工程數學測試題及答案3?一、單選題（每題3分，共30分）

1.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(AB\)等于（）A.\(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}22&19\\50&43\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}19&43\\22&50\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}43&19\\50&22\end{pmatrix}\)

答案：A

解析：根據矩陣乘法規則，\(AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)。

2.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，\(\alpha_4=(1,1,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：容易看出\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)線性無關，且\(\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)，所以向量組的極大線性無關組為\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)，秩為3。

3.已知線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+3x_2+ax_3=3\\x_1+ax_2+3x_3=2\end{cases}\)無解，則\(a\)的值為（）A.1B.2C.3D.4

答案：B

解析：對增廣矩陣進行初等行變換，\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&3&a&3\\1&a&3&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a2&1\\0&a1&2&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a2&1\\0&0&(a2)(3a)&3a\end{pmatrix}\)。當\((a2)(3a)=0\)且\(3a\neq0\)時方程組無解，解得\(a=2\)。

4.設隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(1,4)\)，則\(P\{1<X\leq3\}=\)（已知\(\varPhi(1)=0.8413\)）（）A.0.6826B.0.8413C.0.9544D.0.9974

答案：A

解析：\(P\{1<X\leq3\}=P\{\frac{11}{2}<\frac{X1}{2}\leq\frac{31}{2}\}=P\{1<\frac{X1}{2}\leq1\}=\varPhi(1)\varPhi(1)\)，由于正態分布的對稱性\(\varPhi(1)=1\varPhi(1)\)，所以\(P\{1<X\leq3\}=2\varPhi(1)1=2\times0.84131=0.6826\)。

5.設\(A\)，\(B\)為兩個事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，則\(P(A\overline{B})=\)（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

答案：C

解析：根據概率的基本公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)\)，可得\(P(AB)=0.4+0.30.6=0.1\)，那么\(P(A\overline{B})=P(A)P(AB)=0.40.1=0.3\)。

6.已知函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導，且\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0h)}{h}=\)（）A.2B.4C.0D.4

答案：B

解析：\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0h)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)f(x_0)}{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)f(x_0h)}{h}=2f^\prime(x_0)=4\)。

7.設函數\(f(x)=x^3+3x^2+1\)，則\(f(x)\)的單調遞減區間是（）A.\((\infty,2)\)B.\((2,+\infty)\)C.\((\infty,0)\)D.\((0,+\infty)\)

答案：A

解析：對\(f(x)\)求導得\(f^\prime(x)=3x^2+6x\)，令\(f^\prime(x)<0\)，即\(3x(x+2)<0\)，解得\(2<x<0\)，所以\(f(x)\)的單調遞減區間是\((\infty,2)\)。

8.定積分\(\int_{0}^{1}e^xdx=\)（）A.\(e1\)B.\(1e\)C.\(e\)D.\(1\)

答案：A

解析：根據定積分的計算法則\(\int_{0}^{1}e^xdx=e^x\big|_0^1=e1\)。

9.設冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，則冪級數\(\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n1}\)的收斂半徑為（）A.\(R\)B.\(R^2\)C.\(\frac{R}{2}\)D.\(\frac{1}{R}\)

答案：A

解析：設冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，對于冪級數\(\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n1}\)，令\(t=x\)，則\(\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nt^{n1}\)，其收斂半徑與\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\)相同，即為\(R\)。

10.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(3,2,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)（）A.10B.12C.14D.16

答案：C

解析：根據向量點積的定義，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times2+3\times1=14\)。

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為________。

答案：1，3

解析：矩陣\(A\)的特征方程為\(\vert\lambdaEA\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&1\\1&\lambda2\end{vmatrix}=(\lambda2)^21=0\)，即\(\lambda^24\lambda+3=0\)，解得\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=3\)。

2.已知向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)線性相關，則\(t=\)________。

答案：5

解析：向量組線性相關，則對應的行列式為\(0\)，即\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=0\)，計算可得\(t5=0\)，所以\(t=5\)。

3.設隨機變量\(X\)的概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(P\{X>0.5\}=\)________。

答案：0.75

解析：\(P\{X>0.5\}=\int_{0.5}^{1}2xdx=x^2\big|_{0.5}^1=10.25=0.75\)。

4.函數\(y=x^22x+3\)在區間\([0,3]\)上的最大值為________。

答案：6

解析：對\(y=x^22x+3\)求導得\(y^\prime=2x2\)，令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)。分別計算\(y(0)=3\)，\(y(1)=2\)，\(y(3)=6\)，所以最大值為\(6\)。

5.已知\(z=e^{xy}\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)________。

答案：\(ye^{xy}\)

解析：根據復合函數求導法則，\(\frac{\partialz}{\partialx}=ye^{xy}\)。

三、計算題（每題10分，共40分）

1.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)

解：\[\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}&=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\&=1\times(4548)2\times(3642)+3\times(3235)\\&=3+129\\&=0\end{align*}\]

2.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)的秩

解：對矩陣\(A\)進行初等行變換\[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]所以矩陣\(A\)的秩\(r(A)=1\)。

3.求線性方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+4x_2+5x_3=2\\3x_1+6x_2+8x_3=3\end{cases}\)的通解

解：對增廣矩陣進行初等行變換\[\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&4&5&2\\3&6&8&3\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]可得同解方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2=1\\x_3=0\end{cases}\)，令\(x_2=t\)（\(t\)為任意常數），則\(x_1=12t\)，所以通解為\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(t\inR\)。

4.設隨機變量\(X\)的概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}Ax^2,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求（1）常數\(A\)；（2）\(P\{0.2<X<0.8\}\)

解：（1）由概率密度函數的性質\(\int_{\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，可得\(\int_{0}^{1}Ax^2dx=1\)，即\(\frac{A}{3}x^3\big|_0^1=1\)，解得\(A=3\)。

（2）\(P\