2024高考數學：空間向量的數量積運算

目錄

1.空間向量的夾角...............................................................1

2.空間向量數量積...............................................................1

3.數量積的性質.................................................................2

4.數最積的運算律...............................................................2

5.考試題.......................................................................4

5.1.選擇題（每小題6分，共30分）...............................................4

5.2.填空題（每小題8分，共24分）................................................5

5.3.解答題（9題,10題14分,11題18分）.......................................6

6.答案解析.....................................................................7

1.空間向量的夾角

1、定義：已知空間兩個非零向量；、力，在空間任取一點°,作

'則"二S叫做向量5、加勺夾角，記作一力，

2、夾角的范圍：0°W0W180°.

2.空間向量數量積

fff—

定義：已知空間兩個非零向量4、士,則，叫做4的數

量積，記作二石.

fff丁f一

g|j.上小二卜拉卜「七

規定：G與任何向量的數量積都為0.

說明：

（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos。的符號所決

定.

（2）兩個向量的數量積寫成】石；今后要學到兩個向量的外積占工而

ab是兩個數的積，書寫時要嚴格區分.

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(3)在數量積中，若；(備注：視頻中應該是U),且*6-U,不能

推出(備注：視頻中應該是°),因為其中cos。有可能為0.

f——f——

(4)在實數中,有(aXb)c=a(bXc),但是

3.數量積的性質

ff——f

(])/?。一3?；一,)ri'fe

(2)4=4?b-0.

(3)當；與2同向時，」5一|，嚇'|；當；與4反向時，"?'--|訓'：1；

特別的I__________________康I;

(4)國口|；

(5)__________

4.數量積的運算律

―f——

(1)交換律：上訪二5。；

(2)結合律：(如'J=篁"叱;—而；

(3)分配律：；④+二)二工二二.

例1、用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理.

己知：”"是平面a內的兩條相交直線，直線？與平面a的交點為/工且

求證：2匕

證明：

作a平面內任意一條直線g，設直線m,n,g,1的方向向量分別為

—*frQ

m.agj.

??,m,n相交，,不共線，又EWa在a內，

???由共面向量定理知，存在(x,y)使得

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???篦-v'w",又l_Lm,l_Ln,U.

f-—r

???，D1-S,.-.l±g.

???由直線g的任意性知1_LQ.

例2、己知空間四邊形ABCD中，TE,CZ),求證:

AD

證明：

Al)lc-(AB+BD)(AC-Af)

=ABAC^BDAC-AB:-ABBD

=AB(AC-AB-BD)^AB衣二0

IZ-15CADIEC

例3、如圖，在空間四邊形匚蘇中，C-4-2,-4S-6,，

3(7=5,NC*C=45\ZO4￡=6CT,求0A與BC的夾角的余弦值.

解：

OA?SC=c-L4?iAAS->'A?A-OA*Ab

-|.\41*|AC|cosJ1?H\CAH|CQ$；(?/.4}

-8x4xcosl35B-8x6xcosl20B_24-16J?

,/X齊、次.正2476點3?20

cos<%，■--------------------------

.??0A\?C|8x55.

)—2、2

???0A與BC的夾角的余弦值為5.

例4.已知在平行六面體中,|AB|=4,|AD|=3,

=5,ZRAD=90°,/RAA'=ZDAAZ=60°,則月二'|等于()

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A.85B.相

C."2D.50

贊號蘑口蠡■圓門嘉布夠遍

答案：B

5.考試題

5.1.選擇題(每小題6分，共30分)

1.若a,b均為非零向量,則a?b=|a||b|是a與b共線的

(________)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知空間向量a,b滿足a?b=0,|a|=l,|b|=2,則|2a-b|二

()

A.0B.2aC.4D.8

3.(2013?天水高二檢測)已知四邊形ABCD滿足:AB?BC>0,

BC?cb>o,

CD?DA>0,DA-加>0,則該四邊形為()

A.平行四邊形B.梯形

C.平面四邊形D.空間四邊形

4.如圖,在大小為45°的二面角A-EF-D中,四邊形ABFE,CDEF都是

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邊長為1的正方形,則B,D兩點間的距離是()

A.V3B.V2C.1D.J3-&

5.(2013?杭州高二檢測)如圖，在直三棱柱ABC-A.B.C,中，AB=BC=AAb

ZABC=90°,點E,F分別是棱AB,BBi的中點，則直線EF和BG所

成的角是(_______)

A.45°B.60°C.90°D.120°

5.2.填空題(每小題8分洪24分)

6.(2013?安陽高二檢測)已知向量a與b的夾角是120°,且

|a|二|b|=4,則b?(2a+b)=.

7.如圖所示,在幾何體A-BCD中,ABJ_平面BCD,BC1CD,且

AB=BOI,CD=2,點E為CD的中點，則AE的長為.

8.如圖NBAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面與正方形ABDE

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所在的平面互相垂直,則異面直線AD與BC所成角的大小

是________

5.3.解答題（9題,10題14分,11題18分）

9.如圖所示,直三棱柱ABC—ABG中,CA=CB=1,ZBCA=90°,棱

AA,=2,M,N分別是AB,AiA的中點.

⑴求前的長.

⑵求cos<BAi，CB>的值.

（3）求證:

10.（2013?濟南高二檢測）如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平

面,M,N分別是AB,PC的中點，

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⑴求證：MN_LCD.

⑵若NPDA=45°,求證:MNJL平面PCI).

11.（能力挑戰題）如圖所示，矩形ABCD中，AB=l,BC=a,

PA,平面ABCD（點P位于平面ABCD上方），問BC邊上

是否存在點Q,使用_L而？

6.答案解析

1.【解析】選A.a,b二|a||b|cos<a,b>=|a||b|Ocos<a,b>=10

<a,b>=0,即a,b同向，故是充分條件；當a與b反向時，不能成立，不

是必要條件.

2.【解析】選B.|2a—b|二）（2a二1）

:J4。'-4a?b+b

=V4X1-4X0+22=272,故選B.

3.【解析】選D.BA-BC<0,CB-CD<0,DC-DA<0,

AD?AB<0,即四邊形的四個內角均為鈍角，所以該四邊形為空間四

邊形.

4.【解析】選D.屆而FC+CD

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ABD=(BF+FC+C”

=BF2+FC。工口的(BF-FC+FC-CD+BF-CD)

由題意知，I而I二|E|:|6i)|n,

BF-FC=|BF|?|FC|cos135°

=1X1X(-馬二

22

FC?CD=BF?CD=0,

BD2=3+2X(-3=3-V2,

???BD=j3-夜.

T——

5.【解析】選B.設AB=a,AC=b,AA二二c,

|a|=|c|=1,則|b|二位，

EF=EB+BI^iAB+iBE凈*,

BC尸BC+&F辰-屆AA]

=-a+b+c,

/.EF-BC^CiaA)?(-a+b+c)

122

_---1a2+,1-a?-b+1a?c-1-a?c+-b-cJ+-c2

N，TL7N2

=--|a|2+-a?b+2b?c+-|c|2

2222

=-l+la?b+Q+l=ia?b.

2222

由題意知，<a,b>=45°,

/.a?b=|a||b|cos<a,b>=1乂號Xcos45°=1,

/.EF-BC^XI^

22

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2

又IEFI=/>y(y^4--^-c)

:

=AJ^((r+2a?c+c)

=J}(1+2XO+1)=浮

|/3(；I=y(—a+b+c)-

=J(——a)2+b+(,+2]——a?b+b?c+(——a)?c]

=Jl+(V2)2+1+2x(-1+0-0>V2,

.\cos<EF,BQ>=■學與

|EF|-|Bq|

1

二二J

?xV5，

-T

/.cos<EF,BC^-600,

AEF與BG所成的角為60°.

6.【解析】b-(2a+b)=2a-b+b2=21a|?|b|cos120°+|b|2=2X4X

4X(-J)+42=0.

答案:0

7.【解析】■屆靛+&)：

=|AB|2+|BC|2+|CE|2+2(AB?BC+AB?CE+BC-CE),

由題意知，|品|二|畝：|二1二|&|,

且AB?BUAB-CE=BC-CE=0.

AAE=3,

???AE的長為百.

答案:百

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【舉一反三】若將題條件中“BCLCD”改為“NBCD=120°”，其他

條件不變，結果如何？

【解析】由本題解答知，

AE2=|AB|2+|BC|2+|CE|2+2(AB?BC+AB-CE+BC?CB,

V|AB|=|BC|=1=|CE|,

AB-BC=AB-0=0,

BC-CE=|BC|?|CE|?cos<BC,CE>

=1X1Xcos60°=i,

???AE*=3+2Xi=4,

TL

故AE的長是2.

答案：2

8.【解析】設正方形ABDE的邊長為1,

VAD=AB+AE,BC=AC-AB,

AAE?BC=(AB+AE)?(AC-AB)

=AB?AC-AB'+AE?AC-AE-AB,

=07+0-0=7,

|AD|=J(AB+AE)2

二+2AB-AE+AE2

、1+2x04-1=V2,

2

|BC|=xi'(ACAB)

7AC-2AC-AB+AB

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=V1-2X04-1=>/2,

r-

.-.cos<AD,

|AD||BC|）

A<AD,BC>=120°，故AD與BC所成角為60°.

答案:60°

9.【解析】（1）由題可知,BA;BALAN,

.??BN2=（B分AN）2

=BA2+2BA?2

=（V2）?+2X0+12=3,

/.BN=V3.即即的長為\G.

—————T

（2）,?,BA產B毋AA],CB^CB+BBv

—————T

ABAj?CB^CBA^AAj）?（CB+BB^

二BA-CB+BA-BB^AAi-CB+AA,?BB,

———N

二|BA|?|CB|?cos1350+0+0+AA1

=V2X1X（-迫）+22=3,

IBAJ=7BA2+AAI

二j（&）2+22二五,

|CBj=jBC2+BB；

=<^+22=^5,

——■:二

Acos<BA1,CB]>-與與-

|BA/⑸

VSxVsio

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(3)??AiE=A,*AB,

???A；B?C；I花(A；A+Xb?(C&c4)

三(A；￡?C入+A；A?cR+d?C^A^AB?QB；

由題意知,A】A?C1Al=A"-3B『0,

AB?C1Al=lABl?|C1Ali-cos<AB,

=V2X1Xcos135°=-1,

—T—T——

AB?C1B1=|AE|?|C[Bj?cos<AB,1Bp

=V2X1Xcos45°=1,

——

?“/?(：1呢)<(7+1)=0,

T—

???A1m_LC1M即AiBXCiM.

10.【證明】(1)設AB=a,AD=b,AP=c,

則公=>fmBC+CN

』AB+AD--PC

22

r—TTT

上AB+AD-VPA+AD+DO

22

上AB+AMAP-1AD-2AB

2222

=i(AIHAP)=i(b4-c),

22

AMN*CD^(b+c)?(-a)

=--(a?b+a?c),

2

.四邊形ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,

第12頁共14頁

/.a±b,a±c,a?b=a?c=0,

AMN-CI>0,

AMN±CD,故MN±CD.

(2)由⑴知,MN_LCD,MN=-(b+c),

??PD=AD-AP=b-c,

JMN?pb」(b+c)?(b-c)

-(Ib|2-|c|2),

TL

?.?PA_L平面ABCD,APAXAD,

又/PDA=45°,

APA=AD,A|b|=|c|,

AMN?PI>0,AMN±PD,AMN±PD,

,.?CD,PDu平面PCD,且CDnPUD,

???MN_L平面PCD.

【拓展提升】巧用數量積證明垂直問題

垂直問題有線線垂直、線面垂直、面面垂直三類問題，這三類問題

通常