專題3.8抽象函數問題

【題型目錄】

題型一抽象函數的定義域

題型二抽象函數的值域

題型三求抽象函數的解析式

題型四抽象函數的奇偶性

題型五抽象函數的周期性

題型六抽象函數求解不等式

【典型例題】

題型一抽象函數的定義域

例1.(2022秋.河北保定.高一河北省唐縣第一中學校考階段練習)已知函數,⑺

的定義域為241，則組2的定義域為()

?7x4-1

A.[-1,4]B.[-121c.(-1,4]D.

例2.(2022秋?山東德州?高三校考階段練習)若函數“X)的定義域為[0,4],則

函數人工)=/(1+2)+七的定義域為()

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2]D.(1,4]

舉一反三

練習1.(2023秋?陜西西安?高三統考期末)若函數/(工)的定義域為(-2,16),則函

數”島y的定義域為()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(L2)U(2,8)D.(1,2)U(2,32)

練習2.（2023秋?遼寧沈陽?高三統考期末）已知函數y=/"+l）的定義域為12],

則函數），=/（2x-1）的定義域為（）

A.B.1,2C.[-U]D.[3,5]

練習3.（2023秋.江蘇揚州.高三期末）已知函數f（2x-3）的定義域為[-1.4],設

函數F（力追舞’則函數小）的定義域是

練習4.（2023春?江西宜春?高二校考開學考試）若函數/（2、）的定義域為[0,2],

則函數/（4-，）的定義域為.

練習5.（2022秋?河南信陽?高三校考階段練習）已知函數苦）的定義域為

（-2,0）,則/（2.1-1）的定義域為（）

A.（一另）B.（-5,-1）C.（0,|）D.（-3,-1）

題型二抽象函數的值域

例3.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/*）對任意xeR,都有/（幻=一“*+2）,

當xe[0,2]時，/（x）=—/+2x,則函數/⑶在[-2,6]上的值域為（）

A.10,I]B.1，0JC.[-2,0]D.[-2,4]

例4.（2021.全國.高一專題練習）函數/"）的定義域為（0,內），且對任意工>0,y>0

都有/土=/（x）-/G）+i,且/⑵=2,當x>l時,有/*）>1.

\y）

（1）求”1）,/（4）的值;

（2）判斷了。）的單調性并加以證明:

(3)求/*)在U,⑹上的值域.

舉一反三

練習6.(2022?全國?高三專題練習)/“)是R上的奇函數，g")是R上的偶函數,

若函數/(x)+g(A)的值域為［T4］,則/(“-g(工)的值域為.

練習7.(2022秋?浙江杭州?高三杭州四中校考期中)已知函數＞=/(用的定義域

是R,值域為則值域也為［-1,2］的函數是()

A.y=2f(x)+\B.y=|/(2x+l)|

C.y=~f(x)+iD.y=1f［x)I

練習8.(2022?高一課時練習)己知函數的定義域為(1，+8),值域為R,貝I")

A.函數/(1+1)的定義域為R

B.函數/(f+1)T的值域為R

C.函數/(丁+2.1+2)的定義域和值域都是R

D.函數/(/(］))的定義域和值域都是R

練習9.(2022秋.河北保定.高三河北省曲陽縣第一高級中學校考階段練習)已知

函數y=/(x)的定義域是R,值域為UZ，則下列四個函數①)，=2/(力-1；②

y=/(2x-l)；③y=2"g；?y=log2/(x+l)+l,其中值域也為［1，2］的函數個數是

()

A.4B.3C.2D.1

練習10.(2022秋?湖南衡陽?高三衡陽市一中校考階段練習)若函數)，=/*)的值

域是$3,則函數尸（幻=〃2x+1）+—^―的值域是_______.

題型三求抽象函數的解析式

例5.（2023?廣東深圳?高三深圳外國語學校校考階段練習）寫出一個滿足：

/5+），）=/（力+/3+的的函數解析式為.

例6.（2023?安徽?合肥一中校聯考模擬預測）（多選）已知函數/（戈）的定義域為R,

且/（x+y）=/（x）/（y）+/（工）+/（、），x＞。時，/（同＞。，〃2）=3,則（）

A./（1）=1

B.函數/（X）在區間（0,y）單調遞增

C.函數/（X）是奇函數

D.函數/（X）的一個解析式為=1

舉一反三

練習11.（2023秋?江蘇南京?高三統考期末）（多選）已知函數），=/（",對于任

,瑞=/(?"),),則(

意x，yeR)

A./(0)=1B./?)=2/(力

c./?>oD.

練習12.（2023?湖南婁底?統考模擬預測）已知函數/（“滿足以下條件：①在區

間（0,+8）上單調遞增;②對任意巧,巧，均有/（儀）=/（芭）+/（%）-1，則/（X）的

一個解析式為.

練習13.(2019秋?山西運城?高一校考階段練習)已知定義在R上的函數/(X)滿

足：

①對任意的都有f(M=〃x)+f(y)；

②當x>l時，/(x)>0.

(1)求證：/(1)=0;

(2)求證：對任意的xeR,都有/(￡|=一/(可；

練習14.(2022?全國?高一專題練習)若函數/(外滿足/(5+〃X)=2,則/(X)

可以是—.(舉出一個即可)

練習15.(2022秋?江蘇南京?高一南京市第十三中學校考階段練習)寫出同時滿

足條件“①函數/(x)為增函數，②/(x+)，)=/(x)/()，)”的一個函數/(')=.

題型四抽象函數的奇偶性

例7.(2022秋.廣西玉林.高三校聯考階段練習)已知I/G-I)是定義域為R的奇函

數，g(x)=/(2x+3)是定義域為R的偶函數，則()

A.g(2)=0B.g(3)=0C./⑶=0D."5)=0

例8.(2023?湖南長沙?雅禮中學校考一模)(多選)已知不恒為0的函數“力，

滿足5…都有/(%)+/(加2/(號)/(寧｝則()

A./(0)=0B./(0)=1

c.C-為奇函數D./("為偶函數

舉一反三

練習16.(2023秋?遼寧錦州?高三統考期末)已知函數y=/(x)對任意實數"，

都滿足2/(x)/(y)=〃K+y)+/(x-y),且/⑴=T，則()

A.是偶函數B.〃力是奇函數

2023

C./(.r)+/(l-x)=0D.￡/伏)=1

?=|

練習17.(2023春?河南高三信陽高中校聯考階段練習)己知定義在(口,()川((),y)

上的函數“X)滿足Va,Z?e(v>,0)5。,8°)，/］卜/(。)-/(〃)，且當xe(0J時,

/W>0,則下列說法正確的是()

A./(x)是奇函數但不是偶函數B.7(x)是偶函數但不是奇函數

C.7")既是奇函數又是偶函數D.“X)既不是奇函數也不是偶函數

練習18.(2023秋?浙江衢州?高三統考期末)(多選)已知定義在R上的非常數函

數/(x)滿足/(x+y)=/(4)+/(y)T,則()

A./(0)=1B./(x)-1為奇函數C.“X)是增函數

D./(”是周期函數

練習19.(2022秋.高三單元測試)若定義在R上的函數滿足：對任意

與々eR,有/兇+々)=/(芭)+/(々)+1，則下列說法中：①/(x)7為奇函數；②

〃力-1為偶函數；③/(工)+1為奇函數；④/(工)+1為偶函數.一定正確的是

練習20.(2023春?廣東廣州?高三統考開學考試)(多選)若定義在(e,0)U(0,s)

上的函數/(K)滿足：/R)=/(小/()，)，且/(2)=1,則下列結論中正確的是1)

A./(1)=0B./(4)=2

C./(x)+/(-x)=OD./(x)-/(-x)=O

題型五抽象函數的周期性

例9.(2023春?廣西柳州?高二柳州市第三中學校考階段練習)若定義［-2023,2023］

上的函數滿足：對任意不9目-2023,2023］有〃藥+9)=/(百)+/(々)-2022若

/(”的最大值和最小值分別為M,N,則M+N的值為()

A.2022B.2018C.4036D.4044

例1().(2023?山西太原?太原五中校考一模)(多選)已知定義域為R的函數f(x)

(\\

對任意實數乂y都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(.y),且/-=o,則以下結論一定

正確的有()

A./(0)=-1B./(力是偶函數

C.八.關于go)中心中稱D./(1)-/(2)+...+/(2023)=0

舉一反三

練習16.(2023?河南開封?統考三模)已知函數八#的定義域為R,八)為奇函數,

/(x+1)為偶函數，且￡/住)=1,則/。)=()

Jt=l

A.-1B.0C.1D.2

練習17.(2023?安徽合肥?二模)若定義域為R的奇函數73滿足

/(x)=/(x+l)+/(x-l),且/(1)=2,則/(2024)=.

練習18.(2023?河南洛陽?統考模擬預測)已知〃x)是定義在R上的奇函數，若

小+圖為偶函數且〃。=2,則/(2022)+/(2023)+/(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

練習19.(2023春?四川涼山?高二寧南中學校考階段練習)已知定義在R上的函

數/(可滿足/(1)=2-/(-力，且函數/(x+1)是偶函數，當x?T,0］時，/(同=1-/，

則/管)=()

A.4B.C.圣D.整

25252525

練習20.(2023?新疆烏魯木齊?統考二模)已知/㈤，g(x)都是定義在R上的函

數，對任意x,y滿足〃x7)=〃x)g(y)r(x)/(，)，且〃-2)=/(1)/0,則下列說法

正確的是()

A./(0)=1B.函數g(2x+l)的圖象關于點(L0)對稱

2023

c.g⑴+g(—1)=0D.若/⑴=1,則￡“〃)=1

題型六抽象函數求解不等式

例11.(2022.海南?校聯考模擬預測)(多選)已知定義在R上的函數/(“不恒等

于零，同時滿足/(x+y)=/(x)/'(y),且當x>0時，/(x)>2022,那么當x<0時，

下列結論不正確的為()

A.-l</(x)<0B.

C./W>1D.0<〃x)〈森

例12.(2023?高三課時練習)已知“X)是定義在R上的減函數，且對心，)，￡/?,

/(中)=/("+/3,若/住則x的取值范圍為()

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(0,+e)D.(-1,0)

舉一反三

練習21.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶市鳳鳴山中學校考期中）己知函數

），=wR）的圖象如圖所示，則不等式W）＜0的解集為.

練習22.（2022秋?高三課時練習）已知函數/⑺的定義域為（。，5）,函數g（x）的定

義域為口，6].若不等式/*）＞g（x）的解集為（2,3）,則不等式/（?,,8*）的解集為

練習23.（2022秋.上海寶山.高二上海市吳淞中學校考開學考試）已知定義域為

R的奇函數在區間（。，2）上為嚴格減函數，且."2）=0,則不等式△邛20的

解集為.

練習24.（2022秋?甘國蘭州高三西北師大附中校考期中）己知偶函數/（X）在

口+⑹上單調遞減，若/（勿-1）＞/⑴，則實數。的取值范圍為.

練習25.（2022秋.遼寧朝陽.高一校聯考階段練習）若定義域為R的奇函數/（力在

（一⑼上單調遞減，且"2）=0,則滿足立也"的x的取值范圍是（）

x

A.[-2,0]u[2,+oo）B.[-3,-l]o[0,l]

C.[-2,0）u[2,+oo）D.[-2,0）U（0,2]

參考答案與試題解析

專題3.8抽象函數問題

【題型目錄】

題型一抽象函數的定義域

題型二抽象函數的值域

題型三求抽象函數的解析式

題型四抽象函數的奇偶性

題型五抽象函數的周期性

題型六抽象函數求解不等式

【典型例題】

題型一抽象函數的定義域

例1.（2022秋?河北保定?高一河北省唐縣第一中學校考階段練習）已知函數人工）

的定義域為則空1的定義域為（）

yjx+I

A.[-1,4]B.[-1,2]C.（-1,4]D.（-L2]

【答案】D

【分析】若函數/*）的定義域為A,則復合函數〃g（x））有意義要滿足

【詳解】因為函數/*）的定義域為04],則朵立有意義要滿足解得

V7+T|x+i>o

xe（-l,2],

故選：D

例2.（2022秋?山東德州?高三校考階段練習）若函數的定義域為[0,4],則

函數g（%）=.f“+2）+7三的定義域為（）

A.（1,2）B.（1,4）C.（1,2]D.（1,4]

【答案】C

【分析】根據題意可得出關于x的不等式組，由此可解得函數g（"的定義域.

【詳解】解：因為函數解力的定義域為[0閭,

對于函數g(x)=/(x+2]+*,則解得]<x<2,

Vx-1[x-\>0

即函數g(%)=/(x+2)+看的定義域為。2].

故選：C

舉一反三

練習1.(2023秋?陜西西安?高三統考期末)若函數J")的定義域為(-2,16),則函

數>=彘1;的定義域為()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(1,2)U(2,8)D.(L2)U(2,32)

【答案】C

【分析】根據對數的真數大于零，分式的分母不為零，以及-2<2]<16可求得結

果.

【詳解】因為函數/(X)的定義域為(-2,16),

所以要使)'=1^%有意義，則

-2<2.v<16

1>0,解得lvx<8且1工2,

x-l#l

所以原函數的定義域為(1，2)(2,8),

故選：C.

練習2.(2023秋.遼寧沈陽.高三統考期末)已知函數y=/(x+l)的定義域為[⑶，

則函數y=/'(2x-l)的定義域為()

-]]「3

A.-JB.-,2C.[-U]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據復合函數定義域之間的關系進行求解即可.

【詳解】???函數的定義域為[向，即1CE2,可得2。門03,

???函數），=/（"的定義域為[2,3],

3

令2dW3,解得尹42,

■■

故函數y=/（2x-i）的定義域為弓,2.

故選：B.

練習3.（2023秋.江蘇揚州.高三期末）已知函數f（2x-3）的定義域為[-1.4],設

函數尸（力=則函數外力的定義域是_____.

V8x-x-7

【答案】0,3]

-5<1-2v<5

【分析】由〃2x-3）的定義域得出-5碗x-35,進而由-〈口:〉。得出所求.

【詳解】因為函數/（2尸3）的定義域為卜1,4],所以-1瓢4,-5融x-35

即｛f,-5+<81--2r<H5解得If

故函數/x）=八心）,則函數F（x）的定義域是（1,3]

\JSx-x~-7

故答案為：（1,3]

練習4.（2023春?江西宜春?高二校考開學考試）若函數/（2、）的定義域為[0,2],

則函數/（小、）的定義域為.

【答案】[0』

【分析】利用抽象函數定義域的求法及指數函數的單調性求解即可.

【詳解】對于/（2）因為0"<2,所以由尸2、的單調性得2。42Y22,即1W2飛4,

所以對于/（4I）,有即4飛4一“1

由y=4,的單調性得0?l1,解得0<x<l,

所以/（戶）的定義域為[0』.

故答案為；[0』.

練習5.(2022秋?河南信陽?高三校考階段練習)已知函數的定義域為

(-2,0),則/(2D的定義域為()

A.B.(-5,-1)C.(0,|)D.(—3,4

【答案】C

【分析】由已知條件求得了")的定義域，再由/(x)的定義域求出的定義

域即可.

【詳解】,?,函數/(言)的定義域為(-2,0),即-2cv0,

12

X***-l<2x-l<-,解得0<%<葭

??./(2xT)的定義域為(&|),

故選：C.

題型二抽象函數的值域

例3.(2022?全國?高三專題練習)已知函數對任意xeR,都有/")=-；/*+2),

當xw[O,2]時，/(X)=-X2+2X,則函數/⑺在L2,6]上的值域為()

A.10,11B.L-1,0JC.1-2,0]D.1-2,4J

【答案】D

2

【分析】當xe[。，2]時，f(x)=-x+2xf利用/(i)=-；/(x+2),將區間

卜2,0],[2,4],[4,6]的自變量x利用加減轉化到區間[0,2]上，從而進行值域的求解

【詳解】當7引0,2]時，/(.0=\(27)=1-3-1)26[0,1],

則當“8-2,0]時,即x+2w[0,2],所以/(x)=-?(x+2)w[-g,0]；

當xe[2,4]時,即x-2w[0,2],

由/。)=-9。+2),得/*+2)=-2/(2，從而/(x)=-2/(A2)W[-2,0]；

當xe[4,6]時，即x-2e[2,4J,則/*)=-2/(X-2)€[0,4],

綜上得函數/⑶在［-2,6］上的值域為［-2,41.

故選：D.

例4(2021.全國?高一專題練習)函數人勸的定義域為(0,+00),且對任意x>0,y>0

Z\

都有/二=/*)-/⑺+1,且八2)=2,當X>1時，有

(1)求〃1),/(4)的值；

(2)判斷人工)的單調性并加以證明；

(3)求/⑴在口,⑹上的值域.

【答案】(1)/(1尸1,f(4)=3；(2)八幻在(0,+◎上為增函數，證明見解析；(3)

［冏.

【分析】(1)可令X=J=1解得/⑴，再令x=4,y=2可得/(4)；

(2)函數/(X)在(。，+8)上為增函數，可令0<%<4,運用條件和單調性的定義，

即可得證；

(3)運用函數的單調性和賦值法，即可得到所求值域.

【詳解】(1)可令"=>=1時，/(l)=/(l)-/(l)+1=1；

令X=4,y=2可得f(2)=/(4)-f(2)+1,即/(4)=3；

(2)函數/*)在(。，收)上為增函數.

證明：當只>1時,有了㈤>1,

可令0<司氣,即有\>1,則令互)=/(再)+

X］百

可得/(占)>/(%)，

則/(X)在(0，+8)上遞增；

(3)由/⑴在(。，+句上為增函數，可得/(X)在［1,16］遞增，

可得/(1)=1為最小值，〃16)為最大值，

由f(4)由(16)-f(4)+1,可得/。6)=2〃4)-1=5,

則/㈤的值域為口，5］.

舉一反三

練習6.(2022?全國?高三專題練習)/("是R上的奇函數，g(x)是R上的偶函數,

若函數/(x)+g(x)的值域為[T4],則/(x)-g(x)的值域為.

【答案】15

【分析】利用函數奇偶性的定義結合/(M+g(x)的值域即可求出的值

域.

【詳解】解：由/(工)是R上的奇函數，g(x)是R上的偶函數

得到/(T)=-/'(X),g(-x)=g(x)

因為函數f(")+g(x)的值域為[T，4]

gp-l</(x)+^(x)<4

所以一lW/(T)+g(T)“

又/(-X)=-/(X),g(r)=g(x)

得-4W/(x)-g(x)?l

所以/(x)-g(x)的值域為：[y』.

故答案為：

練習7.(2022秋?浙江杭州?高三杭州四中校考期中)已知函數>=/(])的定義域

是R,值域為則值域也為E⑵的函數是()

A.y=2/(x)+lB.y=4f(2x+l)\

C.y=-/U)+lD.y=1fM\

【答案】C

【分析】根據/⑶的值域為T2],即-1期(幻2,即可求出根。)+1,|f(2x+%

-/(-v)+1,以及I/O)I的范圍，從而可求解.

【詳解】/⑴的定義域為R,值域為即一臉⑶2；

對于A,y=2/(x)+iw[T5],即y=2/(x)+l的值域為卜冏，故A錯誤;

對于B,y=/(2x+l)e[-l,2],即y=|/(2x+l)|的值域為[0,2],故B錯誤;

對于C,y=-/a)?-2,i],即y=-/(x)+l的值域為[T2],故C正確；

對于D,)Hf3歸[。，2],即y=l/(必的值域為[0,2],故D錯誤.

故選：C.

練習8.(2022?高一課時練習)已知函數/(力的定義域為(1，+8),值域為R,則[)

A.函數/(產+1)的定義域為R

B.函數+的值域為R

C.函數/(d+2x+2)的定義域和值域都是R

D.函數/(/(工))的定義域和值域都是R

【答案】B

【分析】對于A選項：根據抽象函數的定義域令推出/(Y+1)的定義

域判斷正誤；

對于B選項：因為/&)的值域為R,所以/(/+1)的值域為R,進而推導出

/(Y+1)-1的值域，判斷正誤；

對于C選項：令/+2/+2>1,求出函數/(f+2x+2)的定義域，即可判斷正誤；

對于D選項：若函數/(/(x))的值域為R,則/(力>1,即可判斷正誤；

【詳解】對于A選項：令/+可得、工0,所以函數/(9+1)的定義域為

{木工0},故A選項錯誤；

對于R選項：因為的值域為R,所以/(9+1)的值域為R,可得

函數+的值域為R,故B選項正確；

對于C選項：令f+2/+2>l,得xw-l,所以函數/，+2工+2)的定義域為

{巾工7},故C選項錯誤；

對于D選項：若函數/(/(司)的值域為R,則/")>】，此時無法判斷其定義域是

否為R,故D選項錯誤.

故選：B

練習9.(2022秋?河北保定?高三河北省曲陽縣第一高級中學校考階段練習)已知

函數>=/(X)的定義域是R,值域為UH,則下列四個函數①>=2/3-1；②

y=/(2x-l)；③y=\④>=啕/(工+1)+1，其中值域也為UH的函數個數是

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】求出①②③④中各函數的值域，即可得出合適的選項.

【詳解】對于①，因為14〃力42,則)，=2/(x)-lw[l,3],①不滿足條件;

對于②，對于函數y=1),2A-IGR,則函數)'=/(2x1)的值域為[1,2]：②

滿足條件；

對于③，因為14/(x)W2,則y=2"Z[l,2],③滿足條件；

對于④,因為1"卜)42,"(x+1)叩,2],則y=log"(x+l)+le[l,2],④滿足條件.

故選：B.

練習10.(2022秋.湖南衡陽.高三衡陽市一中校考階段練習)若函數>的值

域是匕，3],則函數「*)=f(2x+\)+—±—的值域是________.

【答案】[2,y]

【分析】由給定條件求出〃2x+l)的值域，換元借助對勾函數性質即可得解.

【詳解】因函數)，=/(力的值域是。3],從而得函數,=/(2?1)值域為。3],

函數“V)變為)，=/+1,re[i3],由對勾函數的性質知)，=/+1在白，”上遞減，在

[1,3]上遞增，

r=l時,%汕=2,而r時,y=]，，=3時，y=\,即)京=?

所以原函數值域是⑵5].

故答案為：⑵當]

題型三求抽象函數的解析式

例5.(2023?廣東深圳?高三深圳外國語學校校考階段練習)寫出一個滿足：

/"+封=/(力+/()，)+*的函數解析式為.

【答案】〃力=/

【分析】賦值法得到"0)=0，f(x)+f(-x)=2x\求出函數解析式.

【詳解】/(x+y)=/(x)+/(y)+2孫中，令x=y=0,解得"0)=0,

令戶T得/(X-X)=/(X)+/(-X)-2/,故/(X)+/(-X)=2_?,

不妨設=滿足要求.

故答案為：/W=x2

例6.(2023?安徽?合肥一中校聯考模擬預測)(多選)已知函數/("的定義域為R,

且/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),x>0時,/(A)>0,"2)=3,則()

A./(1)=1

B.函數在區間(o,y)單調遞增

C.函數/(“是奇函數

D.函數/("的一個解析式為了("二2-1

【答案】ABD

【分析[賦值法求值判斷A選項，定義法判斷單調性判斷B選項，特殊值法判

斷C選項，根據題干要求判斷解析式符合題意判斷D選項.

【詳解】A項:因為/(x+y)=/(x)為y)+/(x)+/(y),

當x>0時，/(x)>0,/(2)=3,令X=)，=1,

則/(2)=[/⑴了+2/⑴=3,解得川)=1,A正確;

B項：任取：^<^€(0,400),

貝U/(%)=/[內+(再一%)]=/(再)/(々一%)+/(%)+/(占一M)，

因為當x>0時，/(x)>0,

所以〃9一%)>0,/(M>0,

所以/(%)/(工2-')+/(1)+/(七f)>/&)，即以％)>/()，

所以函數〃x)在區間(0,+功單調遞增，B正確；

C項：令％=y=0,則”0)=[/(0)了+2〃0),

解得/(0)=。或/(0)=-1,當"0)=0,且x>0時，令尸一工，

則0=/(x)/(—)+/(x)+/(r),

若/(X)為奇函數，則〃T)=—/(X),BP0=-/2(x)+/(x)-/(x),

解得了(力=0,與題意矛盾；

當/(0)=_1時/(”不為奇函數.

綜上所述，函數不是奇函數，C錯誤；

D項：當/3=211,

貝lj/(f)=2"7,

/(引/()，)+/("+/(h=(2-乂2，-1)+(2=1)+(21)

=2x+y-2x-2y+1+2X-1+2V-1

=2"T,

所以〃x+y)=/(力f(y)+fa)+〃y),易得在R上單調遞增,

所以x>0時，/(x)=2r-l>2°-l=0,/(2)=22-1=3,

故函數/⑺的一個解析式為/(M=2J1,D正確.

故選:ABD

舉一反三

練習11.（2023秋?江蘇南京?高三統考期末）（多選）已知函數），=/（",對于任

意x,yeR,4^=/（”一）’），則（）

j

A."0）=1B./（白=2/（同

c./W＞0D.，"）；"[空）

【答案】ACD

【分析】通過賦值法，取具體函數，基本不等式等結合已知條件分選項逐個判斷

即可.

【詳解】令、=），=駟=/（o）=/（o）=i,故A正確；

由已知需=〃Ay)n〃x)=/(.y)/(x—y)="x+A=/a)/3,①

令/(X)="M?0,1)U(1,E)滿足題干要求，2/(”=2心/卜2)=/,則/(f)w2.f(x),

故B錯誤；

由①可知，令＞耳，則小）=佃佃=電

又因為偌=""一"‘則/作/°,所以/（、）=/e丁＞°'

故c正確;

因為/(力＞。，所以/(x)+/(y)?24(x)f(y)=2"(x+)，),

又由①,令x=y=言■,則〃f）=/（晝）/（等）=[/（妥），

所以亨）,故D正確.

故選：ACD.

練習12.（2023?湖南婁底?統考模擬預測）已知函數“X）滿足以下條件：①在區

間（。，+8）上單調遞增；②對任意4，%均有/（3）=/（5）+/（電）-1，則/（X）的

一個解析式為.

【答案】/（x）=lnx+l（答案不唯一）

【分析】根據對數運算性質及對數函數性質寫出一個函數解析式即可.

【詳解】如：/(A-)=lnx+l,則/(%)=卜菁+1,f(%)=ln為+1,

又/(百馬)=In(%占)+1=In%+In占+1,則/(內％)=/(內)+/(x2)-l,

此時/*)在區間(0,+8)上單調遞增，滿足題設.

故答案為：〃x)=lnx+l(答案不唯一)

練習13.(2019秋?山西運城?高一校考階段練習)已知定義在R上的函數/W滿

足：

①對任意的x”R，都有〃孫)=/("+/(.V);

②當x>l時，〃x)>0.

(1)求證：/(1)=0；

(2)求證：對任意的都有/(3二-/(X)；

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解

【分析】⑴令x=y=L即可求得(⑴=o；

(2)令4=%工0),由/3)=/(x)+/(y)以及〃1)=0即可證得結論；

X

【詳解】(1)令x=y=i,則/⑴=2/⑴，

??J⑴=。

(2)令)」(田)，

X

則/1+)=〃x)+/(m=〃l)=0,

也)=-/(*)?

【點睛】本題主要考查抽象函數的函數值，解題的關鍵是根據題干賦恰當的數值,

屬于基礎題

練習14.(2022?全國?高一專題練習)若函數/⑴滿足/(5+/(x)=2,則/(x)

可以是—.(舉出一個即可)

【答案】/(x)=1(x^0)

【分析】由題意猜想/(力=1(犬。0),驗證滿足條件.

【詳解】若/(x)=l(x/O),滿足《￡|+〃”=2.

若/(力=々，滿足/P[+/“)=2.

故答案為：/(X)=1(XHO),答案不唯一.

練習15.(2022秋?江蘇南京?高一南京市第十三中學校考階段練習)寫出同時滿

足條件“①函數/(X)為增函數，②/(文+.y)=/(x)/'(y)’'的一個函數/5)=.

【答案】2,(答案不唯一)

【分析】由指數函數及基運算性質即可判斷.

【詳解】由題意，指數函數均滿足①②.

故答案為：2,(答案不唯一)

題型四抽象函數的奇偶性

例7.(2022秋?廣西玉林?高三校聯考階段練習)已知/(人-1)是定義域為R的奇函

數，g(x)=/(2x+3)是定義域為R的偶函數，則()

A.g(2)=0B.g(3)=0C./⑶=0D.“5)=0

【答案】A

【分析】由條件得到函數“X)的對稱性，根據對稱性求值，即可求解.

【詳解】因為/G-1)是定義域為R的奇函數，

所以所以函數/(力關于點(TO)對稱，且1)=0

因為g(x)=/(2x+3)是定義域為R的偶函數，

所以”-2x+3)=/(2x+3),所以函數/")關于直線x=3對稱，

所以"7)=0,即g(2)=0.

故選：A

例8.(2023?湖南長沙?雅禮中學校考一模)(多選)已知不恒為0的函數/(1)，

滿足Vx,yeR都有/(力+/()，)=2/(亨)/(三｝則()

A./(0)=0B./(0)=l

C./(x)為奇函數D.7(x)為偶函數

【答案】BD

【分析】令x=)，=。和片x,即可判斷選項AB；令產T,即可判斷選項CD.

【詳解】令x=y=O,則/(0)+八0)=2/(0)?/(()),??.f(0)=0或L

令"%,則/⑴+/(力=2/(司?/(0),若/⑼=0,則/(耳=0,與/")不恒為0

矛盾，/(。)=1,二?選項B正確選項A錯誤；

令戶T,則/(x)+/(-x)=2〃0)./(x)=2/(x),.,?/(%)=/(-%),???〃x)為偶函數,

，選項D正確選項C錯誤.

故選：BD.

舉一反三

練習16.(2023秋?遼寧錦州?高三統考期末)已知函數)=/(力對任意實數"，＞'

都滿足2f(x)/(y)=FG+y)+f(x-y),且〃1)=T,則()

A./(力是偶函數B./(力是奇函數

2023

C./(x)+/(l-x)=0D.￡/的=1

【答案】AC

【分析】令工=1。=0可得/(0)=1=0,從而可判斷B；令x=0可判斷A；令x=y=；,

可得/(；)=。，令x=g可判斷C；由AC的解析可得函數/("的周期為2,從而

可判斷D.

【詳解】在2/(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)中，

令x=l,y=0,可得"(1)/(0)=2/(1),gp-2/(O)=-2,解得〃0)=100,故B錯誤；

令x=0可得2〃0)/(y)=/(y)+/(-)，),即〃)，)=〃-)，)，

故函數〃y)是偶函數，即"X)是偶函數，故A正確；

令x=y=；,則2尸(￡|=〃1)+〃0)=0,故/Q)=o,

令%=；，可得2/出/(y)=嗎+，+《->,)=0,

故〃X)+/(1T)=O,故C正確；

因為/(X)是偶函數,所以/(X)寸(T),故為T)+/(1T)=0,

B|j/(x)+/(l+A-)=O,

所以〃x+l)+/(2+x)=0,所以f(x+2)=〃工)，故函數的周期為2,

因為/(1)+/(。)=0,/⑴=一1,所以/0)+/(2)=/⑴+/(0)=0,/(2023)=/(1)=-1.

2023

所以￡/'(&)=/⑴+〃2)++/(2023)=/(2023)=〃1)=一1,故D錯誤.

北二1

故選：AC.

練習17.(2023春?河南?高三信陽高中校聯考階段練習)已知定義在(fO)U(0,*o)

上的函數/(x)滿足a8W(Y>,O)5a包)，/8=/(。)-/(”)，且當工￡(。,1)時，

/W>o,則下列說法正確的是()

A.是奇函數但不是偶函數B.〃力是偶函數但不是奇函數

C./(另既是奇函數又是偶函數D./(X)既不是奇函數也不是偶函數

【答案】B

【分析】對。、〃進行賦值即可根據奇偶性的定義進行函數奇偶性的判斷.

【詳解】f(x)的定義域(T，0)U(0、y)關于原點對稱，

因為Wa,/>e(-oo,0)u(0,-K?),=/(?)-/(/>),

故令〃=—〃時，f(-l)=f(a)-f(-a)f

令。=。=1時，/(1)=/(1)-/(1)=0,

令〃=1,)=-1時，/(-1)=/(1)-/(-1)=>/(-1)=0,

=即"〃)=/(-a),

.??/(%)是偶函數,

又當工?0,1)時，/W>0,即/(x)不恒為零，故/")只能為偶函數，不能為奇函

數.

故選：B.

練習18.(2023秋?浙江衢州?高三統考期末)(多選)已知定義在R上的非常數函

數/'(%)滿足〃x+y)=/(x)+/(y)-i,則()

A./(O)=IB./(司-1為奇函數C./(力是增函數

D./("是周期函數

【答案】AB

【分析】對于A項、B項，令x=y=0,令戶t代入計算即可；對于C項、D

項，舉反練習判斷即兀.

【詳解】對于A項，令工=y=。得：/(0)=2/(0)-1,解得：/(O)=1,故A項正確;

對于B項，令>得：/(())=/*)+/(—)-1,由A項知，/(())=1,所以

(/(x)-l)+(/(-x)-l)=0l所以/1)-1為奇函數，故B項正確;

對于C項，當/(X)=T+I時，/(x+y)=-x-y+l,

f(x)+/(y)-l=f+l+(-y)+l-l=-x-.y+l,滿足/(》+y)=/*)+/()，)T,但

f(x)=T+l是減函數.故C項錯誤；

對于D項，當/(x)=x+l時，f(x+y)=x+y+\,/(x)+/(y)-l=^+l+y+l-l=x+j+l,

滿足"x+?=/")+/G)-l,但/(%)=x+l不是周期函數.故D項錯誤.

故選：AB.

練習19.(2022秋?高三單元測試)若定義在R上的函數/(x)滿足：對任意

與々eR,有/(%+々)=/0)+/*2)+1,則下列說法中：①/(力-1為奇函數；②

/(x)-l為偶函數；③/(6+1為奇函數；④/(“+1為偶函數.一定正確的是

【答案】③

【分析】令玉二工2=。，得/(0)=-1，令玉=工，?=一工得至1」/(力+1=-[/'(一X)+1]，

根據奇偶性定義即可得答案.

【詳解】對任意對fwR,有/(%+w)=/(玉)+/'(々)+1，

令%=七=。，得/(0)=T,

令M=X,W=T，得/(O)=/(X)+/(T)+1，

整理得/a)+i=-/(-x)-i=-[/(-x)+i],故〃x)+i為奇函數，

無法判斷〃力-1的奇偶性.

故答案為：③.

練習20.(2023春?廣東廣州?高三統考開學考試)(多選)若定義在(f,0)U(0,y)

上的函數/(x)滿足：f[xy)=f(x)+f(y)9且的2)=1，則下列結論中正確的是()

A./(1)=0B./(4)=2

C./(.r)4-/(-x)=0D./(-r)-/(-x)=0

【答案】ABD

【分析】根據所給抽象函數的性質，利用賦值法求解即可判斷各選項.

【詳解】由已知可得函數〃工)的定義域為(-8,o)u(o,w),滿足/E，)=/(x)+fG，)

①，且/(2)=1,

對于選項A,可令X=y=l,代入①式，得〃1)=〃1)+可1),得/⑴=0,所以A

選項是正確的；

對于選項B可令*=y=2,代入①式,得于4)=〃2)+〃2)=1+1=2,得f(4)=2,

所以B選項是正確的；

令x=y=-i,代入①式，得/⑴=/(-1)+/(-1)=2〃-1),而/⑴=0得/(-1)=0,

可令y=T代入①式,得f(T)=f(x)+〃T)=〃*整理得〃-x)=/(x),

所以C選項是錯誤的，D選項是正確的.

故選：ABD.

題型五抽象函數的周期性

例9.(2023春?廣西柳州?高二柳州市第三中學校考階段練習)若定義[-2023,202引

上的函數/M滿足：對任意%,々?-2023,2023］有“內+9)=/'(大)+/'(電)-2()22若

“X)的最大值和最小值分別為M,N,則M+N的值為()

A.2022B.2018C.4036D.4044

【答案】D

【分析】由賦值法可得/("+/(7)=4044,構造式力=/(力-2022,說明g(x)為

奇函數，由g(4n+g(%x=°可得結果?

【詳解】對任意西,々4—2023,2023］有/&+々)=/(百)+/(*2)—2022,貝IJ令

%=毛=0,/(0)=〃0)+f⑼一2022n/(0)=2022,

令

%=北毛=x,/(O)=/(^)i/(x)2022=>/(.r)i/(x)=4044=>［f(x)2022］=〃x)2022

令g(x)=/(x)-2022,則g(x)=_g(_x),故g(x)為［—2023,2023］上的奇函數，

故

gWL+g(xK=0?/⑴由2022+/(x)g,-2022=0?MN=/(x*n+/⑴皿=4044

故選：D.

例10.(2023?山西太原?太原五中校考一模)(多選)已知定義域為R的函數f(x)

(I、

對任意實數都有/(x+)，)+/(x—)，)=2/(x)/(y),且/-=0,則以下結論一定

正確的有()

A./(0)=-1B.是偶函數

C.關于(別中心對稱D./(1)-/(2)+...+/(2023)=0

【答案】BC

【分析】根據賦值法，可判斷/(。)=1或/(。)=。，進而判斷A,根據賦值法結合

奇偶性的定義可判斷C,根據偶函數即可判斷對稱性，根據對稱性以及奇偶性可

得函數的周期性，進而可判斷CD.

【詳解】令x=y=O,則/(0)+/(0)=2/(0)/(0)n/(0)=0或/'(0)=1,故A錯誤,

若"0)=1時,令x=0,貝IJ/(y)+/(-?=2/(y)/(0)?/()')守()，)，此時/(%)是

偶函數,若〃0)=。時，令y=。,則/(x)+/(x)=2/(x)/(。)=0?/(x)=0,此時/1(x)

既是偶函數又是奇函數；因此B正確，

令X=g,貝=2f(；)f(y)=0n/(g+)，)+/(g_)，=0,所以f")

關于(別中心對稱，故C正確，

由/。)關于A