專題06從地平面到腳手架

------分式的運算

閱讀與思考

分式的主要內容包括分式的概念、分式的基本性質、分式的四則運算、簡單的分式方程等．

分式的運算與分數的運算類似，是以整式的變形、因式分解及計算為工具，以分式的基本性質、運

算法則和約分為基礎．分式的加減運算是分式運算的難點，解決這一難點的關鍵是根據題目的特點恰當

地通分，通分通常有以下策略與技巧：

1．分步通分，步步為營；

2．分組通分，化整為零；

3．減輕負擔，先約分再通分；

4．拆項相消后通分；

5．恰當換元后通分，

學習分式時．應注意：

(1)分式與分數的類比．整數可以看做是分數的特殊情形，但整式卻不能看做是分式的特殊情形；

(2)整式與分式的區別需要討論字母的取值范圍，這是分式區別于整式的關鍵所在．

分式問題比起整式問題，增加了幾個難點；

(1)從“平房”到“樓房”，在“腳手架”上活動；

(2)分式的運算中多了通分和約分這兩道技術性很強的工序；

(3)需要考慮字母的取值范圍，

例題與求解

(m1)(m3)

【例1】m＝_________時，分式的值為0.

m23m2

（杭州市中考試題）

解題思路：分母不為0時，分式有意義，分子與分母的公因式m1就不為0．

111

【例2】已知abc1，以abc2，a2b2c23，則

abc1bca1cab1

的值為()．

12

A.1B．C．2D．

23

（太原市競賽試題）

解題思路：不宜直接通分，運用已知條件abc2，對分母分解因式，分解后再通分.

【例3】計算：

112a4a3

(1)

ababa2b2a4b4

（武漢市競賽試題）

ab11a23b2

(2)

a3a2bab2b3a3a2bab2b3a2b2a2b2a4b4

（天津市競賽試題）

x31x312(x21)

（3）

x32x22x1x32x22x1x21

（贛州市競賽試題）

b2a2ba

222

（4）abab

b3a3bab2a2

3()2

a3b3aba2b2

（漳州市競賽試題）

解題思路：由于各個分式復雜，因此，必須仔細觀察各式中分母的特點，恰當運用通分的相關策略

baba

與技巧；對于(4)，注意到題中各式是關于或的代數式，考慮設x，y，則xy1，通過

abab

換元可降低問題的難度．

當一個數學問題不能或不便于從整體上加以解決時，我們可以從局部入手將原題分解。這便是解題

的分解策略．解絕對值問題時用的分類、分段討論；解分式問題時用的分步分組通分、因式分解的分組

分解法以及裂項求值等都是分解策略的具體運用.

【例4】求最大的正整數n，使得n3100能被n＋10整除．

（美國數學邀請賽試題）

解題思路：運用長除法或把兩個整式整除的問題轉化為一個分式的問題加以解決.

類似于分數，當一個分式的分子的次數高于或等于分母的次數，那么就可以將分式化為整數部分與

分式部分的和，分式的這種變形稱為拆分變形，是拆項變形的一種．

ab1bc1ca1abc

【例5】已知，，，求的值．

ab15bc17ca16abbcca

（太原市競賽試題）

111

解題思路：設法求出的值．

abc

【例6】(1)設a，b，c均為非零實數，并且ab2(ab)，bc3(bc)，ca4(ca)，則abc

等于多少？（北京市競賽試題）

(2)計算：

1222k2992

121005000222005000k2100k500099299005000

（上海市競賽試題）

解題思路：對于(1)，通過變換題中等式，即可列出方程組，解得a，b，c的值；對于(2)，仔細

觀察，即可發現其中規律．

A級

1

1．要使分式有意義，則x的取值范圍是________.

1x

x

x211

2．代數式y的值為整數的全體自然數x的和是________.

x1

（全國初中數學聯賽試題）

222x18

3．已知x為整數，且為整數，則所有符合條件的x值的和為________.

x33xx29

（“希望杯”邀請賽試題）

1112x3xy4y

4．若，則＝________.

x2y3x3xy2y

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

5．關于分式，下列四種說法中正確的是().

A．含有分母的代數式叫做分式

B.分式的分母、分子同乘以（或除以）2a＋3，分式的值不變

x21

C．當x2時．分式的值為

x244

x

D．分式的最小值為零

x21

（重慶市競賽試題）

(x8)(x1)

6．已知分式的值為零，則x的值為().

x1

A．±1B．－lC．8D.－l或8

（江蘇省競賽試題）

6x3

7.若x取整數，則使分式的值為整數的x值有()．

2x1

A.3個B．4個C．6個D．8個

（江蘇省競賽試題）

mn8x

8．若對于±3以外的一切數均成立，則mn的值是()．

x3x3x29

A.8B．－8C．16D．－16

9．計算：

11248

(1)；

1x1x1x21x41x8

11abab

(2)；

ababa2abb2a2abb2

bccaab

(3)；

a2abacbcb2bcabacc2acbcab

1111

(4)

x(x1)(x1)(x2)(x2)(x3)(x99)(x100)

abbcca(ab)(bc)(ca)

(5)

abbcca(ab)(bc)(ca)

1111x2

10．當x分別取，，…，，1，2，…，2006，2007，時．求出代數式的值，

2007200621x2

將所得結果相加求其和.

（全國初中數學聯賽試題）

11111111

11．已知，求證：

abcabca2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1

（波蘭奧林匹克試題）

xyzuxyyzzu1ux

12．已知，則的值．

yzuzuxuxyxyzzuuxxyyz

（北京市競賽試題）

B級

ax7

1．如果使分式有意義的一切x的值，都使這個分式的值是一個定值，那么a，b應滿足的

bx11

條件是__________.

3x22x1ABxC

2．已知，其中A，B，C為常數，則B＝__________.

(x1)(x22)x1x22

（“五羊杯”競賽試題）

1111

3．設正整數m，n滿足m＜n且，則mn＝

m2m(m1)2(m1)n2n23

__________.

（“宇振杯”上海市競賽試題）

3x26x5

4．當x＝_______時，分式有最小值，最小值是__________.

1

x2x1

2

（全國初中數學聯賽試題）

115ba

5．已知，那么代數式的值是()．

ababab

1

A．5B．7C．3D．

3

11ab

6．已知a，b滿足ab＝1，記M，NN，則M，N的關系為()．

1a1b1a1b

A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．不確定

（全國初中數學聯賽試題）

abcabcabc

7．以a，b，c為非零實數，且abc0，若，解

cba

(ab)(bc)(ca)

等于()

abc

A.8B．4C．2D．1

（天津市競賽試題）

111

8．已知有理數a，b，c滿足abc0，abc＜0，那么的值是()．

abc

A.正數B．零C．負數D．不能確定

（“希望杯”邀請賽試題）

9．化簡：

11111111111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

abacabdabcabcd

(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)

(2)

(x2yz)(xy2z)(xy2z)(yz2x)(yz2x)(x2yz)

10.n為自然數，若n6n31996，則稱n為1996的吉祥數，如46431996，4就是1996

的一個吉祥數，試求1996的所有吉祥數的和．

（北京市競賽試題）

11.用水清洗蔬菜上殘留的農藥．設用x(x≥1)單位量的水清洗一次后蔬菜上殘留的農藥量與本

1

次清洗前殘留的農藥量之比為．

1x

現有a（a≥2）單位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成兩份后清洗兩次．試問用哪種方

法清洗后蔬菜上殘留的農藥量較少？說明理由．

（孝感市中考試題）

12.已知正整數n大于30，且使得4n1整除2002n，求n的值.

專題06從地平面到腳手架----分式的運算

例13

例2D提示:abc1(a1)(b1），bca1(b1)(c1），cab1(c1)(c1），再代入原式

化簡即解.

722

例3(1)8a(2)0(3)0(4)ba提示(1)分步通分；(2)分組通分；(3)約分后再通分.

a8b8b2a2

n3100900

例4890提示:n210n100為整數.

n10n10

111111111

例5由已知得15,17,16,三式相加得248.

abbccaabc

1

原式=24

111

abc

111111

例6(1)對已知三式取倒數,得,,.

ab2(ab)bc3(bc)ca4(ca)

1111111112424

∴,,,解得:a,b,c24.

ab2bc3ca457

24241128

∴abc24.

5735

n2(100n)22n2200n10000

(2)2,而

n2100n5000(100n)2100(100n)5000n2100n5000

502

1,∴原式=492199.

502501005000

A級

1.x≠0且x≠±1

x211212

2.y==x-1+，即x+1/12.

x1x1

X可取值為1，2，3，5，11，∴全體自然數x的和為22.

5

3.124.5.D6.C7.B.

11

mn8

8.D提示：由已知得（m-n）x-3（m+n）=8x，則

mn0

166ab42100

9.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）0

1x16a6b6caxx100

2

1

1

1x2x

取值成對互為倒數，先計算：，故其和為

10.22=00.

1x1

1

x

1111abab

11.由條件得：，.

ababccababcc

∴ababcabc0，即abbcac0，∴a=-b，或b=-c，或c=-a.

1111

不妨設a=-b，則a2n1b2n1，左邊=；

b2n1b2n1c2n1c2n1

11

右邊=，故等式成立.

b2n1b2n1c2n1c2n1

xyzuxyzuxyzuxyzu

12.由條件得：=.

yzuzuxuxyxyz

（1）若x+y+z+u≠0，則由分母推得x=y=z=u，原式=1+1+1+1=4.

（2）若x+y+z+u=0，則x+y=-（z+u），y+z=-（u+x），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.

B級

7

1.11a-7b=02.

3

3.（23-m）（n+24）=529∴23-m=1，n+24=529∴m=22，n=505m+n=5274.-1，4

5.C6.B7.A8.A

11111111111

9.原式=-1+1+1+1+11+111

a