專題14一次方程組

閱讀與思考

一次方程組是在一元一次方程的基礎上展開的，解一次方程組的基本思想是“消元”，即通過消元

將一次方程組轉化為一元一次方程來解，常用的消元方法有代入法和加減法．

解一些復雜的方程組（如未知數系數較大，方程個數較多等），需觀察方程組的系數特點，從整體

上思考問題，運用整體疊加、整體疊乘、輔助引元、換元等技巧．

方程組的解是方程組理論中的一個重要概念，求解法、代解法是處理方程組解的基本方法．

a1xb1yc1

對于含有字母系數的二元一次方程組，總可以化為的形式，方程組的解由

a2xb2yc2

的取值范圍確定，當的取值范圍未給出時，須討論解的情況，基本

a1,b1,c1,a2,b2,c2a1,b1,c1,a2,b2,c2

思路是通過換元，將方程組的解的討論轉化為一元一次方程解的討論．

例題與求解

xy2

【例1】若m使方程組的解x，y的和為6，則m＝______________．

x2ym

(湖北黃岡市競賽試題)

解題思路：用含m的式子分別表示x，y，利用x＋y＝6的關系式，求解m．

5x22y2z2

【例2】若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz0）．則代數式的值等于()

2x23y210z2

119

A．B．C．－15D．－13

22

(全國初中數學競賽試題)

解題思路：把z當作常數，解關于x，y的方程組．

【例3】解下列方程組．

xyz

（1）456

2x3y4z3

（“縉云杯”邀請賽試題）

1995x1997y5989

（2）

1997x1995y5987

（北京市競賽試題）

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991

（3）

x1x2x1998x19991999

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：根據方程組的特點，靈活運用不同的解題方法，或脫去絕對值符號，或設元引參，或整

體疊加．

ax2y1a

【例4】已知關于x，y的方程組分別求出a為何值，方程組的解為：

2x2(a1)y3

（1）有唯一一組解；（2）無解；（3）有無窮多組解．

（湖北省荊州市競賽試題）

解題思路：通過消元，將方程組的解的情況討論轉化為一元一次方程解的情況討論．

bcdefacdefabdefabcef1

【例5】已知正數a，b，c，d，e，f滿足4，9，16，，

abcd4

abcdf1abcde1

，．求(abe)(bdf)的值．

e9f16

（“CADIO”武漢市競賽試題）

解題思路：利用疊乘法求出abcdef的值．

【例6】已知關于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，當a每取一個值時就有

一個方程，這些方程有一個公共解．

（1）求出這個公共解．

（2）請說明，無論a取何值，這個公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解．

（2013年“實中杯”數學競賽試題）

解題思路：分別令a取兩個不同的值，可得到二元一次方程組，求出公共解．

能力訓練

A級

m

1．若3x3m5n94y4m2n12是關于x，y的二元一次方程，則的值等于______.

n

（“希望杯”邀請賽試題）

23x17y63

2．方程組，的解為____________.

17x23y57

（遼寧省中考試題）

ax5y15?

3．已知方程組由于甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為x＝－3，y＝－

4xby2?

1；乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x＝5，y＝4．若按正確的a，b計算，則原方程組的解

為___________.

（四川省聯賽試題）

4．已知關于x的方程a(x3)b(3x1)5(x1)有無窮多個解，則a＝，b＝________.

（“希望杯”邀請賽試題）

xyxy

5．已知(4)2(2)20，則有()．

3232

A.x＝2，y＝3B.x＝－6，y＝3

C.x＝3，y＝6D.x＝－3，y＝6

3x2y6

6．如果方程組的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是()．

3x2y2

9191

A.B.C.－2D.2

36

a2b3c0abbcca

．設非零實數，，滿足，則的值為．

7abc222()

2a3b4c0abc

11

A.B.0C.D.1

22

（2013年全國初中數學競賽試題）

2a3b13a8.32(x2)3(y1)13

8．若方程組的解為則方程組的解為()．

3a5b30.9b1.23(x2)5(y1)30.9

x8.3x10.3x6.3x10.3

A.B.C.D．

y1.2y2.2y2.2y0.2

（山東省棗莊市中考試題）

2x3y2k1

9．已知關于x，y的方程組的解x，y的值的和為6，求k的值．

3x2y4k3

（上海市競賽試題）

10．解方程組．

361x463y102

（1）

463x361y102

（云南省昆明市競賽試題）

12

1

x16y3

（2）

11

1

2x22y1

（浙江省競賽試題）

xy7

（3）

2x3y1

．若滿足下列方程組

11x1~x5

2x1x2x3x4x56

x12x2x3x4x512

，求的值．

x1x22x3x4x5243x42x5

xxx2xx48

12345

x1x2x3x42x596

（美國數學邀請賽試題）

B級

1．已知對任意有理數a，b，關于x，y的二元一次方程(ab)x(ab)yab有一組公共解，

則公共解為______.

（江蘇省競賽試題）

2xy3z23

2．設，則3x－2y＋z＝．

x4y5z36

（2013年全國初中數學競賽試題）

6xmy18

3．若關于x，y的方程組有自然數解，則整數m可能的值是．

3xy0

（2013年浙江省湖州市競賽試題）

(a1)xy5

4．已知方程組，當a，b時，方程組有唯一一組解；當

xyb

a，b時，方程組無解；當a，b時，方程組有無數組解．

（“漢江杯”競賽試題）

5．“△”表示一種運算符號，其意義是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，則x＝()．

13

A.1B.C.D．2

22

（江蘇省競賽試題）

135x2y

6．已知，則的值為()．

xyzzx2yz

331

A.1B.C.D．

224

（重慶市競賽試題）

ax2by23ax5by9

7．已知關于x，y的兩個方程組和具有相同的解，那么a，b的值是

2xy73xy11

()．

a3a2a2a3

A.B.C.D．

b2b3b3b2

8．若a，c，d是整數，b是正整數，且滿足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，則a＋b＋c＋d的最大值

是()．

A.－1B.－5C.0D．1

（全國初中數學聯賽試題）

9．解方程組

xy1

（1）

x2y3

（江蘇省競賽試題）

ab1

bc2

（2）cd3

de4

ea6