【高考數學真題題源解密】專題05函數的概念與性質-（解析版）【高考數學真題題源解密】專題05函數的概念與性質-（解析版）1/25【高考數學真題題源解密】專題05函數的概念與性質-（解析版）２023年高考數學真題題源解密（全國卷）專題05函數的概念與性質目錄一覽①2０２3真題展現考向一函數的零點考向二由函數的奇偶性求參數②真題考查解讀③近年真題對比考向一函數的最值考向二函數的奇偶性、對稱性、周期性考向三判斷函數圖像考向四指對數互化考向五由函數的奇偶性求參數④命題規律解密⑤名校模擬探源⑥易錯易混速記考向一函數的零點1．（20２3·全國乙卷文數第８題）函數存在３個零點，則的取值范圍是（

)Ａ. B．?C． D.【答案】B【詳解】,則，若要存在3個零點,則要存在極大值和極小值,則，令，解得或,且當時,，當,，故的極大值為,極小值為，若要存在3個零點，則,即，解得,故選：B.考向二由函數的奇偶性求參數2．(2023·全國乙卷理數第４題)已知是偶函數，則(

）Ａ． B．?Ｃ。１ D.2【答案】D【詳解】因為為偶函數，則,又因為不恒為0，可得,即,則,即,解得．故選：D。二、填空題1.(202３·全國甲卷理數第１3題）若為偶函數，則。【答案】2【詳解】因為為偶函數，定義域為,所以，即，則，故，此時，所以,又定義域為，故為偶函數，所以．故答案為:2．【命題意圖】（1）理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義。（2）會運用函數圖象理解和研究函數的性質.【考查要點】高頻考點：函數的概念、圖像與性質以及指數函數、對數函數與冪函數低頻考點:函數與方程【得分要點】函數作為高中數學內容的一條主線，對整個高中數學有重要意義,每年高考卷都將其作為必考題,題目分布在選擇題和填空題。本專題常以基本函數、基本函數組成的復合函數以及抽象函數為載體，對函數內容和性質進行考查,考查函數的定義域、值域,函數的表示方法及性質（單調性、就行、對稱性、周期性)、圖像等,常與導數、不等式、方程等知識交匯命題，考查數形結合、分類討論、轉化與化歸和函數與方程等思想方法。考向一函數的最值1．(２02２·全國乙卷文數第11題)函數在區間的最小值、最大值分別為（

）A．?B． Ｃ. D.【答案】D【詳解】，所以在區間和上,即單調遞增;在區間上，即單調遞減,又，，，所以在區間上的最小值為，最大值為。故選：D2．（20２２·全國甲卷理數第6題)當時，函數取得最大值,則（

）A。 B。?C． D。1【答案】B【詳解】因為函數定義域為,所以依題可知,,,而，所以,即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值,滿足題意,即有．故選:B．考向二函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性1．(２022·全國乙卷理數第12題)已知函數的定義域均為R,且.若的圖像關于直線對稱，，則（

）A.?Ｂ．?Ｃ。?Ｄ。【答案】D【詳解】因為的圖像關于直線對稱,所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，．因為,所以，即，所以.因為，所以,又因為，聯立得,,所以的圖像關于點中心對稱,因為函數的定義域為Ｒ，所以因為,所以.所以。故選：D2。（2021·全國乙卷理數第4題)設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A. Ｂ.?C． Ｄ.【答案】B【詳解】由題意可得,對于A，不是奇函數；對于Ｂ，是奇函數;對于C,，定義域不關于原點對稱,不是奇函數;對于Ｄ,,定義域不關于原點對稱,不是奇函數.故選：B3．(2021·全國甲卷文數第4題）下列函數中是增函數的為（

）Ａ。 B． C. D．【答案】D【詳解】對于A，為上的減函數,不合題意，舍.對于B,為上的減函數,不合題意，舍.對于C，在為減函數，不合題意，舍.對于D,為上的增函數，符合題意，故選：D。4．（2021·全國甲卷文數第12題）設是定義域為R的奇函數，且。若，則(

)A． B．?C。?D．【答案】C【詳解】由題意可得:,而,故.故選:C.5.(202１·全國甲卷理數第12題)設函數的定義域為R，為奇函數,為偶函數，當時，．若,則(

）A.?B.?C． D．【答案】D【詳解】[方法一]：因為是奇函數,所以①；因為是偶函數，所以②.令,由①得:，由②得：，因為,所以,令，由①得:，所以．思路一:從定義入手。所以．[方法二］：因為是奇函數，所以①；因為是偶函數，所以②。令，由①得：,由②得:,因為，所以，令,由①得：,所以．思路二:從周期性入手由兩個對稱性可知，函數的周期．所以.故選：D。考向三判斷函數圖像1．（2022·全國甲卷理數第５題)函數在區間的圖象大致為(

）Ａ． B.C．?D．【答案】A【詳解】令，則，所以為奇函數，排除BD;又當時，，所以，排除C。故選：Ａ。考向四指對數互化1。（２021·全國甲卷文數第6題)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據,五分記錄法的數據Ｌ和小數記錄表的數據V的滿足。已知某同學視力的五分記錄法的數據為4．9,則其視力的小數記錄法的數據為（

）()A．１．5 B。1。2?C。0.8 D．0.6【答案】C【詳解】由,當時,,則。故選:C．考向五由函數的奇偶性求參數1.(202２·全國乙卷文數第16題)若是奇函數，則，.【答案】；．【詳解】［方法一]：奇函數定義域的對稱性若,則的定義域為，不關于原點對稱若奇函數的有意義，則且且，函數為奇函數，定義域關于原點對稱，,解得，由得，,,故答案為：；.[方法二］:函數的奇偶性求參函數為奇函數,［方法三]:因為函數為奇函數,所以其定義域關于原點對稱．由可得，,所以,解得：,即函數的定義域為，再由可得,．即,在定義域內滿足，符合題意.故答案為:；.函數主要以課程學習情景為主，備考應以常見的選擇題和填空題為主進行訓練,難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題,而且常考常新。考生在備考時注意以下兩點。（1）指數函數、對數函數、冪函數及一次函數、二次函數的圖像和性質是基礎，要求考生要在理解的基礎上熟練掌握這些函數的圖像和性質，準確把握函數概念和性質的本質，會處理分段函數與抽象函數的相關問題，會識別函數圖像的變化。同時，指對運算也是常考查的知識點,考生應加強對公式的理解及應用的訓練.（２)函數性質、零點、圖像等問題是函數專題的重點考察內容，注意函數的就行、單調性的綜合應用,注重數形結合，轉化與化歸思想以及構造新函數的訓練，為突破難點作好準備工作。預計20２４年主要還是考查與函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性有關的內容。一、單選題1．（20２３·北京海淀三模）下列函數中，在區間上是減函數的是(

）A. Ｂ． C。?D。【答案】D【分析】根據基本初等函數的單調性及對數型復合函數的單調性判斷即可.【詳解】對于A:在定義域上單調遞增,故A錯誤；對于B:在定義域上單調遞增，故B錯誤;對于C：定義域為,因為在上單調遞減且值域為,又在定義域上單調遞減,所以在上單調遞增,故C錯誤；對于Ｄ：，函數在上單調遞減,故Ｄ正確;故選：D2.（20２3·天津濱海三模）函數的圖象大致為（

）Ａ．

B．

C.

?Ｄ。

【答案】D【分析】取特值排除即可。【詳解】因為，故A、Ｃ錯誤;又因為,故B錯誤；故選:D.3．（20２3·湖北武漢三模)函數的部分圖象可能為（

）A。

Ｂ．

C．

?D.

【答案】A【分析】根據奇偶性排除D;根據特殊區間上函數值的符號排除BC可得答案．【詳解】的定義域為，關于原點對稱，又因為，所以是奇函數，其圖象關于原點對稱，故D不正確；當時，，則，故B不正確；當時，，故，故C不正確.故選:A４。(202３·貴州遵義三模）函數在上的大致圖象是（

）Ａ。

B.

Ｃ.

?D。

【答案】Ｄ【分析】先確定函數的奇偶性,排除C，代入特殊點的函數值，排除ＡB,得到D正確。【詳解】定義域為R，又，故為奇函數,排除C選項,又,排除B選項，，因為在上單調遞增,在上單調遞減,且關于對稱，又,所以,故，即，排除Ａ選項，故D正確.故選:D5.（2０２3·山東德州三模)函數的圖象大致是(

)Ａ．

B．

Ｃ．

?D．

【答案】D【分析】根據函數為奇函數，可排除A、B選項，再根據指數函數與對數函數的增長趨勢，得到時，,可排除C選項，即可求解．【詳解】由函數，都可其定義域為關于原點對稱,又由，所以函數為奇函數,所以函數的圖象關于原點對稱，可排除A、B選項；當時,;當時，;當時,，根據指數函數與對數函數的增長趨勢,可得時，,可排除C選項。故選:D．6．（2０23·山東淄博三模）若函數是偶函數，則的最小值為（

)Ａ．4 B．２ C。 D．【答案】A【分析】根據為偶函數求出，再利用基本不等式求解．【詳解】由為偶函數可得,即,所以。因為,且，,所以，所以，則，當且僅當，即時，取最小值４.故選:A7。(２０23·山東濰坊三模）已知函數的定義域為，為偶函數，，則（

)Ａ。函數為偶函數 B．C．?Ｄ.【答案】A【分析】由函數的對稱性,周期性求解即可。【詳解】因為為偶函數，所以，所以的圖象關于對稱．所以又因為，所以的圖象關于對稱，所以由得，所以是周期為的函數．由得，所以為偶函數.故選:A.8。（２０23·云南·校聯考三模)設函數在上的導數存在,且，則當時，（

）Ａ．?B。C。?Ｄ.【答案】B【分析】依題意令，求出函數的導函數，即可得到在上單調遞增,即可判斷。【詳解】因為,令，則，所以在上單調遞增,當時，，即,所以且。故選:B９．(2023·江西九江三模）已知定義在R上的函數在上單調遞增，是奇函數,的圖像關于直線對稱，則（

)A．在上單調遞減?B．在上單調遞增Ｃ．在上單調遞減?D。在上單調遞增【答案】C【分析】根據是奇函數，得到的圖象關于點對稱,由圖像關于直線對稱可知為偶函數，結合函數在上單調遞增,得到在上單調遞減，再求出函數的周期性得到答案。【詳解】是奇函數,，即的圖象關于點對稱，又在上單調遞增,在上單調遞增，即在上單調遞增.由，可得，由圖像關于直線對稱可知為偶函數,∴在上單調遞減,，，是周期函數，最小正周期為4,∵,，∴在上的單調性和在上的單調性相同,在上單調遞減。故選：C。10.（20２3·黑龍江哈爾濱三模）已知函數，對任意的,都有，當時,，若,則實數的取值范圍為（

）A．?B．?C． D.【答案】B【分析】令，求得，得到為上的奇函數，根據題意求得，進而得到函數在上為減函數，把不等式，轉化為，即可求解.【詳解】令,則,可得，即,所以為上的奇函數,因為時，，可得,所以在為單調遞減函數,且，所以函數在上為單調遞減函數,由不等式,可得整理得到，即,可得，解得，所以實數的取值范圍為.故選:B。1１．（２023·北京大興三模)已知函數對任意都有，且,當時，.則下列結論正確的是（

）A.函數的圖象關于點對稱B.函數的圖象關于直線對稱C。當時，Ｄ．函數的最小正周期為2【答案】D【分析】根據得到,所以的周期為4，根據得到關于對稱，畫出的圖象，從而數形結合得到AB錯誤；再根據求出時函數解析式；D選項，根據的最小正周期，得到的最小正周期。【詳解】因為，所以,故，所以的周期為４，又,所以，故關于對稱，又時，,故畫出的圖象如下：

Ａ選項，函數的圖象關于點不中心對稱，故A錯誤；B選項，函數的圖象不關于直線對稱，B錯誤；C選項,當時，,則,C錯誤；D選項,由圖象可知的最小正周期為4,又，故的最小正周期為２，Ｄ正確.故選：D1２．（2023·廣東廣州三模）已知可導函數的導函數為,若對任意的，都有,且為奇函數，則不等式的解集為（

）A.?Ｂ． C．?D．【答案】Ｄ【分析】根據構造函數，利用導數判斷其單調性，將不等式化為，利用的單調性求解可得結果．【詳解】設，由題設條件,得，故函數在上單調遞減．由為奇函數，得,得,所以,不等式等價于，即，又函數在上單調遞減，所以,故不等式的解集是．故選:D．1３．（2023·安徽阜陽三模)設函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則一定有(

)Ａ．?B.Ｃ．?D．【答案】C【詳解】由為偶函數,故,即,所以圖像關于對稱；為奇函數,故為奇函數,圖像關于對稱，圖像關于對稱。是周期為的函數。，則可得函數的大致圖像，如圖所示，

則,,，，．故選:Ｃ.1４．(2０2３·山東德州三模）已知函數及其導函數的定義域均為，且為奇函數，,，則(

）Ａ．2０25?Ｂ．20２４?C．１０1３?D.1012【答案】B【詳解】由，令,得,所以.由為奇函數，得,所以，故①,又②，由①和②得，即,所以③,令，得,得；令,得，得。又④,由③—④得，即,所以函數是以8為周期的周期函數,故，所以，所以。故選：B。１5。（2023·重慶·校聯考三模)已知定義在上的函數，，其導函數分別為,，且，,且為奇函數,則下列等式一定成立的是（

）A。?B。C. D．【答案】D【詳解】由得：，，關于中心對稱，則,為奇函數,，左右求導得:,，為偶函數，圖象關于軸對稱，，是周期為的周期函數,，Ｄ正確;，,又，，A錯誤;令，則，,又,,，即，B錯誤；，，設,則，,又為奇函數，，,即，C錯誤.故選：D二、填空題16。（202３·上海嘉定三模）函數,滿足,當,，則.【答案】１【詳解】因為滿足，所以的周期為,．故答案為:1．17．（20２3·陜西榆林三模）若奇函數，則．【答案】6【詳解】依題意為奇函數,，即,可得，即，故，則，故答案為：６18.(202３·廣東茂名三模)已知函數是偶函數，則.【答案】【詳解】因為是偶函數,所以,即所以，所以，，因為上式恒成立，所以,得，故答案為：1９．（202３·河南·襄城三模）已知函數是上的奇函數,則實數。【答案】【詳解】因為函數是上的奇函數,則，即，所以，,所以，，所以，。故答案為:.20．（２０23·廣東東莞三模)已知定義在上的函數具備下列性質，①是偶函數，②在上單調遞增，③對任意非零實數、都有，寫出符合條件的函數的一個解析式(寫一個即可)．【答案】(答案不唯一）【詳解】函數的定義域為,對任意的,,即函數為偶函數，滿足①；當時，，則函數在上為增函數，滿足②；對任意的非零實數、,,滿足③．故滿足條件的一個函數解析式為.故答案為：（答案不唯一)。２1.(2０2３·河南安陽三模）已知函數的圖象關于坐標原點對稱，則.【答案】【詳解】依題意函數是一個奇函數,又,所以,所以定義域為,因為的圖象關于坐標原點對稱，所以，解得.又，所以，所以，即,所以，所以。故答案為:。22．（2０23·四川南充三模)已知函數,有以下說法：①的值域為;②是周期函數；③在上單調遞減；④對任意的,方程在區間上有無窮多個解.其中所有正確的序號為．【答案】①③④【詳解】對于①，設，由正弦函數的性質可知，的值域為，故①正確;對于②,假設的周期為，于是，顯然處有定義,故，但在處無定義，于是沒有周期，故②錯誤;對于③,設，由于,故，根據正弦函數的單調性和復合函數的單調性，，關于在上遞增，,關于在，故關于在上遞減，故③正確；對于④，設,由得,則，由①，，根據正弦函數的性質,，在有無數多個解，也就是無數多個滿足該方程，而，也就是有無數多個可以使得成立，故④正確。故答案為：①③④23．(20２3·山東聊城三模)已知函數及其導函數的定義域均為，若是偶函數，恰有四個零點，則這四個零點的和為．【答案】４【詳解】將函數向左平移1個單位，所以，因為是偶函數,由偶函數的導數為奇函數可知，是奇函數，且奇函數與奇函數的乘積為偶函數，則為偶函數,所以為偶函數，又因為函數恰有四個零點，即函數恰有四個零點，且這四個零點一定是兩組關于軸對稱，其四個零點之和為0,而是由向左平移了1個單位，所以的四個零點之和為4．故答案為:424.(２023·山東煙臺三模)已知定義在上的偶函數,滿足,若,則的值為。【答案】1【詳解】因為，所以,所以的周期為4，所以，,，即，若，則,即，可得，所以。故答案為：1．２5.(202３·上海嘉定三模)設函數，的導函數是，，當時，，那么關于的不等式的解是。【答案】【詳解】構造，則,其定義域為,因為，所以是奇函數,又因為當時,,所以結合是奇函數可知在上單調遞增，原不等式可轉化為，即，所以,解得，故答案為：26。(202３·江蘇鎮江三模）寫出一個同時具有下列性質①②③，且定義域為實數集的函數。①最小正周期為2;②；③無零點.【答案】（答案不唯一）【詳解】的定義域為，最小正周期為，因為，所以，所以無零點，綜上,符合題意故答案為:.２７。（20２3·遼寧·校聯考三模)已知函數，若，且,則實數的取值范圍是。【答案】【詳解】因為函數的定義域為,且,所以為偶函數,設,而為奇函數，奇函數偶函數奇函數，所以函數為奇函數,關于原點對稱,設，則,因為，所以即為上的增函數,故在上單調遞增,因為，所以1,解得，實數的取值范圍為.故答案為：28．（2023·山東菏澤三模）已知奇函數是定義在上的可導函數，其導函數為,當時,有，則的解集為。【答案】【詳解】當時,因為,所以，所以,所以在上為增函數，因為是定義在上的奇函數，所以,所以，且的定義域為,關于原點對稱,所以也是定義在上的奇函數，且，又因為在上為增函數，所以在上為增函數，由，得，所以，因為在上為增函數，所以,即。所以的解集為．故答案為:２９.(2023·山東青島三模）設為定義在整數集上的函數，，，，對任意的整數均有．則．【答案】【詳解】令,則，；令，，則，又，；令，則，關于直線對稱；令，則，不恒成立，恒成立，為奇函數,，，是周期為的周期函數，．故答案為：。30。(2０23·上海浦東三模）已知函數是上的奇函數,當時，,若關于的方程有且僅有兩個不相等的實數解,則實數的取值范圍是.【答案】【詳解】由題設,若,則，所以,值域為Ｒ,函數圖象如下:

當時,只有一個與之對應;當時，有兩個對應自變量，記為,則；當時,有三個對應自變量且；當時，有兩個對應自變量,記為，則；當時,有一個與之對應;令,則，要使有且僅有兩個不相等的實數解,若有三個解,則,此時有7個解，不滿足；若有兩個解且,此時和各有一個解，結合圖象知,不存在這樣的,故不存在對應的m;若有一個解，則有兩個解，此時，所以對應的，綜上，。故答案為：.1。函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數的定義域內任意一個