2024-2025學年高中數學第3章空間向量

與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.1空

間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數乘

運算(教學用書)教案新人教A版選修27

主備人

備課

成員

2024-2025學年高中數學第3章空間向量與立體幾何，本節課主要圍繞3.1空間向量及其運

算展開。具體內容包括：

1.空間向量及其加減運算(3.1.1):介紹空間向量的概念，引導學生理解空間向量的坐標

表示；講解空間向量的加減運算及其幾何意義。

教學

2.空間向量的數乘運算(3.1.2):探討空間向量的數乘運算，包括數乘運算的定義、性質

內容

以及在實際問題中的應用。

本節課將緊密結合教材新人教A版選修27,確保教學內容的相關性和實用性。通過實例分

析與實際操作，幫助學生掌握空間向量的基本概念和運算方法，為后續學習立體幾何打下

堅實基礎。

本章節旨在培養學生以下核心素養：

1.邏輯推理：通過空間向量的概念引入與運算方法的學習，使學生能夠運用邏輯推理能

力，理解向量加減與數乘■的運算規則，并能解決相關問題。

核心2.數學建模：培養學生利用空間向量進行數學建模的能力，將現實問題轉化為數學問題，

素養通過向量運算求解，增強解決實際問題的能力。

目標3.抽象思維：引導學生從具體實例中抽象出空間向量的樓,念，形成對空間向量及其運算的

抽象認識，提高學生的抽象思維能力。

4.數學表達：通過課堂講解、練習與討論，提升學生運用數學語言準確表達空間向量及其

運算過程的能力，加強數學交流與表達。

重點：

1.空間向量的概念及坐標表示。

2.空間向量的加減運算及數乘運算。

難點：

1.空間向量的幾何意義理解。

重點

2.向量運算在實際問題中的應用。

難點

解決辦法及突破策略：

及解

1.采用直觀教具和動畫演示，幫助學生形象理解空間向量的幾何意義，強化對向量概念的

決辦

記憶。

法

2.通過典型例題和練習題，引導學生運用向量加減和數乘運算解決問題，總結運算規律，

提高解題技巧。

3.組織小組討論，讓學生互相交流解題思路，激發思維碰撞，共同突破難點。

4.創設實際情境，將空間向量運算與生活實例相結合，增強學生對向量運算在實際問題中

應用的理解，提高學生解決實際問題的能力。

學具

多媒體

準備

課型新授課教法學法講授法課時第一課時

步驟師生互動設計二次備課

教1.教學方法：采用講授法、討論法和案例研究法。通過講授法明確空

學間向量的概念及運算規則；利用討論法鼓勵學生發表見解，深化理

方解；結合案例研究法，以實際問題為載體，引導學生探索空間向量的

應用。

法

2.教學活動：設計實驗、小組討論和角色扮演等互動環節。實驗活動

與幫助學生直觀感受空間向量的幾何意義；小組討論促進學生交流與合

策作，共同解決問題；角色扮演激發學生興趣，提高課堂參與度。

略3.教學媒體：使用多媒體課件、實物模型和數學軟件等教學工具。多

媒體課件展示空間向量運算的動態過程，增強直觀感受；實物模型輔

助理解幾何意義；數學軟件輔助學生進行向量運算的實踐操作，提高

實際運用能力。

教1.導入新課

學(1)復習提問：

過同學們，我們在之前的學習中已經接觸過向量的概念，誰能來說一說

平面向量的定義及其基本運算？

程

(2)導入：

很好，今天我們將進一步學習空間向量及其運算。空間向量與現實生

活密切相關，它在立體幾何中具有重要作用。

2.空間向量的概念及坐標表示

(1)展示概念：

請同學們翻到教材第3章第1節，我們一起來學習空間向量的概念。

空間向量是有大小、方向的量，它可以用一個箭頭表示。與平面向量

類似，空間向量也可以用坐標表示。

(2)探究坐標表示：

現在請同學們觀察教材中的圖3.1,思考如何用坐標表示空間向量？

(3)學生回答：

空間向量可以用一個有序數對表示，例如：(x,y,z)o

(4)講解坐標表示：

非常好！空間向量的坐標表示就是這樣的有序數對。其中，x、y、z

分別表示向量在x軸、y軸、z軸上的投影長度。

3.空間向量的加減運算

(1)講解加減運算：

(2)示例:

假設有兩個空間向量A(xl,yl,zl)和B(x2,y2,z2),那么它們的和

C=A+B=(xl+x2,yl+y2,zl+z2)?

同理，它們的差D=A-B=(xl-x2,yl-y2,zl-z2)。

(3)練習：

請同學們在教材第3章第1節中完成例題3.1,并思考空間向量加減

運算的幾何意義。

(4)學生解答：

4.空間向量的數乘運算

(1)講解數乘運算：

現在我們來看空間向量的數乘運算。數乘運算是指將一個向量與一個

實數相乘。

(2)示例：

假設有一個空間向量A(x,y,z),那么數乘運算B=kA二(kx,ky,

kz）,其中k為實數。

（3）練習：

請同學們在教材第3章第1節中完成例題3.2,并思考數乘運算的兒

何意義。

（4）學生解答：

5.課堂小結

（1）總結：

（2）提問：

同學們，誰能來說一說空間向量加減運算和數乘運算的幾何意義？

（3）學生回答：

空間向量加減運算表示向量在空間中的平移，數乘運算表示對向量進

行縮放。

6.作業布置

（1）課后習題：

請同學們完成教材第3章第1節的課后習題，鞏固所學知識。

（2）思考題：

思考空間向量在立體幾何中的應用，下節課我們一起來討論。

7課堂結束

今天我們學習了空間向量及其運算，希望大家課后認真復習，為下節

課的學習做好準備。同學們，再見！

知1.空間向量的概念

識空間向量的定義：具有大小和方向的量，用箭頭表示。

點空間向量的表?。河行驍祵Γ▁,y,z）,分別表示向量在x軸、y

軸、z軸上的投影長度。

梳

2.空間向量的坐標表示

理-坐標表示方法：空間向量可以用一個有序數對表示，如（x,y,

Z）O

-坐標軸的投影：向量在X軸、y軸、z軸上的投影長度分別對應坐標

的x、y、z分量。

3.空間向量的加減運算

加法運算：兩個空間向量相加，得到一個新的向量，其坐標為原向

量坐標對應分量相加。

減法運算：兩個空間向量相減，得到一個新的向量，其坐標為第一

個向量坐標減去第二個向量坐標的對應分量。

幾何意義：加法運算表示向量的平移，減法運算表示向量的反向平

移。

4.空間向量的數乘運算

-數乘定義：將一個空間向量與一個實數相乘，得到一個新的向量。

數乘運算規則：數乘向量的坐標為原向量坐標與實數的乘積。

幾何意義：數乘運算表示對向量進行縮放，實數為正時沿原方向縮

放，為負時沿原方向的反向縮放。

5.空間向量的線性組合

定義：空間向量的線性組合是指將多個空間向量與相應的實數相乘

后再相加的結果。

運算規則：線性組合的坐標為各個向量坐標與對應實數乘積的和。

6.空間向量的線性關系

平行向量：方向相同或相反的向量，它們的線性組合仍為同方向或

相反方向的向量。

垂直向量：相互垂直的向量，它們的點積為零。

7.空間向量的應用

立體兒何中的向量運算：用于求解空間幾何圖形的長度、面積和體

積等。

-物理學中的向量問題：描述物體運動的加速度、速度等向量關系。

板書①重點知識點：

設計1.空間向量的概念與坐標表示

-定義：具有大小和方向的量

-坐標表示：(x,y,z)

2.空間向量的加減運算

-加法：A+B=(xl+x2,yl十y2,zl十z2)

-減法：A-B=(xl-x2,yl-y2,zl-z2)

3.空間向量的數乘運算

-數乘：k/\=(kx,ky,kz)

②關鍵詞與句：

1.向量加法：平移

2.向量減法：反向平移

3.數乘運算：縮放

③藝術性與趣味性：

1.使用小同顏色的粉筆，區分向量加、減和數乘運算。

2.在黑板上繪制向量箭頭，直觀展示向量的幾何意義。

3.舉例生活中的向量問題，如力的合成、速度方向等，激發學生興

趣。

板書設計條理清晰，重點突出，簡潔明了，同時注重藝術性和趣味

性，有助于學生理解和記憶空間向量的相關知識，提高學生的學習興

趣和主動性。

課后1.計算題：

作業已知空間向量A(2,3,4)和B(T,2,3),求向量A+B和向量A-B。

答案：

A+B=(2+(-1),3+2,4+3)=(1,5,7)

A-B=(2-(-1),3-2,4-3)=(3,1,1)

2.應用題：

一物體受到兩個力的作用，力F1的大小為5N,方向為(1,2,3),力

F2的大小為3N,方向為(2,-1,Do求物體的合力方向。

答案：

設合力方向為