規劃問題的教學例題?一、引言規劃問題在數學教學中占據著重要地位，它涉及到如何合理安排資源、制定最優策略以達成特定目標。通過解決規劃問題，學生能夠培養邏輯思維、分析問題和解決問題的能力，提升數學應用意識。本文將通過一系列具體的教學例題，系統地闡述規劃問題的常見類型及解題方法，幫助學生更好地掌握這一重要知識領域。

二、線性規劃問題

（一）例題1某工廠生產甲、乙兩種產品，已知生產一件甲產品需要A原料4噸、B原料2噸；生產一件乙產品需要A原料3噸、B原料3噸。現有A原料120噸、B原料90噸，甲產品每件利潤為7萬元，乙產品每件利潤為6萬元。問如何安排生產，可使利潤最大？

解題步驟1.設未知數：設生產甲產品\(x\)件，生產乙產品\(y\)件。2.列出約束條件：\(4x+3y\leq120\)（A原料限制）\(2x+3y\leq90\)（B原料限制）\(x\geq0\)，\(y\geq0\)（產品數量非負）3.確定目標函數：利潤\(z=7x+6y\)，我們要在滿足約束條件下使\(z\)最大。4.求解：先畫出約束條件所表示的可行域。對于\(4x+3y=120\)，令\(x=0\)，則\(y=40\)；令\(y=0\)，則\(x=30\)，可得直線\(4x+3y=120\)與坐標軸的交點\((0,40)\)和\((30,0)\)，通過兩點確定直線并畫出直線及直線下方區域（因為是\(4x+3y\leq120\)）。對于\(2x+3y=90\)，令\(x=0\)，則\(y=30\)；令\(y=0\)，則\(x=45\)，可得直線\(2x+3y=90\)與坐標軸的交點\((0,30)\)和\((45,0)\)，畫出直線及直線下方區域（因為是\(2x+3y\leq90\)）。再結合\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，可行域是一個四邊形區域（包括邊界）。然后求目標函數\(z=7x+6y\)在可行域內的最大值。把目標函數變形為\(y=\frac{7}{6}x+\frac{z}{6}\)，\(\frac{z}{6}\)是直線\(y=\frac{7}{6}x+\frac{z}{6}\)在\(y\)軸上的截距，要使\(z\)最大，就是要使截距最大。通過平移直線\(y=\frac{7}{6}x\)，當直線經過可行域內的點時，找到在\(y\)軸上截距最大的情況。聯立\(\begin{cases}4x+3y=120\\2x+3y=90\end{cases}\)，兩式相減得\(2x=30\)，解得\(x=15\)，代入\(2x+3y=90\)得\(30+3y=90\)，解得\(y=20\)。即交點坐標為\((15,20)\)，把\((15,20)\)代入目標函數\(z=7x+6y\)得\(z=7×15+6×20=105+120=225\)（萬元）。

所以，生產甲產品15件，乙產品20件時，利潤最大為225萬元。

（二）例題2某運輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車與4輛載重量為10噸的B型卡車，有9名駕駛員。在建筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬運360噸瀝青的任務。已知每輛卡車每天往返的次數為A型車8次，B型車6次；每輛卡車每天的成本費A型車160元，B型車252元。問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花的成本費最低？

解題步驟1.設未知數：設每天派出A型車\(x\)輛，B型車\(y\)輛。2.列出約束條件：\(x\leq7\)（A型車數量限制）\(y\leq4\)（B型車數量限制）\(x+y\leq9\)（駕駛員數量限制）\(6×8x+10×6y\geq360\)，化簡得\(4x+5y\geq30\)（搬運任務限制）\(x\geq0\)，\(y\geq0\)（車輛數量非負）3.確定目標函數：成本\(z=160x+252y\)，要使\(z\)最小。4.求解：畫出約束條件所表示的可行域。\(x\leq7\)是直線\(x=7\)及其左側區域。\(y\leq4\)是直線\(y=4\)及其下方區域。\(x+y\leq9\)是直線\(x+y=9\)及其下方區域。\(4x+5y\geq30\)是直線\(4x+5y=30\)及其上方區域。可行域是一個多邊形區域（包括邊界）。把目標函數變形為\(y=\frac{160}{252}x+\frac{z}{252}\)，通過平移直線求在可行域內截距最小的情況。分別將可行域的頂點坐標代入目標函數。聯立\(\begin{cases}x+y=9\\4x+5y=30\end{cases}\)，由\(x+y=9\)得\(x=9y\)，代入\(4x+5y=30\)得\(4(9y)+5y=30\)，\(364y+5y=30\)，\(y=6\)（舍去）。再通過解其他交點坐標并代入目標函數比較。當\(x=5\)，\(y=2\)時，\(z=160×5+252×2=800+504=1304\)（元）。

所以，每天派出A型車5輛，B型車2輛時，公司所花成本費最低為1304元。

三、任務分配規劃問題

（一）例題1有四項任務\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)，要分配給甲、乙、丙、丁四個人去完成。每個人完成各項任務所需時間如下表所示：

|任務\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|10|5|9|18||B|13|14|16|11||C|3|2|4|4||D|18|6|10|9|

問如何分配任務，可使總完成時間最短？

解題步驟1.匈牙利算法：第一步，找出每行的最小值，然后從每行中減去這個最小值。第一行最小值是5，得到：|任務\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|5|0|4|13||B|2|3|5|0||C|1|0|2|2||D|12|0|4|3|第二步，找出每列的最小值，然后從每列中減去這個最小值。|任務\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|4|0|2|11||B|1|3|3|0||C|0|0|0|0||D|11|0|2|1|第三步，用最少的直線覆蓋所有的0。可以發現用三條直線（第一行、第二行、第三列）可以覆蓋所有0。第四步，在沒有被直線覆蓋的數中找出最小值1，從沒有被直線覆蓋的數中減去1，在直線相交的數上加1。得到：|任務\(\downarrow\)人員\(\rightarrow\)|甲|乙|丙|丁||||||||A|3|0|2|10||B|0|3|3|0||C|1|1|1|0||D|10|0|2|0|第五步，再用最少的直線覆蓋所有的0，發現此時需要四條直線，說明已得到最優分配。最優分配方案為：甲做\(B\)任務，乙做\(A\)任務，丙做\(C\)任務，丁做\(D\)任務。總完成時間為\(13+5+4+9=31\)。

（二）例題2某車間有甲、乙、丙三臺機床，可用于加工三種零件\(A\)、\(B\)、\(C\)。已知這三臺機床加工這三種零件所需的工時如下表所示：

|機床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|3|5|9||乙|4|2|8||丙|8|1|2|

每個零件都需要加工，問如何分配機床加工任務，可使總的加工工時最少？

解題步驟1.同樣采用匈牙利算法：第一步，找出每行最小值并減去。第一行最小值3，得到：|機床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|0|2|6||乙|2|0|6||丙|7|0|1|第二步，找出每列最小值并減去。|機床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|0|2|5||乙|2|0|5||丙|7|0|0|第三步，用最少直線覆蓋所有0。可以用三條直線覆蓋所有0。第四步，在未被覆蓋數中找最小值2，未覆蓋數減2，直線相交數加2。得到：|機床\(\downarrow\)零件\(\rightarrow\)|A|B|C|||||||甲|0|0|3||乙|0|0|3||丙|9|0|2|第五步，再用最少直線覆蓋所有0，此時需要四條直線，已得最優分配。最優分配方案：甲加工\(A\)零件，乙加工\(B\)零件，丙加工\(C\)零件。總加工工時為\(3+2+2=7\)。

四、資源分配規劃問題

（一）例題1某公司有資金100萬元，準備投資甲、乙、丙三個項目。已知投資甲項目可獲利20%，投資乙項目可獲利15%，投資丙項目可獲利25%。但投資甲項目需占用資金30萬元及10個工作日的時間；投資乙項目需占用資金20萬元及20個工作日的時間；投資丙項目需占用資金50萬元及30個工作日的時間。該公司有資金100萬元，且可提供60個工作日的時間。問如何分配投資，可使公司獲得最大利潤？

解題步驟1.設未知數：設投資甲項目\(x\)萬元，投資乙項目\(y\)萬元，投資丙項目\(z\)萬元。2.列出約束條件：\(x+y+z\leq100\)（資金限制）\(\frac{10}{30}x+\frac{20}{20}y+\frac{30}{50}z\leq60\)，化簡得\(\frac{1}{3}x+y+\frac{3}{5}z\leq60\)（工作日時間限制）\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(z\geq0\)（投資金額非負）3.確定目標函數：利潤\(z=0.2x+0.15y+0.25z\)，要使\(z\)最大。4.求解：利用線性規劃的方法求解。先將\(\frac{1}{3}x+y+\frac{3}{5}z\leq60\)兩邊同乘15化為\(5x+15y+9z\leq900\)。聯立\(\begin{cases}x+y+z=100\\5x+15y+9z=900\end{cases}\)，由\(x+y+z=100\)得\(x=100yz\)，代入\(5x+15y+9z=900\)得：\(5(100yz)+15y+9z=900\)，\(5005y5z+15y+9z=900\)，\(10y+4z=400\)，\(5y+2z=200\)，\(y=40\frac{2}{5}z\)。代入目標函數\(z=0.2(100yz)+0.15y+0.25z\)，