2024年上海高考數學第一次模擬考試數學·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.本試卷分設試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3.答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關信息．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．填空題（共12小題）1．若關于x的不等式|x+1|＜6﹣|x﹣m|的解集為?，則實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．【分析】利用絕對值的幾何意義求得|x+1|+|x﹣m|的最小值為|m+1|，結合題意可得|m+1|≥6，由此求得實數m的取值范圍．【解答】解：由于關于x的不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集為?，而|x+1|+|x﹣m|表示數軸上的x對應點到﹣1、m對應點的距離之和，它的最小值為|m+1|，故有|m+1|≥6，∴m+1≥6，或m+1≤﹣6，求得m≤﹣7，或m≥5，故答案為：（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．【點評】本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于基礎題．2．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M為△ABC的外心，若，λ，μ∈R，則＝7．【分析】令邊AB，AC中點分別為D，E，將分別用和表示，再與求數量積即可列式計算作答．【解答】解：如圖，設邊AB，AC中點分別為D，E，連接DM，EM，因為點M為△ABC的外心，于是DM⊥AB，EM⊥AC，所以，，，所以，，依題意，，，解得，所以＝7．故答案為：7．【點評】本題主要考查了向量的數量積運算，屬于中檔題．3．各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S3＝7a3，則使成立的n的最小值為8．【分析】先由題設條件求出公比q，再代入求Sn，然后解不等式，求出結果．【解答】解：設數列{an}的公比為q，由題設條件知：q＞0，∵a1＝1，S3＝7a3，∴a1（1+q+q2）＝7a1q2，解得q＝．∴Sn＝＝2[1﹣（）n]．由解得n＞7，∴n的最小值為8．故填：8．【點評】本題主要考查等比數列的基本量的計算及指數不等式的解法，屬于基礎題．4．若4sin（x﹣）＝1，則cos（2x﹣）＝．【分析】由已知結合二倍角公式即可求解．【解答】解：由題意得sin（x﹣）＝，則cos（2x﹣）＝1﹣2sin2（x﹣）＝1﹣2×＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式，屬于基礎題．5．若函數的值域為（﹣∞，3]，則實數m的取值范圍是（2，5]．【分析】根據指數函數的單調性可得出，x≤1時，0＜f（x）≤3；根據二次函數的單調性可得出，x＞1時，f（x）＜m﹣2，再根據f（x）∈（﹣∞，3]即可得出0＜m﹣2≤3，解出m的范圍即可．【解答】解：∵x≤1時，0＜3x≤3；x＞1時，﹣2x2+m＜m﹣2，且f（x）的值域為（﹣∞，3]，∴0＜m﹣2≤3，∴2＜m≤5，∴實數m的取值范圍是：（2，5]．故答案為：（2，5]．【點評】本題考查了指數函數、二次函數的單調性，根據函數單調性求函數值域的方法，函數值域的定義及求法，考查了推理和計算能力，屬于基礎題．6．已知i為虛數單位，設z1＝x+2i，z2＝3﹣yi（x，y∈R），且z1+z2＝5﹣6i，則z1﹣z2＝﹣1+10i【分析】由z1+z2＝x+3+（2﹣y）i＝5﹣6i可求得x＝2，y＝8，從而求解．【解答】解：∵z1＝x+2i，z2＝3﹣yi（x，y∈R），∴z1+z2＝x+3+（2﹣y）i＝5﹣6i，∴x+3＝5且2﹣y＝﹣6，解得x＝2，y＝8，故z1﹣z2＝2+2i﹣（3﹣8i）＝﹣1+10i，故答案為：﹣1+10i．【點評】本題考查了復數的四則運算的應用，屬于基礎題．7．圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的半徑為2．【分析】由圓的一般方程化為標準方程，可得圓的半徑的值．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的標準方程為（x﹣1）2+y2＝4，可得圓的半徑為2，故答案為：2．【點評】本題考查圓的半徑的求法，屬于基礎題．8．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2＝2b2，sinC＝sinB，則cosA＝．【分析】由已知結合正弦定理可得a，b，c的關系，然后結合余弦定理求解．【解答】解：∵a2＝2b2，∴a＝，∵sinC＝sinB，∴c＝，∴cosA＝＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用，屬于基礎題．9．已知一組數據為﹣3，5，7，x，11，且這組數據的眾數為5，那么該組數據的中位數是5．【分析】根據題意，由數據的眾數為5可得x的值，由中位數的定義把這組數據從小到大排列，分析可得答案．【解答】解：根據題意，數據為﹣3，5，7，x，11的眾數為5，即5出現的次數最多，則x＝5，把這組數據從小到大排列，得﹣3，5，5，7，11，則數據的中位數是5，故答案為：5．【點評】本題考查眾數、中位數的計算，關鍵是求出x的值，屬于基礎題．10．在（x﹣2y+3z）7的展開式中，x4y3項的系數為﹣280．【分析】利用二項式定理，展開式的通項，即可解出．【解答】解：x4y3項的系數為：C＝﹣280．故答案為：﹣280．【點評】本題考查了二項式定理，學生的數學運算能力，屬于基礎題．11．下列說法中，正確的個數為0．（Ⅰ）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；（Ⅱ）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；（Ⅲ）底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；（Ⅳ）棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐．【分析】根據棱錐的概念可判斷（Ⅰ）；根據棱臺的概念可判斷（Ⅱ）；根據正三棱錐的概念可判斷（Ⅲ）；根據正六棱錐的側棱長一定大于底面邊長可判斷（Ⅳ）．【解答】解：對于（Ⅰ），棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐，故錯誤；對于（Ⅱ），有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺，只有當四個等腰梯形的腰延長后交于一點時，這個六面體才是棱臺，如圖1，側棱延長線可能不交于一點，故錯誤；對于（Ⅲ），底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，只有當三棱錐的頂點在底面的射影是底面中心時，才是正三棱錐，故錯誤；對于（Ⅳ），因為正六棱錐的底面是正六邊形，側棱在底面內的射影與底面邊長相等，所以正六棱錐的側棱長一定大于底面邊長，故錯誤．故答案為：0．【點評】本題考查了棱錐，棱臺的結構特征，屬于中檔題．12．已知△ABC的邊AC＝2，且，則△ABC的面積的最大值為．【分析】首先根據三角恒等變形和正弦定理變形得到，再利用三角形面積公式得，再轉化為三角函數的性質，求函數的最大值．【解答】解：由題意，設△ABC中角A，B，C所對應的邊長度分別為a，b，c，則有b＝2，由，可得，整理得3cosAsinB+2sinAcosB＝sinAsinB，∴cosAsinB+2sin（A+B）＝sinAsinB，∵A+B+C＝π，∴cosAsinB+2sinC＝sinBsinA，∴2sinC＝sinB（sinA﹣cosA），由正弦定理可得2c＝b（sinA﹣cosA）＝2（sinA﹣cosA），∴c＝sinA﹣cosA＞0，則有．故△ABC的面積＝sinA（sinA﹣cosA）＝sin2A﹣sinAcosA＝．∵，∴，當時，△ABC的面積S取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查三角函數和解三角形相結合的綜合應用，本題的關鍵是利用三角恒等變形和正弦定理得到，為后面轉化為關于A的三角函數求最值奠定基礎，屬中檔題．二．選擇題（共4小題）13．設集合A＝{x|x＞3}，則（）A．?∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A【分析】根據集合A的元素的范圍對應各個選項即可判斷求解．【解答】解：因為集合A＝{x|x＞3}，則??A，且0?A，2?A，4∈A，故選：D．【點評】本題考查了集合元素的性質，考查了學生的分析問題的能力，屬于基礎題．14．對三組數據進行統計，獲得以下散點圖．關于其相關系數依次是r1，r2，r3，則它們的大小關系是（）A．r1＞r3＞r2 B．r1＞r2＞r3 C．r2＞r1＞r3 D．r3＞r1＞r2【分析】由圖分析得到正負相關即可．【解答】解：由題意得，第一組數據線性相關，且正相關，第二組數據線性相關，且負相關，第三組數據無相關關系，故r1＞r3＞r2，故選：A．【點評】本題考查了變量相關關系的判斷，屬于基礎題．15．關于曲線C：x2﹣xy+y2＝1有下列四個結論：①曲線C關于y軸對稱；②曲線C關于原點對稱；③曲線C上任意一點的橫坐標不大于1；④曲線C上任意一點到原點的距離不超過．其中所有正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意，根據曲線方程，利用對稱性設點代入檢驗是否符合曲線方程可判斷①②，結合判別式可取特殊點代入排除③，根據兩點距離公式及基本不等式可判定④．【解答】解：不妨設曲線上一點A（x0，y0），此時，設A關于y軸對稱的點為B（﹣x0，y0），將點B代入曲線C可得，隨x0變化的值不一定始終為1，故①錯誤；同理，設A關于原點對稱的點為B（﹣x0，﹣y0），將點B代入曲線C可得恒成立，故②正確；易知曲線方程y＝，可得﹣≤x≤，令，可得，解得y＝，即曲線C上有一點，故③錯誤；易知，整理得，故④正確．綜上，結論正確的有②④．故選：B．【點評】本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理和運算能力．16．設函數在區間上的最大值為M，最小值為m，則M﹣m的最小值為（）A． B． C． D．【分析】求出的范圍，把它作為整體，結合正弦函數性質得最大值M與最小值m并分析它們的差最小時結論．【解答】解：時，，令，則問題轉化為g（t）＝sint在[上的最大值是M，最小值是m，由正弦函數性質，g（t）＝sint的周期是2π，要使得M﹣m最小，則g（t）的最大值或最小值點是區間[的中點，由周期性，不妨取或，或，時，，時，，故選：B．【點評】本題考查了三角函數的性質和最值問題，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）17．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱錐C1﹣B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形A1ADD1和ABCD是全等的邊長為2的菱形，且∠A1AD＝∠ABC＝，A1C＝3．（1）求三棱錐A1﹣ACD的體積；（2）求直線CD1和平面B1BC所成角的正弦值．【分析】（1）取AD中點O，連接A1O，CO，可得AD⊥平面A1OC，進而可求三棱錐A1﹣ACD的體積；（2）以O為原點，以OC，OD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示空間直角坐標系．利用向量法求直線CD1和平面B1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AD中點O，連接A1O，CO，則A1O⊥AD，CO⊥AD，則AD⊥平面A1OC，則＝??AD，∵，，A1C＝3，，＝A1O?CO?sin＝×××＝，＝??AD＝?2?＝；（2）以O為原點，以OC，OD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示空間直角坐標系．∵AD⊥平面A1OC，AD?平面ABCD，∴平面A1OC⊥平面ABCD，交線為CO，過點A1作A1H⊥OC，則A1H⊥平面ABCD，∵，∴H點在CO的延長線上，，A（0，﹣1，0），D（0，1，0），，，，，＝（0，2，0），，，設平面CBB1的法向量為＝（x，y，2），則，即，令，則，設直線CD1和平面B1BC所成角為θ，則sinθ＝＝．【點評】本題考查空間幾何體的體積的計算，考查線面角的正弦值的求法，屬中檔題．18．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當時x＜0時，f（x）＝x2+2x﹣1．（1）求f（x）解析式；（2）畫出函數圖像，并寫出單調區間．（無需證明）【分析】（1）由奇函數的定義和性質，結合已知f（x）的解析式，可得所求解析式；（2）由分段函數的圖象畫法可得f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調區間．【解答】解：（1）f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（0）＝0，當x＜0時，f（x）＝x2+2x﹣1，當x＞0時，﹣x＜0，f（﹣x）＝x2﹣2x﹣1＝﹣f（x），可得x＞0時，f（x）＝﹣x2+2x+1，所以f（x）＝；（2）由分段函數的圖象畫法，可得f（x）的圖象如右：f（x）的減區間為：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；增區間為：（﹣1，0），（0，1）．【點評】本題考查函數的奇偶性的定義和運用，以及分段函數的圖象和單調性，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．19．在某校開展的知識競賽活動中，共有A，B，C三道題，答對A，B，C分別得1分、1分、2分，答錯不得分．已知甲同學答對問題A，B，C的概率分別為，乙同學答對問題A，B，C的概率均為，甲、乙兩位同學都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨立．（1）求乙同學恰好答對兩道題的概率；（2）運用你學過的知識判斷，誰的得分能力更強．【分析】（1）利用二項分布可求乙同學恰好答對兩道題的概率；（2）利用獨立事件和二項分布可求甲同學在本次競賽中得分和乙同學在本次競賽中得分的數學期望，從而可求判斷誰的得分能力更強．【解答】解：（1）設“乙同學恰好答對兩道題”為事件為A，所以P（A）＝＝．（2）設甲同學本次競賽中得分為X，則X的可能取值為0，1，2，3，4分，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝＝，所以X的概率分布列為：X01234P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝；設乙同學本次競賽中得分為Y，由Y的可能取值為0，1，2，3，4分，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝×＝，P（Y＝4）＝＝，所以Y的概率分布列為：Y01234P所以E（Y）＝0×+1×+2×+3×+4×＝，所以，所以乙的得分能力更強．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望，是中檔題．20．設橢圓是橢圓Γ的左、右焦點，點在橢圓Γ上，點P（4，0）在橢圓Γ外，且．（1）求橢圓Γ的方程；（2）若，點C為橢圓Γ上橫坐標大于1的一點，過點C的直線l與橢圓有且僅有一個交點，并與直線PA，PB交于M，N兩點，O為坐標原點，記△OMN，△PMN的面積分別為S1，S2，求的最小值．【分析】（1）結合已知條件，將可得到一個關系式，然后再結合求出半焦距c，最后再結合a2﹣b2＝c2即可求解；（2）首先設出直線MN的方程x＝my+t，然后利用直線與橢圓相切求出m與t的關系，再通過聯立直線間的方程表示出直線M與N點的縱坐標，并表示出S1和S2，進而表示出，最后利用換元法和均值不等式即可求解．【解答】解：（1）因為點在橢圓Γ上，所以，①因為點P（4，0）在橢圓Γ外，且，所以，即a2﹣b2＝c2＝3，②由①②解得a2＝4，b2＝1，故橢圓Γ的方程為．（2）設點M（x1，y1），N（x2，y2），設直線MN：x＝my+t，由橢圓性質以及點C的橫坐標大于1可知，t＞2，將直線MN代入方程并化簡可得，（my+t）2+4y2﹣4＝0，即（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，因為直線l與橢圓有且僅有一個交點，所以Δ＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣4）＝0，即t2＝m2+4，直線AP的方程為：；直線BP的方程為lBP：，聯立方程得，同理得，所以，所以，，所以＝，令9t+8＝λ（λ＞26），則，當且僅當λ＝28，即時，不等式取等號，故當時，取得最小值．【點評】本題主