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文檔簡介
專題20正方形
閱讀與思考
矩形、菱形、正方形都是平行四邊形,但它們都是有特殊條件的平行四邊形,正方形不僅是特殊的
平行四邊形,而且是鄰邊相等的特殊矩形,也是有一個角是直角的菱形,因此,我們可以利用矩形、菱
形的性質來研究正方形的有關問題.
正方形問題常常轉化為三角形問題解決,在正方形中,我們最容易得到特殊三角形、全等三角形,
熟悉以下基本圖形.
例題與求解
AD
【例l】如圖,在正方形紙片ABCD中,對角線AC,BD交于點O,折疊G
正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點A恰好與BD上的點F重合,展開后,E
O
AD
折痕DE分別交AB,AC于點E,G.下列結論:①AGD112.50;②2;
AEF
③;④四邊形是菱形;⑤C
SAGDSOGDAEFGBE2OG.B
其中,正確結論的序號是______________.(重慶市中考試題)
解題思路:本題需綜合運用軸對稱、菱形判定、數形結合等知識方法.
【例2】如圖1,操作:把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上
(CGBC),取線段AE的中點M.連MD,MF.
(1)探究線段MD,MF的關系,并加以證明.
(2)將正方形CGEF繞點C旋轉任意角后(如圖2),其他條件不變.
探究線段MD,MF的關系,并加以證明.
(大連市中考題改編)
解題思路:由M為AE中點,想到“中線倍長法”再證三角形全等.
【例3】如圖,正方形ABCD中,E,F是AB,BC邊上兩點,且EFAEFC,DGEF
于G,求證:DGDA.
(重慶市競賽試題)
解題思路:構造AEFC的線段是解本例的關鍵.
【例4】如圖,正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個小矩形,P是EF與
GH的交點,若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍,試確定HAF的大小,并證明你的
結論.
(北京市競賽試題)
解題思路:先猜測HAF的大小,再作出證明,解題的關鍵是由條件及圖形推出隱含的線段間的
關系.
AED
GH
P
BC
F
【例5】如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是邊BC,CD上的點,滿足EFBEDF,
AE,AF分別與對角線BD交于點M,N.
求證:(1)EAF450;
(2)MN2BM2DN2.(四川省競賽試題)
解題思路:對于(1),可作輔助線,創造條件,再通過三角形全等,即可解答;對于(2),很容易
聯想到直角三角形三邊關系.
【例6】已知:正方形ABCD中,MAN450,MAN繞點A順時針旋轉,它的兩邊分別交
CB,DC(或它們的延長線)于點M,N.
當MAN繞點A旋轉到BMDN時(如圖1),易證BMDNMN.
(1)當MAN繞點A旋轉到BMDN時(如圖2),線段BM,DN和MN之間有怎樣的數量
關系?寫出猜想,并加以證明;
(2)當MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時,線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數量關系?
請直接寫出你的猜想.
(黑龍江省中考試題)
解題思路:對于(2),構造DNBM是解題的關鍵.
AD
C
MB
ADAD
N
N
BCBC
MMN
圖1圖2圖3
能力訓練
A級
1.如圖,若四邊形ABCD是正方形,CDE是等邊三角形,則EAB的度數為__________.
(北京市競賽試題)
2.四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,給出以下題設條件:
①ABBCCDDA;
②AOBOCODO,ACBD;
③AOCO,BODO,ACBD;
④ABBC,CDDA.
其中,能判定它是正方形的題設條件是______________.(把你認為正確的序號都填在橫線上)
(浙江省中考試題)
3.如圖,邊長為1的兩個正方形互相重合,按住一個不動,將另一個繞頂點A順時針旋轉300,
則這兩個正方形重疊部分的面積是__________.
(青島市中考試題)
AD
D
P
AAD
CBC
BCP
第1題圖第3題圖第4題圖
4.如圖,P是正方形ABCD內一點,將ABP繞點B順時針方向旋轉至能與CBP'重合,若
PB3,則PP'=__________.(河南省中考試題)
將個邊長都為的正方形按如圖所示擺放,點分別是正方形的中心,則個正
5.n1cmA1,A2,Ann
方形重疊形成的重疊部分的面積和為()
1nn11
A.cm2B.cm2C.cm2D.()ncm2
4444
(晉江市中考試題)
第5題圖第6題圖
6.如圖,以RtBCA的斜邊BC為一邊在BCA的同側作正方形BCEF,設正方形的中心為O,
連接AO,如果AB4,AO62,則AC的長為()
A.12B.8C.43D.82
(浙江省競賽試題)
7.如圖,正方形ABCD中,CEMN,MCE350,那么ANM是()
A.450B.550C.650D.750
8.如圖,正方形ABCD的面積為256,點F在AD上,點E在AB的延長線上,RtCEF的面
積為200,則BE的值是()
A.15B.12C.11D.10
9.如圖,在正方形ABCD中,E是AD邊的中點,BD與CE交于F點,求證:AFBE.
1
10.如圖,在正方形ABCD中,E是AB邊的中點,F是AD上的一點,且AFAD.
4
求證:CE平分BCF.
11.如圖,已知P是正方形ABCD對角線BD上一點,PEDC,PFBC,E,F分別是垂足.
求證:APEF.
(揚州市中考試題)
12.(1)如圖1,已知正方形ABCD和正方形CGEF(CGBC),B,C,G在同一條直線上,M為
線段AE的中點.探究:線段MD,MF的關系.
(2)如圖2,若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉450,使得正方形CGEF的對角線CE在正方
形ABCD的邊BC的延長線上,M為AE的中點.試問:(1)中探究的結論是否成立?若成立,請證
明;若不成立,請說明理由.
(大連市中考試題)
F
D
A
FE
M
MBE
ADC
G
BCG
圖1圖2
B級
1.如圖,在四邊形ABCD中,ADDC,ADCABC900,DEAB于E,若四邊形
ABCD的面積為8,則DE的長為__________.
1
2.如圖,M是邊長為1的正方形ABCD內一點,若MA2MB2,CMD900,則MCD
2
__________.
(北京市競賽試題)
3.如圖,在RtABC中,C900,AC3,以AB為一邊向三角形外作正方形ABEF,正方形
的中心為O,且OC42,則BC的長為__________.
(“希望杯”邀請賽試題)
4.如圖:邊長一定的正方形ABCD,Q是CD上一動點,AQ交BD于M,過M作MNAQ交
1
BC于N點,作NPBD于點P,連接NQ,下列結論:①AMMN;②MPBD;
2
ABBN
③BNDQNQ;④為定值,其中一定成立的是()
BM
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
5.如圖,ABCD是正方形,BF//AC,AEFC是菱形,則ACF與F度數的比值是()
A.3B.4C.5D.不是整數
6.一個周長為20的正方形內接于一個周長為28的正方形,那么從里面正方形的頂點到外面正方形
的頂點的最大距離是()
7
A.58B.5C.8D.65E.53
2
(美國高中考試題)
7.如圖,正方形ABCD中,AB8,Q是CD的中點,設DAQ,在CD上取一點P,使
BAP2,則CP的長度等于()
A.1B.2C.3D.3
(“希望杯”邀請賽試題)
8.已知正方形ABCD中,M是AB中點,E是AB延長線上一點,MNDM且交CBE平分
線于N(如圖1)
(1)求證:MDMN;
(2)若將上述條件中的“M是AB中點”改為“M是AB上任意一點”其余條件不變(如圖2),
(1)中結論是否成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由;
(3)如圖2,點M是AB的延長線上(除B點外)的任意一點,其他條件不變,則(1)中結論是
否成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由;
(臨汾市中考試題)
`
9.已知0a1,0b1,求證:
a2b2(1a)2b2a2(1b)2(1a)2(1b)222.
10.如果,點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,已知MCN的周長等于正方形ABCD周
長的一半,求MAN的度數.(“祖沖之杯”邀請賽試題)
11.如圖,兩張大小適當的正方形紙片,重疊地放在一起,重疊部分是一個凸八邊形ABCDEFGH,
對角線AE,CG分這個八邊形為四個小的凸四邊形,請你證明:AECG,且AECG.
(北京市競賽試題)
12.如圖,正方形MNBC內有一點A,以AB,AC為邊向ABC外作正方形ABRT和正方形
ACPQ,連接RM,BP.求證:BP//RM.
(武漢市競賽試題)
專題20正方形
例1①④⑤提示:在AD上取AH=AE,連EH,則∠AHE=45°,∴∠HED=∠HDE=22.5°,則HE
=HD.又∵HE=HD>AE,故②不正確.又SAGDSFGDSCGD,故③不正確.
例2提示:(1)延長DM交CE于N,連DF,NF,先證明ADM≌△ENM,再證明CDF≌△ENF得
FD=FN,∠DFN=∠CFE=90°,故MD⊥MF且MD=MF.
△△
(2)延長DM到N點,使DM=MN,連FD,FN,先證明ADM≌ENM,得AD=EN,∠MAD=∠MEN,
則AD∥EN.延長EN,DC交于S點,則∠ADC=∠CSN=90°.在四邊形FCSE中,∠FCS+∠FEN=
△△
180°,又∵∠FCS+∠FCD=180°,故∠FEN=∠FCD,再證CDF≌△ENF.∴(1)中結論仍成立.
例3提示:延長BC至點H,使得CH=AE,連結DE,DF,由RtDAE≌RtDCH得,DE=DH,進
△
而推證DEF≌△DFH,RtDGE≌RtDCH.
△△
例4設AG=a,BG=b,AE=x,ED=y,則
△△△
abxy,①
2axby.②
由①得a-x=y-b,平方得a2-2ax+x2=y2-2by+b2.
將②代入得a2-2ax+x2=y2-4ax+b2,
∴(a+x)2=b2+y2,得a+x=b2y2.
∵b2+y2=CH2+CF2=FH2,
∴a+x=FH,即DH+BF=FH.
延長CB至M,使BM=DH,連結AM,由RtABM≌RtADH,得AM=AH,∠MAB=∠HAD.
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°.
△△
再證AMF≌△AHF.∴∠MAF=∠HAF.
1
即∠H△AF=∠MAH=45°.
2
例5(1)如圖,延長CD至點E1,使DE1=BE,連結AE1,則ADE1≌△ABE.
從而,∠DAE1=∠BAE,AE1=AE,于是∠EAE1=90°.
△
在△AEF和△AE1F中,EF=BE+DF=E1D+DF=E1F,則△AEF≌△AE1F.
1
故∠EAF=∠E1AF=∠EAE1=45°.
2
(2)如圖,在AE1上取一點M1,使得AM1=AM,連結M1D,M1N.則
△ABM≌△ADM1,△ANM≌△ANM1,
故∠ABM=∠ADM1,BM=DM1,MN=M1N.
22222
∵∠NDM1=90°,從而M1N=M1D+ND,∴MN2=BM+DN.
例6(1)BM+DN=MN成立.
如圖a,把△AND繞點A順時針旋轉90°,得到△ABE,E、B、M三點共線,則△DAN≌△BAE,
∴AE=AN,∠EAM=∠NAM=45°,AM=AM,得△AEM≌△ANM,∴ME=MN.
∵ME=BE+BM=DN+BM,∴DN+BM=MN.
(2)DN-BM=MN.
如圖b,對于圖2,連BD交AM于E,交AN于F,連EN,
FM可進一步證明:①△CMN的周長等于正方形邊長的2倍;
②EF2=BE2+DF2;
③△AEN,△AFM都為等腰直角三角形;
④SAMN2SAEF.
A級
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