專題27面積法

閱讀與思考

平面幾何學的產生源于人們測量土地面積的需要，面積關聯著幾何圖形的重要元素邊與角．

所謂面積法是指借助面積有關的知識來解決一些直接或間接與面積問題有關的數學問題的一種方

法．有許多數學問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯系著幾何圖形的重要元素，所以借

助于有關面積的知識求解，常常簡捷明快．

用面積法解題的基本思路是：對某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計算，就可得到

一個含邊或角的關系式，化簡這個面積關系式就可得到求解或求證的結果．

下列情況可以考慮用面積法：

（1）涉及三角形的高、垂線等問題；

（2）涉及角平分線的問題．

例題與求解

【例1】如圖，從等邊三角形內一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這

個等邊三角形的邊長為______________．

(全國初中數學聯賽試題)

解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關系入手．

等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？

【例2】如圖，△AOB中，∠O＝900，OA＝OB，正方形CDEF的頂點C在DA上，點D在OB

2

上，點F在AB上，如果正方形CDEF的面積是△AOB的面積的，則OC：OD等于()

5

A．3：1B．2：1

C．3：2D．5：3

解題思路：由面積關系，可能想到邊、角之間的關系，這時通過設元，即可把幾何問題代數化來解

決．

【例3】如圖，在□ABCD中，E為AD上一點，F為AB上一點，且BE＝DF，BE與DF交于G，

求證：∠BGC＝∠DGC.

（長春市競賽試題）

解題思路：要證∠BGC＝∠DGC，即證CG為∠BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口．

【例4】如圖，設P為△ABC內任意一點，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點D、E、F.

PDPEPF

求證：（1）1；

ADBECF

PAPBPC

（2）2.（南京市競賽試題）

ADBECF

解題思路：過P點作平行線，產生比例線段.

【例5】如圖，在△ABC中，E，F，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點D，

ADBDCDADBDCD

且1994，求的值.

DEDFDPDEDFDP

解題思路：利用上例的結論，通過代數恒等變形求值.

（黃岡市競賽試題）

【例6】如圖，設點E，F，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，且

AEBFCGDH

k（k是正數），求四邊形EFGH的面積．

EBFCGDHA

（河北省競賽試題）

解題思路：連對角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉化為三角形的面積比．

線段比與面積比的相互轉化，是解面積問題的常用技巧．轉化的基本知識有：

(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比；

(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比；

(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方．

能力訓練

1．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，E是AD的中點，BM⊥EC，垂足為M，則BM＝______.

（福建省中考試題）

2．如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝a，AB＝b，則

CE＝__________.

（南寧市中考試題）

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個正方形的面積分別為25，48，121，114，PR＝13，則該

八邊形的面積為____________.

（江蘇省競賽試題）

在△中，三邊長為，，，表示邊上的高的長，，的意義類似，

4.ABCa3b4c6haahbhc

111

則＋＋的值為（上海市競賽試題）

(hahbhc)____________.

hahbhc

5．如圖，△ABC的邊AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖

中三個陰影部分的面積之和的最大值是__________.

（全國競賽試題）

6．如圖，過等邊△ABC內一點P向三邊作垂線，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，則△ABC的面積是()．

A.1923B.1903C.1943D.1963

（湖北省黃岡市競賽試題）

第5題圖第6題圖第7題圖

7．如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，若∠CAD＝∠DAB＝600，AC＝3，AB＝6，則AD的長

是()．

11

A．2B.2C.3D.3

22

8．如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所

成的個區域的面積分別為，，，，，，，那么恒成立的關系式是．

7S1S2S3S4S5S6S7()

A.S2+S6=S4B.S1+S7=S4

．

C.S2+S3=S4DS1+S6=S4

．已知等邊△和點，設點到△三邊，，的距離分別為，，，△

9ABCPPABCABACBCh1h2h3ABC

的高為．若點在一邊上（如圖），此時，可得結論：＋＋＝

hPBC1h30h1h2h3h.

請直接用上述信息解決下列問題：

當點P在△ABC內（如圖2）、點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結論是否還成立？

若成立．請給予證明；若不成立，，，與之間又有怎樣的關系？請寫出你的猜想，不需證明．

h1h2h3h

（黑龍江省中考試題）

10.如圖，已知D，E，F分別是銳角△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD、BE、CF相交于P

點，AP＝BP＝CP＝6，設PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xyyzzx28，求xyz的值．

（“希望杯”邀請賽試題）

11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求證：AE∥BD.

（加拿大數學奧林匹克試題）

12.如圖，在銳角△ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA邊上的三等分點.P，Q，R分別是△ADF，

△BDE，△CEF的三條中線的交點.

(1)求△DEF與△ABC的面積比；

(2)求△PDF與△ADF的面積比；

(3)求多邊形PDQERF與△ABC的面積比.

BECFDGAH

13．如圖，依次延長四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使m，

ABBCCDDA

若