專題1.1三角形的初步認識章末重難點題型匯編【舉一反三】

【浙教版】

【考點1三角形邊角關系的應用】

【方法點撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關鍵.

【例1】（2019春?福州期末）用一根長為10a〃的繩子圍成一個三角形，若所圍成的三角形中一邊的長為

2m,且另外兩邊長的值均為整數，則這樣的圍法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【思路點撥】根據三角形的兩邊之和大于第三邊，根據周長是10厘米，可知最長的邊要小于5厘米，進

而得出三條邊的情況.

【答案】解：???三角形中一邊的長為25?，且另外兩邊長的值均為整數，

.二三條邊分別是2。〃、4。〃、4cm.

故選:4.

【方法總結】本題主要考查了學生根據三角形三條邊之間的關系解決問題的能力.在運用三角形三邊關

系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三

條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形.

【變式】（2019秋?銀海區期末）a,b,c為《ABC的三邊，^i\a+b+c\-\a-b-c\-\a-b+c\-\a+b-c|,

結果是（）

A.0B.2a+2b+2cC.4aD.2b-2c

【思路點撥】首先根據：三角形兩邊之和大于?第三邊，去掉絕對值號，然后根據整式的加減法的運算方

法，求出結果是多少即可.

【答案】解：\a+b+c\-\a-b-c\~\a-b+c\-\a+b-c\

—（a+b+c）-（b+c-a）-（a-b+c）-（a+b-c）

=a+b+c-b-c+a-a+b-c-a-b+c

=0

故選：A.

【方法總結】此題主要考查了三角形的三邊的關系，以及整式加減法的運算方法，要熟練掌握，解答此

題的關鍵是要明確：三角形兩邊之和大于第三邊.

【變式1-2］（2019春?奉淮區期末）已知一個三角形中兩條邊的長分別是〃、從且。＞從那么這個三角形

的周長L的取值范圍是（）

A.3h<L<3aB.2a<L<2（a+b）

C.a+2h<L<2a+hD.3a-b<L<3a+b

【思路點撥】先根據三角形的三邊關系求得第三邊的取值范圍，再確定這個三角形的周長/的取值范圍

即可.

【答案】解：設第三邊長X.

根據三角形的三邊關系，得VxVa+江

???這個三角形的周長L的取值范圍是a-b+a+b<L<a+b+a+b,即2aVLV2a+2反

故選：B.

【方法總結】考查三角形的三邊關系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊

之差小于第三邊.

【變式1-31（2019?孝感模擬）如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框（形狀不限），不計

螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7,且相鄰兩木條的夾角均可調整.若調整木條的夾

角時不破壞此木框，則任意兩個螺絲間的距離的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【思路點撥】兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據三條木棍的長來判斷有幾

種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可.

【答案】解:己知4條木棍的四邊長為3、4、5、7：

①選3+4、5、7作為三角形，則三邊長為7、5、7,能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為7；

②選5+4、7、3作為三角形，則三邊長為9、7、3,能構成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為9；

③選5+7、3、4作為三角形，則三邊長為12、4、3：4+3V12,不能構成三角形，此種情況不成立；

④選7+3、5、4作為三角形，則三邊長為10、5、4；而5+4V10,不能構成三角形，此種情況不成立；

綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為9.

故選；

【方法總結】本題考查的是三角形的三邊關系定理，能夠正價的判斷出調整角度后三角形木框的組合方

法是解答的關鍵.

【考點2三角形內角和定理的應用】

【方法點撥】三角形內角和等于180。.

【例2】（2019春?石景山區期末）如圖，平分N48C.ZABD=ZADB.

（1）求證：AD//BC；

（2）若BDLCD,ZBAD=a,求NDC8的度數（用含a的代數式表示）.

【思路點撥】（1）想辦法證明乙4。3=/。8。即可.

（2）利用平行線的性質，三隹形的內角和定理即可解決問題.

【答案】（I）證明：???8。平分N/1BC,

???NABD=NCBD

,/NABD=NADB,

???NADB=/DBC,

：.AD//BC.

（2）解：*：AD//BC,且NZMQ=a,

N44C=180。-a,

???ZD^C=-lz；4BC=90o-L,

22

：.NBDC=90°

/.ZC=90°-（90。-L）

2

=L.

2

【方法總結】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考常考題型.

【變式2-1］（2018秋?包河區期末）如圖，△"C中，N4CBA90。，4E平分NB4C,AO18C交的延

長線于點D.

（1）若N8=30。，/AC8=100。，求NE4D的度數；

（2）若NB=Q,/AC8=p,試用含a、p的式子表示NE4D,則/￡4。=.（直接寫出結論即

可）

【思路點撥】（1）根據垂直的定義得到N￡>=90。，根據鄰補角的定義得到NACO=I80。100。=80。，

根據三角形的內角和得到NH4C=50。，根據角平分線的定義得到NCAE=LN84C=25。，于是得到結論；

2

（2）根據垂直的定義得到NQ=90。，得到NACQ=180。-仇求得N8AC=90。-a-（p-90°）=180°

-a-p,根據角平分線的定義得到NC4E=L/￡MC=90。-!（a+p）,根據角的和差即可得到結論.

22

【答案】解：（1）VAD±fiC,

???/。=90。,

（2）分兩種情況分別進行解答，根據每一種情況畫出相應的圖形，依據圖形中，角之間的相互關系，轉

化到一個三角形中，利用三角形的內角和定理，設未知數，列方程求解即可.

【答案】解：（1）平分/A/3C,

；?NABD=NDBC,

乂?；NBDE=NABD,

:?/BDE=/DBC,

J.ED//BC；

（2）;8N平分NA8M,

/.ZABN=NNBM,

①當點M在線段4c上時，如組1所示：

VDE/7BC,

：?4ENB=/NBC,

NMBC=L/NBC,

2

：.NNBM=NMBC=L/NBC，

2

設NMBC=x。，則NEBN=NNBM=x。,NENB=NNBC=2x。,

在AENB中，由內角和定理得：1+2￥+105。=180。，

解得：x=25,

???NENB=2A=50。，

②當點M在AC的延長線上時，如圖2所示：

YDEJ/BC,

:./ENB=NNBC,

*:NMBC=L/NBC,

2

：.2NBM=3/MBC,

設NMBC=x。，則NEBN=NNBM=3x。,NENB=NNBC=2x。,

在AEMB中，由內角和定理得：3x+2v+105°=l80°,

解得：x=15,

：.ZENB=2x=30°,

答：NEA歸的度數為50。或30。.

【方法總結】綜合考查角平分線的定義、平行線的性質、三角形的內角和定理等知識，分類討論，分別

畫出相應的圖形，利用等量代換和圖形中角之間的關系布列方程是解決問題常用的方法.

【變式2-3](2018秋?豐城市期末)已知將一塊直角三角板。七尸放置在△A3C上，使得該三角板的兩條直

角邊。與。『恰好分別經過點8、C.

(1)/DBC+NDCB=度；

(2)過點A作直線直線MN〃。區若NAC7)=20。，試求NC4M的大小.

【思路點撥】(I)在aOBC中，根據三角形內角和定理得NDBC+NOCB+ND=180。，然后把/。=90。

代入計算即可；

(2)在RtZiABC中，根據三角形內角和定理得NA8C+N4C8+/A=180。，即，/.ZABD-ZBAC=90°

-NACQ=70。，整體代入即可得出結論.

【答案】解：(1)在ZiQAC中，VZD13C+ZDCB+ZD=\^°,

而N力=90。，

.??NDBC+NDCB=90°；

故答案為90；

(2)在“8。中，

???ZABC+ZACB+ZA=180°,

即NABD+ZDBC+ZDCB+ZACD+Z13AC=180。，

而NO3C+NQC8=90。，

二ZABD+ZACD=900-ZBAC,

???ZABD+^BAC=900-NACD=70。.

又,：MN〃DE,

???ZABD=/BAN.

而ZBAN+N84C+NCAM=180。，

.??N43Q+N/MC+NC4M=180°,

ZC/\A/=180°(ZADDiZ/3AC)=110°.

【方法總結】此題主要考查了三角形內角和定理，平行線的性質，解本題的關鍵是求出NABO+NBAC=

70°.

【考點3三角形外角性質的應用】

【方法點撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

【例3】(2019春?寶應縣期中)如圖,在RSA5C中,NAC8=90。，ZA=34°,ZkA3c的外角NC3Q的平

分線BE文AC的延長線于點E.

(1)求NCB￡的度數；

(2)過點。作。￡〃BE,交力C的延長線于點凡求的度數.

【思路點撥】(1)根據三角形的外角的性質求出NC8。，根據角平分線的定義計算，得到答案；

(2)根據平行線的性質解答即可.

【答案】解：(1)???N4CB=90。，NA=34。，

.\ZCTZ)=124°,

〈BE是NCBO的平分線，

，NCBE=L/CBD=62。；

2

(2)VZECB=90°,ZCBF=62°,

???NCEB=28。，

,:DF〃BE,

.??/F=NCEH=28。.

【方法總結】本題考查的是三角形的外角的性質、平行線的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相

鄰的兩個內角的和是解題的關健.

【變式3-1](2018春?岱岳區期中)如圖，“BC中，N4=3(T,NB=62。，CE平分NACB,CO_LAB于

D,。/_LCE于尸，求/ACE和/CD尸的度數.

【思路點撥】根據三角形內角和定理求出/AC8,根據角平分線的定義求出/ACE：根據垂直的定義、

三角形內角和定理求出NCQP.

【答案】解：???NA=30。，N8=62。，

:.Z4CB=I8O0-30。-62。=88°；

,?，CE平分NACB,

；?ZACE=NBCE=LN4C8=44。，

2

???CQ_L4B,

/.ZCD5=90°,

AZBCD=90°-N8=28。,

???ZECD=ZECB-ZBCD=16°,

'：DFA.CE.

：.NCDF=900-NDCF=14。.

【方法總結】本題考杳的是三角形內角和定理、三角形的外角的性質以及角平分線的定義，掌握三角形

內角和等于180。是解題的關鍵.

【變式3-2】（2018春?商水縣期末）如圖，ZBAD=ZCBE=ZACF,NFDE=64。,ZDEF=^3°,求△ABC

各內角的度數.

【思路點撥】根據三角形外角性質得到//。￡：=/84。+/46。，而NBAD=NCBE,則NFDE=NB/1D+

ZCBE=ZABC=64Q；同理可得N/）EQ=NACB=43。，然后根據三角形內角定理計算/BAC=180。-N

ABC-NACB即可.ZBAD=^CBE=ZACF,NFDE=48。,NDEF=64。,

【答案】解：VZFDE=ZBAD+ZABD,/BAD=/CBE

???ZFDE=ZBAD+ZCBE=ZABC,

，NA3C=64。；

同理NOEF=NFC6+NC3E=N^C3+NAC~=ZACB,

：.4C8=43。；

.??NBAC=180。-ZABC-Z>4CB=180°-64°-43°=73°,

???△ABC各內角的度數分別為64。、43。、73°.

【方法總結】本題考查了三角形的內角和定理：三角形的內角和為180。.也考查了三角形外角的性質，

熟記：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和是解題的關鍵.

【變式3-3］（2019春?南開區校級月考）如圖，在△A3C中，4D是高，ZDAC=10°,AE是NZMC外角的

平分線，4F平分NA4c交AE于點?，若N48C=46。，求/AFB的度數.

【思路點撥】根據直角三角形的性質求出NRID的度數，得到NMC的度數，根據鄰補角的性質求出N

CAM的度數，根據角平分線的定義求出NAME的度數，根據三角形的外角的性質計算即可.

【答案】解：TAZ）是高，

???NAO8=90。，

???NBAD=90°?NA8C=44°,又/ZMC=10。，

AZBAC=54°,

AZA/AC=126°,

??FE是NR4C外角的平分線，

:.NMAE=L/MAC=63。，

2

??,"平分N/WC,

/.N/18/=工/48。=23。，

2

AZAFB=ZMAE-/=40°.

【方法總結】本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的

和是解題的關鍵.

【考點4命題與定理】

【例4】（2019春?泰山區期中）下列語句中，是命題的為（）

A.在線段4B上任取一點CB.對頂角相等

C.過點O作直線。〃0D.銳角都相等嗎？

【分析】根據命題的定義對各個選項進行分析從而得到答案.

【答案】解：A、不能判斷其真假，不構成命題，故本選項錯誤：

B、是，因為能夠判斷真假，故本選項正確：

C、不能判斷其真假，不構成命題，故本選項錯誤；

D、不能判定真假且不是陳述句，不構成命題，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了學生對命題與定理的理解及掌握情況，比較簡單.

【變式4-1]（2019春?玉田縣期中）下列命題中，是假命題的是（）

A.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補

B.相等的兩個角是對頂角

C.兩點確定一條直線

D,平行于同一條直線的兩條直線平行

【分析】利用平行線的性質、對頂角的定義、確定直線的方法及平行公理分別判斷后即可確定正確的選

項.

【答案】解：4、兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內隹才互補，故正確，是真命題，不符合題意；

B、相等的角不一定是對頂角，故錯誤，是假命題，符合題意：

C、兩點確定一條直線，正確，是真命題，不符合題意；

。、平行于同一條直線的兩條直線平行，正確，是真命題，不符介題意，

故選:B.

【點睛】本題考查命題和定理，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷題目中的命題的真假，對于假命

題能舉出反例或者說明理由.

【變式4-2】（2019春?岳池縣期中）給出下列5個命題：①相等的角是對頂角；②無理數都是無限小數；

③在同一平面內，若。_1如blc,則。〃力；④同旁內角互補：⑤若一個數的立方根是這個數本身，則這

個數是0或1,其中是真命題的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據對頂角、無理數、平行線的判定和性質以及立方根進行判斷即可.

【答案】解：①相等的角不一定是對頂角，是假命題；

②無理數都是無限小數，是真命題；

③在同一平面內，若a_Lc,b_Lc,則“〃/?,是真命題；

④兩直線平行，同旁內角互補，是假命題；

⑤若一個數的立方根是這個數本身，則這個數是。或1或是假命題；

故選:B.

【點睛】此題主要考杳了命題與定理，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式4?3】（2019春?寧都縣期中）下列命題中是假命題的是（）

A.垂線段最短

B.相等的角是對頂角

C.同旁內角互補，兩直線平行

D.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【分析】利用垂線段性質、對頂角的定義、平行線的判定等知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【答案】解：A、垂線段最短，正確，是真命題；

B、相等的角不一定是對頂角，故錯誤，是假命題；

同旁內角互補，兩直線平行，正確，是真命題：

D、在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，是真命題，

故選:B.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解垂線段性質、對頂角的定義、平行線的判定

等知識，難度不大.

【考點5利用全等三角形的性質求角】

【方法點撥】全等三角形的性質：（I）全等三角形的對應邊相等、對應角相等；＜2）全等二角形的周長

相等、面積相等；（3）全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。

【例5】（2019春?臨安區期中）如圖，MCB四NACB=70。，NAC方=100。，則N8CA的度數為

（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

【分析】根據全等三角形的性質和角的和差即可得到結論.

【答案】解：V

N4C9=N4CB=70。，

???NAC8'=100°,

NBCB，=ZACir-N4C8=30。，

???NBCA'=N4C8'-NBCB』40。,

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵.

【變式5-1]（2018秋?紹興期末）如圖，ZiABC也△EQC,8C_LCO,點A,D,E在同一條直線上，ZACB

=20°,則/AOC的度數是（）

A.55°B.60°C.65°D,70°

【分析】根據全等三角形的性質和三角形內角和解答即可.

【答案】解:V,AABgAEDC.

：.ZDCE=Z/4C?=20°,/BCD=NACE=90。,AC=CE,

:.ZACD=90°-20°=70°,

???點4,D,E在同一條直線上，

??.NAOC+NEOC=180°,

,?NEQC+NE+NQCE=180。，

:.ZADC=ZE+20°,

VZ4C￡=90°,AC=CE

???ND4C+NE=90。，NE=ND4c=45。

在△4DC中，ZADC+ZDAC+^DCA=180°,

即45°+70°+ZADC=180°,

解得：NAOC=65。，

故選：C.

【點睛】此題考查全等二角形的性質，關鍵是根據全等三角形的性質和三角形內角和解答.

【變式5-2]（2018秋?廈門期末）如圖，點凡C在BE上，MBCgADEF,ABDE,AC和。戶是對應

邊，AC,D尸交于點M,則NAM尸等于（）

A.2/8B.2ZACBC./A+NOD.NB+NACB

【分析】根據全等三角形的性質和外角的性質即可得到結論.

【答案】解：■:叢ABC@4DEF,

/ACB=/DFE,

*.*ZAMF=ZACB+ZDFE,

???ZAMF=2ZACB,

故選:B.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，三角形的外角的性質，熟練正確全等三角形的性質是解題的關

a.

【變式5-3]（2018秋?桐梓縣校級期中）如圖，△ABCgZSAEC,ZACB=90°,NB=50。，點方在線段AB

上，AC,Ab交于點O,則NCO4的度數是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【分析】根據全等三角形的性質得到NC夕A=NB=50。，CB=CB;根據等腰三角形的性質，三角形內

角和定理求出N3C9=80。，根據三角形的外角的性質計算即可.

【答案】解:V

二NCB'A'=ZB=50°,CB=CB',

???NBB'C=NE=50。，

???N8CB'=80°,

/.NAC8'=10°,

/.NCO/V=NC8W+NAGT=60。，

故選:B.

【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，三角形的外角的性質，掌握全等三角形的對應邊相等，對應

角相等是解題的關鍵.

【考點6全等三角形的判定條件】

【方法點撥】尋找并證明全等三角形還缺少的條件，其基本思路是：

（1）有兩邊對應相等，找夾角對應相等，或第三邊對應相等.前者利用SAS判定，后者利用SSS判定.

（2）有兩角對應相等，找夾邊對應相等，或任一等角的對邊對應相等.前者利用ASA判定，后者利用AAS

判定.

（3）有一邊和該邊的對角對應相等，找另一角對應相等.利用AAS判定.

（4）有一邊和該邊的鄰角對應相等，找夾等角的另一邊對應相等，或另一角對應相等.前者利用SAS判定，

后者利用AAS判定.

【例6】（2019春?沙坪壩區校級期中）如圖，在AABC和中，已知N1=N2,AC=AD,添加一個條

件后，仍然不能證明△/1灰儂AAEQ,這個條件是（）

A.AB=AEB.BC=EDC.ZC=ZDD.ZB=ZE

【分析】由/1=/2結合等式的性質可得/C4B=ND4E,再利用全等三角形的判定定理分別進行分析

即可.

【答案】解：???N1=N2,

???Nl+NE4B=/2+NE4B,

即/CA8=ND4E,

,4、加上條件AB=AE可利用5As定理證明△ABCg/XAEQ；

B、加上BC=E。不能證明△ABCgAAE。；

。、加上NC=N。可利用ASA證明△ABC9AAED；

D、加上N3=NE可利用A4S證明AA8cg△AEQ；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，解題時注意：/VU、SSA不能判定兩個三角形全等,

判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式6-1]（2019秋?潘集區期中）在AABC與AOE尸中，給出下列四組條件：

(1)AB=DE,AC=DF,BC=EF(2)AB=DE,NB=NE,BC=EF

(3)NB=NE,BC=EF,ZC=ZF(4)AB=DE,4B=/E,AC=DF,

其中能使AABCgaoEr的條件共有一()

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】要使△AAC且△￡）￡?尸的條件必須滿足SSS、SAS、人SA、＞US,可據此進行判斷.

【答案】解：（1）由AC=DF,BC=EF,依據“5S9'可判定△ABCg/XOER

（2）由A8=OE,ZB=ZE,BC=EF,依據“SAS'可判定△48。g2\。￡尸；

（3）由N8=/E,BC=EF,ZC=ZF,依據“ASA”可判定△ABCgZXOEE

（4）由48=OE,ZB=ZE,AC=。/不能判定aABC也△DER

故選：C.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法:行；SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.注意：人44、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊

一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式6-2]（2018春?渝中區校級期中）如圖，點8、F、。、石在一條直線上，NA=N。，/B=/E,再

添一個條件仍不能證明AA8c/4QE尸的是（）

A.AB=DEB.BC=EFC.ZACB=ZDFED.AC=DF

【分析】本題具備了兩組角對應相等，為了再添?個條件仍不能證明△A8C文△?￡人那么添加的條件與

原來的條件可形成AAA,就不能證明ZVIBC空了.

【答案】解：4、添加48=QE與原條件滿足AS4,能證明AA3cg凡故4選項錯誤.

B、添加8C=ER根據AAS能證明△A3CgZ\QER故8選項錯誤.

C、添加NAC7?=NO產石，不能根據/VU能證明△ABCgZXOE/，故C選項正確.

。、添力廿4。=。尸，根據AAS能證明△ABCgAQEF,故。選項錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.

HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角

對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式6-3］（2018秋?鄂爾多斯期中）如圖，已知人B=AC,AD=AEf若要得到“△人△人。尸，必須添

加一個條件，則下列所添條件不恰當的是（）

A.BD=CEB.ZABD=^ACEC.ZBAD=ZCAED.ZBAC=ZDAE

【分析】根據已知兩組對應邊對應相等，結合全等三角形的判定方法對各選項分析判斷后利用排除法求

解.

【答案】解：AB=AC,AD=AE,

,4、若BD=CE,則根據“S5S’,△A3。g△ACE,恰當，故本選項錯誤；

R、若/人NACE則符合“SS4”，不能判定△人“￡）義△人。石，不恰當，故本選項正確：

C、若/84O=NC4E,則符合“SAT,^BD^/XACE,恰當，故本選項錯誤；

D、若NBAC=NDAE,則/84C-N。4c=NOAE-NOAC,

即N84D=NCAE,符合“SAS",A48。也△ACE,恰當，故本選項錯誤.

故選:B.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、4AS,

注意；AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若行兩邊一角

對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【考點7全等三角形判定的應用】

【方法點撥】解決此類題型的關鍵是理解題意，利用全等三角形的判定.

【例7】（2019春?鄲城縣期末）如圖所示，要測量河兩岸相對的兩點4、8的距離，因無法宜接量出A、B

兩點的距離，請你設計一種方案，求出A、3的距離，并說明理由.

【分析】根據條件證明可求得A6=OE.

【答案】解：在A8的垂線8尸上取兩點C,D,使。。=灰?，

再作出初：的垂線使4,C,￡在一條直線上，這時測得的OE的長就是A3的長，

作出的圖形如圖所示：

EDLBF

???Z4?C=ZEDC=90°

又,：CD=BC,/ACB=/ECD

???△ACB/△EC。（ASA）,

:.AB=DE.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA.AAS

和HZJ和性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵.

【變式7-1]（2019春?峰城區期末）如圖，點C、E分別在直線人從。尸上，小華想知道NACE和NOEC

是否互補，但是他沒有帶量角器，只帶了一副三角板，于是他想了這樣一個辦法：首先連結CG再找出

C尸的中點。，然后連結EO并延長EO和直線48相交于點以經過測量，他發現EO=BO,因此他得

出結論：NACE和/DEC互補，而且他還發現8C=EF.小華的想法對嗎？為什么？

【分析】通過全等三角形得到內錯角相等，得到兩直線平行，進而得到同旁內角互補.

【答案】解：???。是cr的中點，

：.CO=FO（中點的定義）

在△CO4和△尸O石中

rCO=FO

NC0B=/EOF，

E0二BO

???△CO8四"OE（SAS）

：.BC=EF（對應邊相等）

ZBCO=ZF（對應角相等）

???A4〃。"（內錯角相等，兩點線平行）

???NACE和NQEC互補（兩直線平行，同旁內角互補），

【點睛】本題考查了三角形的全等的判定和性質；做題時用了兩直線平行內錯角相等，同旁內角互補等

知識，要學會綜合運用這些知識.

【變式7-2]（2019春?槐蔭區期末）王強同學用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面

垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC=BC,NAC3=90D,點C在DE上,

點A和臺分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離.

【分析】根據題意可得AC=BC,NAC8=90。，AD1DE,BEIDE,進而得到NAOC=/C￡8=90。，再

根據等角的余角相等可得N8CE=ND4C,再證明△AOCgACEb即可，利用全等三角形的性質進行解

答.

【答案】解：由題意得：AC=BC,NACB=90。，AD1DE,BEIDE,

???Z4DC=ZCE5=90°,

??./ACQ+/BCE=90。，NACD+ND4C=90。，

：.ZBCE=ZDAC,

(t^ADC和ACEB中，

(NADC二NCEB

NDAONBCE，

IAC=BC

，△A。。出△CEB(AAS)；

由題意得：AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,

：,DE=DC+CE=20(C7〃)，

答：兩堵木墻之間的距離為20c/〃.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件.

【變式7-3］如圖，兩根長12〃?的繩子，一?端系在旗桿上的同一位置，另一端分別固定在地面上的兩個木樁

上(繩結處的誤差忽略不計)，現在只有一把卷尺，如何來檢驗旗桿是否垂直于地面？請說明理由.

【分析】用卷尺測量出以然后利用“SSy證明和△ACT)全等，根據全等三角形對應角相等

可得NAOB=NAOC,再求出/AOB=/4DC=90。，即可進行判定.

【答案】解：用卷尺測量出8。、CD,看它們是否相等，若BD=CD,貝8c.

理由如下：???在AAB。和4人。。中，

(AB二AC

BDXD，

IAD二AD

.'?△從"09△ACO(SSS),

???NADB=N/\DC,

乂?；ZADB+ZADC=180°,

工N4Q8=NAQC=90。，

即ADLBC.

【點睛】本題考查了全等三角形的應用，比較簡單，關鍵在于利用全等三角形對應角相等判斷NAO3=

ZADC=90°.

【考點8利用AAS證明三角形全等】

【方法點撥】兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“AAS”）

【例8】（2018秋?仙游縣期中）如圖，Zk/WC的兩條高4）,/達相交于點入請添加一個條件，使得△4/口;

?空XBEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是.并證明結論.

【分析】添加AC=BC,根據三角形高的定義可得/4OC=NBEC=90。，再證明NEBC=NQ4C,然后

再添加AC=BC可利用A45判定

【答案】解：添力口4c=BC,

???△ABC的兩條高AO,BE,

，ZADC=ZBEC=90°f

AZDAC+ZC=90°,N￡4C+NC=90。，

:?NEBC=NDAC,

rZBEC=ZADC

&^ADC和△/"中（ZEBC=ZDAC?

AC=BC

/.（AAS）,

故答案為：AC=BC.

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.

AAS.HL.

注意：人人人、SS人不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角

對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式8-1]（2018春?揭西縣期木）如圖，ZABC=ZACB,ZADE=ZAED,8E=CO,試說明：AABO

空△ACE.

【分析】根據AAS推出△A8O空△ACE即可.

【答案】解:VZADE=ZAED,

；?/ADB=180°ZADE=180°NAED=ZAEC

又,：BE=CD,

：,BD=BE-DE=CD-DE=CE

在MOB與MCE中，

fZABC=ZACB

NADB二NAEC

IBD=CE

g△ACE

【點睛】此題考查全等三角形的判定，關鍵是根據全等三角形的判定方法解答.

【變式8-2]（2018秋?杭州期中）如圖，ZACB=90°,AC=BC,BELCE,ADA.CE.求證：&A34X

CBE.

【分析】兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，根據同角的余角相等推

CAD,然后利用“角角邊”證明即可.

【答案】證明：???BEJ_C￡AD1CE于D,

???NCE8=NAOC=90。，

???ZBCE+ZACD=ZACB=90°,

ZCAD+ZACD=\S00-90°=90°,

:?/BCE=NCAD,

在△八CO和ACBE中，

'NBCE二NCAD

NCEB二NADC二90°，

AC=BC

/.（AAS）.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，證明得到N8CE=NCA。是解題的關鍵.

【變式8-3]（2018?雁塔區校級二模）如圖，在四邊形A3C。中，點E在AO上，其中N8CE=N

ACQ=900,KHC=CE,求證：AABg/\DEC.

【分析】根據同角的余角相等可得到N3=N5,結合條件可得到N1=NQ,再加上可證得結

論.

【答案】解：:/8。￡：=/4。。=90。，

???N3+/4=N4+N5,

???N3=N5,

在△ACO中，NACO=90。，

Z2+ZD=90°,

VZ^AE=Z1+Z2=9O°,

???N1=NO,

在"BC和AOEC中，

rZl=ZD

N3=N5，

BC=CE

/\ABC^/\DEC(AAS).

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、

AAS和HL.

【考點9利用SAS證明三角形全等】

【方法點撥】兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等(可簡寫成“SAS”)

【例9】(2018春?金山區期末)如圖，已知C4=C。，CB=CE,NACB=NDCE,試說明△八CEgAOCB

的理由.

【分析】由已知條件可知乙4CE=NOCB,則根據S4S可證全等.

【答案】解：???NAC8=NDCE,

/.ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,即：ZACE=ZDCB,

(L^ACE與ADCB中

rCA=CD

ZACE=ZDCB，

CE=CD

/.(SAS).

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.

HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角

對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式9-1](2018春?黃島區期末)如圖，點召在"上，AC=AD.ZCAB=ZDAB,那么△KCE和

全等嗎？請說明理由.

【分析】根據全等三角形的判定定理，觀察圖形上的已知條件，已知告訴的條件是一角一邊分別對應相

等，加上公共邊就可證兩對三用形全等.

【答案】解：△BCE%ABDE,理由如下：

rAC=AD

在A4C8與"。8中＜NCAB=/DAB，

AE=AE

(SAS),

:.BC=BD,ZABC=ZABD,

在ABCE與ABDE中

fBC=BD

ZABC=ZABD.

IAB二AB

:ABCE￡4BDE(SAS).

【點睛】本題考查了全等三角形的判定；關鍵是根據全等三角形的判定定理證明.

【變式9-2]（2018秋?儀征市校級月考）如圖，己知點6、F、C、后在同一直線上，AC,。〃相交于點G,

AIHBE,垂足為B,DE1BE,垂足為E,且A4=QE,BF=CE,說明△ABC與△QE/全等的理由.

【分析】根據垂直定義可得N8=/E=90。，根據等式的性質可得BC=石凡然后可利用弘5判定△4班7

2ZXOE/即可.

【答案】證明：VAfilBE,DEIBE,

???NB=N￡=90。，

，：BF=CE,

:.BF+FC=EC+FC,

即BC=EF,

rAB=DE

在3c和△〃￡/?、中，NB二NE，

DC=EF

/.（SAS）.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.

HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊

一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式9-3]（2019秋?東莞市校級月考）如圖：△A/3C和△EAQ中，NBAC=NDAE,AB=AE,AC=ADf

連接AD,CE.求證：AABD^AAEC.

【分析】根據/BAC=ND4E,可得NMQ=NC4E,再根據全等的條件可得出結論.

【答案】證明：???/BAC=ND4E,

JABAC-NBAE=ZDAE-ZBAE,

即N84D=NCAE,

在△A3。和A4￡C中，

'AD=AC

/BAD二NEAC，

AB=AE

???△ABOdAEC（SAS）.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，判斷三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,以及判斷兩

個直角三角形全等的方法

【考點10利用ASA證明三角形全等】

【方法點撥】兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“ASA”）

【例10】（2019秋?利辛縣期末）如圖，已知AB=4C,ZABE=ZACD,8￡與。。相交于。，求證：＞ABE

【分析】由條件48=4C,ZABE=ZACD,再加上公共角/A=NA,直接利用4sA定理判定△"￡沔△

4CO即可.

【答案】證明：在與△AC。中，

'/A二NA

,AB=AC，

ZABE=ZACD

/.（ASA）.

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的?般方法有：SSS、SAS、ASA.

AAS、HL.

【變式10-1】（2018?雙柏縣二模）如圖，N/t=N8,AE=BE,點。在4c邊上，ZI=Z2,人七和9。相

交于點O.求證：AAE8ABED；

【分析】根據全等三角形的判定即可判斷△AECg/XBM.

【答案】證明：TAE和8。相交于點。，

/.ZAOD=/BOE.

&.LAOD和ABOE中，

NA=NB,:?NBEO=N2.

又?.?N1=N2,

：?N1=NBEO,

/.ZAEC=/BED.

&^AEC和ZiBE。中，

'NA二NB

,AE=BE，

ZAEC=ZBED

:AAEC出LBED（ASA）.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質與判定.

【變式10-2】（2019?陜西模擬）如圖，四邊形48C。中，E點在A。上，其中NBAE=N8CE=N4CQ=

90°,且8C=CE,求證：△ABC^ADEC.

【分析】由NR4E=N8CE=/4CO=90。，可求得NQCE=/4C8,且NB+NCE4=NCEA+/QEC=

180。，可求得NQEC=N48C,再結合條件可證明△ABCg4QEC.

【答案】證明:

*.*ZBAE=/BCE=ZACD=90°,

:./DCE+NECA=NECA+NACB,

ZDCE=ZACB,且N8+NCE4=180°,

XZDEC+ZCE4=I8O°,

:?/B=NDEC,

在A48C和△DEC中

/.（ASA）.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、4SA、

AAS和HL.

【變式10-3］（2019秋?樂清市校級期中）如圖，△48C的兩條高A。、BE相交于點H,且求證:

&BDHW4ADC.

【分析】證明/O8H=N/MCNBDH=NADC,從而利用ASA證明燈△AOC.

【答案】證明：:△ABC的兩條高A。、BE相交于點H,

jZADC=NADB=NBEC=90。,

r.ZDAC+ZC=90o,ZDBH+ZC=900,

:./DAC=NDBH,

在ABDH和△AQC中

（ASA）.

【點睛】此題主要考杳了全等三角形的判定和三角形內角和定理的應用，關鍵是找出能使三角形全等的

條件，注意：全等三角形的判定定理有S4S,ASA,AAS,SSS.

【考點11利用SSS證明三角形全等】

【方法點撥】三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“SSS”）

【例II】（2019春?渝中區校級月考）如圖，AB=CD,AE=CF,E、尸是3。上兩點，且B*=DE.

求證；&ABE沿ACDF.

【分析】只要證明，BE=DF,即可根據S5S證明兩個三角形全等.

【答案】證明：???B尸=。,

：.BE+EF=EF+DF,

；.BE=DF,

在AABE和△COF中，

'ABXD

,AEXF，

BE=DF

：,/^ABE^/\CDF（SSS）.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，線段的和差定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判

定方法，屬于中考基礎題.

【變式11-1】（2019秋?扶余縣校級月考）如圖，在A4BC中，AD=AE,BE=CD,AB=AC.

（1）求證：△ABO/AACE；

（2）求證：/BAE=/CAD.

【分析】（1）由8E=C。，得到3Q=C￡.根據“SSS，定理即可證得aAB。g△ACE：

（2）根據全等三角形的性質可證得NZME=NC4￡,進而可證得結論.

【答案】證明：（I）?：BE=CD,

：,BE-DE=CD-DE,

：?BD=CE,

在A4B。和"