6.2排列與組合6.2.4組合數(shù)第1課時(shí)

組合數(shù)公式人教A版選擇性必修第三冊

第六章

計(jì)數(shù)原理一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)類比與理解組合數(shù)的概念能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式能用組合數(shù)的知識與公式求解相關(guān)問題2.判斷一個(gè)計(jì)數(shù)問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān).復(fù)習(xí)回顧1.組合定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．新知探究類比排列數(shù)，我們引進(jìn)組合數(shù)概念：組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號

表示.組合的第一個(gè)字母元素總數(shù)取出元素?cái)?shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)為從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合數(shù)為符號中的C是英文combination(組合)的第一個(gè)字母.組合數(shù)還可以用符號表示.回顧：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

新知探究

前面，我們利用“元素相同、順序不同的兩個(gè)組合相同”“元素相同、順序不同的兩個(gè)排列不同”，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，建立了排列和組合之間的對應(yīng)關(guān)系.那么它們之間的數(shù)量關(guān)系是怎樣的？應(yīng)用同樣的方法，我們來求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù).組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb設(shè)這4個(gè)元素為a,b,c,d，那么從中取出3個(gè)元素的排列數(shù).因此組合數(shù)以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)將這24個(gè)排列分組，一共有4組：新知探究新知探究

追問

我們該怎么安排才能和組合聯(lián)系在一起？組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb觀察上圖，也可以這樣理解：

根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有

新知探究：組合數(shù)的定義

于是，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有所以概念生成組合數(shù)公式：另外，我們規(guī)定所以上面的公式還可以寫成典例解析例6

計(jì)算：解：思考此關(guān)系是否具有一般性？性質(zhì)1新知探究：組合數(shù)的性質(zhì)問題3

對于組合數(shù)的這個(gè)性質(zhì)你能給出證明與解釋嗎？性質(zhì)1證明：組合解釋：

解釋：

該性質(zhì)也可以根據(jù)組合數(shù)的定義與分類加法計(jì)數(shù)原理直接得出，在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的方法時(shí)，對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能.如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取出(m-1)個(gè)元素，所以共有種取法；如果不取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取出m個(gè)元素，所以共有種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，得.新知探究：組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)21.計(jì)算：追問：你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想？解：1.計(jì)算：課本P25鞏固練習(xí)證明：2.求證：課本P25鞏固練習(xí)1.計(jì)算：解：鞏固練習(xí)解：解：例7

在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？典例解析解：(1)所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為(2)從2件次品中抽出1件的抽法有

種，從98件合格品中抽出2件的抽法有

種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為典例解析例3

在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為(3)解1(直接法)：

解2(間接法)：

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù)，即變式：把(3)中的“至少”改為“至多”，則抽法有多少種“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解3.有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績，現(xiàn)要從中選3門考試成績.(1)共有多少種不同的選法(2)如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法(3)如果物理和化學(xué)至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法解：課本P25鞏固練習(xí)20

題型1無限制條件的組合問題

典例解析2122232425262728

題型2有限制條件的組合問題

典例解析2930313233343536典例解析

題型3幾何中的