黃梅縣育才高級中學2024年春季期中考試高二數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】求導函數(shù)，當時，，∴曲線在點處的切線方程為：，即.故選：A.2.若函數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)的運算法則求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，計算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=1,即可得答案．【詳解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x4，∴f′（1）＝6,又，∴故選C．【點睛】本題考查求函數(shù)的導函數(shù)值，先求出導函數(shù)，給導函數(shù)中的x賦值是解題的關鍵．3.展開式中的系數(shù)為（）A.10 B.24 C.32 D.56【答案】D【解析】【分析】先將式子化成，再分別求兩項各自的的系數(shù)，再相加，即可得答案.【詳解】∵，∴展開式中含的項為，展開式中含的項，故的系數(shù)為.故選：D.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.4.隨機變量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列X246Pabc則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差中項及分布列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為a，b，c成等差數(shù)列，所以，由隨機變量X分布列的性質(zhì)知，，聯(lián)立，解得，所以.故選：D.5.若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導數(shù)求得平行于直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，因為，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點坐標為，由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故選：B.6.端午節(jié)為每年農(nóng)歷五月初五，又稱端陽節(jié)、午日節(jié)、五月節(jié)等.端午節(jié)是中國漢族人民紀念屈原的傳統(tǒng)節(jié)日，以圍繞才華橫溢、遺世獨立的楚國大夫屈原而展開，傳播至華夏各地，民俗文化共享，屈原之名人盡皆知，追懷華夏民族的高潔情懷.小華的媽媽為小華煮了8個粽子，其中5個甜茶粽和3個艾香粽，小華隨機取出兩個，事件A“取到的兩個為同一種餡”，事件B“取到的兩個都是艾香粽”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結合條件概率公式，即可求解.【詳解】由題意，，，所以.故選：B.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關系分析可得原題意等價于在上恒成立，根據(jù)恒成立問題結合二次函數(shù)分析運算.【詳解】由題意可得：，令，可得，原題意等價于在上恒成立，因為開口向下，對稱軸，可得在上單調(diào)遞減，當時，取到最大值，所以的取值范圍是.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用當時，，得到在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，得到函數(shù)的圖象關于直線對稱，之后利用函數(shù)單調(diào)性和對稱性之間的關系進行比較即可得到結果.【詳解】當時，，所以在上單調(diào)遞增.又因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱.所以在上單調(diào)遞減.因為，，，所以.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，根據(jù)條件求出函數(shù)的對稱性是解決該題的關鍵.二、多選題:本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導數(shù)運算正確的有（）A. B.C D.【答案】AD【解析】【分析】直接根據(jù)導數(shù)的運算法則及求導公式求解即可.【詳解】解：，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：AD.10.帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（）A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B.放進不同4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對B：分類討論一共用了幾個球，再結合捆綁法運算求解；對C：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對D：利用捆綁法運算求解.【詳解】對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種放法，A正確；對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，B錯誤；對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種放法，C正確；對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.11.如圖，平面，，，，，，，則（）A.B.平面C.平面與平面的夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得.【詳解】因為平面，，由題意，以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，可得，，，，，，則，，所以，所以，不垂直，故A錯誤；依題意，是平面的法向量，又，可得，則，又因為直線平面，所以平面，故B正確；設為平面的一個法向量，則，即，令，可得，依題意，，，設為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為，故C正確；設直線與平面所成角，，則，故D錯誤.故選：BC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.已知，若，則___________.【答案】1【解析】【詳解】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和.展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.故答案為：113.為了響應全國創(chuàng)文明城活動，某單位計劃安排五名員工分別去三個小區(qū)參加志愿者服務，每個員工只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，員工甲不去小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)共有______種．【答案】100【解析】【分析】根據(jù)題意有和兩種情況，共有種情況，再根據(jù)員工甲去三個小區(qū)的可能性相同，得到答案.【詳解】五名員工分別去三個小區(qū)A，B，C參加志愿者服務，每個員工只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，則有和兩種情況，共有種情況，員工甲去三個小區(qū)的可能性相同，所以共有種情況.故答案為：10014.已知函數(shù)，若在上存在零點，則實數(shù)a的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】由在上存在零點，可轉化為方程在上有解，求出在上的范圍即可得.【詳解】由，在存在零點，即在上有解，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，令，，則，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當時，，即有，故，即實數(shù)a的最大值是.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于將題意轉化為方程在上有解后，構造出函數(shù)，及，，從而求出的最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中各項系數(shù)之和為32．（1）求n的值；（2）求展開式中的常數(shù)項．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由展開式中各項系數(shù)之和為32，可得，從而可求出n的值；（2）展開式中的常數(shù)項等于的展開式的系數(shù)與的系數(shù)的差即可得答案【詳解】解：（1）由題意，令得，解得．（2）因為二項式的通項為，所以展開式中的常數(shù)項為．16.已知函數(shù)（）.（1）求在上的最大值；（2）若函數(shù)恰有三個零點，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)明確函數(shù)的單調(diào)性，求出極值和端點值，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得其極大值和極小值，結合零點存在性定理，可得答案.【小問1詳解】，可知時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，由，，，，則.【小問2詳解】由（1）知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，因為有三個零點，所以，即，解得，故的取值范圍為.17.甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球．先隨機取一只袋，再從該袋中先隨機取1個球不放回，接著再從該袋中取1個球．（1）求第一次取出的球為紅球的概率；（2）求第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）設出事件，利用全概率公式進行求解；（2）結合第一問的求解，設出事件，用全概率公式和條件概率公式進行求解.【小問1詳解】設第一次取出的球為紅球為事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋為事件，，，則，由全概率公式可得：.【小問2詳解】設第二次取出的球是白球為事件，由全概率公式可得：，所以.18.如圖，在梯形ABCD中，，將沿著BD折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：；（2）點M滿足，若二面角的余弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過D作，根據(jù)面面垂直證明線面垂直，從而可得，再證明平面，由此可證明；（2）建立合適空間直角坐標系，利用向量法表示出二面角的余弦值，由此可求的值.【小問1詳解】過D作，垂足為N，因平面平面PBC，平面平面，平面，所以平面PBC，因平面PBC，所以，因為，，所以平面，因為平面，所以．【小問2詳解】由（1）可知平面，又，以B為坐標原點，以的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，設平面BCM的一個法向量，由得，令得，平面BDM的一個法向量可取，因為二面角的余弦值為，所，解得，所以．19.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求導，分別令，，即可得到遞增遞減區(qū)間；（2）將，轉化為，然后分、