的總長為（7-1）'4=24（米），

故這列車隊的總長為13°—1）X5+30X4=265（米）.

由于車隊要行265+535=800（米），且每秒行2米，

所以車隊通過檢閱場地需要，

（265+535）+2=400（秒6分40秒.

3.有一根180厘米長的繩子，從一端開始每3厘米作一記號，每4厘米也作一記號，然后將標

有記號的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？

【解析】⑴每3厘米作一記號，共有記號：180+3-1=59（個）

⑵每4厘米作一記號，共有記號：180+4-1=44（個）

⑶其中重復的共有：180+12-1=14（個）

⑷所以記號共有：59+44-14=89（個）