專題07一元二次方程的應用

閱讀與思考

一元二次方程是解數學問題的有力工具，許多數學問題都可轉化為解一元二次方程、研究一元二次

方程根的性質等而獲解.現階段，一元二次方程的應用主要有以下兩方面：

1.求代數式的值；

2.列二次方程解應用題.

從本質上講，列二次方程解應用題與前面我們已經學過的列一元二次方程解應用題沒有區別，通常

都要經過設、列、解、答等四個步驟，解題的關鍵是尋找實際問題中的等量關系.特別需要注意的是，

列出的一元二次方程一般會有兩個不同的實數根，所以在檢驗時應特別注意，很可能其中有不符合實際

問題的根，必須舍去.

例題與求解

【例1】甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各有一班船準點以勻速從兩地對開，通常它們總在11

時于途中相遇，一天乙地的船因故晚發了40分鐘，結果兩船在上午11時15分在途中相遇，已知甲地

開出的船在靜水中的速度數值為44千米/時，而乙地開出的船在靜水中的速度為水流速度千米/時數值

的平方，則的值為___________.（安徽省競賽試題）

解題思路：利用甲船15分鐘所行路程是乙船（40-15）分鐘所行路程建立方程.

n24716n16

【例2】自然數n滿足n22n2n22n2，這樣的n的個數是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個（江蘇省競賽試題）

解題思路：運用冪的性質，將問題轉化為解方程.

3

【例3】如圖，在平面直角坐標系中，直線yx1與yx3交于點A，分別交x軸于點B和

4

點C，點D是直線AC上的一個動點.

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）當△CBD為等腰三角形時，求點D的坐標.（太原市中考試題）

解題思路：對于（2），利用“腰相等”建立方程，解題的關鍵是分類討論.

【例4】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點E在直角邊AC上（點E與A，

C兩點均不重合）.

（）若點在斜邊上，且平分△的周長，設＝，試用的代數式表示；

1FABEFRtABCAExxSAEF

（2）若點F在折線ABC上移動，試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在

直線EF，則求出AE的長；若不存在直線EF，請說明理由.（常州市中考試題）

解題思路：幾何計算問題代數化，通過定量分析回答是否存在這樣的直線EF，將線段的計算轉化

為解方程.

【例5】某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間，據預測，當每間的年租金定為10萬元時，可全

部租出.每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1

萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元.

（1）當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出多少間？

（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時，該公司的年收益（收益＝租金－各種費用）為275萬元？

（紹興市中考試題）

解題思路：解題的關鍵是把復雜的數量關系分解成若干個小問題，再尋找各個小問題間量與量的關

系.

【例6】已知：如圖1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點P由點B出發沿BA方

向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s.連

結PQ.若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC？

（2）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的

值；若不存在，說明理由；

（4）如圖2，連結PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四

邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由.（青島市中考試題）

解題思路：對于（3），先求出PQ平分Rt△ACB周長時t的值，再看求出t的值是否滿足由面積關

系建立的方程.

能力訓練

A級

1.某工廠把500萬元資金投入新產品生產，第一年獲得了一定的利潤，在不抽調資金和利潤（即將第

一年獲得的利潤也作為生產資金）的前提下，繼續生產，第二年的利潤率（即所獲利潤與投入生產資金

的比）比第一年的利潤率增加了8%.如果第二年的利潤為112萬元，為求第一年的利潤率，可設它為x，

那么所列方程為_______________.（濟南市中考試題）

2.如圖，在長為10cm、寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下陰影部分面積

是原矩形面積的80%，則所截去的小正方形的邊長是_________.（廣東省中考試題）

3.有一旅客攜帶了30千克行李從南京祿口國際機場乘飛機去天津.按民航規定，旅客最多可免費攜帶

20千克行李，超重部分每千克按飛機票價的1.5%購買行李票，現該旅客買了120元的行李票，則他的

飛機票價格應是________.

424

4.已知實數x、y滿足3,y4y33，則y4的值為（）

x4x2x4

113713

A.7B.C.D.5

22

5.一個跳水運動員從10米高臺上跳水，他每一時刻所在的高度（單位：米）與所用時間（單位：秒）

的關系式是h5t2t1，則運動員起跳到入水所用的時間是（）

A.－5秒B.1秒C.－1秒D.2秒

6.某種出租車的收費標準時：起步價7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費），超過3千米以

后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計），某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費

19元，設此人從甲地到乙地經過的路程是x千米，那么x的最大值是（）

A.11B.8C.7D.5

7.如圖，菱形ABCD的邊長為a，O是對角線AC上的一點，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a＝（）

5151

A.B.C.1D.2

22

第2題圖第7題圖

8.我市向民族地區的某縣贈送一批計算機，首批270臺將于近期起運.經與某物流公司聯系，得知用A

型汽車若干輛剛好裝完；用B型汽車不僅可少用1輛，而且有一輛車差30臺計算機才裝滿.

（1）已知B型汽車比A型汽車每輛車可多裝15臺，則A，B兩種型號的汽車各能裝計算機多少臺？

（2）已知A型汽車的運費是每輛350元，B型汽車的運費是每輛400元。若運送這批計算機用這兩種

型號的汽車，其中B型汽車比A型汽車多用1輛，所用運費比單獨用任何一種型號的汽車都要節省，按

這種方案需A，B兩種型號的汽車各多少輛？運費多少元？（四川省中考試題）

9.某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只需交10元

A

用電費；如果超過A度，則這個月除了仍需交10元用電費外，超過部分還需按每度元交費.

100

下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況：

月份用電量（度）交電費（元）

3月8025

4月4510

根據上表的數據，電廠規定的A（度）為多少？（蘇州市中考試題）

10.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學

過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感

染的電腦會不會超過700臺？（廣東省中考試題）

11.某批發商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個

月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發商為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每

降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格，第二個月結束后，批發商將對剩余的T恤

一次性清倉銷售，清倉時單價為40元.設第二個月單價降低x元.

（1）填表（不需化簡）：

時間第一個月第二個月清倉時

單價（元）8040

銷售量（件）200

（2）如果批發商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？

（南京市中考試題）

B級

1.如圖，梯子AB斜靠在墻上，∠ACB＝90°，AB＝5m，BC＝4m，當點B下滑到點B′時點A向左平

移到點A′，設BB′＝x，當x＝_______時，點B下滑的距離與點A向左平移的距離相等.

（徐州市中考試題）

2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，動點P從點C出發，以2cm/s的速度沿

1

CA，AB移到點B，則C點出發________秒時，可使SS.

BCP4ABC

3.甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點回到起跑線

（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑；用時少者勝.結果，甲同學由于心急，

掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完。事后，乙同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒，撿

球過程不算在內時，甲的速度是我的1.2倍。”根據圖文信息，請問哪位同學獲勝？（江西省中考試題）

4.一個批發與零售兼營的文具店規定：凡一次購買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發價付款；

購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款.現有學生小王來購買鉛筆，如果給學校初三年級每

人買1支，則只能按零售價付款，需用（m21）元（m為正整數，且m21＞100）；如果多買60

支，則可以按批發價付款，同樣需用（m21）元.

（1）設這個學校初三年級共有x名學生，則①x的取值范圍是____________；②鉛筆的零售價每支應

為____________元，批發價每支應為__________元.（用含x，m，n的代數式表示）

（2）若按批發價每購買15支，比按零售價每購15支少付款1元，試求這個學校初三年級共有多少名

學生，并確定m的值.

5.在一次汽車比賽中，有三輛汽車在起點同時同向出發，其中第二輛車每小時輛車比第一輛車少走5

公里，而比第三輛車多走7.5公里；第二輛車到達終點比第一輛車遲3分鐘，而比第三輛車早到5分鐘.

假設它們在路上都沒停過.

（1）比賽的路程是多少公里？

（2）第二輛車的速度是每小時多少公里？（荊州市競賽試題）

6.象棋比賽共有奇數個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤.記分辦法是勝一盤得1分，和一盤

各得0.5分，負一盤得0分.已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數，參加此次比賽的選

手共有多少人？（天津市競賽試題）

7.如圖，有矩形地ABCD一塊，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面積為這塊地面積地一半，且

花圃四周的道路寬相等.今無測量工具，只有無刻度的尺和夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度？

8.小明有5張人民幣，面值合計20元.

（1）小明的5張人民幣的面值分別是______元、______元、______元、______元、______元.

（2）小明來到水果店，稱了x公斤蘋果（x是整數），按標價應付y元，正好等于小明那5張人民幣中

的2張面值之和；這時果筐里還剩6公斤蘋果，店主便對小明說：“如果你把這剩下的也都買去，那么

連同剛才已經稱的，一共就付10元錢吧。”小明一算，這樣相當于每公斤比原標價減少了0.5元，本著

互利原則，便答允了，試求x和y.（江蘇省競賽試題）

9.如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB＝2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相等的速度作直線

運動.已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D.

（）當的長為何值時，？

1APSPCQSABC

（2）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論.

（荊門市中考試題）

10.某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.經市場調查發現，

在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克.現該商場要保證每天盈利6000

元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

11.求滿足下列條件的所有四位數：abcd:abcd＝(ab＋cd)2,其中數碼c可以為0.

（“新知杯”上海市競賽試題）

專題07一元二次方程的應用

例16例2C

8

yx1,x,

，7815

例3（1）B（－1，0），C（4，0），由3得，∴A（，）

yx3,1577

4y

7

5

（2）設點D的坐標為（x，y），BC＝5.，①當BD1＝D1C時，過點D1作D1M1⊥x軸于M1，則BM1＝，

2

333315315

OM1＝，x＝，∴y＝－×＋3＝，∴D1（，）.

2242828

②當＝時，過點作⊥軸于，則2＋2＝2∵＝－－，＝

.BCBD2D2D2M2xM2D2M2M2BD2B,.M2Bx1D2M2

3

－x＋3，D2B＝5.

4

315

③當CD3＝BC或CD4＝BC時，同理，可得D3（0，3），D4（8，－3），故點的坐標為D1（，），

28

1224

D2（－，），D3（0，3），D4（8，－3）.

55

2

例4（1）SAEF＝x（6－x）

5

△

2

（2）假設存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分，AE＝x.①若點F在斜邊AB上，則由（1）知x

5

△

16666

（6－x）＝×6，解得x1＝3－，x2＝3＋（舍去）此時AF＝6－（3－）＝3＋＜5.，

22222

②若點F和B重合，不滿足題設要求的直線EF；③若點F在BC上，由AE＝x，得CE＝3－x，CF＝3

11

＋x，SCEF＝（3－x）（3＋x）＝×6，解得x1＝3，x2＝－3（舍去），由于3＋x＝3＋3＞4，

22

△

故不存在直線EF滿足題設要求.

例5（1）24間

xxx

（2）設每間商鋪的年租金增加x萬元，則（30＋）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，

0.50.50.5

解得x1＝0.5，x2＝5，故設每間商鋪的年租金定為15萬元或10.5萬元.

AQAP2t5t10

例6(1)AP＝5－t,AQ＝2t,若PQ∥BC,則APQ∽△ABC,∴＝,即＝,t＝.

ACAB457

△PHAPPH5t3

(2)過點P作PH⊥AC,由APH∽△ABC,得＝,即＝,PH＝3－t,＝3.∴y＝

BCAB355

11△33

×AQ×PH＝×2t×（3－t）＝－t2＋3t.

2255

（3）若PQ把ABC周長平分,則AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ,,∴（5－t）＋2t＝t＋3＋（4－2t）,t＝1.若

△132

PQ把ABC面積平分,則SAPQ＝SABC,即－t＋3t＝3,但t＝1代入此方程不成立.故不存在這一時刻,

25

△△

使線段△PQ把ABC的周長和面積同時平分.

△

PN

(4)過點P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.若四邊形PQP′C是菱形,則PQ＝PC.由PBN∽△ABC,得＝

AC

BPPNt4t4t4t4t10△37

,即＝,PN＝,∴QM＝CM＝,由＋＋2t＝4,得t＝.此時PM＝3－t＝,CM

AB455555953

4t8505505

＝＝,PC＝PM2CM2＝.∴菱形PQP′C邊長為.

5999

A級

1.500（1＋x）（x＋8%）＝112

2.2cm3.800元4.A5.D6.B7.A

8.（1）A型汽車能裝45臺，B型汽車能裝60臺.（2）A型汽車2輛，B型汽車3輛，運費為1900元.

9.50度

10.設每輪感染中平均每臺電腦會感染x臺電腦，則1＋x＋（1＋x）x＝81，解得x1＝8，x2＝－10（舍去），

（1＋x）3＝（1＋8）3＝729＞700，故三輪感染后，被感染的電腦會超過700臺.

11.（1）80－x200＋10x800－200－（200＋10x）（2）根據題意，得80×200＋（80－x）（200＋

2

10x）＋40[800－200－（20＋10x）]－50×800＝9000，整理得x－20x＋100＝0，斛方程得x1＝x2＝10.

當x＝10時，80－x＝70＞50.故第二個月的單價應是70元.

B級

1．1

2．1或7．75

3．甲、乙兩同學所用的時間分別為26秒、24秒，乙同學獲勝．

m21m21

4．(1)①240＜x≤300②

xx60

m21m21

(2)由題意得15·－15·=1，整理得x2＋60x－900（m2－1）=0，解得x=30(m－1)，

xx601

－（）舍去，解得，．

x2=30m+1()m=11x=300

5．（1）150公里（2）120公里/小時

xx3

yy560

xx5

提示：設比賽路程是x公里，第二輛車的速度是y公里/小時，由題意得即

y7.5y60

5x3

y(y5)60

7.5x5x150

，解得

y(y7.5)60y120

6．9人提示：設共有選手（n＋2）人，除2人得8分外，n個人平均得k分（k為整數），由題意得

1

(n＋1)(n＋2)=8＋nk，整理得n2＋(3－2k)n－14=0，人數只能是奇數，n=7．

2

11

7．設道路寬為x，AB=a，AD=b，則有(a－2x)(b－2x)=ab，即8x2－4(a＋b)＋ab=0，解得x=[(a